W. Guzicki Próbna matura, grudzień 20 r. poziom rozszerzony Próbna matura rozszerzona (jesień 20 r.) Zadanie kilka innych rozwiązań Wojciech Guzicki Zadanie. Oblicz prawdopodobieństwo warunkowe, że w trzykrotnym rzucie symetryczną sześcienną kostką do gry otrzymamy co najmniej jedną jedynkę pod warunkiem, że otrzymamy co najmniej jedną szóstkę. Rozwiązanie. Sposób I. Niech przestrzeń zdarzeń elementarnych Ω będzie zbiorem wszystkich ciągów (a, b, c) długości 3 takich, że a, b, c {, 2, 3,, 5, }. Z reguły mnożenia wynika, że Ω = = 2. W tej przestrzeni rozważamy następujące dwa zdarzenia: A : zdarzenie polegające na tym, że w ciągu (a, b, c) co najmniej jeden wyraz jest jedynką (tzn. a = lub b = lub c = ), B : zdarzenie polegające na tym, że w ciągu (a, b, c) co najmniej jeden wyraz jest szóstką (tzn. a = lub b = lub c = ). Naszym zadaniem jest obliczenie prawdopodobieństwa warunkowego P (A B) = P (A B). P (B) Ponieważ więc P (A B) = A B Ω P (A B) = oraz A B. B P (B) = B Ω, Nasze zadanie sprowadza się więc do obliczenia A B oraz B. Najpierw obliczymy B. Omówię siedem sposobów obliczenia liczby ciągów (a, b, c), w których co najmniej jeden wyraz jest szóstką. W trzech pierwszych sposobach podzielimy zbiór B na trzy podzbiory parami rozłączne, stosując różne kryteria podziału. Następnie obliczymy liczbę ciągów w każdym z tych podzbiorów (za pomocą reguły mnożenia) i otrzymane liczby dodamy (a więc zastosujemy regułę dodawania). A oto te trzy pierwsze sposoby. Sposób. (Liczba szóstek) Zbiór B podzielimy na trzy podzbiory parami rozłączne: B : zbiór ciągów (a, b, c), w których występuje dokładnie jedna szóstka, B 2 : zbiór ciągów (a, b, c), w których występują dokładnie dwie szóstki, B 3 : zbiór ciągów (a, b, c), w których występują trzy szóstki. Zbiór B ma 75 elementów: najpierw wybieramy miejsce dla szóstki (mamy 3 możliwości), a następnie w każde z dwóch pozostałych wolnych miejsc wstawiamy jeden element zbioru {, 2, 3,, 5} (mamy 5 5 = 25 możliwości); z reguły mnożenia wynika, że B = 3 25 = 75. Zbiór B 2 ma 5 elementów: najpierw wybieramy miejsce dla liczby różnej od szóstki (mamy 3 możliwości), a następnie wybieramy tę liczbę (mamy
W. Guzicki Próbna matura, grudzień 20 r. poziom rozszerzony 2 5 możliwości); z reguły mnożenia wynika, że B 2 = 3 5 = 5. zbiór B 3 ma jeden element: jest nim ciąg (,, ). Ostatecznie B = B + B 2 + B 3 = 75 + 5 + = 9. Sposób 2. (Pierwsza szóstka) Zbiór B podzielimy na trzy podzbiory parami rozłączne: B : zbiór ciągów (a, b, c), w których pierwsza szóstka występuje na pierwszym miejscu (tzn. a = ), B 2 : zbiór ciągów (a, b, c), w których pierwsza szóstka występuje na drugim miejscu (tzn. a oraz b = ), B 3 : zbiór ciągów (a, b, c), w których pierwsza szóstka występuje na trzecim miejscu (tzn. a, b oraz c = ). Zbiór B ma 3 elementów: na pierwszym miejscu wstawiamy szóstkę i na każdym z dwóch pozostałych dowolną liczbę ze zbioru {, 2, 3,, 5, } (mamy = 3 możliwości). Zbiór B 2 ma 30 elementów: na pierwszym miejscu wstawiamy liczbę różną od szóstki (mamy 5 możliwości) i na ostatnim dowolną liczbę ze zbioru {, 2, 3,, 5, } (mamy możliwości); z reguły mnożenia wynika, że B 2 = 5 = 30. zbiór B 3 ma 25 elementów: na pierwszych dwóch miejscach wstawiamy liczby różne od szóstki (mamy 5 5 = 25 możliwości). Ostatecznie B = B + B 2 + B 3 = 3 + 30 + 25 = 9. Sposób 3. (Ostatnia szóstka) Zbiór B podzielimy na trzy podzbiory parami rozłączne: B : zbiór ciągów (a, b, c), w których ostatnia szóstka występuje na pierwszym