POLITECHNIKA WARSZAWSKA

Transkrypt

1 POLITECHNIKA WARSZAWSKA WYDZIAŁ BUDOWNICTWA, MECHANIKI I PETROCHEMII INSTYTUT INŻYNIERII MECHANICZNEJ STATYSTYCZNA KONTROLA PROCESU (SPC) Ocena i weryfikacja statystyczna założeń przyjętych przy sporządzaniu kart kontrolnych Shewharta. Prowadzący: Dr inż. Cezary Wiśniewski Płock, r. ak. 2013/2014

2 Wstęp Dane pomiarowe, czyli np. wartości uzyskane podczas pomiarów określonej wielkości (cechy) wyrobu w celu oceny jego jakości, zawsze charakteryzują się jakimś rozkładem. Rozkład ten zależy od bardzo wielu czynników, w tym między innymi od tego, wartości jakiej cechy są mierzone, jaki charakter ma proces wytwórczy wyrobu, jakie czynniki (np. zakłócenia) i w jakim stopniu wpływają na proces itp. Najczęściej rzeczywisty rozkład wartości w populacji generalnej nie jest znany i staramy się go ustalić (np. oszacować parametry rozkładu) na podstawie badania prób losowych. Bardzo istotną czynnością jest też weryfikacja postaci rozkładu teoretycznego, którym można opisać rozkład danych pomiarowych (empirycznych) oraz wybór takiego rozkładu teoretycznego, który najlepiej opisuje rozkład wartości uzyskanych podczas pomiarów. W celu weryfikacji postaci rozkładu, którym można opisać rozkład danych empirycznych stosuje się dwa rodzaje narzędzi: różnego rodzaju testy statystyczne (tzw. testy nieparametryczne), metody graficzne. Metody obliczeniowe (testy statystyczne) są dość precyzyjne i wiarygodne, ale wykorzystanie ich w praktyce (np. przedsiębiorstw) związane jest ze skomplikowanymi obliczeniami i uwarunkowane jest posiadaniem odpowiednio wykształconej kadry i odpowiednich narzędzi analitycznych. Metody graficzne są o wiele prostsze w zastosowaniu, ale nieco mniej dokładne i obarczone subiektywizmem przy ocenie. 1. Rozkład normalny Rozkład normalny jest rozkładem najczęściej spotykanym w praktyce i wiele metod stosowanych w badaniach jakości opiera się na założeniu, że uzyskane podczas pomiarów wartości danych mają rozkład normalny. Większość danych pomiarowych charakteryzujących parametry procesów i cechy wyrobów podlega rozkładowi normalnemu lub zbliżonemu do normalnego. Rozkład normalny charakteryzuje się dwiema ważnymi cechami: symetrią względem wartości średniej, jest jedno-modalny, czyli ma jedną wartość najczęściej występującą (dominującą). 90 Histogram Oczekiw ana normalna Liczba obs ,980 79,985 79,990 79,995 80,000 80,005 80,010 X <= Granica klasy Rys. 1. Histogram liczności Funkcja gęstości prawdopodobieństwa zmiennej losowej ciągłej X o rozkładzie normalnym wyrażona jest zależnością: 2

3 1 2 natomiast dystrybuanta zależnością: 1 2 dla, µ wartość oczekiwana zmiennej losowej X, σ - odchylenie standardowe. Jeśli zmienna losowa X ma rozkład normalny o parametrach µ i σ to fakt ten zapisuje się jako N(µ,σ). Parametr µ jest marą położenia i jego wartość wskazuje jaka jest najbardziej prawdopodobna wartość zmiennej losowej. Parametr σ jest miarą zmienności i określa jak szeroko są rozproszone wartości zmiennej losowej wokół wartości oczekiwanej., µ 1 µ 2 Rys. 2. Wykresy funkcji gęstości prawdopodobieństwa rozkładów normalnych o różnych wartościach µ i σ Parametry rozkładu normalnego zmiennej losowej są najczęściej nieznane, a ich dokładne wyznaczenie wymagałoby przebadania całej populacji generalnej (zebrania danych dotyczących wszystkich wartości zmiennej losowej). Dlatego wartości tych parametrów szacuje się na podstawie prób losowych z populacji i wyraża się je za pomocą wartości tzw. estymatorów. Najczęściej stosowanym estymatorem wartości oczekiwanej µ jest średnia arytmetyczna z wartości uzyskanych w próbie, natomiast estymatorem σ jest odchylenie standardowe s z wartości w próbie. Estymatory te definiowane są następująco:! "! 1 " # $ $% 3

