UNIWESRYTET EKONOMICZNY WE WROCŁAWIU HOSSA ProCAPITAL WYCENA OPCJI Sebastian Gajęcki WYDZIAŁ NAUK EKONOMICZNYCH
WPROWADZENIE Opcje są instrumentem pochonym, zatem takim, którego cena zależy o ceny instrumentu bazowego. Opcje posiaają własną cenę rynkową, która nie polega własnym cyklom i wahaniom, jest ona natomiast ściśle uzależniona o cen instrumentów bazowych. Po pojęciem wyceny opcji rozumie się nie tylko określenie jej wartości ale również określenie wartości pozycji (wartość ługiej pozycji posiaacza opcji). Wartość pozycji krótkiej (wystawcy opcji) jest ze znakiem ujemnym. Wartość opcji to przeważnie suma wóch skłaników: wartość opcji = wartość wewnętrzna opcji + wartość czasowa opcji Wartość wewnętrzna to suma pienięzy, którą można by otrzymać, gyby opcja została w anej chwili wykonana. Dla opcji call bęzie to cena instrumentu bazowego minus cena wykonania. Dla opcji put, cena wykonania minus cena instrumentu bazowego. Wartość czasowa to różnica mięzy wartością opcji a wartością wewnętrzną. Jeżeli wartość wewnętrzna wynosi 0, to jeyną skłaową wartości opcji jest jej wartość czasowa. Czynniki wpływające na wartość opcji: Cena wykonania, Cena instrumentu postawowego, Długość o terminu wygaśnięcia, Zmienność cen instrumentu postawowego, Stopa procentowa (wolna o ryzyka), Stopa ywieny (tylko w przypaku opcji na akcje i opcji na ineksy akcji) lub stopa procentowa w kraju obcej waluty (w przypaku opcji walutowych) PARYTET PUT CALL Jest to zależność pomięzy opcjami kupna i sprzeaży. Zależność ta jest ścisła, ponieważ obie opcje uzależnione są o zmiany ceny instrumentu bazowego. Została opracowana la opcji europejskich przez H. Stolla i ma postać: rt c p S Xe, gzie: c premia opcji zakupowej (call), p premia opcji sprzeażowej (put), S cena instrumentu bazowego, X cena wykonania opcji, r stopa bez ryzyka, t czas o wykonania opcji. Powyższa zależność może być stosowana w ientyfikacji strategii arbitrażowej, jenak nie można uowonić la opcji amerykańskiej, ponieważ opcja amerykańska może być wykonana prze rzeczywistym terminem jej wykonania, co za tym izie możliwości arbitrażu nie są pewne. Zasaa put call parity jest barzo praktyczna ze wzglęu na jej prostotę. Pozwala w krótkim czasie określić ceny przeciwstawnych opcji. Obserwując zawarte transakcje np.: na opcję kupna, możemy bez problemu wyznaczyć cenę opcji sprzeaży. Działania muszą być okonywane szybko, gyż otyczą tej samej wartości instrumentu bazowego.
Przykła Cena akcji wynosi 40 zł. Na tą akcję zostały wystawione wie opcje: call i put. Cena wykonania obu opcji wynosi 38 zł, a termin wykonania 3 miesiące. Cena opcji call wynosi 3, zł. Stopa wolna o ryzyka wynosi 0%, zatem: p 3, 38 e 0, 0,5 40 0,6 MODEL DWUMIANOWY Jest to jeen z wóch najpopularniejszych moeli. Założenie tego moelu opiera się na tym iż, kształtowanie ceny na opcje nie wynika z czynników spekulacyjnych. Zatem stosowanie źwigni finansowej w celu maksymalizacji zysków nie wpływa na cenę. Można zatem stwierzić, że ceny opcji są pochoną zachowań inwestorów, którzy stosują awersję o ryzyka, chcąc się w ten sposób zabezpieczyć prze niekorzystnymi zmianami cen posiaanych już instrumentów rynku kasowego. Rozwiązanie problemu ceny opcji łączy się ze zmianami ceny instrumentu bazowego. W tym celu parę instrumentów: kasowy i opcję można tak obrać, że zmiana ceny jenego z instrumentów spowouje przeciwstawny ruch rugiego. Tak tworzony portfel inwestycyjny jest mniej wrażliwy na zmieniające się ceny rynku. Co za tym izie łączna rentowność anego portfela powinna opowiaać istniejącej na rynku stopie bez ryzyka. Polityka inwestorów stosujących takie poejście wygląa w sposób następujący: właściciel anych instrumentów zabezpiecza się opcjami tak, by koszty (lub przychoy) niwelowały zyski (straty) na