WIELOKRYTEIALNY MODEL WIELKOŚCI ZAMÓWIENIA W KOPALNI WĘGLA KAMIENNEGO

ZESZYTY NAUKOWE POLITECHNIKI ŚLĄSKIEJ Seria: Organizacja i Zarządzanie z. XX XXXX Nr kol. XXXX KATARZYNA JAKOWSKA-SUWALSKA ADAM SOJDA MACIEJ WOLNY Politechnika Śląka, Wydział Organizacji i Zarządzania, Intytut Ekonomii i Informatyki WIELOKRYTEIALNY MODEL WIELKOŚCI ZAMÓWIENIA W KOPALNI WĘGLA KAMIENNEGO Strezczenie. W pracy przedtawiono wielokryterialny model wielkości zamówienia. Przyjęto, że wielkość zużycia materiału jet zmienną loową o znanym rozkładzie prawdopodobieńtwa. W modelu przyjęto dwa kryteria, pierwze to minimalizacja wielkości zamówienia, drugie to minimalizacja prawdopodobieńtwa braku materiału w proceie produkcyjnym. Rozważono różne pooby kalaryzacji i pokazano na przykładzie wyznaczenie wielkości zamówienia kleju poliuretanowego zużywanego w trakcie robót przygotowawczych w kopalni. MULTICRITERIAL MODELS OF INVENTORY CONTROL Summary. In thi paper creation way of multicriterial model of inventory control in the paper decribed.. Wprowadzenie W teorii terowania zapaami wytępuje wiele modeli, które pozwalają utalić politykę utalania zapaów i wyznaczania wielkości zamówienia. W więkzości modeli jako kryterium oceny rozwiązań używa ię funkcji koztów zamawiania i utrzymania zapaów). W pracach [ ], [])przedtawiono wielokryterialne modele na podtawie, których można wyznaczyć wielkości: - zamówienia,

K.Jakowka-Suwalka, A.Sojda, M. Wolny - terminu zamówienia, - wielkości zapaów magazynowych. Jako funkcji kalaryzujacej użyto funkcji koztów związanych z wielkością zamówienia, zapaów magazynowych oraz braku materiału do produkcji. W kopalniach węgla kamiennego wchodzących w kład Kompanii Węglowej S.A. wielkość zamówienia podlegającego utawie o zamówieniach publicznych planuje ię około roku wcześniej. Związane jet to z czaem utalenia planów zakupów dla wzytkich kopalni oraz z czaem potępowania przetargowego. Zatem wielkość zamówienia materiału dla kopalni należy wyznaczyć jednorazowo na podtawie planów kopalni na natępny rok. W pracy zajęto ię problemem wyznaczania wielkości zamówienia na natępny rok. Do rozwiązania tego problemu zaproponowano wielokryterialny model wielkości zamówienia dla materiałów, których zużycie a więc także zapotrzebowanie jet zmienną loową o znanym rozkładzie prawdopodobieńtwa.. Kontrukcja wielokryterialnego modelu wielkości zamówienia Niech T będzie jednotką dla której badane jet zużycie materiału trakcie robót przygotowawczych. Przyjmijmy, że X jet zmienną loową oznaczającą wielkość zużycia rozpatrywanego materiału o znanej dytrybuancie F. Oznaczmy przez wielkość zamówienia. Zgodnie z teoria zapaów należy zamówić taką dotawę materiału, aby z jak najwiękzym prawdopodobieńtwem pokryła na popyt na ten materiał. Z drugiej trony zamrożony w magazynie materiał zwiękza kozty przediębiortwa. Należy więc zamawiać taką ilość materiału aby prawdopodobieńtwo pokrycia popytu było jak najwiękze, natomiat kozty zakupu były jak najmniejze. Ponieważ kozty zakupu zależą od wielkości zakupu tąd należy minimalizować wielkość zakupu. Jako funkcje kryteria przyjmiemy więc: - minimalizację wielkości zamówienia, - minimalizację prawdopodobieńtwa braku materiału do wykonania robót przygotowawczych. Model ten można zapiać w potaci: min F ) ma 0 Przyjmijmy oznaczenie f) F); -). W celu wyznaczenia rozwiązań efektywnych wielokryterialnego problemu najczęściej wprowadza ię kalaryzację zagadnienia. W przypadku rozważanego modelu będzie ona miała potać

