Politechnika Warszawska Wydział Inżynierii Lądowej Instytut Inżynierii Budowlanej

Politechnika Warszawska Wydział Inżynierii Lądowej Instytut Inżynierii Budowlanej Zakład Wytrzymałości Materiałów, Teorii Sprężystości i Plastyczności Imię i nazwisko dyplomanta: Łukasz Kowalewski Rodzaj studiów: Stacjonarne I stopnia Specjalność: Konstrukcje Budowlane i Inżynierskie TEMAT PRACY DYPLOMOWEJ INŻYNIERSKIEJ: MODELOWANIE MES ELEMENTÓW KONSTRUKCJI MUROWYCH W ZŁOŻONYCH STANACH NAPRĘŻENIA Promotor: dr inż. Marcin Gajewski Data przyjęcia pracy dyplomowej: Ocena pracy dyplomowej:...... (podpis promotora) (podpis kierownika jednostki) Warszawa, 04

Streszczenie Temat pracy inżynierskiej: Modelowanie MES elementów konstrukcji murowych w złożonych stanach naprężenia Słowa kluczowe: metoda elementów skończonych, konstrukcje murowe, modelowanie heterogeniczne, właściwości efektywne, elementy kohezyjne. Streszczenie: W pracy przedstawiono podejście w modelowaniu heterogenicznym konstrukcji murowych z wykorzystaniem elementów kohezyjnych, opisanych wbudowanymi w programie Abaqus relacjami konstytutywnymi. Wykorzystując nieliniowy model MES dokonano próby określenia efektywnych właściwości sprężystych muru oraz oszacowania parametrów plastyczności na podstawie numerycznych testów bazujących na badaniach laboratoryjnych z literatury. Oceniono zakres przydatności, ograniczenia oraz możliwości rozwinięcia zaprezentowanego modelu. (podpis promotora) (podpis dyplomanta)...... Promotor(imię i nazwisko) Dyplomant(imię i nazwisko) i

Abstract Subject of thesis: FEM modeling of masonry structures under biaxial stresses Keywords: finite element method, masonry structures, micro-modeling, effective properties, cohesive elements Abstract: This thesis shows an approach in micro-modeling of masonry structures with the use of cohesive elements and Abaqus built-in constitutive material descriptions. Using a non-linear FEM model the numerical tests, based on laboratory experiments, were carried out, and an attempt was made to specify the elastic and plastic effective properties of masonry. The application fields, limits and possibilities of development of presented model were evaluated. (supervisor s signature) (student s signature)...... Supervisor(name and surname) Student(name and surname) iii

Spis treści Spis treści v Wprowadzenie Modelowanie konstrukcji murowych 3. Strategiemodelowaniakonstrukcjimurowych... 4.. Ryshistoryczny... 4.. Strategiemodelowania... 4. Zjawiskoosłabieniamateriałuzaprawy... 6.3 Murjakomateriałanizotropowy... 8.3. Określaniewarunkuzniszczenia... 9 3 Relacje konstytutywne 3 3. ZwiązekHooke amateriałówizotropowych... 3 3. ZwiązekHooke amateriałówortotropowych... 4 3.3 Sprężysto-plastycznośćmateriałówizotropowych... 6 3.3. Stowarzyszoneprawopłynięcia... 6 3.3. WarunekplastycznościHubera-Misesa... 7 3.4 Modelkonstytutywnyinterfejsu... 7 3.5 Elementyskładowemuru... 0 3.5. Modelheterogeniczny... 0 3.5. Modelhomogeniczny... 4 Modele numeryczne 3 4. Opismodelu... 3 4.. Porównanie... 4 4.. Wstępnetestynapanelu... 6 4. Właściwościefektywne... 8 4.. Opistestów... 8 4.. Wyznaczaniestałychsprężystości... 30 v

vi SPIS TREŚCI 4..3 Wynikiogólnetestównośności... 33 4..4 Wynikiszczegółowetestównośności.... 36 4..5 Problemyzezbieżnością... 4 4.3 Modelheterogenicznyahomogeniczny... 45 4.3. Obrotytensorapodatności... 45 4.3. Modelhomogenicznysprężystości... 50 4.3.3 Analizawyników... 5 4.4 Wprowadzeniewarunkuplastycznościcegieł... 53 4.4. Ściankamurowa... 53 4.4. Słupekceglany... 56 4.5 Porównaniewłaściwościsprężystych... 57 4.5. Modele... 58 4.5. Wyznaczanieefektywnychstałychsprężystości... 60 5 Podsumowanie 63 5. Wnioski... 63 Bibliografia 67

Rozdział Wprowadzenie Rozwój zaawansowanych metod numerycznej analizy konstrukcji murowych jest potrzebny zarówno ze względu na istniejące, zabytkowe obiekty, jak i te nowo powstające. Mur jest najstarszym używanym do dziś materiałem budowlanym i mimo postępu technologicznego mechanizmy wykonywania konstrukcji są w praktyce niezmienne od setek lat. W związku z powszechnością materiału istnieje dziś ogromna ilość budynków murowych o dużym znaczeniu historycznym i kulturowym w zasadzie w każdym miejscu na świecie. Istnieje przy tym niezliczona ilość wariacji i różnych rodzajów muru, zależnych m. in. od uwarunkowań regionalnych, dostępnego budulca czy lokalnej kultury. Wiele z takich zabytkowych obiektów jest obecnie zagrożonych zarówno ze względu na postępujące starzenie się konstrukcji, jak i nieraz na umiejscowienie budynku w strefach sejsmicznych, co ma miejsce w przypadku wielu zabytków m. in. w południowej lub zachodniej Europie. Potrzeba dokładnej analizy konstrukcji murowych wynika także z konieczności adaptacji istniejących budowli do nowych warunków użytkowania. Mimo że obiekty historyczne projektowane były głównie na ściskanie, w przypadku ich modernizacji lub naprawy konieczne nieraz okazuje się rozpatrzenie pracy konstrukcji w bardziej złożonych przypadkach obciążenie. Postęp technologiczny w przypadku konstrukcji murowych jednak dość istotnie odbiega od rozwoju bardziej nowożytnych technik budowlanych, jak budownictwostaloweczyżelbetowe.oiletedrugieodlatrozwijająsięwznaczącym tempie, o tyle postęp w przypadku konstrukcji murowych był w dużym stopniu spowalniany przez brak możliwości dokonania dostatecznie wiarygodnej i szczegółowej analizy mechanicznej zachowania konstrukcji. Było to spowodowane z jednej strony trudnością w wykonywaniu doświadczeń laboratoryjnych, z drugiej zaś brakiem odpowiednio rozwiniętych modeli numerycznych uwzględniających złożoność materiału muru. Obecnie, choć w ciągu ostatnich lat nastąpiło znaczne przyspieszenie badań w sferze modelowania numerycznego konstrukcji murowych,

ROZDZIAŁ. WPROWADZENIE dział ten nadal wymaga szczególnej uwagi. Projektowanie badań doświadczalnych powinno być także sprzęgnięte z możliwościami modelowania numerycznego konstrukcji, czy elementów konstrukcji murowych. Dodatkowo zastosowanie nowoczesnych metod obliczeniowych, jak i najnowszych metod pomiarowych, pozwala na coraz lepsze zrozumienie pracy takich obiektów.

