Blok III: Funkcje elementarne III. Narysuj wykres funkcji: a) y = x y = x y = x y = x III. Narysuj wykres funkcji: a) y = x + y = 4 x III. Znajdź miejsca zerowe funkcji: a) y = 6 x y = x e) y = x f) y = x g) y = x h) y = x y = x + y = x y = 4 x y = 8 + 8 x i) y = x j) y = x III.4 Znajdź miejsca przecięcia wykresów funkcji: a) { y = x y = x + { y = x + y = x { y = x + y = x { y = y = x 5 III.5 Dla jakich argumentów funkcja f(x) przyjmuje wartości: a) f(x) = x 0, wartości dodatnie f(x) = x +, wartości dodatnie f(x) = x + 6, wartości ujemne f(x) = x + 6, wartości ujemne e) f(x) = x 4 wartości mniejsze od f) f(x) = x + wartości większe od g) f(x) = x + 4 5 wartości z przedziału [ 5, ) h) f(x) = x wartości z przedziału (, ) III.6 Jakie jest położenie punktu (x, y) w stosunku do wykresu a) Punkt (,4), y = x + Punkt (, ), y = x + III.7 Jaki jest obraz zbioru: a) [0, 4) w funkcji f(x) = x (, ) w funkcji f(x) = x + (, ] w funkcji f(x) = [ π, π] w funkcji f(x) = x III.8 Narysuj wykres zależności obwodu okręgu od jego średnicy. III.9 Blat stołu ma kształt dwóch półkoli o promieniu R = m rozdzielonych prostokątem o długości x i szerokości m. Brzegi blatu zabezpiecza się taśmą okleiny. Narysuj wykres funkcji opisującej długość potrzebnej taśmy od wymiaru x.
III.0 Ciśnienie, objętość i temperaturę gazu wiąże równanie: pv T = nr, gdzie n oznacza ilość moli gazu, a R stałą gazową. Dobieramy tak ilość gazu, by prawa strona była równa. Narysować wykresy funkcji ciśnienia od temperatury dla różnych objętości gazu. Pa m K III. Prostokąt ma proporcje :. Znaleźć a) obwód prostokąta przekątną prostokąta obwód trójkąta będącego połową prostokąta długość okręgu opisanego na prostokącie w funkcji długości krótszego boku. III. Znajdź funkcję liniową, której wykres przechodzi przez punkt (, ) i jest nachylony do osi x pod kątem: a) π/6 π/4 π/ III. Dany jest sześciokąt foremny na płaszczyźnie XY o boku długości, środku w punkcie (0, 0) i dwóch wierzchołkach na osi X. Znaleźć proste, których odcinkami są boki sześciokąta. III.4 Trójkąt równoboczny o boku umieszczono w układzie współrzędnych tak, że jego dolna podstawa leży na osi OX, a górny wierzchołek na osi OY. Znaleźć równania prostych, których odcinkami są boki trójkąta. III.5 Znaleźć funkcję liniową, której wykres ma wspólne miejsce zerowe z wykresem funkcji y = x + i współczynnik kierunkowy. III.6 Znaleźć funkcję, która ma wspólne miejsce zerowe z funkcją y = x 4 i której wykres jest równoległy do prostej y = x. III.7 Znaleźć funkcję liniową, której wykres ma wspólne miejsce zerowe z wykresem funkcji y = x + i przecina oś Y w punkcie (0, ). III.8 Znaleźć funkcję liniową, której wykres przechodzi przez punkty: a) (0, 0) i (, ) (, 0) i (0, ) (, ) i (, ) (, ) i (, ) e) (, 0) i (, ) f) (, ) i (, ) III.9 Znaleźć równanie prostej równoległej do danej i przechodzącej przez dany punkt: a) y = x, (, ) y = x +, (, ) y = x 4, (, ) y = x +, (9, 0) III.0 Znaleźć równanie prostej prostopadłej do danej i przechodzącej przez dany punkt: a) y = x, (, ) y = x +, (, ) y = x 4, (, ) y = x +, (9, 0) III. Znaleźć równanie prostej prostopadłej do danej i przechodzącej przez jej miejsce zerowe: a) y = x, y = x +, y = x 4, y = x +, III. Znajdź proste prostopadłe do podanych przechodzące przez ich punkt przecięcia z osią OY:
