EGZMN MTURLNY W ROKU SZKOLNYM 06/0 FORMUŁ O 04 ( STR MTUR ) MTEMTYK POZOM POSTWOWY ZSY OENN ROZWĄZŃ ZŃ RKUSZ MM-P MJ 0
Zadania zamknięte Punkt przyznaje się za wskazanie poprawnej odpowiedzi Zadanie (0 ) Wymagania ogólne Wykorzystanie reprezentacji Wymagania szczegółowe Liczby rzeczywiste Zdający oblicza potęgi o wykładnikach wymiernych oraz stosuje prawa działań na potęgach o wykładnikach wymiernych i rzeczywistych (g) Poprawna odp ( p) Zadanie (0 ) Wykorzystanie reprezentacji Liczby rzeczywiste Zdający planuje i wykonuje obliczenia na liczbach rzeczywistych; w szczególności oblicza pierwiastki, w tym pierwiastki nieparzystego stopnia z liczb ujemnych (a) Zadanie (0 ) Wykorzystanie reprezentacji Liczby rzeczywiste Zdający zna definicję logarytmu i stosuje w obliczeniach wzory na logarytm iloczynu, logarytm ilorazu i logarytm potęgi o wykładniku naturalnym (h) Zadanie 4 (0 ) Modelowanie matematyczne Liczby rzeczywiste Zdający stosuje pojęcie procentu i punktu procentowego w obliczeniach (d) Zadanie 5 (0 ) Wykorzystanie reprezentacji Równania i nierówności Zdający rozwiązuje równania i nierówności kwadratowe; zapisuje rozwiązanie w postaci sumy przedziałów (a) Zadanie 6 (0 ) Wykorzystanie i tworzenie informacji Wyrażenia algebraiczne Zdający oblicza wartość liczbową wyrażenia wymiernego dla danej wartości zmiennej (e) Strona z 4
Zadanie (0 ) Wykorzystanie i tworzenie informacji Liczby rzeczywiste Zdający posługuje się pojęciem osi liczbowej i przedziału liczbowego; zaznacza przedziały na osi liczbowej (e) Zadanie 8 (0 ) Wykorzystanie i tworzenie informacji Równania i nierówności Zdający rozwiązuje równania wielomianowe metodą rozkładu na czynniki (d) Zadanie 9 (0 ) Wykorzystanie reprezentacji 4 Funkcje Zdający wykorzystuje interpretację współczynników we wzorze funkcji liniowej (4g) Liczby rzeczywiste Zdający planuje i wykonuje obliczenia na liczbach rzeczywistych (a) Zadanie 0 (0 ) Wykorzystanie i tworzenie informacji 4 Funkcje Zdający wyznacza wzór funkcji kwadratowej (4i) Zadanie (0 ) Wykorzystanie reprezentacji 4 Funkcje Zdający sporządza wykresy funkcji wykładniczych dla różnych podstaw i rozwiązuje zadania umieszczone w kontekście praktycznym (4n) Zadanie (0 ) Modelowanie matematyczne 5 iągi liczbowe Zdający stosuje wzory na n-ty wyraz i sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego i ciągu geometrycznego, również umieszczone w kontekście praktycznym (5c) Strona z 4
Zadanie (0 ) Modelowanie matematyczne 5 iągi liczbowe Zdający stosuje wzory na n-ty wyraz i sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego i ciągu geometrycznego, również umieszczone w kontekście praktycznym (5c) Zadanie 4 (0 ) Wykorzystanie reprezentacji 6 Trygonometria Zdający stosuje proste związki między funkcjami trygonometrycznymi kąta ostrego (6c) Zadanie 5 (0 ) V Użycie i tworzenie strategii Planimetria Zdający korzysta ze związków między kątem środkowym, kątem wpisanym i kątem między styczną a cięciwą okręgu (a) Zadanie 6 (0 ) Wykorzystanie i tworzenie informacji Planimetria Zdający wykorzystuje własności figur podobnych w zadaniach, w tym umieszczonych w kontekście praktycznym (b) Zadanie (0 ) Modelowanie matematyczne Planimetria Zdający znajduje związki miarowe w figurach płaskich, także z zastosowaniem trygonometrii, również w zadaniach umieszczonych w kontekście praktycznym (c) Zadanie 8 (0 ) Wykorzystanie reprezentacji 4 Funkcje Zdający wykorzystuje interpretację współczynników we wzorze funkcji liniowej (4g) Zadanie 9 (0 ) Wykorzystanie reprezentacji 8 Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej Zdający bada równoległość i prostopadłość prostych na podstawie ich równań kierunkowych (8c) Strona 4 z 4
