Wycena opcji indeksowych na danych wysokiej częstotliwości. Analiza porównawcza

Autoreferat rozprawy doktorskiej Wycena opcji indeksowych na danych wysokiej częstotliwości. Analiza porównawcza Paweł Sakowski Uniwersytet Warszawski, Wydział Nauk Ekonomicznych. 2 czerwca 2011 r. Streszczenie Przedmiotem niniejszej rozprawy jest analiza własności modeli wyceny opcji indeksowych typu europejskiego przy wykorzystaniu danych o wysokiej częstotliwości. Wśród rozpatrywanych narzędzi znajdują się modele Blacka (1976) z alternatywnymi oszacowaniami parametru zmienności, modele klasy GARCH (Bollerslev 1986, Duan 1995) oraz model zmienności stochastycznej Hestona (1993). Badanie empiryczne przeprowadzono na 5-minutowych cenach transakcyjnych opcji i notowaniach kontraktów futures na indeksy giełdowe na trzech rynkach opcji indeksowych: polskim, japońskim i brazylijskim. Wnioski końcowe odnoszą się do wskazania najlepszego modelu wyceny opcji oraz stwierdzenia ewentualnego występowania zależności między przeciętnym błędem wyceny a rodzajem modelu wyceny, charakterystyką wycenianej opcji (określonej przez rodzaj opcji, wartość współczynnika moneyness oraz długość okresu zapadalności), etapem cyklu giełdowego (okresy bessy/hossy oraz niskiej/wysokiej zmienności) oraz cechami danego rynku (związanymi z jego płynnością oraz stopniem rozwoju). 1 Wstęp Problem prawidłowej wyceny teoretycznej instrumentów pochodnych, w tym opcji, ma fundamentalne znaczenie dla prawidłowego funkcjonowania rynków finansowych. Zagadnienie to obecne jest zarówno w literaturze akademickiej, jak i wśród praktyków giełdowych od wielu lat wraz z ukazaniem się prac Blacka i Scholesa (1973), Mertona (1973) oraz Blacka (1976) dotyczących teoretycznego modelu wyceny opcji typu europejskiego. W kolejnych dekadach zaproponowano wiele alternatywnych narzędzi wyceny opcji, 1

w których w mniejszym bądź większym stopniu zrezygnowano z restrykcyjnych założeń modelu Blacka-Scholesa-Mertona (BSM). Do najpopularniejszych z nich należą modele zmienności stochastycznej oraz modele klasy GARCH. Mimo swoich wielu niedoskonałości, model BSM pozostaje jednak w dalszym ciągu najpopularniejszym modelem wyceny opcji. 1.1 Cel badania Niniejsza rozprawa została poświęcona próbie kompleksowej analizy porównawczej trafności wycen opcji indeksowych skonstruowanych na podstawie trzech grup modeli dla danych wysokiej częstotliwości. Znalazły się wśród nich modele Blacka (1976) z alternatywnymi oszacowaniami parametru zmienności, modele klasy GARCH (Engle 1982, Bollerslev 1986) oraz model zmienności stochastycznej Hestona (1993). Narzędzia te różnią się przede wszystkich założeniami metodologicznymi odnośnie traktowania zmienności cen instrumentu bazowego, która ma kluczowe znaczenie procesie wyceny opcji. Badanie empiryczne przeprowadzono na 5-minutowych cenach transakcyjnych opcji i notowaniach kontraktów futures na indeksy giełdowe na trzech rynkach opcji indeksowych: polskim, japońskim i brazylijskim. Rynki te cechuje odmienna charakterystyka instytucjonalna oraz różny poziom płynności, co pozwala na analizę odporności metod wyceny w różnym otoczeniu rynkowym. Najważniejsze wnioski końcowe odnoszą się do wskazania najlepszego modelu wyceny opcji oraz do stwierdzenia ewentualnego występowania zależności między przeciętnymi błędami wyceny a rodzajem modelu wyceny, charakterystyką wycenianej opcji (określonej przez rodzaj opcji, wartość współczynnika moneyness 1 oraz długość okresu zapadalności), etapem cyklu giełdowego (okresy bessy/hossy oraz niskiej/wysokiej zmienności) oraz cechami danego rynku związanymi z jego płynnością oraz stopniem rozwoju. 1.2 Motywacja Formuła wyceny opcji w modelu Blacka (a także w modelu BSM) umożliwia m. in. zastosowanie wielu alternatywnych metod szacowania parametru zmienności σ. Rodzi to oczywiście pytanie która z tym metod jest najwłaściwszą miarą zmienności rynkowej. Dotyczy to zarówno samej konstrukcji miary, jak i częstotliwości obserwacji danych na podstawie których ma ona być oszacowana. Wydaje się, że wykorzystanie danych wysokiej częstotliwości może przyczynić się do uwzględnienia większej ilości informacji o dynamice cen instrumentu bazowego. Dane takie są obecnie dostępne w co raz większym stopniu, a współczesne narzędzia pozwalają na ich względnie bezproblemową obróbkę. Model Blacka (oraz BSM) charakteryzuje się względną prostotą i łatwością w praktycznym zastosowaniu. Wydaje się, że ciekawym wyzwaniem badawczym jest udzielenie odpowiedzi na pytanie czy stosowanie bardziej skomplikowanych i czasochłonnych modeli 1 Współczynnik moneyness jest zdefiniowany jako iloraz ceny terminowej instrumentu bazowego (indeksu giełdowego) oraz ceny rozliczenia opcji. 2