Rozdział Modelowanie konstrukcji murowych- przegląd literatury Mur może być opisany jako heterogeniczny materiał składający się z elementów murowych(np. cegieł) połączonych zaprawą. Samo pojęcie muru jest jednak bardzo szerokie, jako że odnosi się do ogromnej ilości konstrukcji zróżnicowanych zarówno pod względem właściwości elementów składowych, jak i geometrii- mimo to ich cechy mechaniczne wykazują pewne podobieństwo. Dokładny opis materiałujakimjestmurmożnaznaleźćm.in.w[drobiecetal.,03].wtejpracy skupimy się zaś na analizie murów ceglanych. Zróżnicować je można zarówno pod względem użytych cegieł czy zaprawy, jak i rodzaju wiązania(rys..). (a) (b) (c) (d) Rysunek.: Przykładowe rodzaje wiązania:(a)- wiązanie wozówkowe(przesunięcie / cegły),(b)- wiązanie kowadełkowe,(c)- wiązanie gotyckie,(d)- wiązanie holenderskie;[drobiec et al., 03] 3

4 ROZDZIAŁ. MODELOWANIE KONSTRUKCJI MUROWYCH. Strategie modelowania konstrukcji murowych.. Ryshistoryczny Od czasu pojawienia się możliwości korzystania z analiz komputerowych, podejmowano próby opisu muru. Początkowo w większości analiz, w celu uproszczenia problemu, mur był traktowany jako sprężysty materiał izotropowy(patrz: [Rosenhaupt, 965],[Saw, 976]). Pomijano wtedy oczywisty wpływ spoin działających jako płaszczyzny osłabienia materiału, modele były przydatne jedynie w przypadku analiz małych sprężystych odkształceń. W późniejszym okresie pojawiały się modele uwzględniające nieliniowość materiału oraz dopuszczające pojawianie się zniszczenia, jednak wciąż bazowały na uśrednionych właściwościach cegieł i zaprawy oraz nie uwzględniały wpływu spoin([samarasinghe, 98],[Ganju, 977]). Dhanasekar zaproponował dokładniejszy model[dhanasekar et al., 985]- nieliniowy, bazujący na uśrednionych ortotropowych właściwościach z powierzchnią graniczną stworzoną na podstawie doświadczalnych testów dwuosiowych na panelach murowych(patrz pkt..3.). Jako że był to model traktujący mur jako materiał jednorodny, a jeden element skończony mógł obejmować większy fragment muru, miał on ograniczony zakres stosowania. Nie była możliwa m. in. szczegółowa analiza konstrukcji pod obciążeniem skupionym lub w innych przypadkach, gdzie efekty lokalne mają duże znaczenie. Modele bardziej szczegółowe, rozpatrujące sprężyste zachowanie muru z cegłami i zaprawą modelowanymi osobno, przedstawiono np. w pracach[smith, 970], [Ali, 985]. Pierwsze modele tego typu, lecz uwzględniające właściwości nieliniowe, zaproponowane zostały w[page, 978] lub[hegemier et al., 978]. W późniejszym okresie używano rozwiniętych tak metod do dokładniejszej analizy zachowania konstrukcji murowych, np. pod wpływem obciążeń skupionych[ali, 987].. Strategiemodelowania W ogólności można wyróżnić dwa podstawowe podejścia w tworzeniu numerycznych modeli konstrukcji murowych- modelowanie w skali mikro(heterogeniczne), oraz modelowanie w skali makro(homogeniczne), patrz:[lourenço et al., 995]. W zależności od pożądanej dokładności modelu oraz dopuszczalnego poziomu uproszczenia, Lourenço zaproponował dodatkowo następujący podział, patrz rys..: Dokładnemodelowanieheterogeniczne-zarównocegłyjakizaprawa modelowane są osobno, przy użyciu elementów kontynualnych. Ewentualne połączenie styku dwóch materiałów przy pomocy interfejsu, Uproszczonemodelowanieheterogeniczne-pomijasięszczegółowe rozpatrywanie zaprawy, cegły połączone są ze sobą interfejsem(np. elementy kohezyjne),

.. STRATEGIE MODELOWANIA KONSTRUKCJI MUROWYCH 5 Modelowaniehomogeniczne-nierozróżniasiędwóchosobnychmateriałów, mur traktuje się jako kompozyt o uśrednionych właściwościach anizotropowych. Zaprawa Cegły Interfejs Cegły Kompozyt (a) (b) (c) Rysunek.: Sposoby modelowania konstrukcji murowych:(a)- szczegółowy model heterogeniczny;(b)- uproszczony model heterogeniczny;(c)- model homogeniczny. W przypadku(a) zaprawa modelowana jest elementami kontynualnymi, ewentualny interfejs na styku dwóch materiałów przedstawia potencjalną powierzchnię poślizgu. Tego typu podejście umożliwia bardzo szczegółowa analizę zachowania konstrukcji, z możliwością dokładnej obserwacji postępującego zniszczenia. Podejście to może być stosowane w analizie wyjątkowo wrażliwych, unikalnych i złożonych fragmentów konstrukcji a także przy wyznaczaniu właściwości efektywnych do modelu homogenicznego. W przypadku modelowania w skali mikro, do stworzenia wiarygodnego modelu wymagana jest jednak znajomość dokładnych danych materiałowych zarówno cegieł, jak i zaprawy. Sposób(b) polega na sprowadzeniu zaprawy wraz ze stykiem z cegłami do uśrednionego interfejsu o zerowej lub bardzo małej grubości. Cegły są odpowiednio powiększane w celu zachowania geometrii muru. Podejście to jest dużo łatwiejsze do zamodelowania i wymaga zdecydowanie mniej mocy obliczeniowej przez co czas obliczeń skraca się nawet kilkukrotnie. Traci się jednak dokładność m. in. przez nieuwzględnianie stałej Poissona zaprawy[lorenço, 996]. W podejściu(c) mur traktowany jest jako kompozyt o właściwościach ortotropowych w zakresie sprężystym i plastycznym. W tym przypadku nie rozróżnia się osobnych materiałów, jest to najmniej dokładny sposób, uniemożliwiający szczegółową analizę konstrukcji. Uproszczenia powodują natomiast, że model wykonany w ten sposób będzie miał największe zastosowanie praktyczne, ze względu na ogromną prostotę wykonania modelu. Nie tworzy się osobno poszczególnych składowych konstrukcji, natomiast jeden element skończony może obejmować cały segment muru. Umożliwia to bardzo efektywną analizę globalnego zachowania konstrukcji. Wybór sposobu modelowania uzależniony jest od rozpatrywanego zagadnienia - czy dokonuje się globalnej analizy konstrukcji czy szczegółowej obserwacji jej fragmentu. Nie można więc w jednoznaczny sposób stwierdzić które podejście jest słuszne, gdyż mają one zdecydowanie odmienne dziedziny aplikacji.

6 ROZDZIAŁ. MODELOWANIE KONSTRUKCJI MUROWYCH W przypadku modelowania w skali mikro, aby model w dostatecznie wiarygodny sposób odzwierciedlał zachowanie rzeczywistych konstrukcji, powinien uwzględniać kilka możliwych schematów zniszczenia. Za[Lorenço, 996] można wyróżnić:(a) pękanie zaprawy;(b) poślizg wzdłuż spoiny czołowej lub poziomej; (c) zniszczenie cegieł poprzez rozciąganie;(d) ukośne pęknięcie cegieł oraz(e) zmiażdżenie spoiny. (a) (b) (c) (d) (e) Rysunek.3: Mechanizmy zniszczenia[lorenço, 996].. Zjawisko osłabienia materiału zaprawy Osłabienie charakteryzuje się stopniowym zmniejszeniem reakcji materiał na narastające wymuszone odkształcenia. Jest to zjawisko charakterystyczne dla materiałów kruchych, jak beton, ceramika, zaprawa lub cegły. Wynika ono z postępującego wraz ze wzrostem odkształceń rozwoju mikro-rys i pęknięć, występujących w materiale już przed pojawieniem się obciążenia. W zakresie pracy sprężystej rysy zachowują się stabilnie, co znaczy że powiększają się wyłącznie wobec zwiększania naprężeń. W chwili osiągnięcia wytrzymałości granicznej zaczynają pojawiać się makro-rysy zachowujące się niestabilnie, powiększając bez konieczności zmiany obciążenia. W przypadku testów sterowanych przemieszczeniowo widoczne jest wówczas postępujące osłabienie reakcji materiału. Zjawisko to zostało dokładnie opisane w przypadku rozciągania, m. in.:[hordijk, 99]. W przypadku ściskania, słabnięcie materiału zależne jest w dużym stopniu od warunków brzegowych i rozmiarów próbki(patrz m. in.[mier, 984]). Charakterystyczne zachowanie się materiałów quasi kruchych przy testach jednoosiowych przedstawiono na rys..4. Na wykresach zaznaczono energię pę-

