c Marcin Sydow Podstawy Grafy i Zastosowania Kod Prüfera 3: Drzewa Drzewa ukorzenione * Drzewa binarne Zastosowania Podsumowanie

Podobne dokumenty
10a: Wprowadzenie do grafów

c Marcin Sydow Spójno± Grafy i Zastosowania Grafy Eulerowskie 2: Drogi i Cykle Grafy Hamiltonowskie Podsumowanie

Zadania z kolokwiów ze Wst pu do Informatyki. Semestr II.

Teoria grafów i jej zastosowania. 1 / 126

Zad. 1 Zad. 2 Zad. 3 Zad. 4 Zad. 5 SUMA. W obu podpunktach zakªadamy,»e kolejno± ta«ców jest wa»na.

c Marcin Sydow Wst p Grafy i Zastosowania Wierzchoªki 8: Kolorowanie Grafów Mapy Kraw dzie Zliczanie Podsumowanie

Minimalne drzewa rozpinaj ce

Relacj binarn okre±lon w zbiorze X nazywamy podzbiór ϱ X X.

Teoria grafów i sieci 1 / 58

c Marcin Sydow Planarno± Grafy i Zastosowania Tw. Eulera 7: Planarno± Inne powierzchnie Dualno± Podsumowanie

Grafy i Zastosowania. 1: Wprowadzenie i poj cia podstawowe. c Marcin Sydow. Wprowadzenie. Podstawowe poj cia. Operacje na grafach.

Grafy. Andrzej Jastrz bski. Akademia ET I. Politechnika Gda«ska

Wykªad 4. Funkcje wielu zmiennych.

Algorytmy grafowe 2. Andrzej Jastrz bski. Akademia ETI. Politechnika Gda«ska Algorytmy grafowe 2

Algorytmy i struktury danych

Maszyny Turinga i problemy nierozstrzygalne. Maszyny Turinga i problemy nierozstrzygalne

Mosty królewieckie, chi«ski listonosz i... kojarzenie maª»e«stw

Metoda tablic semantycznych. 1 Metoda tablic semantycznych

WST P DO TEORII INFORMACJI I KODOWANIA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2013/14

Stereometria (geometria przestrzenna)

Matematyka dyskretna - 7.Drzewa

WST P DO TEORII INFORMACJI I KODOWANIA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2013/14

Wykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych.

c Marcin Sydow Przepªywy Grafy i Zastosowania Podsumowanie 12: Przepªywy w sieciach

c Marcin Sydow Grafy i Zastosowania BFS DFS 4: Przeszukiwanie Grafów (BFS, DFS i zastosowania) DFS nieskierowane DFS skierowane Podsumowanie

Teoria grafów i sieci 1 / 188

Egzaminy i inne zadania. Semestr II.

Wykªad 1. Wprowadzenie do teorii grafów

Biedronka. Wej±cie. Wyj±cie. Przykªady. VI OIG Zawody dru»ynowe, Finaª. 19 V 2012 Dost pna pami : 64 MB.

A = n. 2. Ka»dy podzbiór zbioru sko«czonego jest zbiorem sko«czonym. Dowody tych twierdze«(elementarne, lecz nieco nu» ce) pominiemy.

Grafy (3): drzewa. Wykłady z matematyki dyskretnej dla informatyków i teleinformatyków. UTP Bydgoszcz

Grafy i Zastosowania. 5: Drzewa Rozpinaj ce. c Marcin Sydow. Drzewa rozpinaj ce. Cykle i rozci cia fundamentalne. Zastosowania

Egzaminy i inne zadania. Semestr II.

Wykªad 4. Droga i cykl Eulera i Hamiltona

Listy i operacje pytania

Wektory w przestrzeni

7. Teoria drzew - spinanie i przeszukiwanie

Metodydowodzenia twierdzeń

Oba zbiory s uporz dkowane liniowo. Badamy funkcj w pobli»u kresów dziedziny. Pewne punkty szczególne (np. zmiana denicji funkcji).

Notatki z AiSD. Nr 2. 4 marca 2010 Algorytmy Zachªanne.