a) x y + = 0 x y + 7 = 0 III. Znajdź wektor równoległy i prostopadły do prostej: a) y = x + y = 5x 5 y = x III.4 Znajdź prostą równoległą i prostopadłą do zadanej przechodzącą przez zadany punkt: a) x y = 0, (, ) x + 4y = 0, (0, ) x + y + = 0, (, ) x y + = 0, (4, ) e) x = 0, (, 4) f) y + 5 = 0, (, 4) III.5 Znajdź punkty przecięcia się prostych: a) x y + = 0 i 4x + y + 5 = 0 y 6 = 0 i x y = 0 x + y 4 = 0 i x 4 y + = 0 x y = 0 i x + 4y + = 0 e) x + y = 0 i x y = 0 f) x + y = 0 i x + y = 0 III.6 Jak zależy liczba rozwiązań układu równań od parametru m? Znajdź jawną postać rozwiązania: a) { mx + y = x + my = { mx + my = x + y = m { x + y = m mx + y = { mx + y + = 0 x + my = y III.7 Dla jakich wartości parametru m podane proste mają punkt wspólny: a) mx + y = i x my = m x+my = i ( m)x y = m III.8 Narysuj wykresy: a) y = x y = x + y = x y = (x ) e) y = (x + ) f) y = (x + ) + g) y = 4 x h) y = 4 x + III.9 Podaj postać kanoniczną funkcji kwadratowych podanych w postaci ogólnej i narysuj ich wykresy: a) y = x x + y = x x y = x x + y = x x 4 e) y = x 5x + 6 f) y = x x + 5 g) y = x x h) y = x + x 4 III.0 Podaj postać iloczynową (o ile istnieje) funkcji kwadratowej zapisanej w postaci kanonicznej: a) y = (x ) 4 = 0 y = (x ) y = (x ) + y = (x ) 9 e) y = (x 5 ) 4 f) y = (x ) + 4 g) y = (x ) 4 h) y = (x + ) 5 4 III. Podaj postać iloczynową (o ile istnieje) funkcji kwadratowej podanej w postaci ogólnej:
a) y = x + x y = x + x + y = x + 6x + 9 y = x + x e) y = x x + f) y = x + III. Rozwiąż równania z niewiadomą x a) x + 4x = 5 x 0x = 4 x = x III. Rozwiąż nierówność: a) x + x 0 x x + < 0 III.4* Znajdź przeciwobraz zbioru: x 4 + x = 8 e) x 6 x + = 0 f) (x +5x) (x +5x) = 4 x 5x 4 > 0 5x + 7 > 4x g) x ax + a b = 0 h) abx (a + x + = 0 i) (x + (x + ab = ax e) 84 + 5x x 0 f) (4x ) > 9 a) (, 0] w funkcji y = x + x [0, ) w funkcji y = x x + (, 6) w funkcji y = x 6x + 6 e) [, ) w funkcji y = x x ( 5, 0) w funkcji y = x + x + III.5* Znajdź obraz zbioru: a) (, ) w funkcji y = x + x + 4 [, ) w funkcji y = x + III.6 Wyraź podaną funkcję pierwiastków x, x równania kwadratowego ax + bx + c = 0 przez współczynniki a, b, c korzystając ze wzorów Viete a: a) x + x x + x x x + x x x + x III.7 Dla jakich wartości parametru m równanie kwadratowe ma dwa różne rozwiązania: a) (m 5)x 4mx + m = 0 (m )x (m + )x + m + = 0 III.8 Dla jakich wartości parametru m równanie ma oba pierwiastki dodatnie, a dla jakich oba ujemne? a) x + (m )x + m + 5 = 0 x (m )x + (m + ) = 0 III.9 Dla jakich wartości parametru m równanie x + (m + )x + 9m 5 = 0 ma dwa pierwiastki różnych znaków? III.40* Dla jakich wartości parametru m pierwiastki równania x + mx + m = 0 są sinusem i cosinusem tego samego kąta? III.4* Dla jakich wartości parametru m suma pierwiastków równania x m(x ) = 0 jest równa sumie kwadratów pierwiastków? III.4* Dla jakich wartości parametru m suma odwrotności pierwiastków równania x + mx 6 = 0 jest równa 4? III.4* Dla jakich wartości parametru m wykresy funkcji przechodzą przez III i IV ćwiartkę UW? 4
a) y = x mx + m y = x +(m )x+m+5 III.44 Znaleźć położenie wierzchołka paraboli y = x + (m + )x (m + 4) w zależności od parametru m. III.45 Dla jakich wartości parametru m funkcja y = mx + (m )x + m + ma dokładnie jeden punkt wspólny z prostą y = x +? Narysuj wykres tej funkcji i prostej dla obliczonej wartości parametru. III.46 Dla jakich wartości parametru m dane równanie ma zawsze rozwiązanie? a) (4 m)x x + m + 4 = 0 (m 5)x 4mx+m = 0 III.47* Do boków prostokąta o obwodzie l przyczepiono półkola. Dla jakiej proporcji boków figura ma najmniejsze pole? III.48* Dwa pojazdy poruszają się z prędkością v po prostopadłych drogach. Pierwszy pojazd mija skrzyżowanie w chwili t = 0, a drugi w chwili t. Jak wygląda funkcja odległości między pojazdami? Kiedy odległość pomiędzy nimi będzie najmniejsza? III.49 Zamień miarę łukową na miarę stopniową: a) π 4 7π 6 e) π 8 g) 7π 0 h) 4π 5 π π f) 4π 9 i) III.50 Zapisz w mierze łukowej: a) 0 60 e) 5 g) 45 90 f) 70 h) 57 III.5 O jakie kąty przesunęła się minutowa wskazówka zegara między godzinami: a) :00 a :0 0:45 a :55 7:00 a 5:00 III.5 Oblicz wartości funkcji trygonometrycznych następujących kątów korzystając ze znanych wartości funkcji trygonometrycznych kątów ostrych (odpowiedzi znajdziesz w tablicach matematycznych): a) 0 80 g) 40 j) 5 5 e) 0 h) 70 k) 0 50 f) 5 i) 00 l) 60 III.5 Oblicz: a) sin 5 cos 70 g) tg 0 j) cos( 0 ) cos 05 e) sin 50 h) cos 40 tg 05 f) tg 5 i) sin( 0 ) III.54 Uprość wyrażenie: a) sin(4π + α) cos(π + α) g) sin(α π ) tg(α π ) e) tg(π α) sin(π α) f) cos( π + α) 5
III.55 Sprowadź podane wyrażenia do najprostszej postaci a) tg α cos α ( + sin β)( sin β) cos α sin α + sin α + tg α sin α + cos α e) cos α sin α III.56 Sprawdź, czy dana równość jest tożsamością trygonometryczną: a) (sin x + cos x) + (sin x cos x) = ( + tg x) cos x = cos x sin x = tg x sin x + cos x + + cos x = sin x sin x e) sin x = (sin x cos x) f) cos x + sin x + cos x sin x = cos x cos x III.57 Sprawdź, czy prawdziwe są następujące tożsamości: a) sin(α + β) sin(α β) = sin α sin β cos(α + β) cos(α β) = cos α cos β cos α cos(α + β) + sin α sin(α + β) = cos β cos β cos(α β) + sin β sin(α β) = cos β III.58 Sprawdź, czy prawdziwe są następujące tożsamości, podaj konieczne założenia: a) sin α + cos α = tg α ctg α = cos α tg α + ctg α cos α sin α = tg α tg α tg β = sin(α + β) sin(α β) cos α cos β III.59 Wykaż, że: a) (cos α cos β) + (sin α sin β) = 4 sin α β ( + cos α) sin α = 4 cos 4 α III.60 Wiedząc, że tg α = /, oblicz wartość wyrażenia: sin α cos α 5 cos α 7 sin α III.6 Wiedząc, że tg α =, oblicz wartość wyrażenia: III.6 Rozwiąż równanie cos α sin α sin α cos α + cos α sin x(sin x tg x + cos x) = tg x a) sin α = 0 cos α = tg α = + 4 cos(0.5x) = e) cos x cos x = 0 f) cos 4 x sin 4 x = g) cos π cos x sin π sin x = h) cos x + sin x = i) sin x = sin x j) tg 5x = tg x k) sin x = 6
l) ( x ) tg = m) sin x 4x = 0 III.6 Rozwiąż równania: a) sin x + cos x = + cos x + cos x = 0 (sin x + cos x) = cos x cos 4 x sin 4 x = sin 4x e) sin x + sin x = sin x n) cos x x = f) cos x = sin x + cos x g) sin x = sin x + sin x h) sin x sin x = cos x cos x i) cos x + sin x + = 0 j) (cos x sin x) + tg x = sin x III.64* Dla jakich wartości parametru m równanie + sin (mx) = cos x ma tylko rowiązanie? III.65* Wyznacz te wartości parametru k, dla których podane równania mają rozwiązania a) sin x + sin x + k = 0 sin x = k 4 k sin 4 x + cos 4 x = k III.66* Wiedząc, że p R rozwiązać równania a) sin(x p) = sin x sin p tg p tg x = tg(p x) III.67 Rozwiąż nierówności: a) sin x > 4 sin x sin x < 6 cos x tg(x ) < sin x < e) ctg x > f) cos x < 4 g) sin x sin x h) cos x + cos x > 0 i) cos x + cos x < j) 4(sin x cos x ) k) 4 cos x + sin x < 5 cos x l) ctg(x) < m) sin x n) cos( π 6 + x) > o) tg(πx) III.68* Udowodnić, że 8 < cos 0 cos 40 cos 70 < 4. III.69 Sporządź wykresy funkcji na przedziale [ π, π] a) y = sin(x) y = cos(x) y = sin(x) III.70 Wyznacz k. a) 0, 0 k = 000, 567 0 k = 0, 000567 III.7 Rozwiąż równanie. y = sin(x π/) e) y = cos(x + π/6) f) y = sin(x + π/), 0 k = 0000, 0 0 k = 0, 0000000 g) y = cos(π/6 x/) 7
a) 5x 8 = 4 x 4 x = 8 x III.7 Rozwiąż równanie a) 7 x + = 7 x x 6x 5/ = 6 4 x = 8 4x 6 x + x = 0 e) x 4 x + = 0 III.7 Rozwiąż równanie. ( 4 ) 4x 5 ( 5 5x 4 = 5 4) x = 7 f) 0, 4 x 5 8 0, 4x = 6, 5 g) 5 x+ + 5 x = 750 h) x + x = 65 i) 0, 5 4 x x = 6 x+ j) 7 9x x = 4x e) 5 x 5 5 x+ = 5 f) x 4 7 x = 9 x k) 5 x 6x+7 = 5 l) 6 x x+ = 6 m) 4 x = ( ) x 6 n) 7 x x +4x = 49 x a) x x+ = 8 ( ) 4x x+ = 6 e) ( ) x + x = 8 x+ x x+5 = 7 ( ) x+ 4x = 5 5 f) ( ) x 6x = ( ) 4x 5 III.74 Rozwiąż równanie a) x + x + 4 x + 4 x = 4 6 x 8 4 x + 6 = 0 x + 9 x = 6 x 9 x 4 x + = 0 e*) ( ) x x+ + ( + ) x x+ = 4 III.75 Rozwiąż równanie: a) x +x = 8 ( ) x = 4 ( ) x 4 +x (0, 5) x x+ = 64 x+ x x = 5 e) 7 4 x x+ = 6+7 4 x f) x+ + 5 x+ = g) x + 5 x + 6 = 0 h) 4 x 7 4 x +4 4 x 8 = 0 i) x + x = j) ( + ) x + ( ) x = 4 k) x+5 x+ = x+6 l) 6 x 9 x 5 x + 9 5 x = 0 III.76 Rozwiąż nierówność: a) 5 x 6 < 5 6x f) ( 5 ) x+ 5 (0, ) 8x > (0, ) x ( ) x+5 < ( ) 4 x > 8 e) 4 x < 8 g) x < 7 x+8 ( h) ) x+ ( i) 0, 5 x x j) x +x 6 x+ ) x+ ( 7 ) x > 8 8