Zadanie 0 (0 ) Wykorzystanie reprezentacji 8 Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej Zdający oblicza odległości punktów na płaszczyźnie kartezjańskiej (8e) Zadanie (0 ) Wykorzystanie reprezentacji 9 Stereometria Zdający wyznacza związki miarowe w wielościanach (9b) Zadanie (0 ) Wykorzystanie reprezentacji 9 Stereometria Zdający wyznacza związki miarowe w bryłach obrotowych z zastosowaniem trygonometrii (9b) Zadanie (0 ) Wykorzystanie reprezentacji 9 Stereometria Zdający wyznacza związki miarowe w bryłach obrotowych (9b) Zadanie 4 (0 ) Wykorzystanie reprezentacji 0 Elementy statystyki opisowej Teoria prawdopodobieństwa i kombinatoryka Zdający oblicza średnią arytmetyczną, średnią ważoną, medianę i odchylenie standardowe danych; interpretuje te parametry dla danych empirycznych (0a) Zadanie 5 (0 ) Modelowanie matematyczne 0 Elementy statystyki opisowej Teoria prawdopodobieństwa i kombinatoryka Zdający wykorzystuje własności prawdopodobieństwa i stosuje twierdzenie znane jako klasyczna definicja prawdopodobieństwa do obliczania prawdopodobieństw zdarzeń (0d) Strona 5 z 4
Ogólne zasady oceniania zadań otwartych Uwaga: kceptowane są wszystkie odpowiedzi merytorycznie poprawne i spełniające warunki zadania Zadanie 6 (0 ) Wykorzystanie reprezentacji Równania i nierówności Zdający rozwiązuje równania i nierówności kwadratowe; zapisuje rozwiązanie w postaci sumy przedziałów (a) Przykładowe rozwiązanie Rozwiązanie nierówności kwadratowej składa się z dwóch etapów Pierwszy etap rozwiązania polega na wyznaczeniu pierwiastków trójmianu kwadratowego 8x x Znajdujemy pierwiastki trójmianu kwadratowego 8x x : podajemy je bezpośrednio, np zapisując x = 0, x = 9 lub zaznaczając pierwiastki trójmianu na wykresie obliczamy wyróżnik tego trójmianu, a następnie stosujemy wzory na pierwiastki: + Δ=, x = = 0, x = = 9 6 6 rugi etap rozwiązania polega na wyznaczeniu zbioru rozwiązań nierówności 8x x 0 Podajemy zbiór rozwiązań nierówności: 0 x 9 lub 0,9 lub x 0,9 np odczytując go ze szkicu wykresu funkcji f x = 8x x ( ) 0 9 x Schemat punktowania Zdający otrzymuje p gdy: zrealizuje pierwszy etap rozwiązania i na tym zakończy lub błędnie zapisze zbiór rozwiązań nierówności, np o obliczy lub poda pierwiastki trójmianu kwadratowego x = 0 i x = 9 i na tym zakończy lub błędnie zapisze zbiór rozwiązań nierówności, ( ) o zaznaczy na wykresie miejsca zerowe funkcji f x = 8x x i na tym zakończy lub błędnie zapisze zbiór rozwiązań nierówności realizując pierwszy etap błędnie wyznaczy pierwiastki (ale otrzyma dwa różne pierwiastki) i konsekwentnie do tego rozwiąże nierówność, np popełni błąd Strona 6 z 4