wyceny opcji przekłada się na wyceny teoretyczne bardziej zbliżone do rynkowych cen opcji. W literaturze dotyczącej polskiego rynku finansowego brakuje jak dotąd badania, które w kompleksowy sposób dokonałoby porównania szerszej grupy modeli wyceny opcji oszacowanych przy wykorzystaniu danych wysokiej częstotliwości, przy jednoczesnym odniesieniu uzyskanych wyników do rynków opcyjnych o innym stopniu rozwoju. Niniejsza rozprawa stawia sobie za zadanie wypełnienie tej luki. 1.3 Hipotezy badawcze oraz wartość dodana pracy Główną hipotezą badawczą rozprawy jest przypuszczenie, że najbardziej efektywnym modelem wyceny opcji jest model Blacka, w którym parametr σ oszacowano na podstawie zmienności implikowanej. Hipoteza ta oparta jest na przesłankach intuicyjnych, ale znajduje także oparcie w literaturze, gdzie możemy znaleźć wiele badań, które jako najlepszy model do wyceny opcji wskazują właśnie model BSM ze zmiennością implikowaną (Raj i Thurston 1998, Ferreira i inni 2005, Mixon 2009). Wyniki tych badań wskazują jednocześnie na to, że zmienność implikowana jest najbardziej precyzyjną miarą zmienności rynkowej. W moim zamierzeniu rozprawa niniejsza ma zawierać kilka elementów do tej pory nieobecnych lub rzadko poruszanych w badaniach dotyczących wyceny opcji na polskim rynku finansowym. Pierwsza grupa korzyści ma charakter poznawczy: Badanie stanowi kompleksowe porównanie trzech grup popularnych modeli wyceny opcji, tj. modelu Blacka z alternatywnymi oszacowaniami parametru zmienności, modeli klasy GARCH oraz modelu zmienności stochastycznej Hestona, poprzez ich bezpośrednie porównanie w różnych warunkach wyceny. Wyniki udzielają odpowiedzi na pytanie, które do tej pory rzadko było poruszane w literaturze dotyczącej polskiego rynku opcyjnego: czy w porównaniu do danych dziennych modele wyceny opcji oparte danych wysokiej częstotliwości przyczyniają się do uzyskania wycen bardziej zbliżonych do cen rynkowych opcji? Porównanie międzyrynkowe umożliwia odpowiedź na pytanie czy płynność danego rynku opcyjnego oraz stopień jego rozwoju może być dodatkowym czynnikiem wpływającym na efektywność modeli wyceny opcji. W przypadku rynku opcji na indeks WIG20, relatywnie długi okres badania pozwala wyodrębnić zarówno trendy wzrostowe, jak i spadkowe indeksu, ale także umożliwia zbadanie zachowania modeli wyceny w okresach wysokiej i niskiej zmienności. Badanie daje także odpowiedź na pytanie o zasadność stosowania złożonych, skomplikowanych oraz bardziej czasochłonnych w praktycznym zastosowaniu modeli klasy GARCH oraz zmienności stochastycznej w miejsce prostszego, choć opartego na 3

silniejszych i często nierealistycznych założeniach, modelu Blacka (oraz tym samym modelu BSM). Drugą grupę korzyści stanowią zastosowane w badaniu empirycznym rozwiązania o charakterze metodologicznym: Zastosowanie danych wysokiej częstotliwości umożliwiło zastosowanie w modelu Blacka relatywnie szerokiej gamy miar zmienności, które w porównaniu do danych dziennych potrafią dostarczyć dodatkowych informacji o dynamice rynku. Oprócz zmienności historycznej i implikowanej w analizie uwzględniono także zmienność zrealizowaną oraz estymatory zrealizowanego zakresu zmian, Garmana-Klassa i Rogersa-Satchella. Przeprowadzono analizę odporności miar zmienności zastosowanych w modelu Blacka oraz uzyskanych wyników na zmiany szerokości interwału i wartości parametru uśredniania n. Duża liczba wycen teoretycznych (ponad 430 tys. dla rynku polskiego i ponad 450 tys. dla rynku japońskiego) zwraca uwagę na występowanie wśród błędów wycen opcji wartości nietypowych (ang. outliers). W przypadku badań, w których wycena odbywa się na jeden moment w czasie taka analiza nie jest możliwa a co więcej, wyniki uzyskane w ten sposób są narażone na ryzyko wystąpienia takich wartości. Wycena opcji odbywa się na podstawie cen terminowych indeksu (tj. cen kontraktów futures wystawionych na indeks) a nie w oparciu o notowania samego indeksu. Podejście takie jest możliwe dzięki wygasaniu opcji w tym samym terminie co odpowiadających im serii kontraktów futures. Umożliwia to ominięcie problemu związanego z założeniem modelu BSM odnośnie ciągłego charakteru dywidendy wypłacanej przez instrument bazowy. 