Drzewa Gomory-Hu Wprowadzenie. Drzewa Gomory-Hu. Jakub Š cki. 14 pa¹dziernika 2009

Grafy i Zastosowania. 9: Digrafy (grafy skierowane) c Marcin Sydow. Digrafy. Porz dki cz ±ciowe * Euler i Hamilton. Turnieje

Lab. 02: Algorytm Schrage

Metody dowodzenia twierdze«

Elementy teorii grafów, sposoby reprezentacji grafów w komputerze

Uogólnione drzewa Humana

Graf. Definicja marca / 1

Podstawowepojęciateorii grafów

Twierdzenie Wainera. Marek Czarnecki. Warszawa, 3 lipca Wydziaª Filozoi i Socjologii Uniwersytet Warszawski

Wysokość drzewa Głębokość węzła

12: Znajdowanie najkrótszych ±cie»ek w grafach

Podstawy matematyki dla informatyków

Podstawowe algorytmy grafowe i ich zastosowania

JAO - J zyki, Automaty i Obliczenia - Wykªad 1. JAO - J zyki, Automaty i Obliczenia - Wykªad 1

Elementy teorii grafów, sposoby reprezentacji grafów w komputerze

Zdzisªaw Dzedzej, Katedra Analizy Nieliniowej pok. 611 Kontakt:

Strategia czy intuicja?

Grafy i Zastosowania. 11: Twierdzenia Minimaksowe. c Marcin Sydow. Wst p: Tw. Halla. Dualno± Zbiory niezale»ne. Skojarzenia c.d.

Ukªady równa«liniowych

Drzewa. Jeżeli graf G jest lasem, który ma n wierzchołków i k składowych, to G ma n k krawędzi. Własności drzew

Wst p teoretyczny do wiczenia nr 3 - Elementy kombinatoryki

1 Metody iteracyjne rozwi zywania równania f(x)=0

Ekstremalnie maªe zbiory

Algorytmy i Struktury Danych

Algorytmy zwiazane z gramatykami bezkontekstowymi

Struktury Danych i Złożoność Obliczeniowa

Podstawowe algorytmy grafowe i ich zastosowania

Funkcje, wielomiany. Informacje pomocnicze

Metody teorii gier. ALP520 - Wykład z Algorytmów Probabilistycznych p.2

Algorytmy i struktury danych. Drzewa: BST, kopce. Letnie Warsztaty Matematyczno-Informatyczne

Listy, kolejki, stosy

Algorytmiczna teoria grafów

ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15

Elementy geometrii w przestrzeni R 3

Hotel Hilberta. Zdumiewaj cy ±wiat niesko«czono±ci. Marcin Kysiak. Festiwal Nauki, Instytut Matematyki Uniwersytetu Warszawskiego

*** Teoria popytu konsumenta *** I. Pole preferencji konsumenta 1. Przestrze«towarów 2. Relacja preferencji konsumenta 3. Optymalny koszyk towarów

Programowanie wspóªbie»ne

ALGORYTMY I STRUKTURY DANYCH

Ciaªa i wielomiany. 1 Denicja ciaªa. Ciaªa i wielomiany 1

Równania ró»niczkowe I rz du (RRIR) Twierdzenie Picarda. Anna D browska. WFTiMS. 23 marca 2010

Arkusz maturalny. Šukasz Dawidowski. 25 kwietnia 2016r. Powtórki maturalne

O pewnym zadaniu olimpijskim

Informacje pomocnicze

AM II /2019 (gr. 2 i 3) zadania przygotowawcze do I kolokwium

1) Grafy eulerowskie własnoci algorytmy. 2) Problem chiskiego listonosza

Wybrane poj cia i twierdzenia z wykªadu z teorii liczb

Uczenie Wielowarstwowych Sieci Neuronów o

1 Bª dy i arytmetyka zmiennopozycyjna

Drzewo. Drzewo uporządkowane ma ponumerowanych (oznaczonych) następników. Drzewo uporządkowane składa się z węzłów, które zawierają następujące pola:

Matematyka wykªad 1. Macierze (1) Andrzej Torój. 17 wrze±nia Wy»sza Szkoªa Zarz dzania i Prawa im. H. Chodkowskiej

1 Klasy. 1.1 Denicja klasy. 1.2 Skªadniki klasy.

XVII Warmi«sko-Mazurskie Zawody Matematyczne

Ekonometria - wykªad 8

1 a + b 1 = 1 a + 1 b 1. (a + b 1)(a + b ab) = ab, (a + b)(a + b ab 1) = 0, (a + b)[a(1 b) + (b 1)] = 0,

Matematyczne Podstawy Informatyki

Lekcja 8 - ANIMACJA. 1 Polecenia. 2 Typy animacji. 3 Pierwsza animacja - Mrugaj ca twarz

Kolejka priorytetowa. Często rozważa się kolejki priorytetowe, w których poszukuje się elementu minimalnego zamiast maksymalnego.

