Wykład 7 Uwaga: W praktyce często zdarza sę, że wynk obu prób możemy traktować jako wynk pomarów na tym samym elemence populacj np. wynk x przed wynk y po operacj dla tego samego osobnka. Należy wówczas potraktować wynk jako dane jednej próby borąc pod uwagę różncę y -x. Wówczas zamast testu dla dwóch średnch stosujemy test dla jednej średnej. Próba zawera wówczas wartośc różnc z = y -x. Statystyka t, a właścwe jej oblczona wartość, przyjmuje postać: t obl z n 1 s z poneważ m 0 =0. Hpoteza zerowa ma postać H 0 :m z =0. Przykład. W teśce badającym pamęć ucznów dla 8 wylosowanych osób otrzymano następujące lczby zapamętanych przez ne elementów przed po specjalnym trenngu:
Przed (X) Po (Y) 16 21 13 17 14 20 21 26 19 23 18 22 26 21 17 18 Na pozome stotnośc 0,05 sprawdzć hpotezę o skutecznośc trenngu. Rozwązane: Nech Z = Y - X. Przed(X) Po(Y) Z=Y-X 16 21 5 13 17 4 14 20 6 21 26 5 19 23 4 18 22 4 26 21-5 17 18 1 Średna z próby: 3 Odchylene standardowe: 3,3 H 0 :m z =0 H 1 : m z >0 Wartość: t 2, 4 obl Obszar krytyczny: t>t 2, gdze t 2 =1,895 Odpowedź: Odrzucamy hpotezę zerową tzn. trenng był skuteczny!!!!
Badane zależnośc mędzy cecham. Dana jest populacja generalna, w której badamy dwe cechy merzalne jako zmenne losowe. Do pomaru sły zależnośc służy współczynnk korelacj. Własnośc: 1. [-1,1] 2. =0 to brak korelacj (zależność b.słaba) 3. =1 lub =-1 to slna zależność lnowa (można znaleźć take a b, że Y=aX+b) 4. 0<<1 to korelacja dodatna (wzrost wartośc cechy X powoduje, że wartośc cechy Y także rosną) 5. 1<<0 to korelacja ujemna (wzrost wartośc cechy X powoduje, że wartośc cechy Y maleją) Jeśl chcemy oszacować parametry dla tych dwóch zmennych należy najperw oblczyć odpowedne parametry z próby. Sposób ch oblczana zależy od welkośc próby, którą stanową pary wartośc (x, y ). Tablca korelacyjna. Mała próba
Cecha X Cecha Y x 1 y 1 x 2 y 2 x 3 y 3...... x n y n Współczynnk korelacj z próby: (mała próba) r n 1 n 1 x x y y 2 x x y y n 1 2 Przykład W celu zbadana czy stneje korelacja mędzy krotnoścą dawk pewnego preparatu (X), a masą wątroby szczura, w gramach (Y), przeprowadzono badana otrzymano wynk: x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 y 3,25 4,5 3,75 4,75 5,5 4,25 3,5 5,0 5,25 4 Oblczyć r. Rozwązane:
6 5 4 3 2 1 0 0 2 4 6 8 10 Najperw oblczamy średne z próby. X Y 1 3,25 2 4,5 3 3,75 4 4,75 5 5,5 6 4,25 7 3,5 8 5 9 5,25 10 4 55 43,75 5,5 4,38 Teraz przygotowujemy wartośc różnc ( x x) ( y y)