Wielokryterialny model wielkości zamówienia 3 ma u, f )) : Q) u U gdzie u jet wektorem parametrów terujących a : U Y R to funkcja kalaryzująca. Wektor parametrów terujących powinien być utalany przez decydenta. W pracy przyjęto dwa pooby kalaryzacji: f )) F ) oraz u, f )) u F ) u, u, u 0, u + u Rozważać więc będziemy dwa odrębne modele: min F ) Q ) u F ) u ma, Q, u, u 0, u + u ) W zależności od potaci rozkładu zmiennej X modele te będą miały różną potać ograniczeń Q... Modele wielkości zamówienia dla rozkładu normalnego Przyjmijmy, że wielkość zużycia materiału w jednotce T jet zmienną loową o rozkładzie normalnym z parametrami: wartością oczekiwaną m oraz odchyleniem tandardowym. Na ryunkach i. pokazano kztałt funkcji celu zagadnienia ) dla parametrów rozkładu m 5, oraz m 5, 0. Ry.. Kztałt funkcji Fig.. Form of function F) F) dla parametrów m 5,. with parameter m 5,.

4 K.Jakowka-Suwalka, A.Sojda, M. Wolny Z potaci funkcji celu Ry.. Kztałt funkcji Fig.. Form of function F) F) F) dla parametrów m 5,. with parameter m 5,. wynika, że przyjmuje ona wartość minimalną w punkcie 0 przy ograniczeniu 0. Należy więc określić w zagadnieniu wartość p minimalnego prawdopodobieńtwa pokrycia zapotrzebowania. Zatem zagadnienie ) przyjmie potać Potać funkcji F) min F ) F ) p, 0.) zależy od wielkości odchylenia tandardowego. Jak widać w przypadku gdy funkcja celu jet tale niemalejąca ma potać jak na ryunku.) to rozwiązaniem optymalnym zagadnienia.) jet wartość dla, której powyżzym przypadku toowanie funkcji celu jet bezenowne. F) F ) p. Wynika tąd, że w do znalezienia wielkości zamówienia

Wielokryterialny model wielkości zamówienia 5... Analiza właności funkcji F, ) m Lemat. Niech zmienna Z ma tandardowy rozkład normalny N0;) z dytrybuanta F oraz funkcją gętości f. Funkcja g ) jet funkcją ronącą dla 0. F ) ' Dowód. Wykażemy, że g ) > 0 a więc, że G ) F ) f ) > 0. ' Mamy G ) e > 0dla > 0. Ponieważ G 0) F 0) 0, 5 oraz G jet funkcją π ronącą dla > 0 zatem funkcja g ) jet ronąca dla 0 F ) Z nierówności G ) F ) f ) > 0 dla 0 wynika, że >. f ) Funkcja F ) przyjmuje wartość minimalną w punkcie 0. f ) F 0) 0,5 Oznaczmy SK,53344. f 0) π Twierdzenie. Niech zmienna X ma rozkład normalny N m; ) z dytrybuantą F m ) oraz funkcją gętości f m ). Jeśli, ronącą dla 0., Dowód. Niech 0. Funkcja F ) f ) > 0. Ze związków : f F ) f m SK funkcja g ) jet funkcją F ) g ) jet ronąca gdy F ) m ), m ) F ) m m Wynika, że F ) f ) F ) f ). Podtawiając m F z) m z otrzymujemy F ) f ) f z) z ). f z) m Ponieważ pełniona jet nierówność F ) f ) > 0 co dowodzi, że funkcja SK g m ) jet ronąca,

6 K.Jakowka-Suwalka, A.Sojda, M. Wolny Na ryunku 3. Przedtawiono wartości rozwiązań optymalnych zagadnienia.)- opt przy utalonej wartości m 5 przy zmieniających ię wartościach. Ry.3. Wartości rozwiązań optymalnych przy zmieniających ię wielkościach. Fig.3. Value of optimal olution at largene changing. Rozważymy teraz model ). Aby prowadzić wartości do potaci porównywalnej z F) należy zatoować jej unitaryzację. Wykorzytana zotanie do tego reguła min u, 0. 3) ma min Ponieważ w modelu zakładamy, że 0 to min 0. Z reguły 3 przyjmiemy ma m+3. Stąd, 0. m + 3 u Na ryunkach 4,5 i 6. pokazano kztałt funkcji celu zagadnienia ) dla parametrów rozkładu m 5, 5 przy różnych wartościach parametrów terujących u,u. Ry.4. Kztałt funkcji Fig.4. Form of function u ) u ) F u dla parametrów u 0,, u 0, 8. F u with parameter,, u 0, 8 u. 0

Wielokryterialny model wielkości zamówienia 7 Ry.5. Kztałt funkcji Fig.5. Form of function u ) u ) F u dla parametrów u 0,5, u 0, 5. F u with parameter,5, u 0, 5 u. 0 Ry.6. Kztałt funkcji Fig.6. Form of function u ) u ) F u dla parametrów u 0,99, u 0, 0. F u with parameter,99, u 0, 0 u. 0 Ponieważ funkcja wartości : u ) F u jak widać z ryunków może mieć różny kztałt należy zadać p minimalnego prawdopodobieńtwa pokrycia zapotrzebowania, p upper makymalnego prawdopodobieńtwa pokrycia zapotrzebowania. Zagadnienie ) przyjmie potać u F ) u u ma, pupper F ) p, u, u 0, u + u.) Gdy oznaczymy potać u U oraz P { 0 : pupper F ) p } model.) przyjmie m + 3 u F P ) U ma,,.)