miejscu (tzn. a =, b oraz c ), B 2 : zbiór ciągów (a, b, c), w których ostatnia szóstka występuje na drugim miejscu (tzn. b = oraz c ), B 3 : zbiór ciągów (a, b, c), w których ostatnia szóstka występuje na trzecim miejscu (tzn. c = ). Zbiór B ma 25 elementów: na pierwszym miejscu wstawiamy szóstkę i na każdym z dwóch pozostałych dowolną liczbę ze zbioru {, 2, 3,, 5} (mamy 5 5 = 25 możliwości). Zbiór B 2 ma 30 elementów: na pierwszym miejscu wstawiamy dowolną liczbę ze zbioru {, 2, 3,, 5, } (mamy możliwości) i na ostatnim dowolną liczbę ze zbioru {, 2, 3,, 5} (mamy 5 możliwości); z reguły mnożenia wynika, że B 2 = 5 = 30. zbiór B 3 ma 3 elementów: na pierwszych dwóch miejscach wstawiamy dowolne liczby ze zbioru {, 2, 3,, 5, } (mamy = 3 możliwości). Ostatecznie B = B + B 2 + B 3 = 25 + 30 + 3 = 9. Następne trzy sposoby wykorzystują inne pomysły kombinatoryczne. Sposób. (Uzupełnianie) Rozważamy zbiór B. Składa się on z ciągów (a, b, c), w których nie występuje szóstka. Z reguły mnożenia wynika, że ma on 5 5 5 = 25 elementów (na każdym z trzech miejsc wstawiamy jedną liczbę ze zbioru {, 2, 3,, 5}, a więc na każdym miejscu mamy 5 możliwości). Stąd wynika, że B = Ω B = 2 25 = 9.
W. Guzicki Próbna matura, grudzień 20 r. poziom rozszerzony 3 Sposób 5. (Zasada włączeń i wyłączeń) Definiujemy trzy zbiory: B : zbiór ciągów (a, b, c), w których a =, B 2 : zbiór ciągów (a, b, c), w których b =, B 3 : zbiór ciągów (a, b, c), w których c =. Z reguły włączeń i wyłączeń wynika, że B = B + B 2 + B 3 B B 2 B B 3 B 2 B 3 + B B 2 B 3. Teraz nietrudno z reguły mnożenia wyprowadzić następujące równości: B = B 2 = B 3 = 3 oraz B B 2 = B B 3 = B 2 B 3 =. B B 2 B 3 =. Zatem B = 3 + 3 + 3 + = 9. Sposób. (Poprawiony sposób błędny) Uczniowie często rozumują w następujący sposób: najpierw wybieramy miejsce dla szóstki (mamy 3 możliwości), a następnie w każde z pozostałych dwóch miejsc wstawiamy dowolną liczbę ze zbioru {, 2, 3,, 5, } (mamy = 3 możliwości. Z reguły mnożenia wynika wtedy, że B = 3 3 = 08. Błąd w tym rozumowaniu polega na tym, że ciągi z dwiema szóstkami są liczone dwukrotnie, a ciąg z trzema szóstkami nawet trzykrotnie. Na przykład ciąg (, 2, ) został raz policzony jako ciąg, w którym najpierw na pierwszym miejscu wstawiliśmy szóstkę, a następnie na dwóch pozostałych miejscach (tzn. drugim i trzecim) liczby 2 i. Drugi raz został policzony jako ciąg, w którym najpierw na trzecim miejscu wstawiliśmy szóstkę, a następnie na dwóch pozostałych miejscach (tzn. pierwszym i drugim) liczby i 2. Ten błąd można poprawić, odejmując od otrzymanej liczby 08 liczbę ciągów z dwiema szóstkami oraz podwojoną liczbę ciągów z trzema szóstkami. Otrzymamy wtedy B = 08 5 2 = 08 7 = 9. sposób 7 polega na wypisaniu wszystkich możliwych ciągów. Należy tu zauważyć, że kolejność wypisywania ciągów może odpowiadać pierwszym trzem sposobom rozwiązania. Na przykład możemy najpierw wypisać wszystkie ciągi z jedną szóstką, potem wszystkie ciągi z dwiema szóstkami i wreszcie ciąg z trzema szóstkami ta kolejność wypisywania odpowiada sposobowi I rozwiązania. Podsumujmy: otrzymaliśmy równość B = 9. Teraz obliczymy A B. Tym razem pokażę jeden sposób obliczenia. Zbiór A B podzielimy na trzy parami rozłączne podzbiory: P : zbiór ciągów, w których występuje dokładnie jedna jedynka i dokładnie jedna szóstka, Q: zbiór ciągów, w których występuje dokładnie jedna jedynka i dokładnie dwie szóstki, R: zbiór ciągów, w których występuje dokładnie jedna szóstka i dokładnie dwie jedynki.