2 Modele wykorzystane w badaniu Wśród rozpatrywanych narzędzi znajdują się modele Blacka (1976) z alternatywnymi oszacowaniami parametru zmienności, modele klasy GARCH (Bollerslev 1986, Duan 1995) oraz model zmienności stochastycznej Hestona (1993). 2.1 Model Blacka oraz zastosowane miary zmienności Do pierwszej grupy wykorzystanych narzędzi należą modele Blacka (1976), w których do oszacowania stałego w czasie parametru zmienności zastosowano sześć alternatywnych miar: zmienność historyczną (HV), zmienność zrealizowaną (RV), zrealizowany zakres zmian (RR, ang. realized range), estymatory Garmana-Klassa (GK) i Rogersa-Satchella (RS) oraz zmienność implikowaną (IV). 4

Model Blacka jest rozszerzeniem modelu Blacka-Scholesa-Mertona (BSM) pozwalającym na wycenę opcji wystawionych na kontrakt futures. W badaniu empirycznym potraktowano go jednak jako model równoważny modelowi BSM z uwagi na fakt, iż terminy wygaśnięcia wszystkich analizowanych serii opcji pokrywały się z terminami wygaśnięcia odpowiednich serii kontraktów futures. W takich warunkach wyceny cenę teoretyczną opcji wystawionej na kontrakt futures na instrument bazowy możemy traktować jako równoważną cenie teoretycznej opcji wystawionej bezpośrednio na rozpatrywany instrument bazowy (Hull 2008). Zasadniczą korzyścią z takiego podejścia jest możliwość uniknięcia obciążenia w modelu BSM wynikającego z nierealistycznego założenia o ciągłym charakterze dywidendy wypłacanej przez instrument bazowy. Wybór właściwej miary zmienności nie jest oczywisty, z uwagi na nieobserwowalność zmienności oraz jej zmienność w czasie i tendencję do tworzenia skupisk (grupowanie się zmienności). Szacowanie parametru zmienności przeprowadzono dla czterech szerokości interwału obserwacji (5, 10, 15 i 30 minut) 2 oraz dziewięciu wartości parametru n (0, 1, 2, 3, 5, 10, 21, 42 i 63 dni), który określa stopień uśredniania zmienności w procesie jej szacowania. Podejście takie pozwala odpowiedzieć na pytanie o optymalne wartości parametrów i n. Poniżej przedstawiono podstawowe informacje na temat konstrukcji miar zmienności wykorzystanych w modelach Blacka. Zmienność historyczna (HV) została oszacowana jako odchylenie standardowe dziennych zwrotów kontraktów futures w okresie ostatnich n = 63 dni handlowych. Zmienność zrealizowaną (RV) określono jako sumę ostatnich N zwrotów śróddziennych, gdzie N jest liczbą zwrotów śróddziennych w ciągu jednego dnia handlowego. Zrealizowany zakres zmian (RR) oparty jest na różnicy między maksymalną a minimalną ceną terminową indeksu dla danego interwału o szerokości. Estymator Garmana-Klassa (GK) wykorzystuje dodatkowo informacje na temat ceny otwarcia i zamknięcia dla danego interwału o szerokości. Estymator Rogersa-Satchella (RS) oparty jest na tych samych informacjach co estymator GK, lecz jego nieco odmienna konstrukcja zapewnia, iż pozostaje on estymatorem nieobciążonym niezależnie od występowania dryfu w szeregu cen. Zmienność implikowana (IV) została określona na podstawie modelu Blacka w oparciu o ostatnią obserwowaną cenę transakcyjną opcji. 2 Dość powszechnie w literaturze z ekonometrii finansowej akceptowany jest pogląd, że agregacja danych wysokiej częstotliwości do przedziałów o długości od = 5 min. do = 30 min. jest rozsądnym kompromisem między chęcią uniknięcia obciążenia wynikającego z tzw. mikrostruktury rynku (microstructure bias) i zniekształceń wynikających z braku synchronizacji transakcji z kwotowaniami (nonsynchronous bias). 5