Wzorce projektowe kreacyjne

Zbiory ograniczone i kresy zbiorów

Przekroje Dedekinda 1

Transkrypt:

Grafy i Grafy i 3:

Spis zagadnie«grafy i drzewo i las: denicja, charakteryzacje, wªasno±ci kodowanie Prüfera i zliczanie drzew etykietowanych (tw. Cayleya) drzewa drzewa zliczanie drzew binarnych (tw. Catalana) zastosowania drzew ukorzenionych w informatyce (BST, kopce, drzewo Humana, etc.)

Grafy i drzewo to graf spójny i bez cykli (acykliczny) las to graf bez cykli (niekoniecznie spójny) y li± to taki wierzchoªek drzewa, który ma stopie«1 pozostaªe wierzchoªki nazywamy wewn trznymi uwaga: wierzchoªki w drzewach cz sto nazywane s te» w zªami drzewa Fakt: Problem izomorzmu dla drzew nie jest trudny: istnieje szybki (liniowy) algorytm sprawdzaj cy izomorczno± dwóch drzew (Aho et. al. Algorytmy i Struktury Danych)

Charakteryzacja drzew Grafy i Nast puj ce warunki s równowa»ne : graf T jest drzewem o n wierzchoªkach T ma n-1 kraw dzi i jest acykliczny T jest spójny i ma n-1 kraw dzi T jest spójny i ka»da kraw d¹ jest mostem ka»de dwa wierzchoªki T sa poª czone dokªadnie jedn drog elementarn T jest acykliczny, ale po dodaniu jakiejkolwiek kraw dzi powstaje dokªadnie jeden nowy cykl

Inne proste wªasno±ci drzew i lasów Grafy i ka»de drzewo posiadaj ce kraw d¹ ma co najmniej 2 li±cie las o dokªadnie k skªadowych ma dokªanie n-k kraw dzi. w drzewie o conajmniej 3 wierzchoªkach, je±li v jest centralny to deg(v) 2 centrum drzewa to albo 1 wierzchoªek albo graf P 2 (tw. Jordana) przy ustalonej liczbie wierzchoªków n drzewa, P n ma najmniej li±ci (2), a K 1,n 1 (gwiazda) najwi cej (n-1)

Indeks Wienera Grafy i Indeks Wienera ds(g) dla grafu G: suma wszystkich odlegªo±ci mi dzy parami wierzchoªków grafu. (ds(g) = v,w V (G) d(v, w)) Fakt: Przy ustalonej liczbie wierzchoªków drzewa, indeks Wienera osi ga: warto± minimaln dla grafu b d cego gwiazd : K 1,n 1 ((n 1) 2 ) warto± maksymaln dla grafu ±cie»kowego: P n

Ci g stopni drzewa Grafy i Ci g liczb dodatnich naturalnych nazwiemy drzewowym je±li pewna jego permutacja stanowi ci g stopni pewnego drzewa. Twierdzenie: Ci g (d 1,..., d n ) (dla n 2) jest drzewowy n i=1 d i = 2n 2 (uwaga: oczywi±cie nieco ciekawsza jest implikacja w lewo)

jako podgrafy Grafy i Twierdzenie: Je±li T jest drzewem o n wierzchoªkach i G jest prostym grafem o minimalnym stopniu δ min n 1 to wtedy T jest izomorczne z pewnym podgrafem G.

etykietowane Grafy i W tej sekcji przez drzewa etykietowane rozumiemy drzewa, których wierzchoªki maj etykiety b d ce kolejnymi dodatnimi liczbami naturalnymi. Ile jest ró»nych drzew etykietowanych o n wierzchoªkach? Zagadnienie to ma wa»ne zastosowania np. w chemii (gdzie drzewa reprezentuj pewne cz steczki chemiczne, np. alkany C n H 2n+2, oryginalnie zliczane przez Arthura Cayleya w XIX w.)

