Aadmia Mora w Gdyi Katdra Automatyi Orętow oria trowaia Prtałci Z Miroław omra. WPROWADZENIE Cora cęści w uładach trowaia toowa ą rgulatory cyfrow i tąd oicość orślaia rówań, tór opiuą ygały cyfrow i dyrt. a a rówaia różicow toowa ą do opiu uładów ygałami aalogowymi, ta rówaia różicow toowa ą dla uładów ygałami dyrtymi lub cyfrowymi. Rówaia różicow używa ą rówiż do aproymaci rówań różicowych w clu apiaia ich w programach omputrowych wyorytywaych w różgo rodau ymulacach. Rachu opratorowy Laplac a moż być tooway do rowiąywaia liiowych rówań różicowych wycaych, atomiat traformata Z t mtodą wyorytywaą do rowiąywaia liiowych rówań różicowych i uładów liiowych daymi dyrtymi lub cyfrowymi.. DEFINICJA RANSFORMAY Z W aalii uładów ciągłych wyorytywa t prtałci opratorow Laplac a tór dfiiowa t pr atępuący wór całowy { f ( t)} F () t f ( t) dt tóry w poób bpośrdi prowadi do bardo waż właości ( irowymi rowymi waruami pocątowymi) df ( t) F ( ) f () () dt Zalżość () powala a łatw alii tramitaci dla liiowych uładów ciągłych a podtawi rówaia różicuącgo opiuącgo t ułady. Dla uładów dyrtych t dotępa bardo podoba procdura. raformata Z, tóra dfiiowaa t pr atępuącą umę F() Z { f ( )} () f ( ) () gdi t mią poloą poiadaącą cęść rcywitą i urooą, f() t dyrtą wrą fuci f(t), atomiat,,,..., odpowiada dyrtym chwilom cau t, t, t,... Zalżość () prowadi do aalogic właości a () dla uładów dyrtych. Z { f ( )} F ( ) f () (4) Zalżość ta (4) powala w łatwy poób alźć tramitacę uładu dyrtgo a podtawi rówaia różicowgo opiuącgo t uład. Otatia atualiaca: --6 M. omra
oria trowaia Prtałci Z Poiż pryłady ilutruą wyprowadi traformat Z dla ilu protych fuci. Pryład Fuca impulowa dotowa (fuca dlta Diraca) ( ) (.) raformata Z fuci impulow Z { ( )} ( ) (.) Pryład Dyrta fuca oowa ( ) (.) raformata Z fuci oow t wyacaa ao uma atępuącgo rgu Z { ( )}... (.) Korytaąc fatu, ż dla rgu gomtrycgo uma wyacaa t atępuącgo woru wówca Z { ( )} x x /, x (.), (.4) Pryład Dyrta fuca wyładica. Próbowaa fuca wyładica, aiaąca w cai f ( ) ( ) r,,,... (.) gdi t orm próbowaia. raformata Z fuci (.) t atępuąca Z { } (.) Pr dfiiowai prób fuci wyładic ao wówca a podtawi rówaia (.) r (.) Z { } Z r } { (.4) r Otatia atualiaca: --6 M. omra
oria trowaia Prtałci Z Pryład 4 Dyrta fuca liiowo arataąca f ( ) (4.) gdi t orm próbowaia. raformata Z fuci liiowo arataąc wyacaa t atępuąco: Z {} Otatci d ( ) d Z {} ( ) d d d (4.) d (4.) Pryład 5 Fuca iuoidala f ( ) (5.) i gdi t orm próbowaia, pulacą. Fuca i moż otać apiaa atępuąco: i ( ) (5.) Stąd Z {i } ( )( ( ) ) i co (5.) W bardo podoby poób wyaca ię traformatę Z fuci Z {i } ( co co ) co t (5.4) Pryład 6 Zadź traformatę Z ygału dyrtgo w cai poaago a ryuu 6.. Rowiąai. raformata Z fuci f() ryuu 6.. wyacaa t ao uma atępuącgo rgu Z { f ( )} 4 (6.) 4 Otatia atualiaca: --6 M. omra