Szczegóły konstrukcji powyższych miar wraz z formułami matematycznymi przedstawiono w punktach 2.2 oraz 2.3 rozprawy. Przed zastosowaniem w modelu Blacka, wszystkie miary zmienności zostały zannualizowane. 2.2 Modele klasy GARCH Drugą grupę stanowią modele klasy GARCH, w których zmienność cen instrumentu bazowego jest szacowana za pomocą zmiennej w czasie funkcji warunkowej wariancji. Uwzględniono wśród nich trzy modele: standardowy model GARCH (Bollerslev 1986), model GARCHt (Bollerslev 1987), w którym warunkowym rozkładem reszt jest rozkład t-studenta oraz model wykładniczy EGARCH (Nelson 1991), który uwzględnia asymetryczną reakcję funkcji warunkowej wariancji na informacje napływające na rynek. Wybór tych trzech modeli umożliwia ocenę wpływu na wycenę opcji uwzględnienia dwóch ważnych stylizowanych faktów dotyczących dynamiki stóp zwrotu instrumentu bazowego, tj. leptokurtycznego charakteru rozkładu zwrotów oraz ujemnej korelacji między zmiennością a wielkością zwrotu (efektu dźwigni). Wycenę opcji w oparciu o tę klasę modeli przeprowadzono na podstawie metodologii Duana (1995). W podejściu takim, w pierwszym etapie, dla każdego 5-minutowego interwału oszacowano parametry modeli przy założeniu, że dynamika stóp zwrotu i warunkowej wariancji określona jest względem fizycznej miary prawdopodobieństwa P. Drugi etap obejmował oszacowanie wartości oczekiwanych zdyskontowanych wypłat opcji (które stanowią jednocześnie teoretyczną cenę opcji) dla następnego interwału w oparciu o symulacje Monte-Carlo, których dokonywano na podstawie równań opisujących dynamikę stóp zwrotu i warunkowej wariancji względem miary martyngałowej Q. 2.3 Model zmienności stochastycznej Hestona Trzecią grupę reprezentuje model zmienności stochastycznej Hestona (1993), w którym, w odróżnieniu od modelu Blacka, zmienność jest traktowana jako realizacja pewnego procesu stochastycznego. Zakłada się dodatkowo, że proces ten może być skorelowany z procesem opisującym dynamikę cen instrumentu bazowego. Zasadniczą zaletą modelu Hestona (w porównaniu z modelem BSM) jest możliwość zastosowania różnych rozkładów zwrotów (w tym skośnych i leptokurtycznych) i uwzględnienia różnych powierzchni zmienności implikowanej zwrotów oraz efektu grupowania zmienności. Kalibrację parametrów równań modelu Hestona przeprowadzono za pomocą metod optymalizacji globalnej i lokalnej (gradientowej) w oparciu o ceny transakcyjne opcji kupna dla 1-godzinnego interwału. Następnie, oszacowania tych parametrów zostały wykorzystane do określenia cen teoretycznych opcji kupna i sprzedaży dla kolejnego interwału 1-godzinnego. 6

3 Dane Badanie empiryczne przeprowadzono na 5-minutowych cenach transakcyjnych opcji i notowaniach kontraktów futures na indeksy giełdowe na trzech rynkach opcji indeksowych: polskim (opcje na indeks WIG 20), japońskim (opcje na indeks NIKKEI 225) oraz brazylijskim (opcje na indeks BOVESPA). Dane obejmują okres 23/9/2003-19/8/2010 dla rynku polskiego oraz 1/1/2008-30/6/2008 dla rynków japońskiego i brazylijskiego. Wybrane do analizy rynki opcyjne różnią się między sobą istotnie pod względem rozwoju i oferowanej płynności, co pozwala także uwzględnić w analizie ten czynnik jako potencjalne źródło obciążenia modeli wyceny. Zastosowanie danych wysokiej częstotliwości opiera się na przypuszczeniach, że w odróżnieniu od notowań dziennych, mogą one dostarczyć dodatkowych informacji dotyczących zachowania rynku w trakcie sesji, szczególnie w okresach o wysokiej zmienności. Wysoka częstotliwość danych pozwala na uwzględnienie szerszej gamy miar zmienności natomiast kilkuletni horyzont czasowy obejmujący zarówno wzrosty, jak i spadki indeksów umożliwia badanie okresów o wysokiej i niskiej zmienności rynków. Uzyskany w ten sposób relatywnie duży zbiór z cenami transakcyjnymi daje możliwość porównania rozpatrywanych modeli w różnych warunkach wyceny. Główne badanie poprzedzono analizą płynności rozpatrywanych rynków. Liczba transakcji opcyjnych na polskim rynku była ok. dziesięciokrotnie niższa niż na rynku japońskim i jednocześnie ok. dziesięciokrotnie wyższa niż na rynku brazylijskim 3. Rozkład obrotów (zarówno wolumenu, jak i jego wartości) okazał się jednak podobny na wszystkich trzech rynkach. Zdecydowanie większy obrót zaobserwowano wśród opcji OTM i ATM 4, na których koncentrują się głównie inwestorzy spekulacyjni, zaś niższe obroty związane są z opcjami ITM i mocno ITM, które są popularne przeważnie wśród dużych inwestorów instytucjonalnych. 4 Wyniki oraz wnioski końcowe Wyniki przedstawiono uwzględniając podział opcji ze względu na ich rodzaj (opcje kupna i sprzedaży), wartość współczynnika moneyness (5 klas opcji) oraz długość terminu do wygaśnięcia (także 5 klas). Ocenę efektywności rozpatrywanych modeli wyceny przeprowadzono poprzez bezpośrednie porównanie teoretycznych cen opcji uzyskanych w tych modelach z cenami transakcyjnymi opcji za pomocą statystyk błędów ex-post. Porównań takich dokonano dla każdego 5-minutowego interwału. Do określenia błędu wyceny wykorzystano głównie medianowy bezwzględny błąd procentowy (MdAPE) oraz wskaźnik przeszacowań cen transakcyjnych. 3 Proporcje takie uzyskano dla okresu 1/1/2008-30/6/2008. 4 OTM (ang. out-of-the-money) opcja poza ceną, ATM (ang. at-the-money) opcja po cenie, ITM (ang. in-the-money) opcja w cenie. 7