4 &' 1! "1 # $ $% $ wartość i-tego pomiaru, n liczba pomiarów w próbie. Jeśli liczba danych w próbie jest duża (n>30) to można przyjmować, że wartość odchylenia standardowego z próby jest w przybliżeniu równa wartości odchylenia standardowego z populacji (pierwiastkowi kwadratowemu z wariancji), tzn.: & ) ' 1 " # $ 2. Badanie normalności rozkładu - testy W badaniu i sterowaniu jakością stosuje się wiele metod, w których zakłada się, że zbierane dane o jakości (np. dotyczące mierzonych średnic, długości, ciężaru, objętości itp.) mają rozkład normalny. Niespełnienie tego warunku może prowadzić do błędnego wnioskowania o jakości i powodować działania związane z niewłaściwym sterowaniem procesem lub sugerować zaniechanie działań korygujących proces. Dlatego bardzo ważnym etapem przy wdrażaniu metod sterowania jakością jest sprawdzenie, czy założenia dotyczące normalności rozkładu danych są spełnione Test χ 2 Pearsona Test χ 2 Pearsona jest jedną z analitycznych metod testowania hipotezy, że rozkład prawdopodobieństwa zbioru danych empirycznych (np. wyników pomiarów) może być opisany rozkładem normalnym. Procedura postępowania: 1. Pobrać próbę o dużej liczności (n 100). 2. Policzyć wartości i s dla próby. 3. Podzielić wartości w próbie na k równych klas (zakwalifikować wartości do k przedziałów klasowych) stosując zasadę, że liczba przedziałów klasowych powinna wynosić około ". W przypadku, gdy liczność którejś klasy jest mniejsza niż 5, można połączyć klasy o małej liczności. 4. Obliczyć wartość statystyki χ2. Hipotezę o normalności rozkładu weryfikuje się za pomocą statystyki:, χ # " $"+ $, "+ $ $% k liczba klas (przedziałów klasowych), n i liczność i-tej klasy (liczba wartości zakwalifikowanych do i-tej klasy), n liczność próby (liczba wszystkich wartości w próbie), p i prawdopodobieństwo tego, że wartość zmiennej losowej zawiera się w i-tym przedziale klasowym, np i hipotetyczna liczność i-tego przedziału klasowego.! $% 4

5 Dla każdego i-tego przedziału klasowego, ograniczonego wartościami x i1 i x i2, oblicza się prawdopodobieństwo p i korzystając ze wzoru: + $ - $ $ -. $ & & $ /0 & $ 0 $, 0 $ $, 0 & $ $ & Wartości funkcji F(u i ) można odczytać z tablicy wartości dystrybuanty standaryzowanego rozkładu normalnego lub obliczyć w arkuszu kalkulacyjnym Excel wykorzystując funkcję postaci: =ROZKŁAD.NORMALNY.S(u i ). 1,2 1 F(u) 0,8 0,6 0,4 0, u Rys. 3. Wykresy funkcji dystrybuanty standaryzowanego rozkładu normalnego Policzone dla wszystkich przedziałów klasowych wartości p i oraz określone przy dzieleniu danych na klasy wartości n i należy podstawić do wzoru na wartość statystyki χ Odczytać z tablicy (Tabela 1) rozkładu χ 2 wartość krytyczną χ 1 przy założonym poziomie istotności α i odpowiedniej liczbie stopni swobody ν. Liczbę stopni swobody oblicza się ze wzoru: ν = k-m-1, k liczba klas (przedziałów klasowych), m liczba nieznanych parametrów rozkładu, które szacowane są na podstawie danych z próby, tzn. : gdy znane są σ i µ to m=0, czyli ν = k-1, gdy znane są σ lub µ to m=1, czyli ν = k-2, gdy nie znane są σ i µ to m=2, czyli ν = k-3. Poziom istotności α jest to prawdopodobieństwo odrzucenia testowanej hipotezy statystycznej (np. dotyczącej normalności rozkładu), gdy w rzeczywistości jest ona prawdziwa, ale w teście została ona zweryfikowana negatywnie (popełnienie błędu I rodzaju). Wartość α jest przyjmowana a priori, najczęściej z przedziału od 0,01 do 0,1. 5