.. ZJAWISKO OSŁABIENIA MATERIAŁU ZAPRAWY 7 f t f c G f G c (a)- jednoosiowe rozciąganie; (b)- jednoosiowe ściskanie; Rysunek.4: Typowe zachowanie materiałów quasi-kruchych w próbie jednoosiowego rozciągania(a) i ściskania(b);[lorenço, 996] > 0 c = 0 Rysunek.5: Typowe zachowanie spoiny przy ścinaniu;[lorenço, 996] kania- potrzebną do powstania rysy uniemożliwiającej przeniesienie jakichkolwiek obciążeń- jako całkę pod wykresem zależności naprężenie- przemieszczenie. Energię pękania można przy tym traktować jako cechę materiałową, zależną m. in. od wytrzymałości materiału[pluijm, 997]. Korzystając z tak zdefiniowanego parametru można w tym samym kontekście opisać zniszczenie na skutek ściskania jak i rozciągania, jako że mechanizm zniszczenia jest bardzo podobny w tych przypadkach. Tego typu zniszczenie określa się mianem typu I(mode I). Drugim typem zniszczenia(mode II) jest zniszczenie na skutek ścięcia, przy czym trzeba uwzględnić zarówno możliwość zniszczenia materiału, jak i wystąpienia poślizgu na styku zaprawa-cegła. Jako że ten mechanizm zniszczenia jest kluczowy w przypadku konstrukcji murowych, musi on zostać uwzględniony w modelu heterogenicznym. Zależność naprężenie-przemieszczenie przedstawiono na rys..5.

8 ROZDZIAŁ. MODELOWANIE KONSTRUKCJI MUROWYCH.3 Mur jako materiał anizotropowy Mur ze względu na sposób jego wykonywania wykazuje w zakresie sprężystym i plastycznym cechy ortotropowe. W przypadku właściwości plastycznych(kruchych) zależność od kierunku jest jednak bardziej skomplikowana- płaszczyzny zaprawy stanowią miejsca osłabienia kompozytu, przez co odpowiedź wytężanego materiału jest w dużym stopniu zmienna w zależności od orientacji- zwłaszcza wobec spoiny wspornej. Dodatkowo przed samym zniszczeniem materiał może zachowywać się nieliniowo, co jest spowodowane postępującym zniszczeniem elementów składowych. Angle θ Uniaxial tension Other ratios σ / σ Uniaxial compression σ σ 0 σ σ θ.5 θ 45 θ 67.5 θ 90 Rysunek.6: Mechanizmy zniszczenia przy obciążaniu dwuosiowym ; [Dhanasekar et al., 985] Aby poprawnie zdefiniować materiał muru jako homogeniczny, konieczne jest

.3. MUR JAKO MATERIAŁ ANIZOTROPOWY 9 więc określenie ortotropowych właściwości sprężystych, kryterium uplastycznienia, relacji uwzględniających nieliniowe zachowanie materiału, oraz warunku zniszczenia[tzamtzis, 003], przy czym większość przeprowadzanych badań było skupianych na określeniu kryterium zniszczenia. Na rys..6 przedstawione są różne schematy zniszczenia konstrukcji w zależności od kierunku działania naprężeń głównych. W związku z takim zróżnicowaniem, wytężenie materiału(opisywanego w sposób kontynualny) nie może być zdefiniowane w postaci samego kryterium na naprężenia główne- należy również uwzględnić orientację spoin w stosunku do naprężeń,[page, 983], [Dhanasekar et al., 985]. W zależności od tego zniszczenie może się bowiem dokonać albo w samej zaprawie, albo w pewnej formie połączonej pracy zaprawy i cegieł. Prowadzi do wielu trudności w budowaniu homogenicznego modelu numerycznego, uwzględniającego w dostatecznie wiarygodny sposób anizotropię materiału i dobrze opisującego powierzchnię graniczną materiału. Konieczne do tego jest także przeprowadzenie dużej ilości doświadczeń w celu wyznaczenia właściwości efektywnych- jednym ze sposobów poradzenia sobie z tym problemem może być korzystanie z doświadczeń numerycznych..3. Określanie warunku zniszczenia Najobszerniejszy zestaw doświadczeń pozwalających na określenie efektywnych właściwości muru przeprowadził Page[Page, 983]. Badana była nośność paneli ceglanych o wymiarach 360x360 mm(cegły w skali :, wiązanie wozówkowe) w testach dwuosiowych: ściskanie-ściskanie i ściskanie-rozciąganie, w celu określenia dokładnej powierzchni wytężenia materiału. Ze względu na właściwości muru konieczne do tego było przeprowadzenie serii doświadczeń, różnicując zarówno stosunek naprężeń głównych, jak i ich orientację wobec spoiny wspornej(patrz rys..6). Na rysunkach.7 i.8 pokazano powierzchnie uzyskaną przez Page a w przypadku testów dwuosiowych ściskanie-rozciąganie i ściskanie-ściskanie. Dwie osie przedstawiają naprężenia główne, trzecia ich orientację w odniesieniu do spoiny wspornej. Zauważalny jest bardzo wyraźny wpływ kierunku działania naprężeń głównych na powierzchnię graniczną, przede wszystkim w przypadku rozciągania. Przy jednoczesnej obserwacji mechanizmów zniszczenia(patrz rys..6) można dokonać dodatkowo interpretacji tak uzyskanych wyników testów nośności, natomiast na ich podstawie można podjąć próbę określenia warunku wytężenia wykorzystywanego w homogenicznych modelach numerycznych. Kontynuacją badań Page a było opisanie kompletnej powierzchni określającej warunek zniszczenia materiału-[dhanasekar et al., 985]. Jako, że powierzchnie zdefiniowane na podstawie zależności naprężeń głównych i ich kierunku w odniesieniu do kierunków ortotropii muru nie są poprawne z numerycznego punktu widzenia(m. in. ze względu na brak wypukłości), wygodniej było zdefiniować

0 ROZDZIAŁ. MODELOWANIE KONSTRUKCJI MUROWYCH Rysunek.7: Powierzchnia graniczna dla testów ściskanie-rozciąganie; [Page, 983] warunek zniszczenia w lokalnym układzie współrzędnych- na naprężenia w odniesieniu do kierunku spoin. Na podstawie danych doświadczalnych można dobrać kryterium zniszczenia materiału, jednak ze względu na charakter muru opis powierzchni granicznej nie jest sprawą oczywistą. Definicje różnych warunków zniszczenia dla muru jako materiału homogenicznego można znaleźć m. in. w: [Dhanasekar et al., 985],[Lorenço, 998],[Małyszko, 005],[Bilko, 03]. Wyniki uzyskane z doświadczeń przeprowadzonych przez Page a są obszerne, aczkolwiek odnoszą się wyłącznie do jednego zbadanego rodzaju muru. W przypadku gdy konstrukcja będzie wykonywana z materiałów o innych właściwościach niż te użyte w przedstawionych tutaj badaniach, a także gdy mur będzie wykonany w innym rodzaju wiązania, właściwości efektywne mogą w znaczny sposób odbiegać od tego przypadku. W związku z tak dużą ilością potrzebnych badań atrakcyjne wydaje się podejście dokonywania doświadczeń numerycznych.

