Excel: niektóre rozkłady ciągłe (1)

MS Ecel niektóre rozkłady ciągłe (1) Ecel: niektóre rozkłady ciągłe (1) 1. ROZKŁAD.BETA (tylko dystrybuanta)...1 2. ROZKŁAD.BETA.ODW (kwantyl w rozkładzie beta)...3 3. ROZKŁAD.LIN.GAMMA (to nie jest żaden rozkład! jest to lnγ() )...4 4. ROZKŁAD.GAMMA (dystrybuanta lub funkcja gęstości)...5 5. ROZKŁAD.GAMMA.ODW (kwantyl w rozkładzie gamma)...7 6. ROZKŁAD.LOG (logarytmiczno-normalny, tylko dystrybuanta)...8 7. ROZKŁAD.LOG.ODW (kwantyl w rozkładzie lognormalnym)...10 8. ROZKŁAD.NORMALNY (dystrybuanta i funkcja gęstości)...11 9. ROZKŁAD.NORMALNY.ODW (kwantyl w rozkładzie normalnym)...13 10. ROZKŁAD.NORMALNY.S (rozkład normalny standaryzowany, tylko dystrybuanta)...14 11. ROZKŁAD.NORMALNY.S.ODW (kwantyl w rozkładzie normalnym standaryzowanym, kwantyl normalny)...15 12. ROZKŁAD.WEIBULL (rozkład Weibulla, dystrybuanta i funkcja gęstości)...15 Uwaga: tekst czarny oznacza oryginalny tekst z tzw. helpów Ecela (czasami dla zwrócenia uwagi zaznaczany na czerwono; np. kiedy dane sformułowanie jest dziwne, niejasne itp.), natomiast tekst dopisany przez mnie oznaczony jest kolorem niebieskim. 1. ROZKŁAD.BETA (tylko dystrybuanta) Funkcja arkusza ROZKŁAD.BETA oblicza wartość dystrybuanty rozkładu beta: ROZKŁAD.BETA = F( ) = P( X < ) = f ( ; α, β, A, B) d (1) gdzie: 1 α 1 β 1 ( A) ( B ) dla ( A, B) f ( ; α, β, A, B) = B( α, β ) (2) 0 dla ( A, B) Funkcja B(",β) nosi nazwę funkcji beta Eulera i związana jest z funkcją gamma (Eulera) (zob. rozdz. 3) wzorem Γ( α) Γ( β ) B( α, β ) = (3) Γ ( α + β ) A

MS Ecel niektóre rozkłady ciągłe (1) 2 Nie ma czegoś takiego jak funkcja gęstości skumulowanego rozkładu!! F ( )=P(X < ) F ( )=875 =0.5 0 0 0 0 0 0 Rys. 1. Dystrybuanta rozkładu beta (2), F B(;2,3,0,1) ROZKŁAD.BETA(;alfa;beta;A;B) jest to wartość pomiędzy A i B, dla której określa się P(X<) alfa (α) jest parametrem rozkładu beta (β) jest parametrem rozkładu. A jest opcjonalnym dolnym ograniczeniem przedziału wartości. B jest opcjonalnym górnym ograniczeniem przedziału wartości. ROZKŁAD.BETA(2;8;10;1;3) = P(X<2) = 0,685470581

MS Ecel niektóre rozkłady ciągłe (1) 3 2. ROZKŁAD.BETA.ODW (kwantyl w rozkładzie beta) Oblicza wartość kwantyla zadanego rzędu w rozkładzie beta. bzdura! F ()=P(X <) p=f()= 0.95 =0.751 0 0 0 0 0 0 Rys. 2. Wartość 0.751 jest 95% kwantylem w rozkładzie beta (2), fb(;2,3,0,1) ROZKŁAD.BETA.ODW(prawdopodobieństwo;alfa;beta;A;B) prawdopodobieństwo = P(X<) = prawdopodobieństwo nieprzekroczenia. alfa (α) parametr rozkładu beta (β) parametr rozkładu. A opcjonalne dolne ograniczenie przedziału wartości. B opcjonalne górne ograniczenie przedziału wartości. ROZKŁAD.BETA.ODW(0,685470581;8;10;1;3) = 2

MS Ecel niektóre rozkłady ciągłe (1) 4 3. ROZKŁAD.LIN.GAMMA (to nie jest żaden rozkład! jest to lnγ() ) Podaje wartość logarytmu naturalnego funkcji gamma (Eulera), lnγ(). 1 t ROZKŁAD.LIN.GAMMA() = ln Γ ( ) = ln t e dt (4) 0 Gamma Eulera może być nazwana uogólnioną silnią, bo: Γ ( n + 1) = n!, n = 0,1,2,... (5) 2.5 10 2 8 lnγ() 1.5 1 0.5 Γ() 6 4 0 2-0.5 0 1 2 3 4 0 0 1 2 3 4 Rys. 3. Funkcje: lnγ() (wykres lewy) i Γ() (wykres prawy) ROZKŁAD.LIN.GAMMA() X jest to wartość, dla której chce się obliczyć ROZKŁAD.LIN.GAMMA. y ROZKŁAD.LIN.GAMMA(4) = lnγ(4) = 1,791759 EXP(ROZKŁAD.LIN.GAMMA(4)) = Γ(4) = 3! = 6