wahaniach cen instrumentu bazowego, portfel zapewnia stałą stopę zwrotu. Zaanie inwestora sprowaza się o obrania opowieniej ilości opcji i co najważniejsze stworzenia opowienich par instrumentów rynku zapewniających rentowność. WKP WPP WKWs WPWs WWO WPO R WKP wartość końcowa portfela WPP wartość początkowa portfela WKWs wartość końcowa walorów spot WPWs wartość początkowa walorów spot WWO wartość wykonania opcji WPO wartość początkowa opcji R - rentowność Mechanizm ziała w ten sposób, ze inwestor na początku ponosi wyatek na kupno instrumentu bazowego pomniejszony o wpływ ze sprzeaży opcji kupna. Na końcu okresu wartość portfela może zostać pomniejszona o wyatki wynikające z wykonania opcji. Znając wartość początkową walorów spot i rentowność, która powinna być utrzymana przez cały czas można wyznaczyć liczbę opcji oraz ich cenę. Proceura postępowania jest następująca: Określamy cenę na koniec ługiego okresu, na który skłaa się ciąg okresów jenostkowych, Wyznaczamy różnicę rozpiętości mięzy cenami akcji i opcji,
Przykła: Określamy ceny opcji we wszystkich gałęziach rzewka akcji, opowiaających początkowi ostatniego okresu jenostkowego, Powyższe kroki wykonujemy o początku posuwając się wstecz po gałęziach rzewka akcji. Akcja o aktualnej cenie: 90 zł Cena wykonania europejskiej opcji kupna: zł Rynkowa stopa zwrotu: 0% Przewiywania, że cena akcji na koniec okresu może przyjąć wie wartości: wzrost o 40% (6 zł) lub spaek o 0% (8 zł). Wykonanie opcji może obyć się tylko po tych wóch cenach. Zatem, gy akcja osiągnie 8 zł, opcja ma zerową wartość, przy wyższej cenie opcja jest tyle warta ile jej wartość wewnętrzna, czyli przychó przy jej wykonaniu: 6 zł zł = 5 zł Obie wartości otyczą końca okresu. Ile zatem wynosi cena opcji na jej początku? Posłużmy się schematem: Początek okresu: Koniec okresu: Cena opcji wykonania = 5zł Cena kasowa = 6 zł Cena opcji =? Cena kasowa = 90 zł Cena opcji wykonania = 0 zł Cena kasowa = 8 zł Aby opowiezieć na wyżej postawione pytanie musimy wiezieć, ile opcji kupna powinniśmy sprzeać, aby uzyskać efekt neutralizacji zmiany ceny. Uzyskamy to porównując rozpiętość cen instrumentów kasowych i spot na koniec okresu. Jest to zatem różnica pomięzy skrajnymi wariantami cen instrumentów bazowych i wariantów cen opcji. Instrumenty bazowe: Opcje: 6 zł 8 zł = 45 zł 5 zł 0 zł = 5 zł Liczba opcji to iloraz obu rozpiętości: 45 zł / 5 zł = 3 Kolejnym krokiem jest przeanalizowanie tego co bęzie się ziało w momencie wykonania opcji. Ponownie rozważamy wa warianty: la ceny akcji 6 zł i 8zł. Dla pierwszego przypaku posiaacze opcji zainkasują 3 x 5 zł, zatem wartość portfela bęzie wynosić:
6 zł 45 zł = 8 zł Dla rugiego przypaku wartość opcji bęzie równa 0. Wartość portfela zatem również bęzie warta 8 zł. Możemy teraz wyliczyć cenę opcji w momencie jej kupna. 0, 90 8 3 COK Cena opcji kupna (COK) równa się: 5,45 zł Tę samą metoę można zastosować la moelu wu i więcej okresowego. Zakłaając, że w kolejnym okresie ceny mogą spaść także o 0% i wzrosnąć o 40%. Na początku rugiego okresu musimy rozważać już wa przypaki cen spot: 6 zł i 8 zł. Istotę tej i następnych operacji jest metoa poruszania się wstecz. W tym przypaku bęą to wa kroki w tył. W rozważanym przypaku zaczynamy o cen jakie mogą zaistnieć na koniec rugiego okresu: W przypaku wzrostu o 40% bęzie to cena 76,4 zł, natomiast gy cena spanie o 0% bęzie to kwota rzęu 7,9 zł. Początek okresu: Drugi okres: Końcowy okres: Cena opcji wykonania = 65,4 zł Cena spot = 76,4 zł Cena opcji =? Cena kasowa = 6 zł Cena opcji =? Cena opcji wykonania =,4 Cena spot = 90 zł Cena kasowa = 3,4 zł Cena opcji = 0 zł Cena kasowa = 8 zł Cena opcji wykonania = 0 Cena kasowa = 7,9 zł Jak przestawia wykres na koniec rugiego okresu możliwe są trzy wartości kasowe: 76,4 zł, 