Ranking modeli Wyniki badania empirycznego wskazują na istotne różnice między przeciętnymi błędami wycen teoretycznych wśród analizowanych modeli. Kolejność modeli, od najlepszego do najgorszego, zależy jednak w pewnym stopniu od cech rynku i poziomu zmienności instrumentu bazowego. Na ranking taki nie wpływają natomiast istotnie takie czynniki jak charakterystyka opcji (rodzaj opcji, wartość współczynnika moneyness, okres do wygaśnięcia) oraz podział na okresy bessy i hossy. Zgodnie z przypuszczeniami, najlepszym modelem okazał się model Blacka, w którym parametr zmienności σ został oszacowany na podstawie zmienności implikowanej (BIV). Model ten uzyskał najniższe przeciętne błędy wyceny na trzech rynkach, w większości analizowanych klas opcji. Wynik taki sugeruje, że zmienność implikowana jest najbardziej precyzyjną miarą zmienności cen instrumentu bazowego, zaś wyceny modelu BIV mogą stanowić punkt odniesienia dla nowych koncepcji wycen teoretycznych opcji. Za drugi najlepszy model można uznać model zmienności stochastycznej Hestona. Jego wyniki są jednak dość silnie zróżnicowane w zależności od dwóch czynników. Pierwszym z nich jest stopień rozwoju rynku i ilość oferowanych na nim opcji z różnymi terminami do wygaśnięcia. Najniższe przeciętne błędy wyceny zaobserwowano na rynku japońskim, gdzie w procesie kalibracji tego modelu wykorzystano opcje z sześcioma różnymi terminami zapadalności, najwyższe zaś na rynku polskim, gdzie dostępne są opcje z dwoma terminami do wygaśnięcia. Drugim czynnikiem jest poziom zmienności. Dla rynku polskiego model Hestona uzyskał znacznie lepsze rezultaty w okresie wysokiej zmienności. Należy podkreślić także fakt, iż stosowanie modelu Hestona w praktyce jest bardziej problematyczne niż w przypadku modelu Blacka. Istotnym wyzwaniem dla badacza jest jego prawidłowa kalibracja, głównie z uwagi na skomplikowany charakter algorytmów optymalizacyjnych oraz długi czas ich działania. Na dalszych miejscach znalazły się podobnie zachowujące się model Blacka ze zmiennością historyczną oszacowaną na podstawie dziennych stóp zwrotu z ostatnich 63 dni (BHV) oraz model Blacka ze zmiennością zrealizowaną dla interwału 5-minutowego i uśrednioną w okresie także ostatnich 63 dni (BRV5m 63). Porównywalne wyniki modeli BHV i BRV5m 63 związane są ze zbliżonymi przebiegami oszacowanych szeregów zmienności historycznej i uśrednionej zrealizowanej. Nieco gorszy rezultat osiągnął model Blacka ze zmiennością zrealizowaną oszacowaną bez procesu uśredniania (BRV5m). Przypuszczalną przyczyną okazała się dość wysoka wahliwość zmienności zrealizowanej (ang. volatility of volatility) oszacowanej dla danych o 5-minutowym interwale obserwacji. Słabiej od oczekiwań wypadły zaś modele klasy GARCH. Mimo, iż potrafią one uwzględnić wiele stylizowanych faktów dotyczących dynamiki stóp zwrotu i ich zmienności, to ich przeciętne błędy wyceny są wyższe w porównaniu z modelem Blacka ze zmiennością historyczną (BHV). Po drugie, modele te zachowują się między sobą do pewnego stopnia podobnie i trudno jest uznać ich własności uwzględniające leptokurtyczny charakter zwrotów (model GARCHt-M) czy asymetryczną reakcję funkcji warunkowej 8