oria trowaia Prtałci Z f() 4 Ry. 6.. Wyr fuci dyrt w cai o ońco licbi prób Korytaąc fatu, ż uma rgu potęgowgo wyrażoa t worm wówca 4 x x x 4 5 Z { f ( )} ( ) 5 (6.) (6.). ZALEŻNOŚĆ POMIĘDZY RANSFORMAĄ LAPLACE'A I RANSFORMAĄ Z Dogodi będi roważać fuc y(),,,,... ao ciąg impulów oddiloych od ibi o prdiał cau, dfiioway ao or próbowaia. Impul w t chwili cau, ( t ) proi wartość y(). Sytuaca taa poawia ię cęto w cyfrowych lub próbowaych uładach trowaia w tórych ygał t watoway lub próboway co ud do potaci wci caow tóra rprtu ygał w chwilach próbowaia. Swca ygału próbowago moż być wyrażoa ao * y ( t) y( ) ( t ) (5) Doouąc obutro traformaty Laplac'a rówaia (5) otrymu ię * Y ( ) { y * ( t)} y ( ) (6) Porówuąc otati rówai rówaim (), widać ż traformata Z powiąaa t traformatą Laplac'a alżością (7) raformata Z dfiiowaa rówaim () moż być tratowaa ao pcaly prypad gdy. Dfiica traformaty opiaa worm (7) powala a prtałcai opiu uładów ciągłych a ułady próbowa i wyoywai a ich ymulaci cyfrowych. Moża trścić dfiicę traformaty Z ao lub apiać Y () Z { y ( )} Z { y * ( t)} Z { Y * ( )} Y ( ) * Y () Z { y ( t)} Z { Y ( )} (9) Pamiętaąc o tym, ż fuca y(t) t apirw próbowaa lub watowaa w clu otrymaia * t ygału y ( ) prd wyoaim traformaty Z. (8) Otatia atualiaca: --6 M. omra 4
oria trowaia Prtałci Z 4. WAŻNE WIERDZENIA RANSFORMAY Z Podobi a w prypadu traformaty Laplac'a twirdia t ą bardo użytc w wilu prypadach prowado aaliy pry atoowaiu traformaty Z. Ciąg licb rcywitych wyrażoy otał ao f() i śli or próbowaia i t orśloy, wówca prymu ię ż t dotowy. W tabli bra otały twirdia traformaty Z. abla. Podtawow twirdia traformaty Z. Dodawai i odmowai Z { f ( ) f ( )} af ( ) F ( ). Możi pr tałą Z { af ( )} az { f ( )} a F (). Pruięci w didii rcywit Z { f ( ) } F () (opóźii caow) Z { f ( ) } gdi: licba całowita. F( ) f ( ) (wyprdi caow). Pruięci w didii mi polo Z { f ( )} F ( ) 4. wirdi o wartości pocątow lim f ( ) lim F( ) 5. wirdi o wartości ońcow lim f ( ) lim( ) F( ), pod waruim, ż ( ) F( ) i ma żadych biguów a wątr ai a oręgu Pryład 7 (wirdi o wartości ońcow) Maąc daą fucę.79 F ( ) (7.) ( )(.46.8) orśl wartość f() gdy dąży do iońcoości. Rowiąai: Napirw alży prawdić, cy fuca ( ) F( ) i ma biguów a lub a wątr oręgu o promiiu. Miaowi fuci ( ) F( ) ma dwa pirwiati prężo.8. 459 i obydwa aduą ię wwątr oręgu o promiiu,, cyli moż otać atoowa twirdi 5 tabli. lim f ( ).79 lim( ) F( ) lim.46 (7.).8 Otatia atualiaca: --6 M. omra 5