6 Tabela 1. Wartości χ 1 dla ν stopni swobody i poziomu ufności 1-α ν 1-α 0,90 0,95 0,975 0,99 0,999 ν 1-α 0,90 0,95 0,975 0,99 0, ,016 0,004 0,001 0,0002 0, ,211 0,103 0,051 0,020 0, ,584 0,352 0,216 0,115 0, ,064 0,711 0,484 0,297 0, ,610 1,145 0,831 0,554 0, ,204 1,635 1,237 0,872 0, ,833 2,167 1,690 1,239 0, ,490 2,733 2,180 1,646 0, ,168 3,325 2,700 2,088 1, ,865 3,940 3,247 2,558 1, ,578 4,575 3,816 3,053 1, ,304 5,226 4,404 3,571 2, ,042 5,892 5,009 4,107 2, ,790 6,571 5,629 4,660 3, ,547 7,261 6,262 5,229 3, ,312 7,962 6,908 5,812 3, ,085 8,672 7,564 6,408 4, ,865 9,390 8,231 7,015 4, ,651 10,117 8,907 7,633 5, ,443 10,851 9,591 8,260 5, ,240 11,591 10,283 8,897 6, ,041 12,338 10,982 9,542 6, ,848 13,091 11,689 10,196 7, ,659 13,848 12,401 10,856 8, ,473 14,611 13,120 11,524 8, ,292 15,379 13,844 12,198 9, ,114 16,151 14,573 12,879 9, ,939 16,928 15,308 13,565 10, ,768 17,708 16,047 14,256 10, ,599 18,493 16,791 14,953 11, ,434 19,281 17,539 15,655 12, ,271 20,072 18,291 16,362 12, ,110 20,867 19,047 17,074 13, ,952 21,664 19,806 17,789 14, ,797 22,465 20,569 18,509 14, ,643 23,269 21,336 19,233 15, ,492 24,075 22,106 19,960 15, ,343 24,884 22,878 20,691 16, ,196 25,695 23,654 21,426 17, ,051 26,509 24,433 22,164 17, ,907 27,326 25,215 22,906 18, ,765 28,144 25,999 23,650 19, ,625 28,965 26,785 24,398 19, ,487 29,787 27,575 25,148 20, ,350 30,612 28,366 25,901 21, ,215 31,439 29,160 26,657 21, ,081 32,268 29,956 27,416 22, ,949 33,098 30,755 28,177 23, ,818 33,930 31,555 28,941 23, ,689 34,764 32,357 29,707 24, ,560 35,600 33,162 30,475 25, ,433 36,437 33,968 31,246 26, ,308 37,276 34,776 32,018 26, ,183 38,116 35,586 32,793 27, ,060 38,958 36,398 33,570 28, ,937 39,801 37,212 34,350 28, ,816 40,646 38,027 35,131 29, ,696 41,492 38,844 35,913 30, ,577 42,339 39,662 36,698 31, ,459 43,188 40,482 37,485 31, ,342 44,038 41,303 38,273 32, ,226 44,889 42,126 39,063 33, ,111 45,741 42,950 39,855 33, ,996 46,595 43,776 40,649 34, ,883 47,450 44,603 41,444 35, ,770 48,305 45,431 42,240 36, ,659 49,162 46,261 43,038 36, ,548 50,020 47,092 43,838 37, ,438 50,879 47,924 44,639 38, ,329 51,739 48,758 45,442 39, ,221 52,600 49,592 46,246 39, ,113 53,462 50,428 47,051 40, ,006 54,325 51,265 47,858 41, ,900 55,189 52,103 48,666 42, ,795 56,054 52,942 49,475 42, ,690 56,920 53,782 50,286 43, ,586 57,786 54,623 51,097 44, ,483 58,654 55,466 51,910 45, ,380 59,522 56,309 52,725 45, ,278 60,391 57,153 53,540 46, ,176 61,261 57,998 54,357 47, ,076 62,132 58,845 55,174 48, ,976 63,004 59,692 55,993 48, ,876 63,876 60,540 56,813 49, ,777 64,749 61,389 57,634 50, ,679 65,623 62,239 58,456 51, ,581 66,498 63,089 59,279 51, ,484 67,373 63,941 60,103 52, ,387 68,249 64,793 60,928 53, ,291 69,126 65,647 61,754 54, ,196 70,003 66,501 62,581 54, ,100 70,882 67,356 63,409 55, ,006 71,760 68,211 64,238 56, ,912 72,640 69,068 65,068 57, ,818 73,520 69,925 65,898 58, ,725 74,401 70,783 66,730 58, ,633 75,282 71,642 67,562 59, ,541 76,164 72,501 68,396 60, ,449 77,046 73,361 69,230 61, ,358 77,929 74,222 70,065 61, Ocenić, czy rozkład danych może być opisany za pomocą rozkładu normalnego. Przy ocenie wyniku testu χ 2 przyjmuje się następujące kryterium: Jeśli χ 2 <χ 1 to nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy, że badany rozkład danych jest rozkładem normalnym. W przeciwnym przypadku należy odrzucić hipotezę o normalności rozkładu, popełniając błąd z prawdopodobieństwem nie większym niż α. 6

