Politechnika Częstochowska, Instytut Mechaniki i Podstaw Konstrukcji Maszyn,

BOGDAN POSIADAŁA 1, MAREK STANIA 2 1 Politechnika Częstochowska, Instytut Mechaniki i Podstaw Konstrukcji Maszyn, bogdan.p@imipkm.pcz.pl 2 Politechnika Częstochowska, Instytut Mechaniki i Podstaw Konstrukcji Maszyn, stania@imipkm.pcz.pl MODELOWANIE DYNAMIKI OŚMIOKOŁOWEGO AUTONOMICZNEGO ROBOTA MOBILNEGO Abstract: This paper presents the modeling problem concerning the dynamics of the autonomous transport vehicle designed at Hochschule Ravensburg-Weingarten. The dynamics problem of that eight-wheeled autonomous transport vehicle have been formulated and solved. Additionally examples of simulation results representing the changes of individual motion parameters have been presented. The contact phenomenon between foundation and drive wheel has been taken into account in the dynamics model. 1. WSTĘP Robotyka mobilna od wielu lat stara się rozwiązać problem przemieszczania się robotów mobilnych w różnych środowiskach. Dotychczas stosowane i najbardziej popularne rozwiązania zakładają dostosowywanie rodzaju napędu do podłoża oraz warunków, w jakich robot będzie się poruszał. Różnice wynikające ze struktury podłoża mają w takim przypadku znaczący wpływ na wybór sposobu poruszania się. Obecnie do najczęściej spotykanych rozwiązań należą napędy kołowe oraz gąsienicowe. Proces generowania trajektorii jest jednym z kluczowych zadań sterowania ruchem robotów mobilnych. Generowanie i realizacja przebiegu trajektorii determinuje zachowanie się pojazdu podczas dojazdu do celu oraz umożliwia realizację płynnego ruchu w przestrzeni zadania. Jednakże realizacja trajektorii w środowisku rzeczywistym powinna również uwzględnić występowanie przeszkód na drodze pojazdu, co w konsekwencji prowadzi do konieczności zmiany trajektorii w celu uniknięcia kolizji. Roboty mobilne to obiekty, które wymagają opisu oraz analizy co najmniej kinematyki (prostej i/lub odwrotnej). Opis ruchu autonomicznych robotów mobilnych zazwyczaj nie ogranicza się do rozważań kinematycznych, ale wymaga opisu dynamiki, np. gdy: wysoko zlokalizowany jest środek ciężkości (możliwe wywrócenie robota), możliwy szybki skręt (utrata przyczepności, poślizg). Opis ruchu platformy w rozważanym przypadku bazuje na opisie oddziaływań kół robota z podłożem. Opis dynamiki rozważanego obiektu jest istotny w kontekście wyznaczania przewidywanej trajektorii ruchu platformy mobilnej, a tym samym określać stopień manewrowości rozważanego obiektu. Do modelowania dynamiki mobilnych robotów kołowych stosuje się różne formalizmy. Do klasycznych można tutaj zaliczyć m.in. równania Newtona-Eulera, Lagrange a, Maggiego i zasadę d Alamaberta. Najczęściej spotykanymi formalizmami wykorzystywanymi w modelowaniu układów wieloczłonowych są równania Lagrange a [1-6]. Jednym z podstawowych

