Krzysztof Piontek Katedra Inwestycji Finansowych i Ubezpieczeń Akademia Ekonomiczna we Wrocławiu Zmienność implikowana instrumentów finansowych - wprowadzenie Wstęp Ostatnia dekada zaowocowała dynamicznym rozwojem teorii i prayki rynków finansowych. Wśród wielu rodzajów ryzyka występującego na rynkach finansowych szczególną uwagę zwrócono na ryzyko rynkowe (związane ze zmianami cen instrumentów finansowych) oraz ryzyko kredytowe (związane z możliwością niewywiązania się jednej ze stron z kontrau). Jedną z grup pomiaru ryzyka rynkowego miary stanowią miary zmienności cen instrumentów finansowych (volatility measures). Celem pracy jest przedstawienie podstawowych pojęć związanych ze zmiennością implikowaną (implied volatility), óra stanowi rynkowe oszacowanie zmienności instrumentu bazowego wyznaczane na podstawie kwotowań opcji wystawionych na ten instrument. Zaprezentowane zostały techniki wyznaczania zmienności implikowanej na podstawie kwotowań pojedynczych opcji, jak i łącznego parametru zmienności wyznaczanego na podstawie klas opcji. Przedstawione zagadnienia mogą zostać wykorzystane w zarządzaniu: - ryzykiem kursu walutowego (exchange rate risk); - ryzykiem cen akcji (stock price risk); - ryzykiem cen towarów (commodity price risk). Z opracowania wyłączone zostało ryzyko stopy procentowej (interest rate risk), co związane jest z odmiennymi narzędziami stosowanymi w analizie zmienności oraz struury stóp procentowych (obieem badania jest wówczas cała krzywa dochodowości papierów dłużnych).
Krzysztof Piontek. Zmienność instrumentów finansowych Zmienność instrumentów finansowych jest pojęciem zyskującym coraz bardziej na znaczeniu. Ogólnie można powiedzieć, że zmienność jest miarą niepewności co do przyszłych zmian ceny instrumentu finansowego [7]. Jeśli wzrasta zmienność, rośnie prawdopodobieństwo, że dany instrument finansowy znacznie zmieni swoją cenę w przyszłości. Z punu widzenie posiadacza takiego instrumentu to może być zarówno korzystna, jak i niekorzystna zmiana. W literaturze definiuje się następujące rodzaje zmienności []: zmienność przyszłą (future volatility); stanowiącą nieznaną wartość przyszłej zmienności, zmienność historyczną (historical, realized volatility), wyznaczaną na podstawie przeszłych notowań instrumentu bazowego, zmienność implikowaną (implied volatility); wyznaczaną na podstawie cen opcji wystawionych na instrument bazowy. Czasami wyróżnia się również: prognozę zmienności (forecast volatility); związaną z prognozami instytucji finansowych, przy czym techniki prognozy nie są bliżej zdefiniowane, zmienność sezonową (seasonal volatility); związaną z sezonowym zachowaniem rynków towarowych (przede wszystkim rynków towarów rolnych). Zainteresowanie zmiennością przejawia się zarówno na płaszczyźnie teoretycznej, gdyż bardzo silnie rozwijają się modele teoretyczne umożliwiające zarządzanie ryzykiem [8] oraz z przyczyn praycznych [9], gdyż prawidłowe oszacowanie (przyszłego) parametru zmienności umożliwia zmniejszenie ryzyka inwestycji lub osiągnięcie większych dochodów. Znaczenie zmienności w teorii finansów jest fundamentalne. Wystarczy wspomnieć o modelach równowagi rynków kapitałowych, klasycznej teorii portfela zaproponowanej przez Markowitza, modelach wyceny opcji, czy bardzo ostatnio zalecanej koncepcji pomiaru ryzyka metodą Value at Risk (VaR).