.3. MUR JAKO MATERIAŁ ANIZOTROPOWY Rysunek.8: Powierzchnia graniczna dla testów ściskanie-ściskanie;[page, 983] Rysunek.9: Wytrzymałość muru w testach przeprowadzonych przez Page a; [Page, 983]

Rozdział 3 Relacje konstytutywne w elementach składowych muru 3. Liniowy związek Hooke a dla materiałów izotropowych Związki konstytutywne przedstawiają zależności między naprężeniami a odkształceniami w rozpatrywanym ośrodku. W przypadku sprężystego zachowania ciała odkształcenia nie są trwałe, a cały układ po zdjęciu obciążenia wraca do początkowej konfiguracji nieodkształconej. Liniowy związek pomiędzy tensorem naprężenia a tensorem odkształcenia nazywamy związkiem Hooke a, który w ogólności zapisuje się jako: σ=c ε, (3.) gdzie σ jest tensorem naprężeń Cauchy ego, ε- tensorem odkształceń, zaś C - podwójnie symetrycznym tensorem czwartego rzędu, zwanym tensorem sztywności. Związek(3.) wynika z zasady zachowania energii w ciele sprężystym bez więzów wewnętrznych[nowacki, 970]. Oznacza to że w takim ośrodku w trakcie deformacji nie dochodzi do rozproszenia energii sprężystej- nagromadzona w skutek obciążania energia może być w pełni użyta do przywrócenia ciała do stanu nieodkształconego. W ogólności tensor sztywności C posiada niezależnych składowych materiałowych. Po odwróceniu zależność(3.) można zapisać jako: ε=s σ, (3.) gdziesstanowitzw.tensorpodatności.tensorycisnazywasiętensorami Hooke a i opisują one właściwości sprężyste materiału anizotropowego. W 3

4 ROZDZIAŁ 3. RELACJE KONSTYTUTYWNE przypadku materiałów izotropowych C i S definiowane są przez dwie niezależne składowe-modułyoungaeiwspółczynnikpoissonaν.porezygnacjizzapisuz tensorem czwartego rzędu można wówczas zapisać związek Hooke a jako: σ= lub po odwróceniu: E [( ν)ε+ν(trε)i], (3.3) (+ν)( ν) ε= [(+ν)σ ν(trσ)i], (3.4) E przy czym I jest tensorem jednostkowym, natomiast tr() oznacza ślad tensora. W zapisie macierzowym, w przyjętym kartezjańskim układzie współrzędnych, związek(3.3) przedstawia się jako: ε ν ν 0 0 0 σ ε ε 33 = ν ν 0 0 0 σ ν ν 0 0 0 σ 33, (3.5) ε 3 E 0 0 0 (+ν) 0 0 σ 3 ε 3 0 0 0 0 (+ν) 0 σ 3 ε 0 0 0 0 0 (+ν) σ zaś tensor S można zapisać: ν ν ν 0 0 0 ν ν ν 0 0 0 E ν ν ν 0 0 0 S (+ν)( ν) ν. (3.6) 0 0 0 0 0 ν 0 0 0 0 0 ν 0 0 0 0 0 3. Liniowy związek Hooke a dla materiałów ortotropowych W przypadku anizotropii macierze sztywności i podatności maja niezależnych składowych. W zastosowaniu często rozważa się przypadki szczególne anizotropii - jak ortotropia. Rozróżniamy tu(w przestrzeni trójwymiarowej) trzy prostopadłe do siebie kierunki o różnych właściwościach mechanicznych. Dla materiałów ortotropowych ilość niezależnych składowych tensorów sztywności i podatności redukuje się do 9. W notacji macierzowej:

3.. ZWIĄZEK HOOKE A MATERIAŁÓW ORTOTROPOWYCH 5 C C C 3 0 0 0 C C C 3 0 0 0 C 3 C 3 C 33 0 0 0 C, (3.7) 0 0 0 C 44 0 0 0 0 0 0 C 55 0 0 0 0 0 0 C 66 S S S 3 0 0 0 S S S 3 0 0 0 S 3 S 3 S 33 0 0 0 S. (3.8) 0 0 0 S 44 0 0 0 0 0 0 S 55 0 0 0 0 0 0 S 66 W zapisie powyższych macierzy możemy zastosować tzw. techniczne stałe sprężystości, wówczas struktura macierzy podatności jest następująca: S E ν E ν 3 E 3 0 0 0 E E ν 3 E 3 0 0 0 E ν 3 E E 3 0 0 0 0 0 0 G 3 0 0 0 0 0 0 G 3 0 0 0 0 0 0 G ν ν 3, (3.9) gdziee i sąmodułamiyoungawi-tymkierunku,ν ij współczynnikamipoissona w płaszczyznach i-j(odpowiadają ilorazom odkształceń gdzie wektor naprężeniajestwi-tymkierunku),zaśg ij sąmodułamiścinaniawpłaszczyznachi-j.w macierzach S i C zauważalne są następujące zależności(por. np.[jemioło, Małyszko, 03] i literaturę cytowaną): Ze względu na symetrię macierzy podatności: ν E = ν E, ν 3 E = ν 3 E 3, ν 3 E = ν 3 E 3. (3.0) Ze względu na fakt dodatniej określoności macierzy podatności i sztywności mamy zaś: E,E,E 3,G,G 3,G 3 >0 ν ν >0, ν 3 ν 3 >0, ν 3 ν 3 >0, (3.) ν ν ν 3 ν 3 ν 3 ν 3 ν ν 3 ν 3 ν 3 ν ν 3 >0. Macierze C i S są wzajemnie odwrotne, możemy więc zapisać:

6 ROZDZIAŁ 3. RELACJE KONSTYTUTYWNE C = ν 3ν 3 E E 3 D,C = ν 3ν 3 E E 3 D, ν ν E E D, C = ν ν 3 ν 3 E E 3 D =ν ν 3 ν 3 E E 3 D,C 3= ν 3 ν ν 3 E E 3 D =ν 3 ν ν 3 E E D, (3.) C 3 = ν 3 ν ν 3 E E D =ν 3 ν ν 3 E E D,C 44=G 3,C 55 =G 3,C 66 =G, gdzie D= ν ν ν 3 ν 3 ν 3 ν 3 ν ν 3 ν 3 ν 3 ν ν 3 E E E 3 >0. (3.3) 3.3 Sprężysto-plastyczność materiałów izotropowych W teorii sprężysto-plastyczności zakłada się dekompozycję tensora odkształceń na część sprężystą i część plastyczną(por.[olszak, 966],[Lubliner, 990]): ε=ε e +ε p, (3.4) gdzieε e stanowiczęśćsprężystą-charakteryzującądeformacjeodwracalne, zaśε p częśćplastyczną-opisującądeformacjetrwałe. W przypadku materiału sprężystego odkształcenia pojawiają się na skutek obciążenia, natomiast przy odciążaniu układ wraca do stanu początkowego- naprężenia są równe 0 i brak jest deformacji. Gdy ciało wchodzi w strefę sprężystoplastyczną, pojawiają się odkształcenia plastyczne, które po zdjęciu obciążenia nie zanikają- następuje dyssypacja energii wewnętrznej. O ile w przypadku sprężystości można zapisać relację między odkształceniami a naprężeniami- 3., o tyle w przypadku teorii plastycznego płynięcia taka zależność nie jest możliwa. Korzysta się zamiast tego z funkcji plastycznego płynięcia, opisującązależnośćnaprzyrostodkształceńplastycznych ε p.relacjakonstytutywna plastyczności jest więc postulowana na prędkość odkształceń plastycznych, natomiast dekompozycję ze wzoru(3.4) można też podać w ujęciu na przyrost odkształceń: 3.3. Stowarzyszone prawo płynięcia ε= ε e + ε p, (3.5) W stowarzyszonym prawie płynięcia zakłada się, że przyrost odkształceń ma kierunek zgodny z kierunkiem normalnym do powierzchni określającej warunek plastyczności. Część plastyczna odkształcenia może więc zostać opisana w sposób stowarzyszony z warunkiem plastyczności, mianowicie: ε p =λ f, λ>0, (3.6) σ

3.4. MODEL KONSTYTUTYWNY INTERFEJSU 7 gdzie f = 0 stanowi równanie powierzchni definiującej warunek plastyczności, zaś λ jest mnożnikiem plastycznym. W przypadku gdy f < 0 materiał pracuje wstrefiesprężystej,coznaczyżeε p =0orazλ=0.Wmomenciegdynaprężenia osiągają stan f = 0 odkształcenia narastają bez ograniczeń, w kierunku normalnym do powierzchni plastyczności. 3.3. Warunek plastyczności Hubera-Misesa We wzorze 3.6 f(σ) jest równaniem powierzchni plastyczności materiału. Zależy ona oczywiście od przyjętego kryterium plastyczności, jednym z których może być kryterium Hubera- Misesa: f(σ)=σ r σ y =0, (3.7) gdzieσ y stanowiwartośćnaprężeniapowodującegouplastycznienieprzyjednoosiowymrozciąganiu,zaśσ r stanowiwartośćnaprężeniazastępczego: przy czym σ r = 3 σdev σ dev, (3.8) σ dev =σ 3 (trσ)i jest dewiatorem tensora naprężenia. Powierzchnię Hubera-Misesa można także wyrazić w przestrzeni naprężeń głównych: (σ σ ) +(σ σ 3 ) +(σ σ 3 ) =σ y. (3.9) W ogólności powierzchnia jest nieskończonym walcem o osi zapisanej równaniem:σ =σ =σ 3 (brakuplastycznienianaskutekdziałanianaprężeńhydrostatycznych). W przypadku PSN przekrojem walca jest elipsa, natomiast wartość naprężeń zastępczych(3.8) sprowadza się do: σ r = σ σ σ +σ, (3.0) 3.4 Model konstytutywny interfejsu Do opisu interfejsu użyto elementów kohezyjnych COHD4- dwuwymiarowych, 4-węzłowych elementów kohezyjnych. Przed zainicjowaniem zniszczenia materiał zachowuje się liniowo sprężyście, zachowując relację między oddziaływaniem (wektorem naprężenia) a wektorem odkształcenia: t n K nn K ns K nt ε n t t s = K sn K ss K st ε s Kˆε, (3.) t t K tn K ts K tt ε t