MS Ecel niektóre rozkłady ciągłe (1) 5 4. ROZKŁAD.GAMMA (dystrybuanta lub funkcja gęstości) Funkcja arkusza ROZKŁAD.GAMMA oblicza funkcję gęstości lub dystrybuantę rozkładu gamma (Pearsona III typu): 1 α 1 / β f ( ; α, β ) = e, skumulowany = fałsz α β Γ( α) ROZKŁAD.GAMMA = (6) a F( ; α, β ) = f ( ; α, β ) d, skumulowany = prawda 0 F ( )=P(X < ) F (4) = P(X <4) = 0.7619 =4 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Rys. 4. Dystrybuanta, F (;3,1) rozkładu gamma (6) Uwaga: Na wykładzie podałem inny wzór niż (6); różnica leży w parametrach: (α,β) w (6) wyżej to to samo, co (λ, 1/α) na wykładzie.

MS Ecel niektóre rozkłady ciągłe (1) 6 f ( ) = dp(x < )/d 0.3 0.3 0.1 0.1 F (4) = P(X <4) = 0.7619 =4 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Rys. 5. Funkcja gęstości, f (;3,1) rozkładu gamma (6) ROZKŁAD.GAMMA(;alfa;beta;skumulowany) alfa (α) beta (β) skumulowany jest to wartość, przy której chce się oceniać rozkład. jest parametrem rozkładu jest parametrem rozkładu. jest skumulowany=prawda, funkcja ROZKŁAD.GAMMA daje w wyniku dystrybuantę, a jeśli skumulowany=fałsz, wówczas daje w wyniku funkcję gęstości prawdopodobieństwa. y ROZKŁAD.GAMMA(10;9;2;FAŁSZ) = f(10) = 0,032639 ROZKŁAD.GAMMA(10;9;2;PRAWDA) = F(10) = P(X<10) = 0,068094

MS Ecel niektóre rozkłady ciągłe (1) 7 5. ROZKŁAD.GAMMA.ODW (kwantyl w rozkładzie gamma) Oblicza wartość kwantyla zadanego rzędu w rozkładzie gamma o zadanych parametrach. F ( )=P(X < ) F () = P(X <) = 0.9 =5.32 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Rys. 6. Wartość 5.32 jest 90% kwantylem w rozkładzie gamma (6), f(;3,1)

MS Ecel niektóre rozkłady ciągłe (1) 8 f ( ) = dp(x < )/d 0.3 0.3 0.1 0.1 F ( ) = P(X <) = 0.9 = 5.32 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Rys. 7. Wartość 5.32 jest 90% kwantylem w rozkładzie gamma (6), f(;3,1) ROZKŁAD.GAMMA.ODW(prawdopodobieństwo;alfa;beta) prawdopodobieństwo alfa (α) beta (β) ROZKŁAD.GAMMA.ODW(0;068094;9;2) = 10 jest to prawdopodobieństwo związane z rozkładem gamma. jest parametrem rozkładu jest parametrem rozkładu. 6. ROZKŁAD.LOG (logarytmiczno-normalny, tylko dystrybuanta) ROZKŁAD.LOG oblicza dystrybuantę rozkładu logarytmiczno-normalnego: gdzie ROZKŁAD.LOG( ) = P( X < ) = F( ; µ, σ ) = f ( ; µ, σ ) d (7) 0 2 1 1 ln µ f ( ; µ, σ ) = ep σ 2π 2 σ (8)

MS Ecel niektóre rozkłady ciągłe (1) 9 F ( )=P(X < ) F (5) = P(X <5) = 886 =5 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Rys. 8. Dystrybuanta, F (; µ=1, σ=0.5) rozkładu logarytmiczno-normalnego (8) ROZKŁAD.LOG(;średnia;odchylenie_std) X jest to wartość średnia, przy której ma być oceniana funkcja. Średnia = µ Odchylenie_std = σ. ROZKŁAD.LOG(4;3,5;1;2) = P(X<4) = 0,39084

MS Ecel niektóre rozkłady ciągłe (1) 10 7. ROZKŁAD.LOG.ODW (kwantyl w rozkładzie lognormalnym) Oblicza wartość kwantyla w rozkładzie logarytmiczno-normalnym. F ( )=P(X < ) F () = P(X <) = 0.9 =5.16 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Rys. 9. Kwantyl 90% w rozkładzie logarytmiczno-normalnym (8) (µ=1, σ=0.5) ROZKŁAD.LOG.ODW(prawdopodobieństwo;średnia;odchylenie_std) Prawdopodobieństwo = p Średnia = µ Odchylenie_std = σ. ROZKŁAD.LOG.ODW(0,039084; 3,5; 1,2) = 4,000014