Jednak z punu widzenia podejmowania decyzji inwestycyjnych najważniejszą rolę odgrywają prognozy zmienności. Inwestor zainteresowany jest oszacowaniem przyszłego poziomu zmienności. Teoria i prayka wypracowały różne metody prognozowania zmienności - od metod bardzo prostych wykorzystujących koncepcję procesów o stałym parametrze zmienności, po modele stochastycznej zmienności oraz zmienności implikowanej.. Zmienność implikowana dla pojedynczej opcji Zgodnie z modelem Blacka-Scholesa [] wartość europejskiej opcji kupna na akcję spółki nie wypłacającej dywidendy dana jest wzorem: ( d c = SN d ) Ee N( ), () gdzie: d ln = S E σ + r + σ T T d ln = S E σ + r σ T c wartość europejskiej opcji kupna, S cena instrumentu bazowego, E cena wykonania opcji, r stopa wolna od ryzyka, T długość okresu do terminu wygaśnięcia opcji, wyrażona w latach, σ odchylenie standardowe stopy zwrotu instrumentu bazowego, N(d) wartość dystrybuanty standaryzowanego rozkładu normalnego dla argumentu równego d. T Jeżeli założy się, że rynek instrumentów pochodnych jest rynkiem efeywnym, czyli w cenie opcji znajdują odzwierciedlenie wszelkie informacje mogące mieć wpływ na cenę tej opcji oraz, że modele teoretyczne prawidłowo 3
Krzysztof Piontek wyceniają instrument pochodny, możliwe staje się wyznaczenie rynkowego oszacowania zmienności instrumentu bazowego w okresie pozostającym do wygaśnięcia opcji. Ponieważ nie jest możliwe (dla modelu Blacka-Scholesa) analityczne przedstawienie parametru zmienności, jako funkcji pozostałych parametrów modelu, σ=f(c,s,e,t,r), wyznaczenia zmienności dokonuje się metodami numerycznymi, przy założeniu, że pozostałe parametry modelu są znane, a cena opcji na rynku jest ceną sprawiedliwą. Najczęściej stosuje się w tym celu rekurencyjny algorytm Newtona-Raphsona: σ c ( σ ) c c σ i m i+ = σ i, () gdzie: i σ i - zmienność implikowana uzyskana w i-tym kroku algorytmu, c m - rynkowa cena opcji, c(σ i ) - cena wyznaczona z modelu Blacka-Scholesa dla zmienności σ i, c σ i - parametr vega. Procedurę powtarza się aż do uzyskania warunku: ( σ ) ε c c, (3) m i+ gdzie ε to założony poziom dokładności. Wartość startową algorytmu, zapewniającą zbieżność procedury zaproponowali Manaster i Koehler []. ln S σ = + rt (4) E T Aby skorzystać z algorytmu Newtona-Raphsona niezbędna jest znajomość cząstkowej pochodnej ceny opcji względem parametru zmienności (współczynnika vega). W wielu przypadkach (np. dla nieórych opcji 4
egzotycznych, opcji amerykańskich) współczynnik vega nie jest znany w postaci analitycznej. Parametr zmienności implikowanej wyznacza się wówczas wykorzystując metodę rekurencyjnej interpolacji liniowej (The Bisection Method) [6]: ( c c ) σ σ H L σ i+ = σ L + m L, (5) c H c L c L <c m <c H oraz σ L <σ i <σ H gdzie: c L - cena opcji wynikająca ze zmienności σ L, c H - cena opcji wynikająca ze zmienności σ H, c m - rynkowa cena opcji związana z poszukiwaną wartością σ i. W kolejnym kroku algorytmu, o ile nie jest spełniony warunek (3), dokonywane jest odpowiednie podstawienie: σ σ L H = σ = σ i+ ; i+ ; c ( σ i+ ) ( σ ) c i+ < c > c m m Zaproponowane zostały również metody nie wykorzystujące rozwiązań rekurencyjnych. Brenner i Subrahmanyam [3] przedstawili w 988 roku wzór na zmienność implikowaną wyznaczaną na podstawie ceny europejskiej opcji kupna, gdy cena akcji równa jest zdyskontowanej cenie wykonania opcji. (6) σ c m S π T (7) Corrado i Miller [5] przedstawili w 996 roku wzór na przybliżoną wartość zmienności implikowanej dla opcji niekoniecznie będącej forward at-themoney. σ T π c S Ee ( ) + m S + Ee Opcja jest at-the-money-forward, gdy spełniona jest zależność S = Xe. 5