rachunkowy przy obliczaniu wyróżnika lub pierwiastków trójmianu kwadratowego i konsekwentnie do popełnionego błędu rozwiąże nierówność Zdający otrzymuje p gdy: poda zbiór rozwiązań nierówności: 0 x 9 lub 0,9 lub x 0,9 poda zbiór rozwiązań nierówności w postaci graficznej z poprawnie zaznaczonymi końcami przedziałów 0 9 x Uwagi Jeżeli zdający dzieli obie strony nierówności przez x, bez podania stosownych założeń, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie Jeżeli zdający podaje pierwiastki bez związku z trójmianem kwadratowym z zadania, to oznacza, że nie podjął realizacji etapu rozwiązania i w konsekwencji otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie Jeśli zdający wyznacza ujemną deltę trójmianu kwadratowego, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie Kryteria oceniania uwzględniające specyficzne trudności w uczeniu się matematyki kceptujemy sytuację, gdy zdający poprawnie obliczy lub poda pierwiastki trójmianu x = i x = 9 i zapisze, np x 9,0, popełniając tym samym błąd przy przepisywaniu 0 jednego z pierwiastków, to za takie rozwiązanie otrzymuje punkty Jeśli zdający pomyli porządek liczb na osi liczbowej, np zapisze zbiór rozwiązań nierówności w postaci x 9,0, to przyznajemy punkty Strona z 4
Zadanie (0 ) V Rozumowanie i argumentacja Liczby rzeczywiste Zdający oblicza potęgi o wykładnikach wymiernych oraz stosuje prawa działań na potęgach o wykładnikach wymiernych i rzeczywistych (g) Przykładowe rozwiązanie 0 Wyłączamy wspólny czynnik przed nawias 4 ( 4 4 4 ) 0 postaci 4 5 + + + oprowadzamy liczbę do Wnioskujemy, że dana liczba jest podzielna przez Schemat punktowania Zdający otrzymuje p 0 08 09 00 gdy zapisze liczbę 4 + 4 + 4 + 4 w postaci iloczynu, w którym jeden z czynników 0 jest potęgą 4 k, gdzie 985 k 0, np 4 ( + 4+ 4 + 4 ) i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy Zdający otrzymuje p gdy przeprowadzi poprawny dowód Zadanie 8 (0 ) V Rozumowanie i argumentacja Planimetria Zdający znajduje związki miarowe w figurach płaskich, także z zastosowaniem trygonometrii, również w zadaniach umieszczonych w kontekście praktycznym (c) Przykładowe rozwiązania sposób Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku P α δ γ R β δ Prosta jest styczna w punkcie do okręgu o środku R, więc R = 90 Stąd δ = R = 90 β Strona 8 z 4
Trójkąt R jest równoramienny, więc Zatem R = δ = 90 β ( ) R = γ = 80 90 β = β Suma miar kątów czworokąta RP jest równa 60, P = 90, więc czyli To kończy dowód sposób P + R + RP + RP = 60, 90 + 90 + β + α = 60, α + β = 80, α = 80 β P α γ R Z twierdzenia o kącie między styczną a cięciwą wynika, że R = γ = β Ponieważ R = 90 i P = 90, więc czworokąt RP jest trapezem o podstawach P i R Suma miar kątów przy ramieniu trapezu jest równa 80, więc α + γ = 80, Stąd α = 80 β To kończy dowód α + β = 80 β Strona 9 z 4
sposób P α η δ R Prosta jest styczna w punkcie do okręgu o środku R, więc R = 90 Stąd δ = 90 β Trójkąt R jest równoramienny, więc R = δ = 90 β Kąty R i P są przyległe, więc ( ) η= 80 R = 80 90 β = 90 + β Suma miar kątów czworokąta P jest równa 60, P = 90, więc czyli To kończy dowód V sposób P + R + P + P = 60, 90 + β + η+ α = 60, ( ) 90 + β + 90 + β + α = 60, α = 80 β β δ P α φ δ R φ ψ β δ Prosta jest styczna w punkcie do okręgu o środku R, więc R = 90 Strona 0 z 4