Kodowanie Prüfera Grafy i Kodowanie Prüfera pozwala w jednoznaczny sposób zakodowa dowolne drzewo etykietowane o n wierzchoªkach za pomoc (n 2)-elementowego ci gu liczb z zakresu [1, n]. Algorytm kodowania jest nast puj cy: Maj c dane drzewo etykietowane, niech b 1 b dzie najmniejsz liczb przypisan li±ciowi i niech a 1 b dzie (jedynym) s siadem tego li±cia. Usuwamy ten li± z drzewa (wraz z incydentn kraw dzi ) i zapisujemy a 1 jako pierwszy element ci gu. W powstaªym drzewie analogicznie poszukujemy najmniejszej etykiety li±cia b 2 i zapisujemy jego s siada a 2 jako nast pny element ci gu a li± usuwamy (wraz z kraw dzi incydentn ). Post puj my tak a» do uzyskania dokªadnie (n 2)-elementego ci gu: (a 1,..., a n 2 ).

Dekodowanie Prüfera Grafy i Co najwa»niejsze, ka»dy (n 2)-elementowy ci g liczb z zakresu [1, n] mo»na odkodowa u»ywaj c dekodowania Prüfera i otrzymuj c n-wierzchoªkowe drzewo etykietowane, przy czym dekodowanie jest ró»nowarto±ciowe Algorytm dekodowania jest nast puj cy: Maj c dany ci g (a 1,..., a n 2 ), znajdujemy najmniejsz liczb b 1 [1, n], która nie wyst puje w ci gu i ª czymy kraw dzi wierzchoªki a 1 i b 1. Usuwamy a 1 z ci gu a b 1 pomijamy w dalszych rozwa»aniach. Kontynuujemy analogicznie post powanie dodaj c kolejne wierzchoªki i kraw dzie do grafu, a» do wyczerpania elementów ci gu. Na ko«cu ª czymy dwa wierzchoªki oznaczone dwoma etykietami nie u»ytymi dotychczas. W ten sposób otrzymujemy odkodowane drzewo.

Zliczanie drzew etykietowanych: Twierdzenie Cayleya Grafy i Twierdzenie (Cayley, 1989): Istnieje n n 2 ró»nych n-wierzchoªkowych drzew etykietowanych. dowód: wynika z wzajemnej jednoznaczno±ci kodowania i dedokowania Prüfera, gdy» dokªadnie tyle istnieje ró»nych ci gów o takiej formie Wniosek: Graf peªny K n ma dokªadnie n n 2 drzew rozpinaj cych

Zliczanie drzew etykietowanych o ustalonym ci gu stopni Grafy i Twierdzenie: Liczba nieizomorcznych n-wierzchoªkowych drzew etykietowanych, takich»e deg(v i ) = d i dla i [1, n] wynosi: ( ) n 2 (n 2)! = d 1 1... d n 1 (d 1 1)!... (d n 1)! (wspóªczynnik wielomianowy)

Drzewo Grafy i Drzewo to drzewo z pewnym wyró»nionym wierzchoªkiem nazywanym korzeniem drzewa. gª boko± (albo poziom) depth(v) wierzchoªka w drzewie ukorzenionym to jego odlegªo± od korzenia. Wyodr bnienie korzenia wprowadza w drzewie naturaln hierarchi w zbiorze wszystkich wierzchoªków: poziom wierzchoªka wyznacza jego miejsce w hierarchii rysunek drzewa go: korze«umieszczany jest na górze a kolejne wierzchoªki kolejno poziomami poni»ej, ka»dy poziom na tej samej wysoko±ci

, c.d. Grafy i wysoko± drzewa go: maksymalna gª boko± przodkiem wierzchoªka v nazywamy wierzchoªek w le» cy na drodze od korzenia do v, v nazywamy wtedy potomkiem wierzchoªka w (korze«nie ma przodków a li±cie nie maj potomków) przodek w wierzchoªka v s siaduj cy z v nazywamy rodzicem (ojcem) wierzchoªka v, wtedy v nazywamy dzieckiem (synem) wierzchoªka w wierzchoªek u maj cy tego samego rodzica co v nazywamy bli¹niakiem (albo bratem) dla v li±cie w drzewie ukorzenionym: wierzchoªki bez dzieci poddrzewo wierzchoªka v drzewa go T to podgraf T b d cy drzewem ukorzenionym, którego korzeniem jest v (jest tyle poddrzew v ile dzieci ma v)