7 2.2. Test zgodności λ Kołmogorowa Test Kołmogorowa oparty jest na statystyce λ: λ "2! 2! max 556 8!, n liczność próby (liczba wszystkich wartości w próbie), 8! - dystrybuanta empiryczna rozkładu wartości w próbie, F(x) dystrybuanta. Procedura postępowania: 1. Pobrać próbę o dużej liczności (n 100). 2. Policzyć wartości i s dla próby. 3. Podzielić wartości w próbie na k równych, możliwie małych klas stosując zasadę, że liczba przedziałów klasowych powinna wynosić około ". 4. Zaliczyć dane do przedziałów klasowych, otrzymując liczności klas n 1, n 2,..., n k. 5. Dla każdego z k przedziałów klasowych obliczyć: a) Dystrybuantę empiryczną 8 $ $ : 8 $ $ " 9$ " n si liczność skumulowana i-tej klasy obliczana ze wzoru: " 9$ " 9$ " $, przy czym n s1 =n 1, a n i oznacza liczność i-tego przedziału klasowego. b) Dystrybuantę teoretyczną F(u i ) standaryzowanego rozkładu normalnego, przyjmując do obliczeń końce przedziałów klasowych. Wartości funkcji F(u i ) można odczytać z tablicy wartości dystrybuanty standaryzowanego rozkładu normalnego lub obliczyć w arkuszu kalkulacyjnym Excel wykorzystując funkcję postaci: =ROZKŁAD.NORMALNY.S(u i ). Dla każdego przedziału klasowego odczytuje się lub liczy wartość F(u i2 ) dla wartości: 0 $ $ & c) Wartości bezwzględne różnic 8 $ $ 0 $ 6. Znaleźć maksymalną różnicę D n pomiędzy wartościami empirycznymi i teoretycznymi dystrybuant. 7. Obliczyć wartość statystyki λ 8. Z tablicy rozkładu λ Kołmogorowa (Tabela 2.) odczytać wartość krytyczną λ α.dla przyjętego poziomu istotności α. Tabela 2. Rozkład λ Kołmogorowa Wartości krytyczne rozkładu λ Kołmogorowa dla podanych poziomów istotności α α 0,001 0,03 0,05 0,10 0,15 λ α 1,627 1,449 1,358 1,224 1, Porównać obliczoną wartość λ z odczytaną wartością λ α. Jeśli λ<λ α to nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy o normalności rozkładu danych. W przeciwnym przypadku należy odrzucić hipotezę o normalności rozkładu, popełniając błąd z prawdopodobieństwem nie większym niż α. 7

8 2.3. Test normalności rozkładu Shapiro-Wilka Test W Shapiro-Wilka służy do badania normalności rozkładu. Jeżeli wartość statystyki W jest istotna, to hipotezę o zgodności z rozkładem normalnym należy odrzucić. Test Shapiro-Wilka jest preferowanym testem normalności ze względu na jego dużą moc w porównaniu z innymi testami. Procedura postępowania: 1. Pobrać próbę o dużej liczności (n 100). 2. Policzyć wartości i s dla próby. 3. Uporządkować wartości danych niemalejąco, otrzymując w ten sposób ciąg wartości: x 1, x 2,..., x n, gdzie dla każdego i x i x i Obliczyć wartość statystyki: >!? : ; =!$6!$6 $ $% $! $% [n/2] część całkowita liczby n/2, a n-i+1 współczynniki Shapiro-Wilka (Tabela 3), 5. Z tablicy (Tabela 4) wartości krytycznych dla testu Shapiro-Wilka, dla przyjętego poziomu istotności α, odczytać wartość krytyczną W *. 6. Porównać obliczoną wartość W z odczytaną wartością W *. Jeśli W W * to nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy o normalności rozkładu danych. W przeciwnym przypadku należy odrzucić hipotezę o normalności rozkładu, popełniając błąd z prawdopodobieństwem nie większym niż α. A, 3. Badanie normalności rozkładu metoda graficzna Wykres prawdopodobieństwa rozkładu normalnego jest graficzną metodą subiektywnej, wizualnej oceny dopasowania rozkładu danych do założonego hipotetycznego rozkładu normalnego. Procedura weryfikacyjna jest bardzo prosta i może być przeprowadzona szybko. W przypadku rozkładu normalnego, metoda ta wymaga dysponowania wykreśloną, specjalną siatką rozkładu normalnego Laplaco-regularną (Rys. 5), na której nanosi się punkty odpowiadające danym pomiarowym. Jeżeli zaznaczone punkty układają się (w przybliżeniu) w linii prostej, to można uznać, że rozkład danych jest normalny. Procedura postępowania: 1. Uporządkować n wartości danych niemalejąco, otrzymując w ten sposób ciąg wartości: x 1, x 2,..., x j,..., x n, gdzie j jest numerem wartości danej w uporządkowanym ciągu. 