problemów związanych z modelowaniem dynamiki robotów mobilnych jest konieczność opracowania osobnego modelu dla każdego rodzaju robota, a nawet dla poszczególnych jego konfiguracji. Konfiguracje robota mobilnego związane są z: liczbą kół stykających się z podłożem, techniką sterowania (Ackerman) [7,8], nierozwiązywalność równań dynamiki (potraktowanie ruchomych członów jako bryły sztywne). W dostępnej literaturze dotyczącej metodyki modelowania dynamiki mobilnych robotów kołowych zazwyczaj zakłada się ruch bez poślizgu [1,2]. Ma to swoje uzasadnienie w przypadku obiektów poruszających się z niedużą prędkością. Jednakże coraz częściej wiele rozwiązań konstrukcyjnych robotów mobilnych są w taki sposób projektowane, że poślizg kół jezdnych jest podstawową cechą ich ruchu (np. roboty o napędzie gąsienicowym) [9]. Analiza zagadnień dynamiki mobilnych robotów kołowych głównie polega na właściwym rozwiązaniu problemu sterowania ruchem takim obiektem. Rozważając dynamikę układu, często model fizyczny zastępuje się modelem zastępczym, w którym nie uwzględnia się mas wielu elementów ruchomych [10]. Zadanie dynamiki, podobnie jak kinematyki można rozważać, jako zadanie proste lub odwrotne. 2. MODEL ROBOTA Autonomiczna platforma mobilna, którą z pewnością można zaliczyć do urządzeń mechatronicznych, łączy w sobie część mechaniczną, elektryczną, elektroniczną oraz system sterowania, który odpowiada za działanie całej platformy mobilnej. Rozważany obiekt został opracowany podczas dwuletniego stażu naukowego autora niniejszego artykułu ( 2 ), który został zrealizowany z jego udziałem w Niemczech (Hochschule Ravensburg-Weingarten) w ramach projektu BMBF (Bundesministerium für Bildung und Forschung),. Głównym celem projektu badawczego było opracowanie konstrukcji robota wraz z innowacyjnym systemem napędowym mającym zastosowanie w branży logistycznej oraz serwisowej. Podczas budowy platformy mobilnej szczególny nacisk został położony na to, aby robot miał całkowicie budowę modułową. Dzięki temu możliwa jest łatwa modyfikacja, konfiguracja i rozbudowa robota. Opracowany prototyp autonomicznej platformy mobilnej przedstawiono na rysunku 1.

Rys. 1. Prototyp platformy mobilnej z czterema modułami napędowymi (10pt) Na szczególną uwagę zasługują opracowane innowacyjne jednostki napędowe, które zwiększyły manewrowość zarówno samej jednostki napędowej jak i całego pojazdu. Wersja finalna zbudowanego prototypu składa się z czterech różnych modułów napędowych. Moduły różnią się między sobą głównie sposobem przeniesienia napędu (za pomocą przekładni zębatej, paska zębatego) oraz niewielką modyfikacją konstrukcyjną. Zastosowanie odpowiedniego przełożenia miało na celu zwiększenie momentu obrotowego oraz uzyskanie wymaganej prędkości pojazdu. Zaletą tego rozwiązania jest możliwość wykonywania wszystkich możliwych ruchów, manewrów, co przedstawiono schematycznie na rys. 2. Rys. 2. Pole możliwych ruchów platformy mobilnej

Do głównych ruchów można tutaj zaliczyć: przemieszczanie translacyjne w dowolnym kierunku, obrót wokół własnej osi, obrót wokół dowolnego punktu, oraz kombinacja powyższych ruchów. Szczegółowe etapy budowy i implementacji zarówno jednostek napędowych jak i samej platformy mobilnej zawarto w literaturze [11-16]. 3. MODEL OBLICZENIOWY Dynamiczne równania ruchu mobilnych robotów kołowych mogą posłużyć do rozwiązania zadania prostego i odwrotnego dynamiki. W zadaniu prostym dynamiki można wyznaczyć parametry związane z ruchem, natomiast w zadaniu odwrotnym siły i momenty działające na robota. Do analizy dynamiki i zobrazowania zachowania minirobota rozwiązane zostało zadanie proste dynamiki. Ruch robota odbywa się w jednej płaszczyźnie. W celu pełnej analizy robota niezbędne jest przyjęcie odpowiedniego modelu, dlatego też zaproponowano następujący model zastępczy (rys. 3.):

Rys. 3. Schemat modelu zastępczego platformy mobilnej Na rysunku pokazano globalne i lokalne układy współrzędnych prostokątnych w taki sam sposób, jak przyjęto je w opisie kinematyki rozważanego układu [4,11,13]. Punkty A, B, C i D reprezentują punkty połączenia poszczególnych modułów napędowych z platformą nośną. W punktach tych zaczepiono wektory sił W i (i=1,2,3,4) i momentów M i (i=1,2,3,4), które reprezentują wypadkowe oddziaływania modułów napędowych na konstrukcję nośną. Na rysunku 4 przedstawiono rozkłady sił czynnych i biernych działających na poszczególne moduły napędowe oraz wypadkowe siły W i i momenty M i reprezentujące zaznaczone siły składowe.