oria trowaia Prtałci Z abla. Wybra traformaty Z F() f() F()... 4. 5. 6. 7. 8. ( ) 9. ( ).. ( ) o o o ( ) ) ( (! ( )! ( ( ( ) lim! ( ) ) i co ) ( ( ) ) ( i co co co ) ). ( ). ( ) i i t t co co co t t co 4. A A A co( ) A A 4. ODWRONE PRZEKSZAAŁCENIE Z Podobi a w prypadu traformaty Laplac a, wprowadi traformaty Z ma a clu umożliwii wyoywaia matmatycych opraci algbraicych co moż być wyoywa w didii mi polo, otatca odpowidź caowa wyacaa t pr atoowai odwrot traformaty Z. Odwrota traformata Z fuci Y() da iformac tylo Otatia atualiaca: --6 M. omra 6
oria trowaia Prtałci Z o y(), a i o y(t). Iymi łowy traformata achowu iformac tylo w chwilach próbowaia. raformata odwrota moż być prprowadoa dą trch poiżych mtod:. pr roład a umę ułamów wyłych;. pr podiał licia pr miaowi;. pr atoowai całi odwrot. 4.. MEODA ROZKŁADU NA UŁAMKI Napirw fuca F() t roładaa a umę ułamów wyłych, a atępi oryta ię tablicy traformat Z w clu orślia fuci f(). Pry roładi a umę ułamów wyłych wytępu iwila różica pomiędy traformatami Z i traformatami Laplac'a. Prglądaąc tablę traformat Z (tabla ), moża auważyć, ż pratyci ażda traformata Z fuci t pomożoa w liciu pr. Dlatgo tż w clu uyaia roładu w potaci K K F ( )... () moża apirw dooać roładu fuci F ( ) a umę ułamów wyłych, a atępi pomożyć pr w clu uyaia ońcowgo wyrażia. Poiż pryłady ilutruą tę mtodę. Pryład 8 Dla traformaty Z fuci ( ) F ( ) (8.) ( )( ) alży alźć odwrotą traformatę Z. Roładaąc uyu ię F( ) Końcow wyrażi dla rołożo fuci F() F ( ) a umę ułamów wyłych (8.) F( ) (8.) Korytaąc tabli awiraąc traformaty Z apopulariych fuci adu ię odwrotą traformatę Z fuci F(). f ( ),,,,... (8.4) Jśli fuca F() i awira żadgo możia w liciu, wówca awyca to oaca, ż wca caowa ma ca opóźiia i roład a umę ułamów i acya ię od podilia pr. Poiży pryład ilutruę tę ytuacę. Pryład 9 Dla traformaty Z fuci F ( ) (9.) ( )( ) Otatia atualiaca: --6 M. omra 7
oria trowaia Prtałci Z tóra i awira żadgo możia w liciu. W tym prypadu roład prowadoy t w poób bpośrdi. Otrymu ię F( ) (9.) Chociaż tablica traformat i awira doładi taich lmtów a w rówaiu (8.) to pirwy ładi praw troy moż być apiay ao Z - Z - [( ) ],,,... (9.) W podoby poób moż być roważoy drugi ładi praw troy rówaia (8.) cam opóźiia o ud. Otatci, odwrota traformata Z fuci F() moż być apiaa ao f ( ) ( ( ) ) [( ) ],,,... (9.4) 4.. MEODA POLEGAJĄCA NA DZIELENIU LICZNIKA PRZEZ MIANOWNIK Wartości wci caow f() mogą być w poób bpośrdi wyaca fuci F() pr dili wilomiau licia pr wilomia miaowia. Poiży pryład ilutru tę mtodę. Pryład Dla traformaty Z fuci 4 F ( ) (.).5 W wyiu długigo dilia licia pr miaowi uyu ię 4 F ( ) 4 4... (.).5 cyli f ( ) 4 ( ) 4 ( ) ( )... (.) 4.. ZASOSOWANIE CAŁKI ODWRONEJ Swca caowa f() moż być wyacoa F() pr atoowai całi odwrot f ( ) F( ) d () gdi t ściżą oturu po tór odbywa ię całowai, t to orąg o promiiu, tórgo środ adu ię w pocątu uładu płacyy, atomiat c t taą wartością wyti biguy fuci F ( ) aduą ię wwątr tgo oręgu. Cała odwrota traformaty Z t podoba do t prtałcia odwrotgo traformaty opratorow Laplac'a. 5. ZASOSOWANIE RANSFORMAY Z DO ROZWIĄZYWANIA LINIOWYCH RÓWNAŃ RÓŻNICOWYCH raformata Z moż być wyorytaa do rowiąywaia liiowych rówań różicowych. Jao pryład roważo otai rówai różicow pirwgo rędu. c Otatia atualiaca: --6 M. omra 8