k) x 8 x x 8 m) 6 x + x+ + 8 < 0 l) ( ) x+ 4 9 III.77 Rozwiąż nierówność: a) 7 5x +8x > ( ) x+ x < e) x+ + x < 96 f) 5 4 x 5 x < 4 x 5x+4 < 6x x < 7 x x g) 4x 6 x III.78 Rozwiąż nierówność a) x x+ 4 ( ) 4x x+ 6 e) ( ) x 8 x x+5 > 7 ( ) x +x 5 5 f) ( ) x +x+ 4 6 III.79* Rozwiązać układy równań a) { 64 x + 64 y = 64 x+y = 4 { y 4 x = 8 4 y 9 x = 48 { 8 x 4 y+ = 6 (x ) 8 y = III.80 Sporządzić wykresy funkcji: a) y = x + y = x + y = ( ) x ( ) x y = x x + e) y = x + f) y = x+ x III.8 Rozwiązać równanie 0, 5 0,5x(x ) 0,75 = 4 0, 5 m, podać warunek istnienia pierwiastków oraz obliczyć pierwiastki dla m = 5. III.8 Narysuj wykres funkcji a) y = x+ y = ( ) x + y = π x y = e) y = ( ) x ( ) x+ III.8 Rozwiąż graficznie równanie, nierówność lub układ równań: a) x+ = x y = x e) 4 x y = = 5 x x ( ) x x+ x y = f) x < x x + y = 5 4 y = x x g) y = 4 x + 4 9
III.84* Zbadaj liczbę rozwiązań równania w zależności od wartości parametru m (m R): a) 4 x = m x x = m x +x = m III.85* Rozwiąż układy równań: a) { 7 x = 9 y 8 x y = 4 { x 5 y = 75 y 5 x = 45 { x + y = 8 x+y = 7 { x y = 77 x y = 7 III.86 Zbadaj parzystość (nieparzystość) funkcji: a) f(x) = x + x, f(x) = x x, f(x) = x + cos x, III.87* Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie: a) 5 x + ( m) 5 x + 9 = 0 ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste (m + ) x m x + m = 0 ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste m 6 x + (m ) 4 x + m = 0 nie ma pierwiastków rzeczywistych m x = 4 sin x ma nieskończenie wiele rozwiązań III.88 Oblicz a) log 5 65 log 5 5 5 e) 6 log 4 +log4 log 5 0 +log III.89 Określ dziedzinę funkcji: a) f(x) = log x ( x 6 ) f(x) = log x+ x x + log x (x x + x ) III.90 Narysuj wykres funkcji: a) y = log x y = log (x + ) y = log 0 (x 5) y = log (4 x) e) y = log ( x) f) y = log (x + ) g) y = log x + III.9 Rozwiąż graficznie równanie, nierówność lub układ równań: a) log (x + ) = x x + log 4 x = x log (x ) 5 4 x x log x > 4 x { x + y = e) y = log (x + ) ( x y = f) ) y = log x g) { y = log (x ) + y = (x 0) + III.9 Rozwiąż równanie a) log 7 x = 4 log ( x) = log x = log 4 (4 x) = 0
e) log x = log 5 f) log x = log 6 g) log(x + ) log 5 = log(x 6) h) log 9 = log (x ) log (x + 5) i) log 5 + log 5 x = log 5 j) log x + log x = log 6 log III.9 Rozwiąż równanie: a) log (log x) = log x (x + 4x 6) = log 9 x = log 4, 5 x log 4 (x + ) = log 4 (x ) log 4 8 e) log (x ) + log (x 4) = 0 f) log(9 x ) log( x) = g) log (9 x + 7) = + log ( x + ) h) (log x ) log x + (log x + ) = 0 i) log x = log x + j*) x log x = 0 k*) log x 8 log 4x 8 = log x 6 III.94 Rozwiąż nierówność: a) log (x ) < log (4x ) > log (x 5) > log (x + ) log 0,5 (x ) < log 0,5 (x + 7) e) log (x + 5) > f) log x + g) log 8 (x 4x + ) < 0 h) log(x x ) 0 i) log 5 (x x + 4) < III.95* Rozwiąż nierówność a) x x (x ) > ( ) x 8 + x x x j) log x > log (5 x) k) log l) log 4 x x + < 5 x x m) log (log 4(x 5)) > 0 n) log x log x < 0 o) log x x x > ( ) +log ctg x 4 sin α( sin α +) < 9 6 III.96* Rozwiąż układy równań: a) { log4 x + log 4 y = + log 4 9 x + y 0 = 0 { x y = 576 log (y x) = 4 { log x + log y = log x log y = { log5 x + log y = 7 x y = 5 III.97* Zbadaj parzystość (nieparzystość) funkcji:
a) f(x) = x log x + x f(x) = log cos x f(x) = log(x + + x ) III.98* Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których: a) równanie 4 x + log (m + ) x + log (m + ) + = 0 ma dwa różne rozwiązania nierówność x log m + x < 0 spełnia każda liczba rzeczywista nierówność log (m(x + )) log (4x + 4x + 7) ma co najmniej jedno rozwiązanie Odpowiedzi III.: a) x = 4, x =, x = 4, x = III.4: a) [ 5, 5 ], [9, 6], [, 0], [8, ] III.5: a) x > 5, x < 4 x < 8, x > 8, e) x < 6, f) x > 8, g) x ( 5, 7 5 ], h) x (, ) III.6: a) nad wykresem, pod wykresem III.7: a) [, 7), (, ), {}, [ π, π] III.8: III.9: III.0: πr = πd f(x) = x + π lub f(x) = ( x) + 4 + π p(t ) = T V III.: ( : ) (a : a) 6b, 5b, ( + 5)b, π 5b, III.: a) y = ( ) x +, y = x, y = x + ( + ) III.: y =, y = x, y = x III.4: y = 0, y = x + III.5: y = x 8 III.6: y = x III.7: f(x) = x III.8: a) f(x) = x, f(x) = x +, f(x) = x +, f(x) = x +, e) f(x) = x +, f) f(x) = x III.9: a) y = x +, y = x + 7, y = x, y = x 9 III.0: a) y = x + 7, y = x 4, y = x + 0, y = x + 9 III.: a) y = x + 4, y = x 4, y = x + 9 4, y = x III.: a) y = x +, y = x + 7 III.: a)równoległy: (, ), prostopadły: (, ), Równoległy: (, 5), prostopadły: (5, ), Równoległy: (, ), prostopadły: (, ) III.4: a) równoległa: x y + 4 = 0, prostopadła: x + y 7 = 0, równoległa: x + 4y + 4 = 0,prostopadła: 4x y = 0, równoległa: x + y + = 0,prostopadła: x + y 7 = 0, równoległa: x y = 0,prostopadła: x + y 4 = 0, e) równoległa: x = 0,prostopadła: y 4 = 0, f) równoległa: y + 4 = 0,prostopadła: x = 0 III.5: a) (, ), (, ), (, 4), nieskończenie wiele punktów, proste pokrywajace się, e) (, ), f) brak punktów wspólnych, proste równoległe
III.6: a) dla m = nieskończenie wiele rozw., dla m = brak rozw., dla R {, } jedno rozw. postaci x = m ; y = m, dla m = nieskończenie wiele rozw., dla m jedno rozw. postaci x = ; y = + m, dla m {, } nieskończenie wiele rozw., dla R {, } brak rozw., dla m = nieskończenie wiele rozw., dla m = brak rozw., dla m R {, } jedno rozw. postaci x = m+ ; y = m+ III.7: a)m R, m R \ {, } III.8: a) y = (x ) 4, y = (x ), y = (x ) +, y = (x ) 9, e) y = (x 5 ) 4, f) y = (x ) + 4, g) y = (x ) 4, h) y = (x + ) 5 4 III.0: a) (x )(x ), x(x ), brak, (x )(x + ), e) (x )(x ), f) brak, g) (x + )(x ), h) (x + 4)(x ) III.: a) (x )(x + ), brak, (x + ), (x )(x + ), e) brak, f) brak III.: a) {, 5}, {, }, {0, 6}, {, }, e) {, }, f) { 6, 4,, }, g) {a+b, a b}, h) { a, b }, i) {b, a b} III.: a) x R \ (, ), x R \ [, ], x R \ [, 7], x R, e) x [ 7, ], f) x R \ [0, ] III.4: a) [, ) (0, ], [, ) (0, ],, (0, 6) {}, e) (, 5 ] [ + 5, ), III.5: a) [, 7), (, ] III.6: a) b b c, a c b a, ac, b a + cb a III.7: a) m (, 0 ) (, 5) (5, ), m (, ) (, 5 ) III.8: a) dla dodatnich : m (, ], dla