Wojewódzki Konkurs Matematyczny dla uczniów gimnazjów rok szkolny 05/06 Etap II rejonowy W kluczu przedstawiono przykładowe rozwiązania oraz prawidłowe odpowiedzi. Za każdą inną poprawną metodę rozwiązania zadania uczeo otrzymuje maksymalną liczbę punktów. Do kolejnego etapu kwalifikuje się uczeo, który uzyskał co najmniej 4 punktów. Zadanie [ pkt.] Liczba uczestników zimowiska zmniejszyła się w stosunku do roku ubiegłego o 0%. W ubiegłym roku dziewczęta stanowiły 50% wszystkich uczestników, a w tym roku 55% wszystkich uczestników. Oblicz, o ile procent, w porównaniu z rokiem ubiegłym, liczba dziewcząt uczestniczących w zimowisku zwiększyła się lub zmniejszyła. 𝑥 liczba uczestników zimowiska w ubiegłym roku 0,5𝑥 liczba dziewcząt uczestniczących w zimowisku w ubiegłym roku 0,9𝑥 - liczba uczestników zimowiska w tym roku 0,55 0,9𝑥 = 0,495𝑥 liczba dziewcząt uczestniczących w zimowisku w tym roku 0,5𝑥 0,495𝑥 0,05 00% = 00% = % 0,5𝑥 5 Odpowiedź: Liczba dziewcząt zmniejszyła się o 𝟏%. Uczeo otrzymuje punkt, gdy: uzależni liczbę dziewcząt uczestniczących w zimowisku w tym roku od liczby uczestników zimowiska w ubiegłym roku. poprawnie obliczy,o ile procent zmniejszyła się liczba dziewcząt. Uwaga! Jeżeli uczeo poprawnie rozwiąże równanie i zapisze odpowiedź Liczba dziewcząt zwiększyła się o %, to otrzymuje punkt.
Zadanie [3 punkty] Wyznacz liczby naturalne a, b, c, d, dla których 09 34 = a + 09 34 = 3 + 7 34 = 3 + 34 Odpowiedź: a = 3, b = 4, c =, d = 6 7 b + c + d = 3 + 4 + 6 = 3 + 4 + 7 7 6 Uczeo otrzymuje punkt, gdy: poprawnie wyznaczyliczbę a lub dwie z liczb b, c, d. poprawnie wyznaczyliczbę a idwie z liczb b, c, d. poprawnie wyznaczycztery liczby a, b, c, d. = 3 + 4 + + 6 Zadanie 3 [ pkt.] Przedstaw wartośd wyrażenia 0 9 4 45 + 80 w postaci a + b 5. Rozwiązanie: 0 9 4 45 + 80 = 5 9 4 6 5 + 8 5 = 5 + 9 4 + 6 5 + 8 5 = 5 + 5 Uczeo otrzymuje punkt, gdy: poprawnie zastosuje definicję wartości bezwzględnej poda prawidłową odpowiedź: 5 + 5.
Zadanie 4 [4 pkt.] Ada, Basia i Czarek rok temu mieli razem 40 lat. Gdy do połowy obecnego wieku Ady, dodamy trzecią częśd obecnego wieku Basi i czwartą częśd obecnego wieku Czarka, to otrzymamy obecny wiek Basi. Jeśli policzymy średnią arytmetyczną obecnego wieku Ady i Czarka, to otrzymamy wiek Basi sprzed roku. Oblicz, ile obecnie lat ma Ada, ile Basia i ile Czarek. Sposób I a obecny wiek Ady b obecny wiek Basi c obecny wiek Czarka a + b + c = 40 a + b + c = 43 a = 43 b c 43 b c + 3 b + c = b 4 43 b c + c = b b c + 4 c = 3 b 43 b = b b = 5 = 7 6 5 + 4 c Sposób II a obecny wiek Ady b obecny wiek Basi c obecny wiek Czarka a + b + c = 40 a + 3 b + c = b 4 a + c = b c = 43 a b 3a + 9 = b b = 5 a = b = 5 c = 6 b = 5 c = 6 a = 43 b c = 43 5 6 = Odpowiedź: Ada ma lat, Basia 5 lat, a Czarek 6 lat. Uczeo otrzymuje punkt, gdy: poprawnie uzależni wiek jednej osoby od wieku pozostałych. poprawnie zapisze układ równao prowadzący do rozwiązania zadania. zastosuje poprawną metodę rozwiązania układu równao. poprawnie obliczy obecny wiek Ady i Basi i Czarka. Uwaga! Jeśli uczeo nie opisze zmiennych wykorzystanych w zadaniu, ale poda prawidłową odpowiedź, to otrzymuje maksymalną liczbę punktów.
Zadanie 5 [4 pkt.] Dana jest funkcja określona wzorem f x = x 8 9. Oceo prawdziwośd poniższych zdao. Jeśli zdanie jest prawdziwe zamaluj kratkę pod literą P, a jeśli fałszywe zamaluj kratkę pod literą F. Funkcja f jest funkcją rosnącą. f(06) jest liczbą naturalną. f 3 jest liczbą dodatnią. Miejscem zerowym funkcji f(x) jest punkt A = (8; 0). zaznaczy jedną poprawną odpowiedź. zaznaczy dwie poprawne odpowiedzi. zaznaczy trzy lub cztery poprawne odpowiedzi. P F Zadanie 6 [ pkt.] Zapisz wyrażenie 6 a6 b a3 b + jako kwadrat różnicy dwóch jednomianów. Rozwiązanie: 6 a6 b a3 b + = 4 a3 b Uczeo otrzymuje punkt, gdy: zapisze wyrażenie w postaci 4 a3 b
Zadanie 7 [4 pkt.] Na przedstawionym schematycznym rysunku odcinek BC jest średnicą okręgu, BC = 90, BD =, AD = 6. Oblicz długośd odcinka EC. x = EC Trójkąt BCD: CB = BD + CD, CD = 30 Trójkąt CAD: AC = AD + CD, AC = 34 Trójkąt ABE: BE = AB AE = 7 34 x Trójkąt BCE: BE = BC EC = 90 x 7 34 x = 90 x x = 6 Uczeo otrzymuje punkt, gdy: poprawnie obliczy długośd odcinkacd. poprawnie obliczy długośd odcinkacd i długośd odcinka AC. zastosuje poprawną metodę obliczenia długości odcinkaec. poprawnie obliczy długośd odcinkaec.