oria trowaia Prtałci Z y ( ) y( ) () Aby rowiąać to rówai wyoaa otai obutroa traformata Z rówaia (7). Oaca to, ż obi troy rówaia pomożo otaą pr i wyoa otai umowai od do. Otrymu ię wówca y ( ) y( ) () Pr atoowai dfiici dla Y() ora pr atoowai twirdia o pruięciu w didii mi rcywit pry wyprdiu caowym, rówai (8) moż otać apia ao Rowiąuąc dla Y() otrymu ię [ Y( ) y()] Y( ) (4) Y ( ) y() (5) Odwrota traformata Z rówaia () moż być uyaa pr roład Y() a rg potęgowy. Otrymu ię Wobc tgo y() moż być apia ao 4 Y ( ) (...) y() (6) y( ) ( ) y(),,,,... (7) Poiży pryład ilutru rowiąai traformaty Z dla rówaia różicowgo uładu drugigo rędu. Pryład Roważ atępuąc rówai różicow uładu II rędu y ( ) y ( ).5y() 5 () (.) gdi () t dotową fucą oową. Warui pocątow ą atępuąc: y (), y (). Doouąc obutrogo prtałcia Z rówaia (.), otrymu ię [ Y ( ) y() y()] [ Y ( ) y()].5y() 5 (.) Podtawiaąc wartości licbow waruów pocątowych do rówaia (.) i wyacaąc Y(), otrymu ię 8 8 Y ( ) (.) ( )(.5) ( )(.5.5)(.5.5) Doouąc roładu rówaia (.) a umę ułamów wyłych otrymu ię Y( ).5.5 5.5.5.5.5 5.5.5 (.4) Wyrażaąc ridua i biguy polo w potaci wyładic otrymu ię Y ( ) 5.7.87.77.56 5.7.87.77.56 (.5) Otatia atualiaca: --6 M. omra 9
oria trowaia Prtałci Z gdi wyładii miych poloych licia i miaowia wyrażo ą w radiaach. Doouąc odwrot traformaty Z fuci Y() otrymu ię y ( ) 5.7 (.77) [.4 (.77) co(.56 (.56.87) (.56.87).87) Stouąc do fuci (.) twirdi o wartości ońcow otrymu ię lim f ( ) ) Y ( ) lim lim( 8.5 ] (.6) (.7) pry cym aby uyać popraw wyii apirw prawda ię cy biguy fuci ( ) Y ( ) aduą ię wwątr oręgu dotowgo. ZAGADNIENIA KONROLNE. Zdfiiu traformatę Z w alżości od opratora Laplac a.. Poda traformatę Z dotow fuci oow (t).. Poda traformatę Z dotow fuci liiowo arataąc t ( t). 4. Wyaśi dlacgo odwrota traformata fuci F() i t fucą f(t). 5. Wymiń wyti mtody ai a, tór powalaą a wyaci odwrot traformaty Z. 6. Jśli fuca F() ma pryami do ro w puci, to ai roi muą być apirw wyoa prd dooaim roładu a umę ułamów wyłych? 7. Jaa t różica pomiędy wcami cau odpowiadaącym dwóm atępuącym fucom? F ( ) F ( ) ĆWICZENIA C. Zadź traformaty Z atępuących fuci a) f ( ) b) f ( ) i c) f ( ) i d) f ( ) ) f ( ) 9( ) f) f ( ),, C. Wyac traformaty Z atępuących fuci a) f ( ) ( ) b) f ( ) i c) f ( ) co,, d) f ( ) i 4, 5, 6, 7,...... Otatia atualiaca: --6 M. omra