Krzysztof Piontek ( ) S Ee S Ee + c m (8) π 3. Łączna zmienność implikowana dla klasy opcji Bardzo często zdarza się, że na rynkach notowanych jest więcej niż jedna opcja wystawiona na dany instrument (notowane są opcje o różnych terminach wygaśnięcia i różnych cenach wykonania). Możliwe jest wówczas otrzymanie różniących się wartości zmienności implikowanej będących oszacowaniem tej samej przyszłej zmienności. Związane jest to z obciążeniami modeli teoretycznych, ewentualnym brakiem płynnością rynku, błędnym oszacowaniem pozostałych danych w modelu teoretycznym, istnieniem spreadu bid-ask itd. Nie wszystkie opcje są również tak samo wrażliwe na zmiany odchylenia standardowego stóp zwrotu instrumentu bazowego. Niezbędne stało się podjęcie próby połączenia informacji niesionej przez poszczególne wartości zmienności implikowanej w jeden łączny parametr zmienności implikowanej (σ! ). Często procedurę wyznaczania złożonego parametru zmienności implikowanej poprzedza odrzucenie z analizowanego określonego podzbioru opcji o określonych wielkościach premii opcyjnych lub czasu do wygaśnięcia [3]. Dalsza część procedury wyznaczania łącznego parametru zmienności implikowanej obejmuje wyznaczenie odpowiednio ważonej średniej dla zmienności implikowanych otrzymanych dla opcji pochodzących z tej samej klasy. W zależności od autora za klasę opcji uważa się: wszystkie opcje wystawione na ten sam instrument bazowy [0], wszystkie dostępne do analizy opcje wystawione na ten sam instrument bazowy oraz o tym samym terminie wygaśnięcia []. Zakłada się, że dla każdego instrumentu bazowego k oraz momentu czasowego t, istnieje prawdziwa wartość zmienności σ κ, óra idealnie opisuje oczekiwaną 6
przyszłą zmienność. Liczbę opcji w danej klasie dla danych k i t oznacza się jako N, a σ i to zmienności implikowane dla poszczególnych opcji w klasie (i=,..., N ). Zaproponowane przez różnych autorów estymatory łącznej zmienności implikowanej σˆ, kładą odmienny nacisk na wartości zmienności implikowanych otrzymanych dla opcji o różnych wrażliwościach na zmiany odchylenia standardowego. Najbardziej wrażliwe są opcje at-the-money o stosunkowo długim okresie do wygaśnięcia. R. Schmalensee i R. Trippi [3] zaproponowali, aby wszystkie zmienności implikowane traować tak samo i ich łączny estymator ma postać średniej ważonej jednakowymi wagami N σ ˆ = σ. (9) N i= i Wagi proporcjonalne do współczynnika vega poszczególnych opcji zostały zaproponowane przez H. Latané i J. Rendlemana [0] oraz S. Beckersa []. Z wzoru Blacka-Scholesa można pokazać, że współczynnik vega posiada maksimum (opcje są najbardziej wrażliwe na zmianę współczynnika zmienności), gdy spełniona jest zależność: σ T r + S = Xe. (0) W przybliżeniu odpowiada to pojęciu opcji at-the-money-forward. Latane i Rendleman zaproponowali następujący wzór do wyznaczania estymatora łącznego: σˆ = ( σ w ) N = kjt kjt j N j= w kjt 0.5 () 7
Krzysztof Piontek gdzie: w kjt pochodna cząstkowa ceny opcji j na instrument k w momencie t względem odchylenia standardowego wyznaczona z modelu teoretycznego. Powyższa "średnia ważona" nie jest prawdziwą średnią ważoną, ponieważ suma wag jest mniejsza niż. Z tego względu estymator ten jest obciążony i zaniża wartość zmienności implikowanej. Co więcej obciążenie zwiększa się wraz ze wzrostem wielkości próby nawet, gdy wszystkie zaobserwowane zmienności implikowane dla pojedynczych opcji są takie same. Niemniej wagi takie uznano za lepsze niż jednostkowe, gdyż przyznają mniejszą wagę wartościom mogącym okazać się błędnymi oszacowaniami. Beckers zaproponował procedurę wyznaczania łącznej zmienności implikowanej, órą koncentruje się przede wszystkim na zmiennościach implikowanych na podstawie opcji forward-at-the-money. Wartość