2. Dla każdej wartości x j obliczyć częstość skumulowaną korzystając ze wzoru: ΦBC D E F0,5 " oraz odczytać z tablic dystrybuanty standaryzowanego rozkładu normalnego wartości standaryzowane z j dla odpowiednich wartości ΦBC D E. Wartości z j można też obliczyć w arkuszu kalkulacyjnym Excel wykorzystując funkcję: =ROZKŁAD.NORMALNY.S.ODW(ΦBC D E). 8

9 3. Nanieść na siatkę rozkładu normalnego Laplaco-regularną (Rys. 5) punkty o współrzędnych (x j, ΦBC D E) lub sporządzić dla danych wykres punktowy w układzie współrzędnych z j na osi pionowej i x j na osi poziomej. 4. Pomiędzy punktami na siatce rozkładu normalnego lub na wykresie punktowym wartości standaryzowanych poprowadzić linię prostą i wyciągnąć wniosek dotyczący tego, czy układ punktów można w przybliżeniu uznać za liniowy. Jeżeli zaznaczone punkty układają się (w przybliżeniu) w linii prostej, to można uznać, że rozkład danych jest normalny. Przykład 1 Podczas badania jakości paliwa na 10 stacjach benzynowych zarejestrowano następujące wartości liczby oktanowej paliwa: 88,9; 87,0; 90,0; 88,2; 87,2; 87,4; 87,8; 89,7; 86,0; 89,6. Korzystając z metody graficznej potwierdzić hipotezę, że dane dotyczące liczby oktanowej paliwa mają rozkład normalny. Rozwiązanie Zadanie można rozwiązać z wykorzystaniem arkusza kalkulacyjnego Excel. Dane należy wprowadzić do zakresu komórek (B2:B11) i uporządkować je w kolejności rosnącej. W komórkach w kolumnie C trzeba obliczyć wartości (j-0,5)/10, przy czym wartości j występują w komórkach kolumny A. W kolumnie D oblicza się wartości z j wykorzystując funkcję arkusza: ROZKŁAD.NORMALNY.S.ODW, przy czym argumentami tej funkcji są wartości z kolumny C. Widok fragmentu arkusza kalkulacyjnego oraz wykres służący weryfikacji normalności rozkładu danych przedstawiono na rysunku 4. 2,000 1,500 1,000 0,500 z j 0,000-0,500-1,000-1,500-2, x j Rys. 4. Tabela obliczeniowa i wykres normalności rozkładu danych 1 Przykład zaczerpnięto z: Montgomery D.C.: Introduction to Statistical Quality Control, John Wiley & Sons, Inc.,

10 Tabela 3. Współczynniki {a n-i+1 } dla testu normalności Shapiro-Wilka n i 1 0,7071 0,7071 0,6872 0,6646 0,6431 0,6233 0,6052 0,5888 0,5739 0,5601 0,5475 0,5359 0,5251 0,5150 0,5056 0,4968 0,4886 0,4808 0,4734 0,4643 0,4590 0,4542 0,4493 0,4450 0, ,0000 0,1677 0,2413 0,2806 0,3031 0,3164 0,3244 0,3291 0,3315 0,3325 0,3325 0,3318 0,3306 0,3290 0,3273 0,3253 0,3232 0,3211 0,3185 0,3156 0,3126 0,3098 0,3069 0, ,0000 0,0875 0,1401 0,1743 0,1976 0,2141 0,2260 0,2347 0,2412 0,2460 0,2495 0,2521 0,2540 0,2553 0,2561 0,2565 0,2578 0,2571 0,2563 0,2554 0,2543 0, ,0000 0,0564 0,0947 0,1224 0,1429 0,1586 0,1707 0,1802 0,1878 0,1939 0,1988 0,2027 0,2059 0,2085 0,2199 0,2131 0,2139 0,2145 0,2148 0, ,0000 0,0399 0,0695 0,0922 0,1099 0,1240 0,1353 0,1447 0,1524 0,1587 0,1641 0,1686 0,1736 0,1764 0,1787 0,1807 0,1822 0, ,0000 0,0303 0,0539 0,0727 0,0880 0,1005 0,1109 0,1197 0,1271 0,1334 0,1399 0,1443 0,1480 0,1512 0,1539 0, ,0000 0,0240 0,0433 0,0593 0,0725 0,0837 0,0932 0,1013 0,1092 0,1150 0,1201 