Rys. 4. Rozkłady sił w poszczególnych modułach napędowych Każde z kół poddane jest działaniu siły czynnej (napędowej) F Ci (i=1,2...8), której źródłem jest moment napędowy działający na poszczególne koło oraz sił biernych, które reprezentowane są przez dwie składowe względem koła: wzdłużną T wi oraz poprzeczną T pi (i=1,2...8). Siły wypadkowe W i układów sił działających na poszczególne moduły można zapisać w postaci wektorowej jako: 1 2 W ( F T T ). (1) i1 ci wi pi 2 4 W ( F T T ). (2) i3 ci wi pi

3 6 W ( F T T ). (3) 4 i5 8 i7 ci wi pi W ( F T T ). (4) ci wi pi przy czym przyjęto, że wartości sił czynnych można określić w relacji do momentów M ni napędowych działających na poszczególne koło ze wzoru: F M r ni ci (5) gdzie r oznacza promień koła, w rozważanym przypadku jednakowy dla wszystkich kół. Na rysunku 5 przedstawiono siły działające na każde z kół w ujęciu trójwymiarowym, gdzie pokazano obok opisanych sił czynnych i biernych także reakcję podłoża N i równą składowej siły nacisku całego obiektu na podłoże. Rys. 5. Rozkłady sił w poszczególnych modułach napędowych Siły bierne (oporu) są w literaturze opisywane różnymi zależnościami. W niniejszej pracy przyjęto do opisu tych sił zależność: T( v) Nsign( v) vv (6) gdzie wartość siły oporu tarcia T(v) zależna jest od składowej zależnej od nacisku i współczynnika µ tarcia spoczynkowego oraz tarcia proporcjonalnego do prędkości ruchu v ze współczynnikiem µ v tarcia wiskotycznego. Wykorzystując tę zależność można dla małych prędkości (zaniedbujemy drugi człon) zapisać w odniesieniu do każdego z kół:

T T N sign( v ). (7) wi w i w N sign( v ). (8) pi p i p gdzie µ w i µ p oznaczają odpowiednio współczynniki tarcia spoczynkowego w kierunku wzdłużnym i poprzecznym. W odniesieniu do przyjętego modelu oraz uwzględniając siły działające na platformę można opisać jej ruch jako bryły sztywnej następującymi równaniami wektorowymi opisującymi ruch postępowy środka masy: 4 ma W i (9) i1 oraz ruch obrotowy wokół środka masy: 4 4 dk s W M. (10) i i i dt i1 i1 gdzie m jest masą całkowitą platformy mobilnej, a przyspieszeniem bezwzględnym w układzie globalnym a K oznacza wektor momentu pędu (krętu) w układzie globalnym oraz wektory s i oznaczają położenia punktów A, B, C, D przyłożenia sił wypadkowych. Przyjmując założenie, że w czasie ruchu obiektu na płaskiej płaszczyźnie równoległej do płaszczyzny XY globalnego układu współrzędnych nie występują odrywania kół od podłoża można opis takiego ruchu platformy mobilnej sprowadzić do następującego układu równań ruchu płaskiego: mx my 4 4 i1 4 i1 W W I ( s W s W ) z ix iy iy ix i1 ix iy (11) gdzie: Natomiast kręt platformy w ruchu płaskim sprowadza się do wyrażenia: K I z (12) k (12)

Przy czym na podstawie zależności geometrycznych (rys. 3) można zapisać zależności: s1 ai bj (13) s2 ai - bj (14) s3 ai bj (15) s4 ai - bj (16) 4. PRZYKŁADOWE WYNIKI SYMULACJI RUCHU PLATFORMY Na podstawie przyjętych równań ruchu opracowano modele obliczeniowe, które umożliwiają symulację ruchu platformy dla różnych przypadków otrzymywanych trajektorii. W niniejszej pracy podano przykładowe wyniki takich symulacji ruchu mobilnego robota kołowego dla ruchu prostoliniowego. Występujące w równaniach współczynniki określające geometrię układu, masę i masowy moment bezwładności odpowiadają w rzeczywistości mobilnej platformie transportowej, którą wykonano i eksploatowano, prowadząc badania doświadczalne w Hochschule Ravensburg-Weingarten. W symulacji przyjęto następujące wartości współczynników: b=ak=al=bm=bn=co=cp=dq=dr=150mm, AI=BJ=CI=DJ=SE=SF=400mm a=ae=be=cf=df=si=sj=200mm, L 1=1200mm, L 2=800mm, r=75mm, h=95mm masa = 153.38 kg momenty bezwładności: (kg*metry 2 ) mierzone w wyjściowym układzie współrzędnych. Ixx = 9.57377 Ixy = -0.01801 Ixz = -0.00002 Iyx = -0.01801 Iyy = 22.95724 Iyz = 0.01537 Izx = -0.00002 Izy = 0.01537 Izz = 28.44924 Ruch po torze prostoliniowym Na podstawie modelu matematycznego opisanego w punkcie 3 i opracowanego modelu obliczeniowego wykonano symulację komputerową dla następujących warunków początkowych: - pozycja początkowa platformy X=-2m, Y=1.2m, - prędkości początkowe platformy są zerowe, - moment napędowy M n=1.125nm,