3,4 zł, 7,9 zł. Ze wzglęu na to, że rugi okres ma potencjalnie wa punkty startu: 6 zł i 8 zł, la każego z tych punktów cena bęzie inna. Ze wzglęu na to, że cena wykonania opcji wynosi zł to w momencie osiągnięcia ceny 7,9 zł przez instrument bazowy, wartość wewnętrzna wynosi 0. Pozostają nam o rozważenia przypaki gy cena osiągnie pułap 76,4 zł i 3,4 zł. Startujemy z punktu gy cena wynosi: 6 zł. Powtarzamy tu czynności analogicznie jak w moelu jenookresowym: 76,4 zł 3,4 zł = 63 zł 65,4 zł,4 zł = 63 zł Jak wiać liczba opcji równa się. Zatem sprawzamy co się stanie w momencie wykonania opcji. 76,4 zł 63 zł = 3,4 zł
3,4 zł 63 zł = 50,4 zł Wartość opcji w momencie zakupu la 6 zł wartości kasowej powinna wynosić: 0, 3,4 6 COK Wracając o schematu w węźle 6 zł na miejsce znaku zapytania można wstawić cenę:,90 zł. Mając tą cenę możemy wrócić o początku okresu, jakbyśmy mieli moel jenookresowy. Brakuje nam ponownie ceny opcji. Ponownie powtarzamy operacje. Obliczamy rozpiętości cen spot i cen opcji. Dzieląc rozpiętości otrzymujemy liczbę opcji, która równa się,96. Postawiając o naszego wzoru: 0, 90 8.96 COK Otrzymujemy cenę: 8,34 zł. MODEL BLACKA - SCHOLESA Moel ten opiera się na próbie wyceny opcji, stosując funkcje o charakterze ciągłym. Jest to jena z najpopularniejszych formuł wyceny opcji. Fisher Black i Myron Scholes przyjęli w swoim moelu wa postawowe z matematycznego punktu wizenia, założenia:. zmiany rentowności cen akcji są losowe i ają się opisać funkcją gęstości rozkłau normalnego prawopoobieństwa,. jenostkowe zmiany wartości akcji są nieskończenie małe i następują w nieskończenie krótkich okresach. Przy konstrukcji tego moelu początkowo niezbęne stały się także pewne założenia ekonomicznie upraszczające: papiery wartościowe są oskonale pozielne, poatki i koszty transakcyjne są pomijane, w okresie ważności opcji instrumenty bazowe anego kontraktu nie ostarczają zysku w postaci ywien, arbitraż pozbawiony ryzyka nie istnieje, obrót papierami wartościowymi okonywany jest w sposób ciągły, uczestniczy rynku pożyczają i inwestują śroki weług tej samej stopy procentowej wolnej o ryzyka, stopa procentowa wolna o ryzyka jest krótkoterminowa i stała. Ten schemat rozumowania jest analogiczny o tego jaki leży u postaw moelu wumianowego. Celem jest utworzenie portfela inwestycyjnego wolnego o ryzyka. Można zatem wywnioskować, że w krótkim przeziale czasu istnieje oatnia korelacja mięzy ceną opcji kupna i ceną akcji i analogicznie ujemna mięzy ceną opcji sprzeaży, a ceną akcji. Wartość analizowanego portfela na koniec krótkiego okresu jest znana. Załóżmy, że w anym punkcie czasu zależność pomięzy małą zmianą ceny akcji s i zmianą ceny europejskiej opcji c ma następującą postać: c 0, 3 s
Aby portfel inwestycyjny był pozbawiony ryzyka w tym przypaku musiałby skłaać się z: 0,3 akcji w pozycji ługiej, jenej opcji kupna w pozycji krótkiej. Należy pamiętać, że otyczy to cały czas pewnego krótkiego okresu momentu w którym nabywamy opcje zabezpieczające. Oznacza to, że w anym punkcie czasowym stopa zwrotu tego portfela jest równa wolnej o ryzyka stopie procentowej. Dla europejskich opcji kupna i sprzeaży cena opcji na akcje spółek nie wypłacających ywieny przestawia się w następujący sposób: la opcji kupna (call) cena c określona jest wzorem: c rt SN( ) Xe N( ) Dla opcji sprzeaży (put) p: p Xe rt ( N( )) SN( ) gzie: ln S X r ( t ) t t, gzie: S bieżąca cena akcji, X cena wykonania, r stopa procentowa wolna o ryzyka, t czas pozostający o wygaśnięcia opcji, - zmienność ceny akcji (ochylenie stanarowe). Wartości N( ), N( ) znajują się w przeziale 0- z racji tego iż oznaczają wielkość prawopoobieństwa. Zmienna losowa jest tzw. zmienną stanaryzowaną, a jej wartość jenostkową stanowi ochylenie stanarowe zmiennej pierwotnej.