0,1245 0,1283 0, ,0000 0,0196 0,0359 0,0496 0,6120 0,0711 0,0804 0,0878 0,0941 0,0997 0,1046 0, ,0000 0,0130 0,0303 0,0422 0,0530 0,0618 0,0696 0,0764 0,0823 0, ,0000 0,0140 0,0263 0,0368 0,0459 0,0539 0,0610 0, ,0000 0,0122 0,0228 0,0321 0,0403 0, ,0000 0,0107 0,0200 0, ,0094 n i 1 0,4366 0,4328 0,4291 0,4254 0,4220 0,4188 0,4156 0,4127 0,4096 0,4068 0,4040 0,4015 0,3989 0,3964 0,3940 0,3917 0,3894 0,3872 0,3850 0,3830 0,3008 0,3789 0,3770 0,3751 0, ,3018 0,2992 0,2968 0,2944 0,2921 0,2898 0,2876 0,2854 0,2834 0,2813 0,2794 0,2774 0,2755 0,2737 0,2719 0,2701 0,2684 0,2667 0,2651 0,2635 0,2620 0,2604 0,2589 0,2574 0, ,2522 0,2510 0,2499 0,2487 0,2475 0,2463 0,2451 0,2439 0,2427 0,2415 0,2403 0,2391 0,2380 0,2368 0,2357 0,2345 0,2334 0,2323 0,2313 0,2302 0,2291 0,2281 0,2271 0,2260 0, ,2152 0,2151 0,2150 0,2148 0,2145 0,2141 0,2137 0,2132 0,2127 0,2121 0,2116 0,2110 0,2104 0,2098 0,2091 0,2085 0,2078 0,2072 0,2065 0,2058 0,2052 0,2045 0,2038 0,2032 0, ,1848 0,1857 0,1864 0,1870 0,1874 0,1878 0,1880 0,1882 0,1883 0,1883 0,1883 0,1881 0,1880 0,1878 0,1876 0,1874 0,1871 0,1868 0,1865 0,1862 0,1859 0,1855 0,1851 0,1847 0, ,1584 0,1601 0,1616 0,1630 0,1641 0,1651 0,1660 0,1667 0,1673 0,1678 0,1683 0,1686 0,1689 0,1691 0,1693 0,1694 0,1695 0,1695 0,1695 0,1695 0,1695 0,1693 0,1692 0,1691 0, ,1346 0,1372 0,1395 0,1415 0,1433 0,1449 0,1463 0,1475 0,1487 0,1496 0,1505 0,1513 0,1520 0,1526 0,1531 0,1535 0,1539 0,1542 0,1545 0,1548 0,1550 0,1551 0,1553 0,1554 0, ,1128 0,1162 0,1192 0,1219 0,1243 0,1265 0,1284 0,1301 0,1317 0,1331 0,1344 0,1356 0,1366 0,1376 0,1384 0,1392 0,1398 0,1405 0,1410 0,1415 0,1420 0,1423 0,1427 0,1430 0, ,0923 0,0965 0,1002 0,1036 0,1066 0,1093 0,1118 0,1140 0,1160 0,1179 0,1196 0,1211 0,1225 0,1237 0,1249 0,1259 0,1269 0,1278 0,1286 0,1293 0,1300 0,1306 0,1312 0,1317 0, ,0728 0,0778 0,0822 0,0862 0,0899 0,0931 0,0961 0,0988 0,1013 0,1036 0,1056 0,1075 0,1092 0,1108 0,1123 0,1136 0,1149 0,1160 0,1170 0,1180 0,1189 0,1197 0,1205 0,1212 0, ,0540 0,0598 0,0650 0,0697 0,0739 0,0777 0,0812 0,0844 0,0873 0,0900 0,0924 0,0947 0,0967 0,0986 0,1004 0,1020 0,1035 0,1049 0,1062 0,1073 0,1085 0,1095 0,1105 0,1113 0, ,0358 0,0424 0,0483 0,0537 0,0585 0,0629 0,0669 0,0706 0,0739 0,0770 0,0798 0,0824 0,0848 0,0870 0,0891 0,0909 0,0927 0,0943 0,0959 0,0972 0,0986 0,0998 0,1010 0,1020 0, ,0178 0,0253 0,0320 0,0381 0,0435 0,0485 0,0530 0,0572 0,0610 0,0645 0,0677 0,0706 0,0733 0,0759 0,0782 0,0804 0,0824 0,0842 0,0860 0,0876 0,0892 0,0906 0,0919 0,0932 0, ,0000 0,0084 0,0159 0,0227 0,0289 0,0344 0,0395 0,0441 0,0484 0,0523 0,0559 0,0592 0,0622 0,0651 0,0677 0,0701 0,0724 0,0745 0,0765 0,0783 0,0801 0,0817 0,0832 0,0846 0, ,0000 0,0076 0,0144 0,0206 0,0262 0,0314 0,0361 0,0404 0,0444 0,0481 0,0515 0,0546 0,0575 0,0602 0,0628 0,0651 0,0673 0,0694 0,0713 0,0731 0,0748 0,0764 0, ,0000 0,0068 0,0131 0,0187 0,0239 0,0287 0,0331 0,0372 0,0409 0,0444 0,0476 0,0506 0,0534 0,0560 0,0584 0,0607 0,0628 0,0648 0,0667 0,0685 0, ,0062 0,0119 0,0172 0,0220 0,0264 0,0305 0,0343 0,0379 0,0411 0,0442 0,0471 0,0497 0,0522 0,0546 0,0568 0,0588 0,0608 0, ,0000 0,0057 0,0110 0,0158 0,0203 0,0244 0,0283 0,0318 0,0352 0,0383 0,0412 0,0439 0,0465 0,0489 0,0511 0,0532 0, ,0000 0,0053 0,0101 0,0146 0,0188 0,0227 0,0263 0,0296 0,0328 0,0357 0,0385 0,0411 0,0436 0,0459 0, ,0000 0,0049 0,0094 0,0136 0,0175 0,0211 0,0245 0,0277 0,0307 0,0335 0,0361 0,0386 0, ,0000 0,0045 0,0087 0,0126 0,0163 0,0197 0,0229 0,0259 0,0288 0,0314 0, ,0000 0,0042 0,0081 0,0118 0,0153 0,0185 0,0215 0,0244 0, ,0000 0,0039 0,0076 0,0111 0,0143 0,0174 0, ,0000 0,0037 0,0071 0,0104 0, ,0000 0,0035 0, , ,0600