ujemnych m [5, ), dla ujemnych m (, 0], dla dodatnich m [4, ) III.9: m (, 5 9 ) III.40: m = m = III.4: m = m = III.4: m = 64 III.4: a) m (, ), m (, ) III.44: Wierzchołek: ( m, m m 5) III.45: m = III.46: a) m ( 55 III.47: kwadrat, 55 ), m ( 0, ) III.49: a) 45, 5, 0, 0, e) 0, f) 80, g) 6, h) 48 III.50: a) π 6, π 4, π, π, e) 5 4 π, f) π, g) 9 80π, h) 60 π III.5: a) π, π, 6π III.5: a) sin =, cos =, tg =, ctg =, sin =, cos =, tg =, ctg =, sin =, cos =, tg =, ctg =, sin = 0, cos =, tg = 0, ctg nie istnieje, e) sin =, cos =, tg =, ctg =, f)sin =, cos =, tg =, ctg =, g) sin =, cos =, tg =, ctg =, h) sin =, cos = 0, tg nie istnieje, ctg = 0, i) sin =, cos =, tg =, ctg =, j) sin =, cos =, tg =, ctg =, k) sin =, cos =, tg =, ctg =, l) sin = 0, cos =, tg = 0, ctg nie istnieje III.5: a) 6 4, 6 4, +,, e), f), g), h), i), j) III.54: a) sin α, trzeba zmienic kat tg(a p ) odp. ctg α, sin α, cos α, e) tg α, f) sin α, g) cos α III.55: a) sin α, cos β, sin α, cos α, e)
III.56: a) jest, jest, jest, jest, e) jest, f) jest, III.57: a) tak, nie (podstaw α = 90 ), tak, nie sin α sin α cos α III.58: a) = + cos α cos α = tg α ctg α tg α + ctg α = tg α tg α + = cos α cos α cos α = cos α cos α = cos α + sin α sin α sin α cos α = sin α sin α cos α tg α tg β = sin α cos β sin β cos α = sin(α + β) sin(α β) cos α cos β cos α cos β cos α cos α sin α sin α + cos α cos α = cos α cos α sin α cos α + cos α9 cos α sin α) = = sin α cos α = tg α tg α (sin α cos β sin β cos α)(sin α cos β + sin β cos α) cos α cos β III.59: a) (cos α cos β) + (sin α sin β) = (cos α cos β + sin α sin β) = ( cos(α β)) = 4 sin α β ( + cos α) sin α = 4 cos α 4 sin α cos α = 4 cos α ( sin α ) = 4 sin4 α sin x(sin x tg x + cos x) = sin x sin x+cos x cos x = tg x III.60: III.6: 4 0 7 III.6: a) α = kπ, k Z, α = π 4 + kπ, k Z, (zał. α π + kπ) α = π 4 + kπ, k Z, x = π + 4kπ, k Z, e) x = π 6 + kπ lubx = π 9 + kπ, k Z, f) x = π 6 + kπ lub x = π 6 + kπ, k Z, g) x = π +kπ lub x = π 6 +kπ, k Z, h)x = kπ lub x = π +kπ, k Z, i) x = kπ lub x = π +kπ lub x = π + kπ, k Z, j) (zał. x π 0 + kπ 5 oraz x π 6 + kπ ) x = kπ 8, k Z, k) x = π + kπ lub x = kπ, k Z, l) (zał. x π + kπ) x = π + kπ lub x = π + kπ, k Z, m)x = kπ, k Z \ {0}, n) x = kπ, k Z, k 0 III.6: (dla k C ) a) x = π 6 + kπ, x = π + kπ x = ± 4 π + kπ, x = kπ x = ± 4π + kπ, x = π 4 + k π x = ± π +kπ x = 5 π+kπ, e) x = kπ x = π+kπ, f) x = k π x = π 6 +kπ x = 5 6 π+kπ, g) x = k π x = kπ x = π π+kπ, h) x = π +kπ x = π 6 +kπ x = π 6 +kπ, i) x = π +kπ x = π 4 +kπ, j) x = k π x = π 4 + kπ, III.64: r-nie ma jedno rozwi azanie x = 0 dla wszystkich m, które nie s a całkowite III.65: a) k [0, 4 ] dwa rozwi azania, k [, 0) jedno rozwi azanie, k [, ], k [, 5] III.66: a) x = p + kπ, k Z, x = kπ, k Z III.67: a) x (π + kπ, π + kπ), k Z, x ( π + kπ, π + kπ), k Z, x ( π 6 + kπ, + π 8 + kπ ), k Z, x ( 5π 8 + kπ, π 8 + kπ), k Z, e) x ( π 6 + kπ, kπ) (kπ, π 6 + kπ), k