wariancji (model EGARCH-M) za czynnik istotnie wpływający na jakość teoretycznych wycen opcji. W praktycznym zastosowaniu modele te są także dość problematyczne. Wiele kłopotów może sprawić proces estymacji parametrów, zaś uzyskane oceny są często niestabilne i często wrażliwe na obecne w danych wysokiej częstotliwości skoki stóp zwrotu. Mogą także nie spełniać warunku stacjonarności funkcji warunkowej wariancji. Problemy estymacyjne nasilają się w okresach wysokiej zmienności i, co ważne, nie da się ich ominąć w prosty sposób poprzez stosowanie alternatywnych algorytmów maksymalizujących funkcję wiarygodności. Ranking modeli zamykają modele Blacka z estymatorami zrealizowanego zakresu zmian (BRR5m 63), Garmana-Klassa (BGK5m 63) oraz Rogersa-Satchella (BRS5m 63), oszacowanymi dla interwału 5-minutowego i uśrednionymi w okresie ostatnich 63 dni. Modelom tym możemy przypisać zdecydowanie najwyższe przeciętne błędy wyceny, choć należy przyznać, że w niektórych klasach analizowanych opcji błędy te nie różniły się znacząco od błędów modelu najlepszego. Wydaje się, że główną przyczyną słabej jakości wycen są istotnie niższe poziomy zmienności oszacowanej przez estymatory RR, GK i RS w porównaniu do zmienności historycznej i zrealizowanej (dla tych samych szerokości interwału obserwacji oraz wartości parametru uśredniania n). Powyższy ranking modeli został potwierdzony przez statystyki częstości najlepszych wycen w pojedynczym interwale czasowym. Statystyki te do pewnego stopnia różnią się w zależności od wartości współczynnika moneyness, okresu zapadalności i rodzaju opcji (kupna/sprzedaży), choć w dalszym ciągu modelem uzyskującym wycenę teoretyczną najbardziej zbliżoną do ceny rynkowej opcji jest najczęściej model Blacka ze zmiennością zrealizowaną (BIV). Zależność przeciętnych błędów od charakterystyk opcji Wykorzystana w prezentacji wyników klasyfikacja opcji pozwala na łatwą identyfikację potencjalnych zależności między wielkością błędów a wartościami współczynnika moneyness, długością okresu do wygaśnięcia opcji oraz rodzajem opcji. W istocie, na wszystkich trzech rozpatrywanych rynkach obserwujemy silny spadek przeciętnych błędów wyceny wraz ze wzrostem współczynnika moneyness dla opcji kupna i wraz z jego spadkiem dla opcji sprzedaży. Najwyższe przeciętne błędy obserwujemy wśród opcji mocno OTM, najniższe zaś wśród opcji mocno ITM. Efekt taki związany jest zapewne z faktem, iż największą aktywność na rynku opcji o niskich wartościach (mocno OTM, OTM, ATM oraz opcje z krótkimi terminami do wygaśnięcia) przejawiają przede wszystkim inwestorzy spekulacyjni, natomiast główną grupą graczy na rynku opcji o wysokich wartościach (ITM, mocno ITM oraz opcje z długimi terminami zapadalności) są w większości inwestorzy instytucjonalni, którzy mając dostęp do szerszego zbioru informacji i odpowiednich narzędzi, mogą dokonywać bardziej precyzyjnych wycen opcji. Wśród opcji mocno OTM możemy także zauważyć największe zróżnicowanie błędów między modelami, natomiast dla opcji mocno ITM wybór modelu ma relatywnie mniejsze znaczenie (szczególnie dla krótkich terminów do wygaśnięcia, gdzie dla większości modeli 9

błędy są niekiedy niższe niż 0,1% wartości rynkowej opcji). Na rynku polskim i japońskim zaobserwowano także istotną zależność między wielkością przeciętnego błędu wyceny a czasem pozostającym do wygaśnięcia opcji. Dla opcji mocno OTM i OTM wyższe błędy odnotowujemy dla opcji z krótkimi okresami zapadalności. Odwrotny efekt da się zaobserwować wśród opcji ITM oraz mocno ITM, gdzie przeciętne błędy dla krótkich okresów do wygaśnięcia są zdecydowanie niższe. Efekt ten nie jest natomiast widoczny na rynku brazylijskim. Należy także zauważyć, że w porównaniu z efektem współczynnika moneyness, okres zapadalności opcji jest mniej istotnym czynnikiem różnicującym zarówno modele, jak i klasy opcji pod względem przeciętnego błędu wyceny. W zdecydowanej większości przypadków wnioski dla opcji sprzedaży są takie same jak dla opcji kupna. Rodzaj opcji nie jest zatem czynnikiem, który w istotny sposób różnicuje ceny transakcyjne opcji pod względem przeciętnych błędów wycen. Zasadność stosowania danych wysokiej częstotliwości Odpowiedź na pytanie o zasadność stosowania danych wysokiej częstotliwości nie jest niestety jednoznaczna i zależy od stosowanego modelu oraz od płynności rynku opcyjnego. Z jednej strony zmieniając szerokość interwału obserwacji najniższe błędy uzyskano dla interwału 5-minutowego, najwyższe zaś dla 30-minutowego. Stosując dane wysokiej częstotliwości uzyskujemy także możliwość zastosowania większej liczby miar zmienności, także w wersji uśrednionej. Z drugiej zaś strony, owe dodatkowe miary okazały się być mniej dokładnymi metodami szacowania zmienności rynkowej w porównaniu ze zmiennością implikowaną (przynajmniej z punktu widzenia jakości teoretycznych