8 K.Jakowka-Suwalka, A.Sojda, M. Wolny Jeśli funkcja celu jet ronąca to jej wartość makymalna jet przyjmowana w punkcie upper, dla którego F ) p, W przypadku gdy funkcja celu jet malejąca to jej wartość upper makymalna jet przyjmowana w punkcie, dla którego F ) p. Funkcja celu h) u ) F U jet ronąca w zbiorze P jeśli h ) u f ) U > 0. u m Stąd f ) U > 0. Zatem funkcja celu jet ronąca gdy f m U m U ) > P natomiat gdy f ) < P. u u Przyjmijmy oznaczenia: R R Mamy: min f ma f m ), f m ), f upper m )), upper m ), f 0)). U. Jeżeli R > to funkcja celu h) jet ronąca w całym obzarze P i u rozwiązaniem optymalnym zagadnienia.) jet punkt F ), U. Jeżeli R < to funkcja celu h) jet malejąca w całym obzarze P i u upper rozwiązaniem optymalnym zagadnienia.) jet punkt F ). Z powyżzych rozważań wynika, że rozwiązanie optymalne zagadnienia.) zależy od wielkości parametru terującego u oraz wartości p p upper zadawanych przez decydenta. Przy rozwiązywaniu problemu wielkości zamówienia za pomocą modelu.) należy polecić metodę interaktywną. Spoób znalezienia rozwiązania przedtawiono na poniżzym chemat

Wielokryterialny model wielkości zamówienia 9 Moduł decydenta Podać wartości p, p upper NIE F Czy warunek ) F upper jet akceptowany przez decydenta ), TAK Moduł decydenta Podać wartość u Podać decydentowi rozwiązanie optymalne zagadnienia.) Czy rozwiązanie jet akceptowane przez decydenta NIE TAK Koniec Koniec Ry.7. Schemat interaktywnej metody wyznaczania preferencji decydenta. Fig.7. Scheme of method of appointment of preference of interactive deciion-maker... Modele wielkości zamówienia dla rozkładu wykładniczego Przyjmijmy, że wielkość zużycia materiału w jednotce T jet zmienną loową o rozkładzie wykładniczym z wartością oczekiwaną m.

0 K.Jakowka-Suwalka, A.Sojda, M. Wolny Dytrybuanta rozkładu ma potać F ) e m Zatem funkcja celu zagadnienia ) jet funkcją ronącą i minimum przyjmuje w punkcie 0. Stąd wynika, że toowanie jej do rozwiązywania problemu optymalnej wielkości zamówienia nie ma enu. Na ryunku 7. pokazano kztałt funkcji celu zagadnienia ) dla wartości oczekiwanej m 5oraz parametrów terujących u u 0,5 i unitaryzacji za pomocą wzoru 3). Ry.7. Kztałt funkcji Fig.7. Form of function u ) u ) F u dla parametrów m 5, u u 0,5. F u with parameter m 5, u u 0,5. Zagadnienie ) w przypadku rozkładu wykładniczego będzie mieć potać u F ) u u ma, 0, u, u 0, u + u.3).3. Modele wielkości zamówienia dla rozkładu jednotajnego w przedziale [a, b] W przypadku rozkładu jednotajnego w przedziale [a,b] funkcja celu modelu ) ma b a) potać, > a i jet funkcją nieronącą na całym przedziale [a, b], a więc wartość a minimalną równą b przyjmuje w punkcie b. Funkcja celu modelu ) jet funkcją liniową ronącą. Zatem w powyżzym przypadku żaden z modeli ) i ) nie nadaje ię do wyznaczania optymalnej wielkości zamówienia. Jako wielkość