- współczynnik tarcia spoczynkowego μ=0.02. Na rysunku 6 przedstawiono w postaci wykresu wymuszenie, jakie zostało przyjęte podczas symulacji ruchu platformy. Przyjęto wymuszenie prostokątne o wartości równej momentowi napędowemu działającym przez 4 s. (od 1 do 5s). Rys. 6. Zmiana momentu napędzającego koło jezdne Na kolejnym rysunku (rys. 7) przedstawiono zmianę sił tarcia poszczególnych kół napędowych oraz siły czynnej wynikającej z przyjętego momentu napędzającego odpowiednie koła. Z rysunku wynika, że przyjęty moment napędowy jest wystarczający, aby pokonać siły tarcia, w wyniku czego powinien nastąpić ruch pojazdu. Wartości sił tarcia poszczególnych kół są sobie równe (linie na rysunku pokrywają się), które wynikają z przyjętego współczynnika tarcia i wywieranego nacisku na koła.

Rys. 7. Zmiana sił tarcia oraz siły czynnej (napędowej) Z kolei na rysunkach 8 i 9 przedstawiono, jak w czasie zmieniają się współrzędne położenia platformy w globalnym układzie współrzędnych. Przemieszczenie platformy rozpoczyna się w momencie, w którym siła czynna pochodząca od przyjętego momentu napędowego pokonuje siły tarcia. Włączenie napędu jak i jego wyłączenie można również zaobserwować na wykresie na podstawie prędkości lub przyśpieszenia ruchu platformy. Wyłączenie napędu nie powoduje od razu zatrzymania platformy, lecz rozpoczyna okres hamowania. W 11.63s. następuje całkowite zatrzymanie platformy. Na rysunku 9 można zaobserwować zmianę parametrów ruchu platformy względem osi Y w globalnym układzie współrzędnych. W wyniku przyjętych warunków początkowych (Y=1.2m) oraz charakteru przebiegu momentu napędowego na poszczególnych kołach ruch platformy względem osi Y nie zmienia się.

Rys. 8. Parametry ruchu środka masy platformy mobilnej wzdłuż osi X Rys. 9. Parametry ruchu środka masy platformy mobilnej wzdłuż osi Y Tor ruchu platformy mobilnej w globalnym układzie współrzędnych został przedstawiony na rysunku 10. Na rysunku tym obserwuje się ruch prostoliniowy platformy wzdłuż osi X. Całkowitą drogę jaką przejechał pojazd wynosi 3.19m. Oczywiste jest, że dla rozważanej konfiguracji napędu oraz warunków początkowych kąt obrotu platformy względem osi Z jest równy zeru.

5. PODSUMOWANIE Rys. 10. Trajektoria ruchu platformy mobilnej W pracy opisano innowacyjną platformę mobilną wyposażoną w cztery moduły napędowe wraz z opisem modelu dynamiki. Model matematyczny obejmuje sformułowanie i rozwiązanie zagadnienia prostego dynamiki z uwzględnieniem momentów napędowych. Na podstawie przyjętych momentów napędowych można przy użyciu przyjętego modelu obliczyć wszystkie niezbędne parametry ruchu platformy mobilnej. Zamieszczone w niniejszej pracy przykładowe wyniki symulacji ruchu platformy mobilnej mają przede wszystkim znaczenie testujące poprawność działania opracowanych modeli obliczeniowych. Opracowane modele obliczeniowe pozwalają realizować także inne przypadki ruchu platformy, przy zmianie zarówno parametrów geometrycznych i fizycznych jak również warunków początkowych oraz sposobu realizacji napędu, w tym przebiegów momentów napędowych. Rozważania zawarte w tej pracy będą stanowić podstawę do dalszych badań związanych z dynamiką i diagnostyką robotów mobilnych, dotyczących zwłaszcza opracowanej konstrukcji pojazdu transportowego.