łącznej zmienności uzyskuje się poprzez minimalizację funkcji: f ( ˆ N ( wi [ cmi ci ( σˆ )] ) i= σ ) = () N i= w i Procedura ta minimalizuje ważoną sumę kwadratów odchyleń cen rynkowych oraz cen wynikających z modelu teoretycznego przy założonym poziomie zmienności. Wagi w tej procedurze są proporcjonalne do kwadratów wag z procedury Latane i Randlemana, co powoduje, że większy nacisk kładzie się na opcje o większej wrażliwości na zmiany odchylenia standardowego. D. Chiras i S. Manaster [4] zaproponowali średnią ważoną względem współczynnika elastyczności ceny opcji i odchylenia standardowego: 8
σˆ = gdzie: c σ j j N j= σ c c j σ j σ j σ j c j N c j σ j j= σ j c j j j -elastyczność ceny względem odchylenia standardowego; (3) informuje ile procent zmieni się wartość opcji, jeżeli zmienność zmieni się o jeden procent swej wartości. Zaproponowane powyżej metody wyznaczania łącznej zmienności implikowanej, uwzględniają z różną wagą zmienności implikowane otrzymane dla opcji o różnej wrażliwości na zmiany odchylenia standardowego stóp zwrotu. Podsumowanie W dobie szybkich komputerów, gdy nie ma trudności z zastosowaniem metod numerycznych, a coraz więcej inwestorów dysponuje profesjonalnymi pakietami wspomagającymi obliczenia finansowe, w wyznaczaniu zmienności implikowanej pojedynczej opcji stosuje się zazwyczaj metodę Newtona- Raphsona. Tracą na znaczeniu wzory przybliżone zaproponowane przez Brennera i Subrahmanyama oraz Corrado i Millera. Więcej trudności sprawia prawidłowe oszacowanie zmienności łącznej. Ze względu na wspomniane powyżej wady, nie stosuje się praycznie technik zaproponowanych przez Schmalensee i Trippi'ego oraz Latané i Rendlemana. Najczęściej wykorzystuje się techniki zaproponowane przez Beckersa oraz Chirasa i Manastera, choć brak jednoznacznej odpowiedzi, óra z nich jest lepsza. 9
Krzysztof Piontek LITERATURA. Black F., Scholes M. (973). The pricing of Options and Corporate Liabilities. Journal of Political Economy, nr 8, s. 637-654.. Beckers S. (98). Standard deviations impied in option prices as predictors of future stock price variability. Journal of Banking and Finance 5. North-Holland Publishing Company. s. 363-38. 3. Brenner M., Subrahmanyam M. (988). A Simple Solution to Compute The Implied Standard Deviation. Financial Anaysts Journal, s. 80-83. 4. Chirac D., Manaster S. (978). The information content of option prices and a test of market efficiency. Journal of Financial Economics 6. North-Holland Publishing Company. s. 3-34. 5. Corrado C., Miller T. (996). A Note on a Simple, Accurate Formula to Compute Implied Standard Deviations. Journal of Banking and Finance, 0, s. 593-603. 6. Haug E. (989). The Comlete Guide to Option Pricing Formulas. McGraw- Hill, s. 70-7. 7. Hull J. (997). Futures, options, and other derivatives. Prentive-Hall, New York.. Jajuga K. (998). Ogólna koncepcja zarządzania ryzykiem finansowym. Materiały z XXXIV Konferencji Statystyków, Ekonometryków, Matematyków Polski Poludniowej. Katowice. 9. Jajuga K. (998). Zmienność prognozowanie i zastosowanie w zarządzaniu ryzykiem. Materiały z konferencji Prognozowanie w zarządzaniu firmą. PN nr 808. Wrocław. 0. Latane H., Rendleman R. (976). Standard deviations of stock price ratios implied in option prices. The Journal of Finance. Vol. XXXI No.. s.369-38.. Manaster S., Koehler G. (98). The Calculation of Implied Variances from the Black-Sacholes Model, Journal of Finance, 37(), s. 7-30. 0
. Natenberg S. (994). Option Volatility & Pricing, Probus Publishing Company, Chicago. 3. Schmalensee R., Trippi R. (978). Common stock volatility expectations implied by option premia. The Journal of Finance. Vol. XXXIII No.. s. 9-47.