Wielokryterialny model wielkości zamówienia a + b zamówienia można przyjąć wartość oczekiwaną m, która pokrywa wielkość zapotrzebowania z prawdopodobieńtwem. Można także wyznaczyć wartość gdy decydent uważa, że prawdopodobieńtwo pokrycia zapotrzebowania powinno wynoić p. Wartość zamówienia wynoić wtedy będzie p b-a)+a. 3. wyz wielkości zamówienia 4. Podumowanie LITERATURA. Batta R. 988) Single Server Queueing-Location Model with Rejection. Tranportation Science.09-6).. Batta R., Laron R. C. ; Odoni A. R. 988) A ingle-erver priority queueing-location model. A ingle-erver priority queueing-location model. Network 8. 87-03). 3. Batta R.989) The tochatic queue median over a finite dicrete et. Operation reearch 37.648-65). 4. Batta R. Praad S. Y. 993) Determining efficient facility location on a tree network operating a a FIFO M/G/ queue. Network 3.597-603). 5. Batta R., Berman O. 989) A location model for a facility operating a an M/G/k queue A location model for a facility operating a an M/G/k queue, Network 9.77-78). 6. Berman O., Laron R., Chiu S.S. 985) Optimal Server Location on a Network Operating a an M/G/ Queue. Operation Reearch 33. S. 46-7). 7. Berman O., Laron R.C., Parkan C. 985) The tochatic queue p-median problem. Tranportation Science.07-6). 8. Brandeau M. L., Chiu S.S. 990) A unified family of ingle-erver queueing location model. Operation Reearch 38.034-044)

K.Jakowka-Suwalka, A.Sojda, M. Wolny 9. Brotcorne L.,Laporte G., Semet F. 003) Ambulance location and relocation model. European Journal of Operational Reearch, 47.45-463) 0. Chiu S.S., Berman O., Laron R.C. 985) Locating a mobile erver queueing facility on a tree network. Management Science 3.764-76). Coullard C.R.,Dakin M.S., Shen Z.J. 00) An Inventory Location Model: Formulation, Solution Algoritm and Computational Reult. Annal of Operation Reearch 0..83-06).. Coullard C.R., Dakin M.S., Shen Z.J. 003) A Joint Location- Inventory Model. Tranportation Sciene 37)..40-55).. Czachórki T.999) Modele kolejkowe w ocenie efektywności ieci i ytemów komputerowych. Wydawnictwo Pracowni Komputerowej Jacka Skalmierkiego w Gliwicach. 3. Dakin M.S. 00) A New Approach to Solving the Verte p-center Problem to Optimality: Algoritm and Computational Reult. Communication of the Operation Reearch Society of Japan 45.48-436). 4. Jakowka-Suwalka K. 006a) Zagadnienie lokalizacji ytemów maowej obługi z wieloma klaami klientów. Badania operacyjne i ytemowe. Wiedza ytemowa dla rozwoju regionów i przediębiortw w Polce pod red. J. Stachowicza, A. Strazaka, S. Walukiewicza. Akademicka Oficyna Wydawnicza Eit. Warzawa..95-0). 5. Jakowka-Suwalka K. 006b) Zagadnienie lokalizacji ytemów maowej obługi. Modelowanie preferencji a ryzyko 06, Praca zbiorowa pod redakcją naukową Tadeuza Trzakalika. Wydawnictwo Akademii Ekonomicznej.. 5-34). 6. Jakowka-Suwalka K. Zagadnienie lokalizacji obiektów modelowanych jako ytemy G/G/ z różnymi klaami klientów. Modelowanie preferencji a ryzyko 09, Praca zbiorowa pod redakcją naukową Tadeuza Trzakalika. Wydawnictwo Akademii Ekonomicznej. w druku). 7. Mamnoon J., Baveja A., Batta R. 999) The tochatic queue center problem. Computer and Operation Reearch. 6.43-436). 8. Marianov V., ReVelle C.S. 996) The queueing maimal availability location problem. A model for iting of emergency vehicle. European Journal of Operational Reearch 93.-0). 9. Marianov V., ReVelle C.S. 003) Location model for airline hub behaving a M/D/c queue. Computer and Operation Reearch 30.983-003). 0. Marianov V., ReVelle C. 004) Location Allocation of Multiple-Server Service Center with Contrained Queue or Waiting Time. Annal of Operation Reearch.35-50).

Wielokryterialny model wielkości zamówienia 3. Marianow V.,Mizumori M., ReVelle Ch. 009) The heuritic concentration-integer and it application to a cla of location problem. Computer and Operation Reearch 36 406-4).. Laron R. C. 974) A hypercube queuing model for facility location and reditrincting in urban emergency ervice. Computer and Operation Reearch.6-95). 3. Reier M., Kobayahi H. 974) Accuracy of the Diffuion Approimation for Some Queueing Sytem. IBM Journal of Re. Develop. 8.0-4). 4. Roing K.E., ReVelle Ch.S. 996) Heuritic concentration: two tage olution contruction. European Journal of Operational Reearch 97.75-86). Recenzent: Wpłynęło do Redakcji <data> Abtract