Reprezentacje komputerowe drzewa go Grafy i Najprostsza reprezentacja n-wierzchoªkowego, etykietowanego drzewa go w programie komputerowym to tzw. tablica rodziców: i-ta pozycja n-elementowej tablicy n[i] zawiera etykiet rodzica wierzchoªka o etykiecie i (za wyj tkiem korzenia). Stosuje si te» stuktury dowi zaniowe o ró»nych g sto±ciach powi za«(od pojedynczych, przez podwójne, do wielokrotnych, zale»nie od zastosowa«) y

d arne (gdzie d N + ) Grafy i drzewo d arne: drzewo, gdzie ka»dy wierzchoªek ma conajwy»ej d dzieci, dla pewnej ustalonej liczby d N + uwaga: za d podstawiamy liczb, np. drzewo 3-arne zupeªne drzewo d arne: drzewo d arne o mo»liwie du»ej liczbie wierzchoªków, i wszystkie li±cie ró»ni si gª boko±ci conajwy»ej o 1 y drzewo d arne ma co najwy»ej d l wierzchoªków na poziomie l. drzewo d arne o wysoko±ci h zawiera n wierzchoªków, gdzie zachodzi: h + 1 d h+1 1 d 1 (ograniczenie górne to suma ci gu geometrycznego)

Drzewo uporz dkowane Grafy i drzewo uporz dkowane to drzewo d-arne, gdzie dla ka»dego wierzchoªka wszystkie dzieci maj przypisany pewien porz dek liniowy. Uwaga: Na rysunku drzewa uporz dkowanego dzieci rysuje si zgodnie z ich porz dkiem od lewej do prawej porz dek standardowy drzewa uporz dkowanego to uporz dkowanie liniowe wszystkich jego wierzchoªków rekurencyjnie leksykogracznie po poziomach a nast pnie zgodnie z porz dkiem dzieci Uwaga: porz dek standardowy odpowiada naturalnemu przegl daniu rysunku drzewa go od góry do doªu i od lewej do prawej

Grafy i drzewo : 2-arne drzewo uporz dkowane, w którym dodatkowo jest okre±lone, które dziecko jest lewe, a które prawe (nie mog by oba lewe ani oba prawe) Obserwacja: poj cia drzewa, drzewa go, drzewa d-arnego, uporz dkowanego, go stanowi hierarchi coraz bardziej specjalizuj cych si poj. Obserwacja 2: nale»y odró»nia ró»ne rodzaje izomorzmów wªa±ciwych dla powy»szych poj (np. dwa drzewa mog by izomorczne jako, ale nie jako ) y

Rekurencyjne przeszukiwanie drzew binarnych Grafy i W wielu zastosowaniach wa»ne jest systematyczne przejrzenie wszystkich wierzchoªków (i kraw dzi) drzewa go. Oprócz porz dku standardowego (dla dowolnych drzew uporz dkowanych) rozró»nia si m.in. pewne 3 specyczne porz dki rekurencyjnego przegl dania drzewa go: pre-order (bie» cy, lewy, prawy) in-order (lewy, bie» cy, prawy) post-order (lewy, prawy, bie» cy) Ka»dy z powy»szych porz dków zaczyna przeszukiwanie od korzenia i rekurencyjnie wywoªuje przeszukiwanie w poddrzewach w odpowiedniej kolejno±ci. (lewy, prawy: oznaczaj poddrzewa bie» cego wierzchoªka) y

Geometryczna interpretacja rekurencyjnych przeszukiwa«drzew Grafy i Gdy narysujemy drzewo w standardowym porz dku, i zakre±limy lini otaczaj c drzewo zaczynaj c ponad korzeniem i obchodz c naokoªo wszystkie gaª zie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara, to mamy nast puj ce interpretacje geometryczne: pre-order: wypisz wierzchoªek pierwszy raz go napotykaj c post-order: wypisz wierzchoªek ostatni raz go napotykaj c in-order: wypisz wierzchoªek posiadaj cy lewego syna drugi raz go napotykaj c, a ka»dy inny pierwszy raz go napotykaj c

rekurencyjnych porz dków przeszukiwania Grafy i Rekurencyjne podej±cie do przeszukiwania drzew binarnych upraszcza zapis wielu wa»nych algorytmów na tych drzewach, np. obliczanie: liczby wierzchoªków w drzewie wysoko±ci drzewa gª boko±ci ka»dego wierzchoªka liczby li±ci, etc.