x y x -5,5 y -4,38 1 3,25-4,5-1,13 2 4,5-3,5 0,12 3 3,75-2,5-0,63 4 4,75-1,5 0,37 5 5,5-0,5 1,12 6 4,25 0,5-0,13 7 3,5 1,5-0,88 8 5 2,5 0,62 9 5,25 3,5 0,87 10 4 4,5-0,38 W lcznku r znajduje sę suma loczynów tych różnc: x y x -5,5 y -4,38 do lcznka r 1 3,25-4,5-1,13 5,085 2 4,5-3,5 0,12-0,42 3 3,75-2,5-0,63 1,575 4 4,75-1,5 0,37-0,555 5 5,5-0,5 1,12-0,56 6 4,25 0,5-0,13-0,065 7 3,5 1,5-0,88-1,32 8 5 2,5 0,62 1,55 9 5,25 3,5 0,87 3,045 10 4 4,5-0,38-1,71 6,625 Na konec trzeba oblczyć kwadraty różnc je dodać. x y x -5,5 y -4,38 do lcz. do man1 do mn2 1 3,25-4,5-1,13 5,085 20,25 1,2769 2 4,5-3,5 0,12-0,42 12,25 0,0144 3 3,75-2,5-0,63 1,575 6,25 0,3969 4 4,75-1,5 0,37-0,555 2,25 0,1369 5 5,5-0,5 1,12-0,56 0,25 1,2544 6 4,25 0,5-0,13-0,065 0,25 0,0169 7 3,5 1,5-0,88-1,32 2,25 0,7744 8 5 2,5 0,62 1,55 6,25 0,3844 9 5,25 3,5 0,87 3,045 12,25 0,7569 10 4 4,5-0,38-1,71 20,25 0,1444 6,625 82,5 5,1565
Wstawając do wzoru otrzymujemy: r 6,625 82,5 5,1565 0,321204 Test dla współczynnka korelacj. Będzemy zajmować sę testem stotnośc dla współczynnka korelacj, badając czy jest on stotne różny od 0, co oznacza, że mędzy cecham jest zależność ( korelacja). Model. Dwuwymarowy rozkład badanych cech w populacj jest normalny lub zblżony do normalnego. Welkość próby nekoneczne duża. Stawamy hpotezy: H 0 :=0 H 1 :0 Oblczamy współczynnk korelacj z próby r oraz wartość statystyk: t obl r 1r 2 n2 Określamy obszar krytyczny: tt, gdze t odczytujemy z tablc rozkładu Studenta, dla n-2 stopn swobody danego pozomu stotnośc.
Jeżel zachodz nerówność t obl t to odrzucamy H 0, tzn. jest stotna korelacja mędzy cecham. W przecwnym przypadku ne ma podstaw do odrzucena H 0 tzn. mędzy cecham jest słaba zależność. Przykład: W pewnym dośwadczenu farmakologcznym bada sę wpływ leku na cśnene tętncze krw zwerząt dośwadczalnych. Podano 10 różnej welkośc dawek (w mg/kg wag cała) tego leku otrzymano następujące spadk cśnena (w mm Hg): X 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 Y 15 5 15 35 25 30 55 65 65 55 Na pozome stotnośc =0,1 zweryfkować hpotezę o stnenu korelacj mędzy welkoścą dawk a spadkem cśnena. Rozwązane: Oblczamy średne:. Mnożąc różnce ( x x) ( y y),
x y x -0,55 y -36,5 0,1 15-0,45-21,5 0,2 5-0,35-31,5 0,3 15-0,25-21,5 0,4 35-0,15-1,5 0,5 25-0,05-11,5 0,6 30 0,05-6,5 0,7 55 0,15 18,5 0,8 65 0,25 28,5 0,9 65 0,35 28,5 1,0 55 0,45 18,5 a następne dodając otrzymane składnk otrzymujemy lcznk współczynnka korelacj z próby r równy 54,75. Podnosząc powyższe różnce do kwadratu sumując je dla każdej cechy otrzymujemy wartość, której perwastek kwadratowy stanow manownk r. Stąd: Stawamy hpotezy: H 0 :=0 H 1 :0 I oblczamy wartość statystyk : t obl r 0,9 n2 85,83 1r 2 10,81 Porównując z wartoścą krytyczną:
t =1,86 stwerdzamy, że hpoteza zerowa mus być odrzucona tzn. jest korelacja mędzy podanym cecham.