Stąd δ = 90 β Trójkąt R jest równoramienny, więc R = δ = 90 β Trójkąt P jest równoramienny, więc 80 α α P = P = ϕ = = 90 Prosta jest styczna w punkcie do okręgu o środku P, więc P = 90 Stąd α α = ψ = 90 ϕ = 90 90 = Miara kąta w trójkącie jest równa α = 80 β ψ = 80 β Suma miar kątów P, i R jest równa 80, więc To kończy dowód V sposób P + + R = 80, α ϕ+ 80 β + δ =80, α α 90 + 80 β + 90 β =80, α = 80 β P α R ψ Poprowadźmy przez punkt wspólną styczną do obu okręgów Niech S oznacza punkt jej przecięcia z prostą Z twierdzenia o kącie między styczną a cięciwą wynika, że α ψ = S β Strona z 4
Z twierdzenia o odcinkach stycznych wynika, że S = S = S Stąd wynika, że S jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie Odcinek jest średnicą tego okręgu, więc trójkąt jest prostokątny Suma miar jego kątów ostrych jest równa 90, czyli β + ψ = 90 To kończy dowód α β + = 90, α = 80 β Schemat punktowania Zdający otrzymuje p gdy zapisze układ warunków wystarczający do udowodnienia równości α = 80 β, np: δ = 90 β i δ + γ = 80 i α + γ + 90 + 90 = 60 lub γ = β i α + γ = 80, lub δ = 90 β i η = 80 δ i 90 + β + η + α = 60, lub α δ = 90 β i ϕ = 90 i ψ = 90 ϕ i 80 ( β+ ψ) = 80 ( ϕ+ δ ), lub α β + ψ = 90 i ψ = i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy Zdający otrzymuje p gdy przeprowadzi pełne rozumowanie Strona z 4
Zadanie 9 (0 4) V Użycie i tworzenie strategii 4 Funkcje Zdający wyznacza wzór funkcji kwadratowej (4i) Przykładowe rozwiązania sposób Ponieważ f ( 6) f ( 0) = =, stąd wartość Zatem f ( x) = a( x p) + q dla p = i q = 6 Obliczamy współczynnik a Wiemy, że ( 0) Odpowiedź: a = 6+ 0 p = = f =, zatem ( 0 ) 6 a + + =, 9 9a =, a = sposób Z treści zadania wynika, że f ( 6) = f ( 0) = : a( 6) + b( 6) + c = 6a 6b+ c =,, a 0 b 0 + c = c = Obliczamy pierwszą współrzędną wierzchołka: b 6a p = a = a = Stąd wynika, że ( ) 6 Schemat punktowania f = i ( ) b = 6a c = f x = ax + 6ax + Obliczamy współczynnik a a ( ) a ( ) + 6 + = 6, 9 9a =, a = Rozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania p Zdający 6+ 0 obliczy pierwszą współrzędną wierzchołka: np p = = Strona z 4
zapisze układ dwóch równań, np: a( 6) + b( 6) + c = a 0 b 0 + c =, zapisze wzór funkcji f w postaci kanonicznej f ( x) = a( x p) + q oraz zapisze q = 6, Δ zapisze równanie = 6 4a i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy Rozwiązanie, w którym postęp jest istotny p Zdający zapisze wzór funkcji f w postaci: f ( x) = a( x +) + 6 zapisze układ trzech równań z niewiadomymi a, b, c, np: ( ) a 6 + b( 6) + c = a( 6) + b( 6) + c = a 0 b 0 + c = lub a 0 b 0 + c = b 4ac = 6 a( ) + b( ) + c = 6 4a i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy Pokonanie zasadniczych trudności zadania p Zdający zapisze równanie z jedną niewiadomą a, np: a ( 0+ ) + 6 = lub a( ) a ( ) + 6 + = 6, lub 6a + 8a = 0 obliczy wartości b i c: b =, c = i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy Rozwiązanie pełne 4 p Zdający obliczy wartość współczynnika a: a = Uwagi Jeżeli zdający w przedstawionym rozwiązaniu traktuje liczby 6 i 0 jako miejsca zerowe rozważanej przez siebie funkcji i przyjmuje, że druga współrzędna wierzchołka paraboli jest równa 4, to może otrzymać 4 punkty, o ile w rozwiązaniu nie występują błędy Jeżeli zdający w przedstawionym rozwiązaniu traktuje liczby 6 i 0 jako miejsca zerowe rozważanej przez siebie funkcji i przyjmuje, że druga współrzędna wierzchołka paraboli jest równa 6, to może otrzymać punkt, o ile poprawnie wyznaczy pierwszą współrzędną wierzchołka paraboli Strona 4 z 4