Zliczanie drzew binarnych Grafy i Twierdzenie: Liczba b n ró»nych drzew binarnych o n wierzchoªkach wynosi: b n = 1 n + 1 b n nazywana jest liczb Catalana. ( 2n n )

drzew ukorzenionych Grafy i maj liczne zastosowania w: informatyce (np. jako struktury danych) sztucznej inteligencji (np. drzewa decyzyjne, drzewa gier) eksploracji danych (np. kd-drzewa) przetwarzaniu j zyka naturalnego (np. drzewa parsowania) organizacji informacji (np. modele hierarchiczne, taksonomie) biologii (np. drzewa genealogiczne) teorii gier (np. zasada minimaksowa)

drzew ukorzenionych jako struktur danych Grafy i maj wa»ne i liczne zastosowania np. w informatyce jako efektywne implementacje wa»nych abstrakcyjnych struktur danych, np: drzewo wyszukiwa«binarnych (implementacja uporz dkowanego sªownika) (inne: AVL, B-drzewa, czerwono-czarne, etc.) kopiec binarny (implementacja kolejki priorytetowej) kopiec dwumianowy (implementacja zª czalnej kolejki priorytetowej) (inne: kopiec Fibonacciego, drzewa van Emde Boas, etc.) drzewo Humana (zwarta reprezentacja kodu preksowego) drzewo suksowe (zwarta reprezentacja przeszukiwanego ci gu symboli)

Przykªad: gra NIM Grafy i W grze NIM jest 2 graczy, nawijmy ich MIN i MAX. Zadaniem MIN jest minimalizacja wygranej MAX'a a zadaniem MAX'a jest maksymalizacji swojej wygranej. Przyjmijmy,»e wygrana wynosi po prostu 1, gdy wygra MAX a 0, gdy wygra MIN. Na pocz tku w grze jest n kamyków na jednej kupce. Gracze wykonuj ruchy na przemian. Ruch gracza polega na podziale dowolnej le» cej kupki na 2 kupki o ró»nych wielko±ciach. Gracz wygrywa, gdy jego rywal nie mo»e wykona ruchu.

Przykªady rozgrywek Grafy i 1: zaªó»my,»e zaczyna MIN a n=2 (MIN przegrywa) 2: zaczyna MIN a n=3 (MAX przegrywa) 3: zaczyna MIN, n=7: czy MIN mo»e wygra? Aby odpowiedzie na to pytanie, mo»na dokona analizy gry za pomoc drzewa gry i tzw. zasady minimaksowej.

Drzewo gry NIM dla 7 kamyków Grafy i min 1 7 max 1 6-1 1 4-3 1 5-2 min 0 5-1-1 1 4-2-1 1 3-3-1 0 3-2-2 max 0 4-1-1-1 0 1 3-2-1-1 1 0 2-2-2-1 min 3-1-1-1-1 2-2-1-1-1 0 max 2-1-1-1-1-1

Grafy i Po tym wykªadzie wymagana jest przynajmniej: znajomo± denicji dotycz cych ró»nych rodzajów drzew, lasów i ich elementów oraz wªasno±ci umiej tno± wyznaczania kodowania i dekodowania Prüfera umiej tno± zliczania ró»nych drzew binarnych, drzew etykietowanych (w tym o ustalonych stopniach wierzchoªków) znajomo± kolejno±ci odwiedzania wierzchoªków dla podanego drzewa w omawianych porz dkach przeszukiwania (pre/in/post-order) umiej tno± pisania i analizowania prostych funkcji rekurencyjnych na drzewach binarnych znajomo± zastosowa«drzew w wymienionych dziedzinach

Przykªadowe Zadania Grafy i Zaproponuj algorytm obliczania ±rednicy danego drzewa nieskierowanego. Przez ±rednic rozumiemy maksymaln odlegªo± pomi dzy pewnymi dwoma wierzchoªkami tego drzewa

Grafy i Dzi kuj za uwag