MS Ecel niektóre rozkłady ciągłe (1) 11 8. ROZKŁAD.NORMALNY (dystrybuanta i funkcja gęstości) Funkcja arkusza ROZKŁAD.NORMALNY oblicza dystrybuantę F lub funkcję gęstości f rozkładu normalnego: ROZKŁAD.NORMALNY() = 2 1 1 µ f ( ; µ, σ ) = ep, gdy skumulowany = fałsz σ 2π 2 σ = P( X < ) = F( ; µ, σ ) = f ( ; µ, σ ) d, gdy skumulowany = prawda 0 (9) F ( )=P(X < ) F(2.5) = P(X<2.5) = 41 =2.5 0.5 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 Rys. 10. Dystrybuanta, F (; µ=2, σ=0.5) rozkładu normalnego (9)

MS Ecel niektóre rozkłady ciągłe (1) 12 f ( ) = dp(x < )/d 0.9 0.7 0.5 0.3 0.1 P(X< 2.5) = 886 =2.5 0.5 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 Rys. 11. Funkcja gęstości, f (; µ=2, σ=0.5) rozkładu normalnego (9) ROZKŁAD.NORMALNY(;średnia;odchylenie_std;skumulowany) zadana wartość. średnia średnia arytmetyczna rozkładu. odchylenie_std standardowe odchylenie rozkładu. skumulowany jeśli = PRAWDA to funkcja ROZKŁAD.NORMALNY = dystrybuanta jeśli = FAŁSZ, to ROZKŁAD.NORMALNY = funkcja gęstości prawdopodobieństwa. ROZKŁAD.NORMALNY(42;40;1;5;PRAWDA) = P(X<42) = 0,908789

MS Ecel niektóre rozkłady ciągłe (1) 13 9. ROZKŁAD.NORMALNY.ODW (kwantyl w rozkładzie normalnym) Oblicza wartość kwantyla w rozkładzie normalnym o parametrach µ i σ. F ( )=P(X < ) F () = P(X <) = 0.9 =2.64 0.5 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 Rys. 12. Kwantyl 90%, 2.64, w rozkładzie normalnym (9) o parametrach µ=2 i σ=0.5. ROZKŁAD.NORMALNY.ODW(prawdopodobieństwo;średnia;odchylenie_std) prawdopodobieństwo zadane prawdopodobieństwo nieprzewyższenia. średnia (µ) średnia arytmetyczna zmiennej losowej X. odchylenie_std (σ) standardowe odchylenie zmiennej losowej X. ROZKŁAD.NORMALNY.ODW(0,908789;40;1,5) = 42

MS Ecel niektóre rozkłady ciągłe (1) 14 10. ROZKŁAD.NORMALNY.S (rozkład normalny standaryzowany, tylko dystrybuanta) ROZKŁAD.NORMALNY.S(z) to dystrybuanta Φ(z) standaryzowanego rozkładu normalnego: ROZKŁAD.NORMALNY.S(z) = ROZKŁAD.NORMALNY(;0;1;prawda) ROZKŁAD.NORMALNY.S(z) Z jest to wartość, dla której chcemy określić Φ(z). ROZKŁAD.NORMALNY.S(1,333333) = Φ(1,333333) = 0,908789

MS Ecel niektóre rozkłady ciągłe (1) 15 11. ROZKŁAD.NORMALNY.S.ODW (kwantyl w rozkładzie normalnym standaryzowanym, kwantyl normalny) ROZKŁAD.NORMALNY.S.ODW(p) to kwantyl rzędu p w standaryzowanym rozkładzie normalnym: ROZKŁAD.NORMALNY.S.ODW(p) = ROZKŁAD.NORMALNY.ODW(p;0;1) ROZKŁAD.NORMALNY.S.ODW(prawdopodobieństwo) Prawdopodobieństwo jest to prawdopodobieństwo nieprzewyższenia: p=p(x<) ROZKŁAD.NORMALNY.S.ODW(0,908789) =P(X<0,908789) = 1,3333 12. ROZKŁAD.WEIBULL (rozkład Weibulla, dystrybuanta i funkcja gęstości) Funkcja arkusza ROZKŁAD.WEIBULL oblicza wartość dystrybuanty lub funkcji gęstości rozkładu Weibulla: α F( ) = 1 ep, gdy skumulowany = prawda β ROZKŁAD.WEIBULL = (10) α 1 α α f ( ) = ep, gdy skumulowany = fałsz β β β skąd łatwo obliczyć kwantyl rzędu p w tym rozkładzie: p [ ln(1 p) ] 1/ α = β (11)

MS Ecel niektóre rozkłady ciągłe (1) 16 F ( )=P(X < ) F (2) = P(X <2) = 31 =2 0.5 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 Rys. 13. Dystrybuanta, F (; α=2, β=1.5) rozkładu Weibulla (10) ROZKŁAD.WEIBULL(;alfa;beta;skumulowany) X jest to wartość, dla której ma być oceniana funkcja. alfa (α) parametr rozkładu. beta (β) parametr rozkładu. skumulowany określa rodzaj funkcji (zob. (10)). y ROZKŁAD.WEIBULL(105;20;100;PRAWDA) = P(X<105) = 0,929581 ROZKŁAD.WEIBULL(105;20;100;FAŁSZ) = f(105) = 0,035589