Zadanie 0 (0 ) Modelowanie matematyczne Planimetria Zdający znajduje związki miarowe w figurach płaskich (c) Przykładowe rozwiązanie Oznaczmy długość krótszej przyprostokątnej przez x Wtedy dłuższa przyprostokątna ma długość x +4 Z twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy ( ) x + x+ 4 = 6, x + x + 8x+ 96 = 66, x + 4x 40 = 0 Stąd x = 0 lub x = 4 rugie z rozwiązań odrzucamy, zatem długości boków trójkąta są równe: 0, 4, i 6, więc obwód jest równy 60 cm Schemat punktowania Zdający otrzymuje p gdy: zapisze równanie kwadratowe z jedną niewiadomą, np: ( ) x + x+ 4 = 6, gdzie x jest długością krótszej przyprostokątnej zapisze układ równań, np: a + b = 6 i b= a+ 4, gdzie a jest długością krótszej oraz b długością dłuższej przyprostokątnej i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy Zdający otrzymuje p gdy obliczy obwód trójkąta: 60 cm Uwagi Jeżeli zdający jedynie poda długości boków trójkąta: 0, 4, 6 i jego obwód: 60, to otrzymuje punkt Jeżeli zdający poda długości boków trójkąta: 0, 4, 6 i jego obwód: 60 oraz uzasadni, że rozważany trójkąt jest prostokątny, to otrzymuje punkty Jeśli zdający podaje w rozwiązaniu tylko liczby 0, 4, 6, to otrzymuje 0 punktów Strona 5 z 4
Zadanie (0 ) Modelowanie matematyczne 5 iągi liczbowe Zdający stosuje wzory na n-ty wyraz i sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego i ciągu geometrycznego, również umieszczone w kontekście praktycznym (5c) Przykładowe rozwiązanie Wyznaczamy różnicę r ciągu arytmetycznego W tym celu stosujemy wzory na sumę częściową S = a+ r = i a = 8 lub zapisujemy równanie a+ a+ r+ a+ r = Obliczamy r: r = Następnie obliczamy różnicę a6 a, jako r lub po wyznaczeniu a 6 i a, czyli a 6 = 8 + 5 = 5, a = 8 + = 44 Zatem a6 a = r = 9 Schemat punktowania Zdający otrzymuje p gdy obliczy różnicę ciągu r = (lub r = 9) lub obliczy wartość a + r =, lub obliczy wartość a =, lub zapisze, że a6 a = r, lub obliczy a = 4 i na tym poprzestanie lub dalej popełni błędy Zdający otrzymuje p gdy obliczy różnicę a6 a = 9 Uwagi Jeśli zdający przyjmuje n = lub a = i nie przedstawia poprawnej metody obliczenia różnicy a6 a, to otrzymuje 0 punktów Jeżeli zdający poda wartość r = i zapisze a6 a = r = 9, to otrzymuje punkt Jeżeli zdający zamiast ciągu arytmetycznego rozważa ciąg geometryczny, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie Strona 6 z 4
Zadanie (0 5) V Użycie i tworzenie strategii 8 Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej Zdający podaje równanie prostej w postaci x + y + = 0 lub y = ax + b, mając dane dwa jej punkty lub jeden punkt i współczynnik a w równaniu kierunkowym oraz interpretuje geometrycznie układ dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi (8b, 8d) Przykładowe rozwiązania sposób 0 9 8 6 5 4 y M - -6-5 -4 - - - 0 4 5 6 8 9 - x Prosta M przechodzi przez punkty = ( 4,0) i M = (,9) 9 y = + + 4 Prosta k o równaniu y x 0 - ( x 4), czyli y = x + 6, więc jej równanie ma postać = + przecina oś Ox w punkcie, więc ( 5,0) Zatem = 5 ( 4) = 9 Współrzędne punktu obliczymy, rozwiązując układ równań: Stąd y = x + 6 i y = x + 0 8 x =, a 6 0 x+ = x+, 4 x =, 8 54 y = + 6 = + 6 = = 8 54 Zatem =, Wynika stąd, że wysokość h trójkąta opuszczona z wierzchołka 54 na podstawę jest równa h = y = Zatem pole trójkąta jest równe 54 4 5 P = h = 9 = = 4 Strona z 4