8 ROZDZIAŁ 3. RELACJE KONSTYTUTYWNE gdzie t jest wektorem naprężeń w interfejsie, K jest tensorem drugiego rzędu charakteryzującym jego sztywność, natomiast ˆε jest wektorem nominalnych odkształceń, w którym: ε n = δ n T 0,ε t = δ t T 0,ε s = δ s T 0. (3.) Wpowyższymwyrażeniuδ i stanowiąprzemieszczeniawinterfejsie,zaśt 0 stanowi jego początkową grubość. Przez n oznaczono kierunek normalny w elemencie, natomiast przez t, s dwa prostopadłe do siebie kierunki styczne. z t n s y x Rysunek 3.: Lokalny układ odniesienia w elemencie kohezyjnym. Jako kryterium inicjujące zniszczenie w interfejsie przyjmuje się jeden z dwóch warunków w postaci funkcji kwadratowej, wyrażony przez składowe wektora naprężenia: ( ) tn t max + n ( ) ( ) ts tt t max + s t max = t t n, t n 0 t n = 0, t n <0(brakwpływuściskania), (3.3) lub składowe wektora odkształcenia: ( ) εn ε max + n ( ) ( ) εs εt ε max + s ε max = t ε n, ε n 0 ε n = 0, ε n <0(brakwpływuściskania). (3.4) W(3.3)występujątrzyskładowewektoranaprężeń,zaśt max i oznaczają trzy maksymalne wartości składowych tego wektora, wyznaczone w testach jednoosiowego rozciągania oraz ścinania w dwóch płaszczyznach, por. rys. 3.. W(3.4) występująnatomiasttrzyskładowewektoraodkształceń,zaśε max t oznaczają analogicznie maksymalne wartości składowych wektora odkształceń. W przyjętym modelu po zainicjowaniu uszkodzenia zakłada się degradacje własności sprężystych w postaci:

3.4. MODEL KONSTYTUTYWNY INTERFEJSU 9 t n = ( D) t n, t n 0 0, t n <0, (3.5) t s = ( D) t s, (3.6) t t = ( D) t t, (3.7) gdzie t i sąskładowymiwektoranaprężeńobliczonymiwg.(3.)tak,jakby nie nastąpiło uszkodzenie. Parametr D jest skalarem zależnym w sposób liniowy lub eksponencjalny od odkształceń w interfejsie, przy czym zależność liniową przedstawia się jako: D= δf m(δ max m δ 0 m) δ max m (δ f m δ 0 m). (3.8) t m 0 m f m Rysunek 3.: Liniowy rozwój zniszczenia. Natomiast zależność eksponencjalną: D= { } δ 0 δ m exp( α( max δm 0 m δm max δm δ f m 0 exp( α) )). (3.9) t m 0 m f m Rysunek 3.3: Eksponencjalny rozwój zniszczenia. Oznaczenia występujące w(3.8) oraz(3.9) zinterpretowano na rysunkach 3.i3.3

0 ROZDZIAŁ 3. RELACJE KONSTYTUTYWNE W wyrażeniu(3.9) α stanowi bezwymiarowy parametr określający stopień narastania zniszczenia materiału, zaś wszystkie występujące powyżej przemieszczenia mają interpretacje przemieszczeń efektywnych: δ m = δ n +δ t +δ s. (3.30) 3.5 Uwagi o relacjach konstytutywnych elementów składowych muru Elementy konstrukcji murowych w tej pracy modelowane są jako dwuwymiarowe tarcze pracujące w płaskim stanie naprężenia. Związki konstytutywne użyte w opisie materiałów można podzielić ze względu na sposób modelowania- w modelach heterogenicznych materiały traktowane są jako izotropowe, w modelu heterogenicznym mur opisywany w sposób kontynualny ma właściwości ortotropowe. 3.5. Modelheterogeniczny W modelu heterogenicznym do opisu cegieł użyto czterowęzłowych, dwuwymiarowych elementów CPS4R, o dwóch stopniach swobody w węźle. Materiał przyjęto jako izotropowy i sprężysty. Dla płaskiego stanu naprężeń mamy σ 33 =σ 3 =σ 3 =0, natomiast reprezentacja tensora naprężeń przyjmuje postać: σ σ 0 [σ]= σ σ 0. (3.3) 0 0 0 Związek konstytutywny(3.3)w tym przypadku sprowadza się do: σ σ = E ν 0 ε ν ν 0 ε. (3.3) ν σ 0 0 ε Wartość odkształcenia w kierunku prostopadłym do płaszczyzny materiału wynosi natomiast ε 33 = ν E (σ +σ ). W przypadku zaprawy użyto elementów kohezyjnych, których relacje konstytutywne w PSN charakteryzują się tym, że w związku(3.) występuje tylko jeden kierunek styczny.

3.5. ELEMENTY SKŁADOWE MURU 3.5. Modelhomogeniczny W modelu homogenicznym materiał opisywany jest jako ortotropowy. W płaskim stanie naprężeń w reprezentacjach tensorów występują tylko 4 niezależne składowe, zaś związek Hooke a można zapisać jako: σ σ = σ E ν E 0 ν E E 0 ν ν 0 0 G ( ν ν ) ε ε ε. (3.33) Tensor podatności zapisuje się w notacji macierzowej jako: E ν E 0 S przy czym należy pamiętać, że ν E E 0 0 0 G ν E = ν E., (3.34) W przypadku gdy kierunki ortotropii nie pokrywają się z kierunkami działania obciążeń(lub wymuszonych odkształceń), związek Hooke a można zapisać z wykorzystaniem obróconego tensora sztywności(podatności). Transformacji dokonać można za pomocą tensora ortogonalnego Q, obrót przykładowej macierzy A zapisuje się jako: QAQ T, (3.35) zaś tensor ortogonalny w przyjętym układzie współrzędnych przyjmuje postać: Q cos φ sin φ cosφsinφ sin φ cos φ cosφsinφ. (3.36) cosφsinφ cosφsinφ cos φ sin φ Zapis macierzowy związku Hooke a(3.5) może być różny w zależności od wyboru baz tensorowych, patrz np.[gajewski, 000]. W niektórych przypadkach wygodniejsze może być używanie bazy, w której reprezentacje poszczególnych tensorów przyjmują postać: ε σ ε ε ε σ σ σ, (3.37). (3.38)

ROZDZIAŁ 3. RELACJE KONSTYTUTYWNE W takim przypadku reprezentację macierzową tensora ortogonalnego zapisuje się w postaci: cos φ sin φ cosφsinφ Q sin φ cos φ cosφsinφ. (3.39) cosφsinφ cosφsinφ cos φ sin φ