11 Tabela 3. Współczynniki {a n-i+1 } dla testu normalności Shapiro-Wilka (cd.) Tabela 4. Wartości krytyczne dla testu Shapiro-Wilka n i 1 0,3580 0,3515 0,3451 0,3392 0,3338 0,3289 0,3242 0,3199 0,3158 α α 2 0,2343 0,2386 0,2333 0,2285 0,2240 0,2198 0,2159 0,2123 0,2089 n 0,01 0,02 0,05 0,1 n 0,01 0,02 0,05 0,1 3 0,2166 0,2124 0,2085 0,2048 0,2013 0,1980 0,1949 0,1920 0, ,753 0,756 0,767 0, ,934 0,941 0,949 0, ,1966 0,1935 0,1905 0,1876 0,1849 0,1823 0,1798 0,1774 0, ,687 0,707 0,748 0, ,935 0,941 0,950 0, ,1805 0,1783 0,1762 0,1740 0,1719 0,1698 0,1678 0,1659 0, ,686 0,715 0,762 0, ,936 0,942 0,950 0, ,1670 0,1656 0,1641 0,1625 0,1609 0,1593 0,1578 0,1562 0, ,713 0,743 0,788 0, ,937 0,943 0,951 0, ,1551 0,1541 0,1535 0,1525 0,1514 0,1502 0,1490 0,1478 0, ,730 0,760 0,803 0, ,938 0,943 0,951 0, ,1445 0,1444 0,1441 0,1436 0,1429 0,1421 0,1413 0,1404 0, ,749 0,778 0,818 0, ,938 0,944 0,952 0, ,1348 0,1354 0,1356 0,1355 0,1352 0,1348 0,1342 0,1336 0, ,764 0,791 0,829 0, ,939 0,945 0,952 0, ,1258 0,1270 0,1277 0,1280 0,1281 0,1280 0,1278 0,1274 0, ,781 0,806 0,842 0, ,940 0,945 0,953 0, ,1174 0,1192 0,1204 0,1211 0,1216 0,1218 0,1218 0,1217 0, ,792 0,817 0,850 0, ,940 0,946 0,953 0, ,1096 0,1118 0,1135 0,1146 0,1154 0,1159 0,1162 0,1163 0, ,805 0,828 0,859 0, ,941 0,946 0,954 0, ,1021 0,1049 0,1070 0,1085 0,1096 0,1104 0,1109 0,1113 0, ,814 0,837 0,866 0, ,942 0,947 0,954 0, ,0950 0,0983 0,1008 0,1027 0,1041 0,1032 0,1060 0,1065 0, ,825 0,846 0,874 0, ,942 0,947 0,955 0, ,0881 0,0919 0,0948 0,0971 0,0988 0,1002 0,1012 0,1020 0, ,835 0,855 0,881 0, ,943 0,948 0,955 0, ,0815 0,0858 0,0892 0,0918 0,0938 0,0954 0,0967 0,0977 0, ,844 0,863 0,887 0, ,943 0,948 0,955 0, ,0752 0,0799 0,0837 0,0866 0,0890 0,0908 0,0923 0,0935 0, ,851 0,869 0,892 0, ,944 0,949 0,956 0, ,0690 0,0742 0,0784 0,0817 0,0843 0,0864 0,0881 0,0895 0, ,858 0,874 0,897 0, ,945 0,949 0,956 0, ,0629 0,0687 0,0732 0,0768 0,0798 0,0821 0,0842 0,0856 0, ,863 0,879 0,901 0, ,945 0,950 0,956 0, ,0571 0,0633 0,0682 0,0722 0,0754 0,0780 0,0801 0,0819 0, ,868 0,884 0,905 0, ,946 0,950 0,957 0, ,0513 0,0580 0,0633 0,0676 0,0711 0,0740 0,0763 0,0783 0, ,873 0,888 0,908 0, ,946 0,951 0,957 0, ,0456 0,0528 0,0586 0,0632 0,0669 0,0700 0,0726 0,0747 0, ,878 0,892 0,911 0, ,946 0,951 0,957 0, ,0401 0,0478 0,0539 0,0588 0,0629 0,0662 0,0690 0,0713 0, ,881 0,895 0,914 0, ,947 0,951 0,958 0, ,0346 0,0428 0,0493 0,0546 0,0589 0,0625 0,0655 0,0680 0, ,884 0,898 0,916 0, ,947 0,952 0,958 0, ,0292 0,0379 0,0448 0,0504 0,0550 0,0588 0,0620 0,0647 0, ,888 0,901 0,918 0, ,948 0,952 0,958 0, ,0238 0,0330 0,0403 0,0463 0,0512 0,0552 0,0586 0,0615 0, ,891 0,904 0,920 0, ,948 0,953 0,959 0, ,0185 0,0282 0,0359 0,0422 0,0474 0,0517 0,0553 0,0583 0, ,894 0,906 0,923 0, ,949 0,953 0,959 0, ,0132 0,0234 0,0316 0,0382 0,0437 0,0482 0,0520 0,0552 0, ,896 0,908 0,924 0, ,949 0,953 0,959 0, ,0079 0,0187 0,0273 0,0343 0,0400 0,0448 0,0488 0,0522 0, ,898 0,910 0,926 0, ,949 0,954 0,959 0, ,0026 0,0140 0,0230 0,0304 0,0364 0,0414 0,0458 0,0492 0, ,900 0,912 0,927 0, ,950 0,954 0,959 0, ,0093 0,0188 0,0265 0,0328 0,0381 0,0425 0,0463 0, ,902 0,914 0,929 0, ,950 0,955 0,960 0, ,0047 0,0146 0,0227 0,0293 0,0348 0,0394 0,0434 0, ,904 0,915 0,930 0, ,950 0,955 0,960 0, ,0104 0,0188 0,0258 0,0315 0,0364 0,0405 0, ,906 0,917 0,931 0, ,951 0,955 0,960 0, ,0063 0,0150 0,0223 0,0283 0,0333 0,0347 0, ,908 0,919 0,933 0, ,951 0,955 0,961 0, ,0021 0,0113 