sposób 0 9 8 6 5 4 y M N - -6-5 -4 - - - 0 4 5 6 8 9 - x Wyznaczamy równanie prostej l równoległej do prostej k i przechodzącej przez punkt M =,9 : ( ) - ( x ) y= + 9, y= x + Niech N będzie punktem przecięcia prostej l z osią Ox, więc N = (,0) ( 4) N = = Zatem Prosta k o równaniu y = x + 0 przecina oś Ox w punkcie, więc = ( 5,0) Zatem = 5 ( 4) = 9 Z równoległości prostych k i l wynika, że trójkąt jest podobny do trójkąta NM, a skala tego podobieństwa jest równa 9 8 6 s = = = = N Pole trójkąta NM jest równe 9 PNM = N 9 = 9 =, 4 więc pole trójkąta jest równe 6 9 4 5 P = s PNM = = = 4 4 Uwaga Mając obliczone współrzędne wierzchołków trójkąta, możemy obliczyć jego pole, korzystając ze wzoru P = ( x x )( y y ) ( y y )( x x ) : 54 8 54 4 5 P = ( 5+ 4) 0 0 + 4 = 9 = = 4 Strona 8 z 4
sposób 0 9 8 6 5 4 y h M - -6-5 -4 - - - 0 4 5 6 8 9 - x Prosta k o równaniu y x 0 Zatem = 5 ( 4) = 9 - = + przecina oś Ox w punkcie, więc ( 5,0) = = Ponieważ współczynnik kierunkowy prostej k jest równy, więc Niech h = h Zatem = 9 h 9 0 Współczynnik kierunkowy prostej M jest równy a M = =, ale am ( 4) =, h 9 h =, h = h, h =, 54 h = Pole trójkąta jest równe 54 4 5 P = h = 9 = = 4 =, więc Strona 9 z 4
Schemat punktowania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania p Zdający wyznaczy współczynnik kierunkowy prostej M: a = wyznaczy współrzędne punktu : = ( 5,0) i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy Rozwiązanie, w którym postęp jest istotny p Zdający zapisze równanie prostej M: y = x + 6 wyznaczy równanie prostej MN: y = x + i zapisze, że trójkąty i NM są podobne, zapisze zależność między długościami odcinków i : i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy = Pokonanie zasadniczych trudności zadania p Zdający obliczy długość podstawy trójkąta: = 9 oraz zapisze równanie, z którego można wyznaczyć jedną ze współrzędnych punktu 8 54 obliczy współrzędne wierzchołka : =, (lub drugą współrzędną tego punktu) i nie zapisze współrzędnych punktu, 6 obliczy skalę podobieństwa trójkąta do trójkąta NM: s = (lub skalę podobieństwa trójkąta NM do trójkąta : s = ), 6 obliczy pole trójkąta NM: P NM = 9 i zapisze, że P = s PNM, gdzie s oznacza skalę podobieństwa trójkąta do trójkąta NM, zapisze równanie z jedną niewiadomą, z którego można obliczyć wysokość trójkąta, h np: 9 h = i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy Strona 0 z 4
Rozwiązanie prawie pełne 4 p Zdający obliczy drugą współrzędną wierzchołka oraz długość podstawy trójkąta : 54 y =, = 9 8 54 obliczy współrzędne wierzchołków i : = ( 5,0), =,, obliczy skalę podobieństwa trójkąta do trójkąta NM: 6 s = (lub skalę podobieństwa trójkąta NM do trójkąta : s = ) oraz pole trójkąta NM: 6 P NM = 9 i zapisze, że P = s PNM, 54 obliczy wysokość trójkąta : h = i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy Rozwiązanie pełne 5 p 4 Zdający obliczy pole trójkąta : P = Uwaga kceptujemy, jeżeli zdający poda pole trójkąta w przybliżeniu, np 4,4 Zadanie (0 ) Modelowanie matematyczne 0 Elementy statystyki opisowej Teoria prawdopodobieństwa i kombinatoryka Zdający wykorzystuje własności prawdopodobieństwa i stosuje twierdzenie znane jako klasyczna definicja prawdopodobieństwa do obliczania prawdopodobieństw zdarzeń (0d) Przykładowe rozwiązanie Jest to model klasyczny i liczba wszystkich zdarzeń elementarnych jest równa Ω= 90 Zbiór wszystkich zdarzeń elementarnych to zbiór wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych Niech oznacza zdarzenie polegające na tym, że wylosujemy liczbę, która jest równocześnie mniejsza od 40 i podzielna przez Zdarzeniu sprzyjają następujące zdarzenia elementarne ={,5,8,, 4,,0,,6,9} Stąd = 0 Prawdopodobieństwo zdarzenia jest równe 0 P( ) = = = Ω 90 9 Strona z 4