Rozdział 4 Modele numeryczne W tym rozdziale przeprowadzono doświadczenia numeryczne na stworzonym modelu wykorzystującym elementy kohezyjne. Celem jest określenie przydatności modelu, oraz porównanie wyników uzyskanych z testów numerycznych z wynikami uzyskanymi w doświadczeniach opisanych w pkt..3.. Testy będą przeprowadzane na panelu o wymiarach rzeczywistych 665x665mm. Rozmiar przyjęto analogicznie do panelu doświadczalnego wykorzystywanego w[page, 983]. Przedstawiono dwie strategie modelowania spoiny- z wykorzystaniem elementów kohezyjnych oraz z wykorzystaniem kontaktu. Po porównaniu tych strategii dokonano wstępnych testów na modelu, następnie przechodząc do wyznaczenia efektywnych parametrów sprężystości oraz do docelowych testów numerycznych. 4. Opismodelu Rozważono dwie strategie modelowania. Pierwsza z nich zakłada modelowanie zaprawy elementami kohezyjnymi, natomiast druga- z elementów w płaskim stanie naprężeń połączonych z cegłami na zasadzie kontaktu o właściwościach kohezyjnych. Oba modele wykorzystują związki konstytutywne wraz z warunkiem granicznym i osłabieniem materiału opisane w 3.4- por.[gajewski, Jemioło, 00]. W modelu zastosowano uproszczony związek(3.) w którym macierz K sprowadza się do: K nn 0 0 0 K ss 0. 0 0 K tt 3

4 ROZDZIAŁ 4. MODELE NUMERYCZNE 4.. Porównanie elementów kohezyjnych z kontaktem Na początek dokonano porównania odpowiedzi materiału modelowanego elementami kohezyjnymi ze spoiną zdefiniowaną przez kontakt. Przeprowadzone zostały dwa proste testy, tj. test jednoosiowego rozciągania oraz test ścinania. W modelu pierwszym do opisu materiału cegieł użyto elementów CPS4Rczterowęzłowych elementów PSN o biliniowych funkcjach kształtu i ze zredukowanym całkowaniem, zaś w przypadku zaprawy elementów COHD4- dwuwymiarowych, czterowęzłowych i liniowych elementów kohezyjnych. Oba materiały połączone są ze sobą na zasadzie wspólnych węzłów. Schemat przyjętej siatki MES oraz warunków brzegowych pokazano na rys. 4.. Obciążenie przyjęto w postaci warunków przemieszczeniowych na nieutwierdzonym brzegu modelu. Y Z X Rysunek 4.: Warunki brzegowe i siatka dla wariantu z elementami kohezyjnymi. Y Z X Rysunek 4.: Warunki brzegowe i siatka dla wariantu z kontaktem. W przypadku drugim zarówno cegły jak i zaprawę modelowano elementami CPS4R. Ponieważ obydwa materiały nie posiadają wspólnych węzłów, ich siatki elementów skończonych są od siebie niezależne. Schemat zadania przedstawiono narys.4. Dane materiałowe dla cegieł, zaprawy(modelowanej elementami kontynualnymi) oraz interfejsu przyjęto jak w tab. 4.. Jako warunek zainicjowania zniszczenia przyjęto opcję naprężeniową(3.3) z eksponencjalną krzywą osłabienia materiału (3.3). Doboru parametrów dokonano na podstawie[lorenço, 996],[Pluijm, 993] i[pluijm, 997]. Jako pierwszy przeprowadzono test jednoosiowego rozciągania,

4.. OPIS MODELU 5 sterowanego warunkiem przemieszczeniowym. Drugim testem był test ścinania w płaszczyźnie spoiny poziomej. Zestawienie wyników pokazano na rys. 4.3. Tabela 4.: Przyjęte parametry materiałowe Cegły Interfejs E 0000 [N/mm ] K nn 000 [N/mm ] ν 0,5 K ss 890 [N/mm ] Zaprawa E 000 [N/mm ] ν 0,5 t max n 0,5 [N/mm ] t max s 0,75 [N/mm ] δm f 0,08 [mm] 0.48. [N/mm ] 0.3 Elementy koh Kontakt 0.6 0. 0.00 0.0 0.0 0.03 0.04 0.05 Przemieszczenie [mm] (a) Test rozciągania. [N/mm ] 0.6. 0.4. Elementy koh Kontakt 0.. 0. 0.00 0.0 0.0 0.03 0.04 0.05 Przemieszczenie [mm] (b) Test ścinania. Rysunek 4.3: Wpływ sposobu modelowania spoiny na zachowanie interfejsu w teście rozciągania i teście ścinania. Widoczne jest że wyniki obydwu testów różnią się nieznacznie. Rozbieżności (w strefie sprężystej) w przypadku testu ścinania wynikają z różnic w relacjach konstytutywnych między zaprawą modelowaną przy użyciu elementów kohezyjnych, a przypadkiem z wykorzystaniem elementów kontynualnych. W obydwu przypadkach graniczna siła jest niemal identyczna. Należy też zwrócić uwagę na fakt,żewprzypadkumodeluzkontaktemczasobliczeńbyłdłuższyniżwdrugim wariancie. Przy obliczeniach z większą ilością stopni swobody różnica ta może się jeszcze powiększać, dlatego efektywniejsze wydaje się pierwsze podejście. Z dru-

6 ROZDZIAŁ 4. MODELE NUMERYCZNE giej strony, w przypadku gdy interfejs modelowany jest na styku zaprawy z cegłą, możliwa jest dokładniejsza analiza mechanizmów i powstawania zniszczenia. Przy wyznaczaniu właściwości efektywnych ta zaleta może mieć jednak mniejsze znaczenie. 4.. Wstępne testy na panelu Kolejnym testem będzie sprawdzenie zachowania się modelu obejmującego większy fragment muru. W związku z brakiem różnic w wynikach oraz mniejszą potrzebną mocą obliczeniową użyto modelu z elementami kohezyjnymi. Rozmiar panelu wraz z przyjętą siatką elementów skończonych pokazano na rys. 4.4 300 mm Y Z Y X Z X 50 mm Rysunek 4.4: Przyjęta w zadaniu siatka MES. Jako że każdy element kohezyjny musi zostać zorientowany zgodnie z kierunkiem normalnym i stycznym do spoiny(patrz pkt.: 3.4), w powyższym modelu pojawia się problem w przypadku orientacji elementów na styku spoin wspornej i czołowej. Po wykonaniu prostych testów rozciągania okazało się jednak że orientacja w.w. elementów nie ma znaczenia na wynik obliczeń. Przyjęto więc w każdym spornym przypadku kierunek normalny równolegle do kierunku osi Y w globalnym układzie współrzędnych. Przeprowadzono obliczenia w przypadku dwóch testów jednoosiowego rozciągania w kierunkach ortotropii oraz dwóch testów ścinania- jedno czyste ścinanie i jedno ścinanie ze ściskaniem. Odkształcenia modelu wymuszone zostały poprzez zadanie przemieszczeniowych warunków brzegowych, użyto zaś identycznych parametrów materiałowych jak w tabeli 4.. Na rys. 4.5 pokazano schemat przyjętych warunków brzegowych dla każdego testu. Wykresy zależności siły od przemieszczeń węzłów pokazano na rys. 4.6. Zauważalna jest oczywista różnica zarówno w strefie sprężystej, jak i w wytrzymałości panelu w testach rozciągania- rys. 4.6a. W przypadku ścinania występowanie naprężeń ściskających doprowadziło do pojawienia się problemów ze zbieżnością zadania, co jest widoczne w charakterze wykresu. Nie wpłynęło to jednak w znaczący sposób na wytrzymałość konstrukcji- rys. 4.6b. Brak wpływu naprę-

4.. OPIS MODELU 7 u y u = 0 x u x u = 0 y u x u = 0 y Rysunek 4.5: Warunki brzegowe przyjęte w poszczególych testach. żeń ściskających na nośność na ścinanie jest oczywiście spowodowane przyjętym warunkiem zniszczenia materiału(3.3), nie uwzględniającym wzmocnienia na skutek ściskania(por. rys..5). Warto jest zwrócić uwagę na rozciąganie panelu w kierunku X, wykres 4.6a. Zauważalna jest nagła zmiana właściwości sprężystych muru- spowodowane jest to wcześniejszym niszczeniem spoin pionowych- w momencie gdy nie przenoszą już one obciążeń, całość obciążeń przejmują spoiny wsporne, pracujące na ścinanie. 400. 350. 350. 300. 300. 50. Siła 50. 00. Rozciaganie Y Rozciaganie X Siła 00. 50. σ = 0 σ > 0 50. 00. 00. 50. 50. 0. 0.00 0.0 0.04 0.06 0.08 Przemieszczenie 0. 0.00 0.05 0.0 0.5 0.0 Przemieszczenie (a) Wyniki testów rozciągania panelu. (b) Wyniki testów ścinania panelu. Rysunek 4.6: Porównania testów na panelu.