wycen opcji). Co ważniejsze, w przypadku danych wysokiej częstotliwości trudniejszy staje się proces estymacji parametrów modeli klasy GARCH. Uzyskane oceny parametry są niestabilne w czasie, zdarza się także, że nie spełniają one założeń odnośnie stacjonarności funkcji warunkowej wariancji w tych modelach. Wydaje się, że prawdopodobną przyczyną tych problemów są wysokie wartości zwrotów na otwarciu sesji (ang. opening jumps) oraz fakt, że wraz ze zmniejszaniem szerokości interwału obserwacji kurtoza rozkładów zwrotów istotnie wrasta. Zaobserwowano także, że powyższe problemy nasilają się w okresie wysokiej zmienności (dla rynku polskiego). Efekt zmiany parametru uśredniania oszacowań zmienności W badaniu empirycznym uwzględniono także koncepcję uśredniania uzyskanych szeregów oszacowań zmienności rynkowej (Ślepaczuk i Zakrzewski 2009). Podejście takie pozwala zwiększyć efektywność miar zmienności przy jednoczesnym wykorzystaniu informacji ukrytych w danych wysokiej częstotliwości. Dla większości analizowanych miar zmienności w modelu Blacka oszacowanych na podstawie danych z 5-minutowych interwałem obserwacji, najniższe przeciętne błędy wyceny uzyskano dla parametru uśredniania równego ostatnim 63 dniom handlowym. Z drugiej strony, wyniki dla modelu Blacka z es- 10

tymatorami RR, GK i RS okazały się istotnie gorsze od modelu Blacka ze zmiennością implikowaną. Wpływ etapów cyklu giełdowego Relatywnie długi okres badania dla rynku polskiego pozwolił na wyodrębnienie okresów bessy i hossy oraz niskiej i wysokiej zmienności rynku. W przypadku pierwszego podziału nie zaobserwowano istotnych różnic między uzyskanymi wynikami. Natomiast w drugim przypadku są one już zauważalne. Z jednej strony możemy zauważyć istotną poprawę wyników dla modelu Hestona oraz w mniejszym stopniu wśród opcji mocno OTM, OTM i ATM dla pozostałych modeli, z wyjątkiem modeli klasy GARCH. Dla tych ostatnich w okresie wysokiej zmienności zwrotów instrumentu bazowego nasilają się problemy natury ekonometrycznej: oceny parametrów są niestabilne, często nie spełniają warunków zapewniających stacjonarność funkcji warunkowej wariancji a algorytmy maksymalizujące funkcję wiarygodności mają problemy z osiągnięciem zbieżności. Różnice między rynkami Uwzględnienie w analizie trzech istotnie różniących się rynków pozwala także zauważyć, że stopień rozwoju rynku opcyjnego oraz jego płynność do pewnego stopnia mają wpływ na efektywność rozpatrywanych modeli wyceny. Najbardziej jest to widoczne w przypadku modelu Hestona, który na rynku japońskim okazał się tylko nieznacznie gorszy od modelu Blacka ze zmiennością implikowaną a w niektórych klasach był nawet modelem najlepszym. Z drugiej strony, ten sam model na polskim rynku opcyjnym charakteryzował się największymi błędami wyceny (z wyjątkiem okresu o wysokiej zmienności rynku). Na rozwiniętych rynkach opcyjnych spotykamy opcje o szerszym zakresie terminów zapadalności, co ma duże znaczenie dla procesu kalibracji modelu Hestona. Konsekwencją niższej płynności rynku brazylijskiego są z kolei nieco wyższe błędy modelu BIV w porównaniu do dwóch pozostałych rynków. Za prawdopodobną przyczynę można uznać duże przerwy między kolejnymi transakcjami opcyjnymi oraz występowanie tzw. efektu braku synchronizacji parametrów (ang. nonsynchronous bias), czyli sytuację, w której do obliczenia zmienności implikowanej relatywnie często wykorzystywane są ceny transakcyjne mocno odległe od momentu wyceny. Zasadność stosowania skomplikowanych modeli wyceny Powyższe wyniki oraz wnioski skłaniają także do postawienia pytania o zasadność stosowania bardziej skomplikowanych modeli wyceny opcji w miejsce modelu Blacka (względnie modelu BSM). Mimo swoich niedoskonałości model BSM oraz jego modyfikacje wymagają o wiele mniejszych nakładów w praktycznej implementacji. Szacowanie zmienności implikowanej w modelu Blacka (oraz BSM) opiera się co prawda także na technikach numerycznych, ale z praktycznego punktu widzenia jest to proces zdecydowanie łatwiejszy niż kalibracja modelu Hestona czy estymacja parametrów w modelu GARCH. W przy- 11