Odpowiedź: Prawdopodobieństwo zdarzenia, polegającego na tym, że wylosujemy liczbę, która jest równocześnie mniejsza od 40 i podzielna przez, jest równe 9 Schemat punktowania Zdający otrzymuje p gdy zapisze, że Ω= 90 zapisze, że = 0 i nie wskazuje przy tym niepoprawnych zdarzeń elementarnych wypisze wszystkie zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu :,5,8,,4,,0,,6,9 i na tym poprzestanie lub dalej popełni błędy Zdający otrzymuje p gdy obliczy prawdopodobieństwo zdarzenia i wynik zapisze w postaci ułamka: 0 P( ) = = = Ω 90 9 Uwaga Jeżeli zdający błędnie zapisze wynik P( ) jako liczbę większą od lub mniejszą od 0, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie Jeżeli w przedstawionym rozwiązaniu zdający interpretuje zdarzenie elementarne jako rezultat wylosowania więcej niż jednej liczby, to za całe rozwiązanie otrzymuje 0 punktów Jeżeli zdający w rozwiązaniu zapisze tylko, to otrzymuje 0 punktów 9 Strona z 4
Zadanie 4 (0 4) V Użycie i tworzenie strategii 9 Stereometria Zdający wyznacza związki miarowe w wielościanach i bryłach obrotowych z zastosowaniem trygonometrii (9b) Przykładowe rozwiązanie Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku S H h b O a a Wykorzystujemy wzór na pole powierzchni bocznej ostrosłupa i zapisujemy równanie 5 5 = a, skąd otrzymujemy a = 4 4 Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta OS otrzymujemy H = h O Ponieważ O = a =, więc H 5 = 4 09 Stąd H = 4 Zatem objętość ostrosłupa jest równa 4 09 09 V = Pp H = = 4 4 Schemat punktowania Rozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania p Zdający zapisze równanie 5 = a 5 4 4 Strona z 4
zapisze, że O = a lub O = a i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy Rozwiązanie, w którym postęp jest istotny p Zdający obliczy długość krawędzi a podstawy ostrosłupa: a = i zapisze równanie 5 a z niewiadomą H, np: H = 4 6 obliczy długość krawędzi a podstawy ostrosłupa: a = i zapisze układ równań a H + = b wystarczający do obliczenia wysokości ostrosłupa, np: a 5 + = b 4 i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy Pokonanie zasadniczych trudności zadania p 09 Zdający obliczy wysokość ostrosłupa: H = i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy 4 Rozwiązanie pełne 4 p 09 Zdający obliczy objętość V ostrosłupa: V = Uwagi Jeżeli zdający rozważa inną bryłę niż podana w treści zadania, to otrzymuje 0 punktów kceptujemy poprawne przybliżenia liczb rzeczywistych Jeżeli zdający poda długość krawędzi podstawy a = bez obliczeń i rozwiąże zadanie do końca, to otrzymuje co najwyżej punkty 4 Jeżeli zdający błędnie przepisze liczbę 5 4 lub liczbę 5 4 zadanie konsekwentnie do końca, to otrzymuje co najwyżej punkty i z tym błędem rozwiąże 5 Jeśli zdający nie obliczy a i przyjmuje, że ściany boczne są trójkątami równobocznymi, to otrzymuje 0 punktów Strona 4 z 4