8 ROZDZIAŁ 4. MODELE NUMERYCZNE Model wykorzystujący elementy kohezyjne opisane związkami konstytutywnymi przytoczonymi w 3.4 oraz ze zdefiniowanymi tam warunkami wytężeniowymi nie odzwierciedla więc zwiększenia wytrzymałości na ścinanie na skutek ściskania. Nie ma też określonego warunku na zniszczenie pod wpływem ściskania. Z dostateczną wiarygodnością można natomiast badać właściwości sprężyste materiału, w wynikach uzyskanych z testów widoczna jest także wyraźna anizotropia materiału. 4. Właściwościefektywne Korzystając z modelu opisanego w 4. podjęto próbę odwzorowania części doświadczeń wykonanych przez Page a([page, 983], patrz pkt..3.), mogących służyć jako dane do określania właściwości efektywnych muru. Ze względu na ograniczenia modelu przeprowadzono testy dwuosiowe ściskanie-rozciąganie, pomijając testy ściskanie-ściskanie. 4.. Opistestów Stworzono modele MES czterech kwadratowych paneli o wymiarach 665 x 665 mm (tak aby na wysokości panelu mieściło się 9 cegieł wraz ze spoinami), z kierunkami ortotropiinachylonymiodpowiednioo.5,45 i67.5 doosigłównegoukładu współrzędnych- rys. 4.7. Jako że zaprawa modelowana jest elementami kohezyjnymi, nie jest możliwe poprawne dobranie siatki do każdej geometrii- możliwe są jedynie 4- węzłowe elementy prostokątne. Problem pojawia się w przypadku spoin obróconych względem głównego układu współrzędnych, znajdujących się tuż przy krawędziach panelu- obrót powoduje pojawienie się fragmentów trójkątnych. Aby elementy kohezyjne w każdym przypadku dochodziły do krawędzi (umożliwiając przez to zniszczenie), pozostawiono w tych miejscach pustki, zakładając że bliskość przemieszczeniowych warunków brzegowych niweluje wpływ tych fragmentów zaprawy na wyniki całego testu. Przyjęte siatki dla każdego panelu pokazano na rysunkach: 4.8-4.. Przeprowadzono co najmniej 4 testy na każdym z paneli. W każdym przypadku na dwóch prostopadłych do siebie krawędziach przyjęto warunki brzegowe przemieszczeniowe zerowe, natomiast sterowano przemieszczeniami przeciwległych krawędzi- rys. 4.. Celem obliczeń jest określenie powierzchni granicznej w przypadku testów dwuosiowego ściskania-rozciągania. Jako pierwszy przeprowadzono test jednoosiowego rozciągania, sterując przemieszczeniami węzłów górnej krawędzi panelu, blokując przemieszczenia poziome węzłów krawędzi pionowych. W następnych obliczeniach zadanie zostało podzielone na dwa kroki liczone kolejno jeden po drugim. W pierwszym kroku wymuszono odkształcenia panelu w kierunku X powodując powstanie stanu jednoosiowego ściskania- materiał w

4.. WŁAŚCIWOŚCI EFEKTYWNE 9 665 mm y y 665 mm x x 0,5 y y x x 45 67,5 Rysunek 4.7: Rozmiar i orientacja paneli. Y Y Z X Z X Rysunek4.8:Siatkapanelu 0. Rysunek4.9:Siatkapanelu.5. większości przypadków pracował na tym etapie sprężyście. W kolejnym kroku wymuszono przemieszczenie węzłów górnej krawędzi panelu powodujące rozciąganie aż do zniszczenia. Konieczność takiego podziału jest wymuszona nieliniowością zadania- nie obowiązuje tutaj zasada superpozycji. W kolejnych testach węzłom nadawano przemieszczenia w kierunku poziomym odpowiednio: 0.05, 0.0 i 0.5 [mm].

30 ROZDZIAŁ 4. MODELE NUMERYCZNE Y Y Z X Z X Rysunek4.0:Siatkapanelu 45. Rysunek4.:Siatkapanelu 67.5. u - krok. y u = 0 x u - krok. x Y Z X u = 0 y Rysunek 4.: Przyjęte warunki brzegowe. 4.. Wyznaczanie stałych sprężystości Przed analizą wytrzymałości panelu przeprowadzono testy określające jego efektywne właściwości sprężyste w dwóch kierunkach ortotropii. Przeprowadzono trzy testynapanelu 0 :ściskaniewkierunkachxiy,orazścinanie.wprzypadku przeprowadzanych tak testów w materiale panuje jednorodny stan naprężenia, jako że kierunki przykładanych obciążeń pokrywają się z kierunkami ortotropii materiału. Z zależności 3.33 widzimy, że wobec braku obrotu macierzy sztywności,przyzadanymodkształceniaε xx ijednoczesnymbrakuwięzówwkierunku prostopadłym(σ yy =0)wmaterialepojawiąsięwyłącznienaprężeniazgodne z kierunkiem odkształceń, brak zaś będzie odkształceń postaciowych. Stosując

4.. WŁAŚCIWOŚCI EFEKTYWNE 3 analogiczne założenia dla pozostałych testów, z odwróconej zależności Hooke a (3.33) otrzymamy: y = 0 u y u = 0 x u x u = 0 x x = 0 u = 0 y u = 0 y (a) Ściskanie w kierunku X. (b) Ściskanie w kierunku Y. u x u x = u y=0 (c) Ścinanie. Rysunek 4.3: Przyjęte warunki brzegowe. Przypadek.-ściskaniewkierunkuXbezograniczeniaodkształceńwkierunku Y: σ yy =0, ε xx = E x σ xx, (4.) ε yy = ν xy E x σ xx.

3 ROZDZIAŁ 4. MODELE NUMERYCZNE Przypadek.-ściskaniewkierunkuYbezograniczeniaodkształceńwkierunku X: σ xx =0, ε xx = ν yx E y σ xx, (4.) ε yy = E y σ yy. Przypadek3.-ścinanie: ε xy = G xy σ xy. (4.3) Z równań(4.) i(4.), znając uśrednione naprężenia i odkształcenia, można wyznaczyće x,e y iν xy.z(4.3)wyznaczymynatomiastg xy. Ściskanie w kierunku X Przyjęte w teście warunki brzegowe pokazano na rys. 4.3a. Dlazadanegou x = 0.0665[mm]otrzymano: σ xx =.38448[N/mm ],ε xx = 0.000, E x = σ xx ε xx =.38448 0.000 =3844.8[N/mm ]. ε yy =.085 0 5,σ xx =.38448[N/mm ], ν xy = ε yye x =.085 0 5 3844.8 σ xx.38448 =0.09. Ściskanie w kierunku Y Przyjęte w teście warunki brzegowe pokazano na rys. 4.3b. Dlazadanegou y = 0.0665[mm]otrzymano: σ yy = 0.936665[N/mm ],ε yy = 0.000, E y = σ yy ε yy = 0.936665 0.000 =9366.65[N/mm ].