padku tych ostatnich stosowane jest podejście symulacyjne, które jest czasochłonne, zaś uzyskane na ich podstawie rezultaty są często wrażliwe na wybór konkretnych algorytmów estymacyjnych i optymalizacyjnych. Biorąc pod uwagę uzyskane wyniki, można jednak wysnuć przypuszczenie, że w przypadku modelu Hestona trud ten może się opłacić. Warunkiem jest kalibracja oparta na cenach transakcyjnych opcji z możliwie wieloma różnymi terminami zapadalności. To z kolei jest możliwe na najbardziej rozwiniętych rynkach opcyjnych oferujących inwestorom wysoką płynność. Z drugiej strony, trudno jest znaleźć przesłanki za tym, aby uznać modele klasy GARCH oparte na metodologii Duana (1995) za bardziej atrakcyjne w porównaniu z modelem Blacka ze zmiennością implikowaną. Wydaje się jednak, że rozszerzenie tego podejścia o możliwość uwzględnienia skoków zarówno wśród zwrotów instrumentu bazowego, jak i w korelacji między zwrotami a zmiennością (Duan i inni 2006, Duan i inni 2007) czy też kalibracja modelu GARCH w oparciu o ceny rynkowe opcji (Barone-Adesi i inni 2008) mogą w znacznym stopniu korzystnie wpłynąć na jakość uzyskiwanych wycen przez modele klasy GARCH. Wpływ nietypowych wartości błędów Na koniec warto jeszcze podkreślić znaczenie problemu występowania błędów wycen o nietypowo wysokich wartościach. Błędy takie pojawiają się relatywnie częściej w przypadku danych o wysokiej częstotliwości obserwacji. Ich wartości niekiedy są na tyle wysokie, że nawet przy względnie niskiej liczebności w stosunku do całkowitej liczby wycen teoretycznych w danej klasie opcji, średnia wartość błędu może być w istotny sposób zawyżona. W konsekwencji, rozkłady błędów wycen charakteryzują się wysoką wartością współczynnika asymetrii. Aby uniknąć arbitralnego rozwiązania polegającego na usunięciu problematycznych obserwacji (najczęściej cen transakcyjnych opcji o niskiej wartości, tj. opcji mocno OTM z krótkim terminem wygaśnięcia), jako miarę przeciętnego błędu w miejsce wartości średniej zastosowano medianę rozkładu. Literatura Barone-Adesi G., Engle R. F. i Mancini L. (2008). A GARCH option pricing model with filtered historical simulation. Review of Financial Studies, 21(3):1223 1258. Black F. (1976). The pricing of commodity contracts. Journal of Financial Economics, 3:167 179. Black F. i Scholes M. (1973). The pricing of options and corporate liabilities. Journal of Political Economy, 81(3):637 654. Bollerslev T. (1986). Generalized autoregressive conditional heteroskedasticity. Journal of Econometrics, 31(3):307 327. Bollerslev T. (1987). A conditionally heteroskedastic time series model for speculative prices and rates of return. The Review of Economics and Statistics, 69(3):542 547. 12

Duan J.-C. (1995). The GARCH option pricing model. Mathematical Finance, 5(1):13 32. Duan J.-C., Ritchken P. i Sun Z. (2006). Approximating GARCH-Jump models, Jump-Diffusion processes, and option pricing. Mathematical Finance, 16(1):21 52. Duan J.-C., Ritchken P. i Sun Z. (2007). Jump-starting GARCH: Pricing and hedging options with jumps in returns and volatilities. Working Paper 07/35, Risk Management Institute. Engle R. F. (1982). Autoregressive conditional heteroscedasticity with estimates of the variance of United Kingdom inflation. Econometrica, 50(4):987 1007. Ferreira E., Gago M., León A. i Rubio G. (2005). An empirical comparison of the performance of alternative option pricing models. Investigaciones Economicas, 29(3):483 523. Heston S. L. (1993). A closed-form solution for options with stochastic volatility with applications to bond and currency options. Review of Financial Studies, 6(2):327 343. Hull J. C. (2008). Options, Futures & Other Derivatives. Prentice Hall, 7 edition. Merton R. C. (1973). Theory of rational option pricing. The Bell Journal of Economics and Management Science, 4(1):141 183. Mixon S. (2009). Option markets and implied volatility: Past versus present. Journal of Financial Economics, 94(2):171 191. Nelson D. B. (1991). Conditional heteroskedasticity in asset returns: A new approach. Econometrica, 59(2):347 370. Raj M. i Thurston D. C. (1998). Transactions data examination of the effectiveness of the Black model for pricing options on Nikkei index futures. Journal of Financial and Strategic Decisions, 11(1):37 45. Ślepaczuk R. i Zakrzewski G. (2009). Emerging versus developed volatility indices. the comparison of VIW20 and VIX indices. Working Paper 11/2009 (21), University of Warsaw, Faculty of Economic Sciences. 13