0,0188 0,0251 0,0304 0,0338 0, ,910 0,920 0,934 0, ,951 0,955 0,961 0, ,0075 0,0154 0,0219 0,0274 0,0321 0, ,912 0,922 0,935 0, ,952 0,955 0,961 0, ,0038 0,0119 0,0187 0,0245 0,0293 0, ,914 0,924 0,936 0, ,952 0,956 0,961 0, ,0085 0,0156 0,0215 0,0266 0, ,916 0,925 0,938 0, ,952 0,956 0,962 0, ,0051 0,0125 0,0186 0,0239 0, ,917 0,927 0,939 0, ,953 0,956 0,962 0, ,0017 0,0093 0,0157 0,0212 0, ,919 0,928 0,940 0, ,953 0,957 0,962 0, ,0062 0,0129 0,0185 0, ,920 0,929 0,941 0, ,953 0,957 0,962 0, ,0031 0,0100 0,0158 0, ,922 0,930 0,942 0, ,954 0,957 0,962 0, ,0071 0,0132 0, ,923 0,932 0,943 0, ,954 0,957 0,963 0, ,0043 0,0105 0, ,924 0,933 0,944 0, ,954 0,957 0,963 0, ,0014 0,0079 0, ,926 0,934 0,945 0, ,954 0,958 0,963 0, ,0053 0, ,927 0,935 0,945 0, ,955 0,958 0,963 0, ,0026 0, ,928 0,936 0,946 0, ,955 0,958 0,963 0, , ,929 0,937 0,947 0, ,955 0,958 0,963 0, , ,929 0,937 0,947 0, ,955 0,959 0,964 0, , ,930 0,938 0,947 0, ,956 0,959 0,964 0,968 11

12 0,999 0,995 0,990 0,985 0,980 0,970 0,960 0,950 0,900 0,800 0,700 0,600 0,500 0,400 0,300 0,200 0,100 0,050 0,010 0,005 0,001 Rys. 5. Siatka rozkładu normalnego Laplaco-regularna 12

13 Zadanie 1 Podczas produkcji sworzni prowadzi się statystyczną kontrolę jakości. Istotnym, ze względu na jakość produkcji jest wymiar średnicy sworznia Ø10,40 ± 0,05. Podczas kontroli produkcji pobrano 150 szt. sworzni. Dane o wymiarach średnic sworzni podane są w tabeli Z1. Zweryfikuj, czy dane te mają rozkład normalny. Tabela Z1. Wymiary [mm] 10,4 10,38 10,39 10,43 10,42 10,4 10,37 10,37 10,42 10,36 10,42 10,42 10,39 10,44 10,43 10,43 10,43 10,33 10,41 10,45 10,32 10,37 10,42 10,42 10,42 10,37 10,42 10,41 10,37 10,35 10,37 10,45 10,47 10,37 10,35 10,44 10,42 10,42 10,43 10,4 10,37 10,4 10,42 10,4 10,44 10,36 10,46 10,48 10,38 10,36 10,45 10,43 10,45 10,4 10,39 10,43 10,37 10,47 10,37 10,42 10,35 10,43 10,39 10,4 10,42 10,41 10,41 10,43 10,35 10,37 10,44 10,38 10,38 10,37 10,41 10,36 10,42 10,43 10,41 10,42 10,42 10,39 10,4 10,34 10,38 10,38 10,4 10,36 10,4 10,4 10,44 10,47 10,37 10,42 10,37 10,44 10,46 10,45 10,47 10,45 10,37 10,37 10,42 10,37 10,44 10,43 10,37 10,45 10,47 10,45 10,4 10,43 10,42 10,43 10,41 10,47 10,46 10,42 10,45 10,42 10,36 10,42 10,37 10,4 10,4 10,38 10,4 10,39 10,42 10,37 10,4 10,45 10,4 10,42 10,42 10,37 10,38 10,38 10,4 10,32 10,43 10,39 10,37 10,41 10,41 10,45 10,45 10,43 10,44 10,47 Zadanie 2 Podczas produkcji tulejek kontroli poddawano średnicę wewnętrzną. Zarejestrowane wymiary zawiera tabela Z2. Sprawdź, czy dane te mają rozkład normalny. Tabela Z2. Wymiary [mm] 7,98 7,98 7,98 7,98 7,975 7,975 7,975 7,97 7,97 7,98 7,975 7,97 7,97 7,98 7,975 7,98 7,975 7,97 7,97 7,975 7,975 7,975 7,98 7,98 7,97 7,965 7,962 7,965 7,962 7,963 7,975 7,975 7,97 7,97 7,975 7,958 7,958 7,962 7,955 7,962 7,97 7,98 7,97 7,98 7,975 7,965 7,97 7,962 7,963 7,965 7,975 7,98 7,97 7,97 7,97 7,965 7,955 7,965 7,964 7,964 7,975 7,98 7,974 7,98 7,98 7,98 7,968 7,968 7,965 7,967 7,975 7,98 7,98 7,98 7,97 7,974 7,976 7,974 7,98 7,978 7,98 7,975 7,975 7,98 7,98 7,98 7,975 7,974 7,975 7,97 7,97 7,98 7,98 7,98 7,975 7,975 7,982 7,982 7,98 7,98 7,98 7,975 7,98 7,97 7,97 7,98 7,978 7,98 7,98 7,98 7,97 7,98 7,97 7,98 7,98 7,974 7,975 7,974 7,975 7,975 Zadanie 3 Pewien produkt spożywczy pakuje się w opakowania. których ciężar netto powinien wynosić 100±2 g. Wynik procesu pakowania bada się przez pobranie i ważenie próbek opakowań. Wynik tych badań przedstawiono w tabeli Z3 (pomiary w g). Sprawdź, czy dane te mają rozkład normalny. Tabela Z