4.. WŁAŚCIWOŚCI EFEKTYWNE 33 Ścinanie w kierunku X ε xx =7.35 0 6,σ yy = 0.936665[N/mm ], ν yx = ε xxe y = 7.35 0 6 9366.65 σ yy 0.936665 =0.074. Przyjęte w teście warunki brzegowe pokazano na rys. 4.3c. Dlazadanegou x = 0.0665[mm]otrzymano: σ xy =0.05588[N/mm ],γ xy =0.0000, G xy = σ xy γ xy =.5588 0.00 =558.8[N/mm ]. Tabela 4.: Zestawienie parametrów materiałowych: Cegły Właściwości efektywne E 0000 [N/mm ] E x 3844.8 [N/mm ] ν 0,5 E y 9366.65 [N/mm ] Zaprawa ν xy 0.09 K nn 000 [N/mm ] ν yx 0.074 K ss 890 [N/mm ] G xy 558.8 [N/mm ] Macierz podatności Po wyznaczeniu stałych sprężystości można na podstawie(3.34) uzupełnić macierz podatności materiału muru: S 3844.8 0.074 0.04 3844.8 9366.65 0 9366.65 0 0 0 558.8 = 4..3 Wyniki ogólne testów nośności 7.3 0.784 0 [ ] 0.784 0.676 0 0 5. MPa 0 0 39.09 (4.4) W tabeli 4.3 zestawiono wyniki przeprowadzonych testów nośności na rozciąganie przy ściskaniu w kierunku prostopadłym. Dla odpowiednich wymuszonych przemieszczeńu x odczytanowkażdymprzypadkusumęreakcjiwwęzłachzwymuszeniem, na podstawie czego otrzymano średnie naprężenia ściskające dla panelu

34 ROZDZIAŁ 4. MODELE NUMERYCZNE σ xx.σ yy stanowinatomiastwartośćśredniąmaksymalnychnaprężeńrozciągających jakie przenosi panel, obliczoną jako suma reakcji węzłów z wymuszonym przemieszczeniemu y,podzielonaprzezprzekrójpanelu. Na podstawie uzyskanych wyników stworzono powierzchnię graniczną nośności panelu w przypadku rozciągania w kierunku y przy ściskaniu w kierunku x. Porównanie powierzchni z analogiczną uzyskaną przez Page a pokazano na rys. 4.4. Widoczny jest podobny charakter powierzchni w środkowej części(dla paneli.5, 45 i 67.5 ),choćwprzypadkubadańnajniższąnośnośćwykazał panelobróconyo.5,zaśwwynikutestównumerycznych-panel 45.Dodatkowo z testów na wykorzystanym tutaj modelu nie będzie możliwe określenie wytrzymałościpaneli 0 i 90 zewzględunaściskanie. Tabela 4.3: Wyniki testów 0,5 45 67,5 90 σ xx σ yy σ xx σ yy σ xx σ yy σ xx σ yy σ xx σ yy u x [N/mm ] [N/mm ] [N/mm ] [N/mm ] [N/mm ] 0.00 0.05 0.0 0.5 0 (0.053) 0,485 0 (0.097) 0.55 0 (0.44) 0.659 0 (0.0) 0.794 0 (0.099).78.04 0.860 0.476 (0.986) (0.773).08.698 0.455 (.06) (.569) 0.68 0.644 0.704 0.466 0.76 0.808 (0.50) (0.56) (0.600).89.34.88.408 0.7 0.37 0.66 (.70) (.9) (.304).87 3.3 (3.06) 0.45.797 -.37 -.85 -.3 (.007).84 Na wykresie 4.5 pokazano dodatkowo porównanie odpowiedzi muru na zadane przemieszczenie rozciągające w zależności od kąta obrotu panelu. Wyniki uzyskanoztestówbezzadanegoprzemieszczeniaściskającego(u x =0).Zauważalnajestwyraźnaróżnicawmaksymalnejnośnościmiędzypanelem 90 apozostałymi panelami, wynikająca z braku warunku na pękanie cegieł. Aby doszło w tym przypadku do zniszczenia panelu konieczne jest więc ścięcie w płaszczyźnie wszystkich spoin wspornych- schemat zniszczenia jest pokazany na rys. 4.4. Na wykresie widoczne jest także duże zróżnicowanie nachylenia krzywych w początkowej fazie pracy konstrukcji, co wyraźnie świadczy o anizotropii materiału w sferze sprężystej. Dodatkowo zauważyć można zachowanie konstrukcji po zainicjowaniuzniszczenia-oilewprzypadkupanelu 0 materiałstopniowoulega degradacji, o tyle w miarę zwiększania kąta nachylenia zniszczenie następuje w sposóbmniejpłynny-awprzypadkupanelu 67.5 dochodzidonagłegozerwaniaspoin.wteściepanelu 90 niewidaćzachowaniamateriałuwpóźniejszej

4.. WŁAŚCIWOŚCI EFEKTYWNE 35 yy xx yy.0 0.5 90 xx.0.0 67.5 45.5 0 (a) Powierzchnia graniczna otrzymana z wyników testów numerycznych. (b) Powierzchnia uzyskana przez Page a[page, 983]. Rysunek 4.4: Porównanie powierzchni granicznych.

36 ROZDZIAŁ 4. MODELE NUMERYCZNE fazie ze względu na problemy ze zbieżnością zadania. Zostało to omówione nieco bardziej szczegółowo w pkt. 4..5.. yy 0.8 0.4 Panel 0 Panel.5 Panel 45 Panel 67.5 Panel 90 0.0 0.00 0.05 0.0 0.5 0.0 0.5[x.E-3] Rysunek 4.5: Porównanie zależności naprężenie-odkształcenie dla poszczególnych paneli w teście bez odkształceń ściskających. 4..4 Wyniki szczegółowe testów nośności. Rysunki 4.6-4.4 przedstawiają mapy wystąpienia warunku zniszczenia(3.3) w elementach kohezyjnych modelujących spoiny, w momencie zakończenia testu. Na wykresach 4.7-4.5 widoczna jest zależność uśrednionych naprężeń rozciągającychwkierunkux(obliczonychjakosumareakcjiwęzłówzzadanymu y podzielonaprzezprzekrój)odśredniegoodkształcenia(przemieszczenieu y podzielone przez wysokość panelu- 665mm). Aby określić całkowitą siłę reakcji panelu należałoby więc otrzymane naprężenia pomnożyć prze 665x0[mm]. Wyniki zestawione są dla każdego panelu w zależności od zadanego(w kroku poprzedzającymrozciąganie)przemieszczeniaściskającegou x.wartościnaprężeńnawykresachpodawanesąw[n/mm ].Zauważalneprzesunięciewkolejnychprzypadkach punktu zerowych naprężeń wynika z zadawanych odkształceń ściskających w kierunku x- powodujących dodatnie odkształcenia w kierunku y. Na rys. 4.6-4.4 pokazano mapy zachodzenia warunku inicjacji zniszczenia w materiale spoiny(3.3)- wartość świadczy o zainicjowaniu zniszczenia, wartość 0 o braku w elemencie naprężeń prowadzących do wytężenia. Wynikiszczegółowedlapanelu 0 Wprzypadkupanelu 0 dozniszczeniadochodziłowyłącznienaskutekrozciągania spoiny wspornej, przez co nośność panelu jest niemal równa wytrzymałości materiału zaprawy(por. tab. 4.). Różnica wynika z zablokowania odkształceń

4.. WŁAŚCIWOŚCI EFEKTYWNE 37 w kierunku x w przypadku panelu, przez co powstają dodatkowe naprężenia ścinające w zaprawie. QUADSCRT (Avg: 75%) +.000e+00 +9.68e 0 +8.337e 0 +7.505e 0 +6.674e 0 +5.84e 0 +5.00e 0 +4.79e 0 +3.347e 0 +.56e 0 +.684e 0 +8.54e 0 +.075e 03 Y Z X ODB: Panel0.odb Abaqus/Standard Version 6.8 3 Wed Jun 04:0:5 GMT+0:00 04 Step: Step Increment 63: Step Time =.000 Primary Var: QUADSCRT Deformed Var: U Deformation Scale Factor: +.000e+0 Rysunek 4.6: Obserwowana postać zniszczenia. 0.50 0.40 0.30 0.0 yy u = 0.00 x u = 0.05 x u = 0.0 x u = 0.5 x 0.0 0.00 yy 0.00 0.05 0.0 0.5 0.0 0.5 [x.e-3] Rysunek 4.7: Zależność naprężenie-odkształcenie dla poszczególnych testów. Wynikiszczegółowedlapanelu.5 Wprzypadkupanelu.5 widocznejestżedozniszczeniadochodzipoprzez rozciąganie połączone ze ścinaniem wzdłuż pojedynczej powierzchni spoiny wspornej(rys.4.8).wprzypadkutestuzprzemieszczeniemu x =0.0[mm]nagłe przerwanie wykresu spowodowane jest problemami ze zbieżnością zadania rozwiązywanego standardowym algorytmem Abaqusa.