Praca wykonana w ramach badań własnych BS-MN-1-101-304/12/P w Instytucie Mechaniki i Podstaw Konstrukcji Maszyn Politechniki Częstochowskiej. LITERATURA [1] ŻYLSKI W.: Kinematyka i dynamika mobilnych robotów kołowych, Oficyna Wydawnicza Politechniki Rzeszowskiej, 1996 [2] GIERGIEL M.J., HENDZEL Z., ŻYLSKI W.: Modelowanie i sterowanie mobilnych robotów kołowych, PWN, Lublin, 2002 [3] ZIEMNIAK, P., STANIA, M. and STETTER, R.: Mechatronics engineering on the example of an innovative production vehicle, In: Norell Bergendahl, M.; Grimheden, M.; Leifer, L.; Skogstad, P.; Lindemann, U.(Eds.): Proceedings of the 17th International Conference on Engineering Design (ICED'09), Vol. 1., 2009, pp 61 72, Engineering Design, Stanford, Design Society, 2009 [4] STANIA, M. i POSIADAŁA, B.: Kinematyka prototypowej konstrukcji pojazdu autonomicznego, Mechanik (12), 2011 [5] STANIA, M.: Mechatronics systems of autonomous transport vehicle, Solid State Phenomena, 2013, 198, pp. 96-103 [6] STANIA, M. i STETTER, R.: Mechatronics Engineering on the Example of a Multipurpose Mobile Robot, Solid State Phenomena, 147-149, 2009, pp 61-66 [7] R. SIEGWART, I. NOURBAKHSH.: Introduction to Autonomous Mobile Robots. Massachusetts Institute of Technology, 2004 [8] S. LAKKAD.: Modeling and simulation of steering systems for autonomous vehicles". The Florida State University, 2004 [9] GIERGIEL J., KURC L., GIERGIEL M.: Mechatroniczne projektowanie robotów inspekcyjnych, Oficyna Wydawnicza Politechniki Rzeszowskiej, Rzeszów 2010 [10]POSIADAŁA B.: Modelowanie i analiza zjawisk dynamicznych maszyn roboczych i ich elementów jako dyskretno-ciągłych układów mechanicznych, Wydawnictwo Politechniki Częstochowskiej, seria Monografie nr 61, Częstochowa 1999 [11] STANIA, M.: Analysis of the kinematics of an eight-wheeled mobile platform, Solid State Phenomena, Solid State Phenomena, 2013, 198, pp. 67-72 [12] STANIA, M. I STETTER, R.: Metodologia projektowania złożonych systemów mechatronicznych na przykładzie innowacyjnego pojazdu przemysłowego, Górnictwo odkrywkowe, 2010, pp. 255-260 [13] STANIA M., STETTER R., POSIADAŁA B.: Modelowanie kinematyki mobilnego robota transportowego, Zeszyty naukowe Instytutu Pojazdów, 4(85)/2011, 2011, pp.73-84 [14] STANIA, M., POSIADAŁA, B. I STETTER, R.: Komputerowe wspomaganie projektowania systemów mechatronicznych na przykładzie autonomicznego robota transportowego, Transport przemysłowy 2(8), 2010, pp. 86-92 [15] Stania, M., Stetter, R. i Ziemniak, P.: Intelligentes Steuerungssystem für autonome Fahrzeuge in Service- und Produktionsanwendungen, In: Bericht über die Tagung Mechatronik 2009 Komplexität beherrschen, Methoden und Lösungen aus der Praxis für die Praxi, Wissensforum Mechatronik. Heidelberg VDI, Mechatronik, 2009, pp. 101-108. [16] STETTER, R., PACZYNSKI, A., STANIA, M. I ZAJĄC, M.: Autonomes Fahrzeug mit innovativen, patentierten Lenksystem, In: ETG-Fachbericht Band 114: EMA 2008 Oktober 2008 in Aschaffenburg, EMA 2008 Elektromobilausstellung, 2008, pp. 69-76.