Z, f) x ( π +kπ; π +kπ), g)x [0+kπ; π 6 +kπ] [ 5π 6 +kπ; π+kπ], h) x ( π +kπ; π +kπ), i)x R \ ( ( π + kπ; π + kπ) {π + kπ}), j) x ( π + kπ; π + kπ), k) x ( π + kπ; π + kπ), l) x ( π 8 + π k; π 8 + π k), m) x ( π 6 + kπ; π 6 + kπ), n) x ( π + kπ; π + kπ), o) x [ 4 + k; 4 + k] III.68: zauważ, że cos(0 ) = cos(90 70 ) = sin 70, a następnie użyj wzoru sin x = sin x cos x III.70: a) k = 5, k = 4, k = 6, k = 7 III.7: a), 4, x =, x =, e) 4, f) x = III.7: a) x =,, x =, 7, x =, x =, e) x = 0,, f) t =, g) x =, h) x = 4, i) x =., j) x = ±, k) x =, 5, l) x =, m) x = ±, n) x = 0 { III.7: a) x {, }, x, x, + } {, x = 7 4 4 5, e) x 6, 6 + }, 5 5 f) x {, 4} III.74: a) x = 0, x {, }, x {0, }, x =, e)x {0,,, } = 4
III.75: a) x {, }, x = 0, x {, 4}, x =, e) x =, f) x {, }, g) równanie sprzeczne, h) x {0,, }, i) x {0, }, j) x {, }, k) x = 6, l) x {0, } III.76: a) x (, ), x (, 6 ), x (, 5), x (4, ), e) x (, ), f) x (, ] x [, ), g) x ( 7, + ), h) x (, 4), i) x [0, ], j) x [, ) { } III.77: a) x (0.6; ), x (; 4), x (; ), x ( ; 0) (. ), x < 5, e) x >, g) x [, ) III.78: a) x [ 5, + 5 ], x R, dla żadnego x, x (, ] [ 4, ) e) x R, f) x (, 4 4 ] [ 4 + 4, ) III.79: a) x = 6, y = 4 ; x = 4, y = 6, x =, y =, x = 4, y = III.8: x = + m + 6, x = m + 6, dla m 6. Dla m = 5, otrzymujemy x =, x = 0 III.84: a) gdy m (, 4) brak rozwiązań, gdy m = 4 jedno rozwiązanie, dla m (4, + ) dwa rozwiązania, gdy m (, ) (, + ) brak rozwiązań, gdy m (, ) jedno rozwiązanie, dla m {, } nieskończenie wiele rozwiązań, dla m (, ) brak rozwiązań, dla m (, ) (, + ) jedno rozwiązanie, gdy m {, } nieskończenie wiele rozwiązań III.85: a) (x, y) = (, ), (x, y) = (, ), (x, y) = (0, ) (x, y) = (, 0), (x, y) = (4, ) III.86: a) parzysta, nieparzysta, nie III.87: a) m (, 5 ) ( 7, + ), m (, 0) (, + ), m ( 5 (, ) (, + ). III.88: a)4, 0, 8, 00, e) 8 III.89: a) x ( 9, + ), x (, ) (, ) (0, + ), x (, + ) \ {} 8, + 5 8 ), m III.9: a) x =, x = lub x =, [4, + ), (, ), e)(x, y) = (, 0) (x, y) = (0, ), f) (x, y) = (, ), g) (x, y) = (0, ) III.9: a) x = 4, x =, x =, x = 0, e) x = 0, f) x = 5, g) x = 8, h) x = 4, i) x = 8, j) x = III.9: a) x = 9, równanie sprzeczne, x {, }, x = 5, e) x = +, f) x =, g) x {, }, h) x {, 4}, i) x { 00, 00}, j*) x { 00, 00}, k*) x { 4, } III.94: a) x (, 9 ), x ( 4, 5 4 ), x (4, + ), x (9, + ), e) x ( 5, ), f) x, ) (, 7, g) x (, ) (, + ), h) x, ) ( +,, i) x (, 9), j) x (, ) (4, 5), k) x ( 4 5, + ), l) x 7, 5) 5, 5), m) x (, 6) ( 6, ), n) x (0, ) (, + ), o)x (, ) (, 0) (, ) (, + ). III.95: a)wszystkie rzeczywiste oprócz ±, ± i 0, x [ ; 0) (; ) [4, ), x [ π 6 + kπ; π + kπ), k Z, α ( π 6 + kπ; π + kπ) ( π + kπ; 5π 6 + kπ), k Z, jeżeli w treści zadania w wykładniku bȩdzie zamiast +. III.96: a) (x, y) = (, 8) (x, y) = (8, ), (x, y) = (00, 0), (x, y) = (, 6), (x, y) = (5, 4) (x, y) = (5 4, ) III.97: a) parzysta, parzysta, nieparzysta III.98: a) m (, 0) (, + ), m (0, ), m [, 8] 5