oria trowaia Prtałci Z ) f ( ) co C. Wyac traformatę Z ygału poaago a ryuu C. Or próbowaia [c]. f(t) 4 5 6 t Ry. C. Wyr fuci C4. Dooa roładu a umę ułamów wyłych atępuących fuci, śli to możliw to atępi adź odpowiadaąc im traformaty Z pry użyciu tablicy traformat. a) F () b) F () c) F () d) F () ( ( ( ( 5) 5 ) 5) ) C5. Zadź odwrot traformaty Z dla, poiżych fuci a) F () b) F () c) F () d) F () 4.5 6 5 4 6 4 C6. Zadź odwrot traformaty Z fuci f() dla poiżych fuci. Zatou roład a umę ułamów wyłych, a atępi oryta tablicy traformat. a) F () b) F () c) F () d) F () ) F () f) F () g) F () h) F () ( ( )( )( ( )( ( ( ( )( 5 )(.).85).5).) ) (.) )(.5)( ( )( ( )(.5) ).8) C7. Widąc, ż Z { f ( )} F(), wyac wartość f() gdy dąży do iońcoości, b roładu a umę ułamów wyłych. Jśli to możliw to atou twirdi o wartości ońcow traformaty Z. a) F () b) F () c) F () d) F () ( ( ( )( )( )( ( )(.86.64 ).5).5).7) C8. Korytaąc mtod traformaty Z, rowiąż atępuąc rówaia różicow dla uwględiim waruów pocątowych: a) y ( ) y( ).y( ) ( ) y () y () b) y ( ) y( ) y () Otatia atualiaca: --6 M. omra
oria trowaia Prtałci Z y () y () 4 c) y ( ).5y( ) C9. Korytaąc mtod traformaty Z, rowiąż atępuąc rówaia różicow dla uwględiim waruów pocątowych: a) y ( ).575y( ).67 y( ).6 ( ) y () y ().98 b) y ( ).464 y( ).8y( ).549 y( ) y () y () y ().48.6 c) y ( ).685y( ).774 y( ).95y( ) y () y () y ().77.695 d) y ( ).646y( ).67 y( ).5 ( ) y () y ().98 ) y ( ).46y( ).859y( ).5y( ) y () y () y ().87.9.845 f) y ( ).58 y( ).64 y( ).74 y( ) y () y () y ().8.798 g) y ( ).69 y( ).67 y( ).8 ( ) y () y ().47 h) y ( ).464 y( ).8y( ).549 y( ) y () y () y ().98.89 Otatia atualiaca: --6 M. omra
oria trowaia Prtałci Z DPOWIEDZI DO WYBRANYCH ĆWICZEŃ C4. C8. C9. a) f() (.5) b) f() ( ) c) f() ( ) 9 ( 7 ( ) ) 6 ( ) d) f().8( ) co(.89.48) a) y() 8 ( ) (.5) 5.68.64 a) Y ().575.8.66 7 y () (.95) (.67) 6 b) Y () y () (.95).48.464.48.8.549 4 (.89) (.74).5.4 c) Y ().865.774.95.8 (.6.).95.98 y () d) Y ().8.95.4 5.76..8(.95).684co(. 5.76) y () ) Y ().78.75.646.6.67 (.95) (.74).87 Y ( ).46.74 6.4.678.859.497.694.6.8.6.55.95..95 4.89 (.6 7 6.67.74.).98. 5.76.4..95.694.6.8.6.55 Y ( ).6.6..74.89.89 y () (.74) 4.47(.89) co(..55) f) Y () Y ( ) Y ( ).77.58.64.74.64.74.65.64..9.4.785.4.74.4.89.4.785.4...4.9.89.74 Otatia atualiaca: --6 M. omra
oria trowaia Prtałci Z y ().64 (.74).8co(.4.785) g) Y () Y ( ) Y ( ) 5.84.8.69..67..6..85.8..7.89 4.8 6.8.6..85.8.7.89 4.8 y (). 5.44(.89) co(6.8 4.8) h) Y () Y ( ) y ().98.464.5.95.5(.95).54.8.549 4.5.89.74 4(.89).5(.74) 6.8 LIERAURA. Ambori K., oria trowaia. Podręci programoway. PWN, Warawa, 985.. Ambori K., A. Marua, oria trowaia w ćwiciach, PWN, Warawa, 978.. Dorf R.C., R.H. Bihop, Modr Cotrol Sytm, Addio Wly Logma, Ic., 998. 4. Hotttr G.H., C.J. Savat, R.. Stfai, Dig of Fdbac Cotrol Sytm, Saudr Collg Publihig, 989. 5. Kacor., oria trowaia, PWN, Warawa, 974. Otatia atualiaca: --6 M. omra 4