W. Guzicki Próbna matura, grudzień 20 r. poziom rozszerzony Zbiór P ma 2 elementy: najpierw wybieramy miejsce dla jedynki (mamy 3 możliwości), potem miejsce dla szóstki (mamy 2 możliwości) i na końcu w ostatnie wolne miejsce wstawiamy jedną liczbę ze zbioru {2, 3,, 5} (mamy cztery możliwości); wreszcie z reguły mnożenia wynika, że P = 3 2 = 2. Zbiór Q ma 3 elementy: wybieramy miejsce dla jedynki (mamy 3 możliwości) i w pozostałe wolne miejsca wstawiamy szóstki. W podobny sposób pokazujemy, że zbiór R też ma 3 elementy. Zatem To kończy rozwiązanie zadania. A B = P + Q + R = 2 + 3 + 3 = 30. P (A B) = A B B = 30 9. Rozwiązanie. Sposób II. Szukane prawdopodobieństwa P (B) i P (A B) można obliczyć za pomocą odpowiednio narysowanego drzewa: x x x x x x x x x x x x x A A A A A A A A A A A A A A A A A A A 2 2 B B B B B B B B B B B B B B B B B B B 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 (litera x oznacza liczbę oczek różną od i od ). Sumując prawdopodobieństwa pod gałęziami odpowiadającymi zdarzeniu B, otrzymujemy P (B) = 9 2. Sumując następnie prawdopodobieństwa pod gałęziami odpowiadającymi obu zdarzeniom A i B, otrzymujemy P (A B) = 30 2. Zatem P (A B) = P (A B) P (B) = 30 9. Popatrzmy na kilka uogólnień tego zadania.
W. Guzicki Próbna matura, grudzień 20 r. poziom rozszerzony 5 Zadanie a. Oblicz prawdopodobieństwo warunkowe, że jeśli rzucimy n razy symetryczną sześcienną kostką do gry, to otrzymamy co najmniej jedną jedynkę pod warunkiem, że otrzymamy co najmniej jedną szóstkę. Rozwiązanie. Niech przestrzeń zdarzeń elementarnych Ω będzie zbiorem wszystkich ciągów (a,..., a n ) długości n takich, że a,..., a n {, 2, 3,, 5, }. Z reguły mnożenia wynika, że Ω = n. W tej przestrzeni rozważamy następujące dwa zdarzenia: A : zdarzenie polegające na tym, że w ciągu (a,..., a n ) co najmniej jeden wyraz jest jedynką (tzn. a i = dla pewnego i =,..., n), B : zdarzenie polegające na tym, że w ciągu (a,..., a n ) co najmniej jeden wyraz jest szóstką (tzn. a i = dla pewnego i =,..., n). Tak jak poprzednio, naszym zadaniem jest obliczenie prawdopodobieństwa warunkowego P (A B) A B P (A B) = =. P (B) B Zadanie to sprowadza się znów do obliczenia A B oraz B. Najpierw obliczymy B. Tym razem pokażę jeden sposób obliczenia B. Zauważmy, że zbiór B składa się z ciągów (a,..., a n ), w których każdy wyraz należy do zbioru {, 2, 3,, 5}. Zatem z reguły mnożenia otrzymujemy W podobny sposób dostajemy B = Ω B = n 5 n. A = 5 n oraz A B = n. Następnie z zasady włączeń i wyłączeń otrzymujemy A B = Ω (A B) = n A B = n ( A + B A B ) = n 2 5 n + n. Dla n = 3 otrzymujemy: P (A B) = n 2 5 n + n n 5 n = 5n n n 5 n. P (A B) = 53 3 25 3 = 53 2 25 = 9 = 30 9. Zadanie b. Mamy urnę zawierającą m kul ponumerowanych liczbami od do m. Losujemy n razy (ze zwracaniem) kulę z tej urny. Oblicz prawdopodobieństwo warunkowe, że wylosujemy co najmniej jeden raz kulę z numerem ze zbioru {,..., k} pod warunkiem, że wylosujemy co najmniej jeden raz kulę z numerem ze zbioru {m l+,..., m}. Rozwiązanie. Niech przestrzeń zdarzeń elementarnych Ω będzie zbiorem wszystkich ciągów (a,..., a n ) długości n takich, że a,..., a n {,..., m}. Z reguły mnożenia wynika, że Ω = m n. W tej przestrzeni rozważamy następujące dwa zdarzenia:
W. Guzicki Próbna matura, grudzień 20 r. poziom rozszerzony A : zdarzenie polegające na tym, że w ciągu (a,..., a n ) co najmniej jeden wyraz należy do zbioru {,..., k} (tzn. a i k dla pewnego i =,..., n), B : zdarzenie polegające na tym, że w ciągu (a,..., a n ) co najmniej jeden wyraz należy do zbioru {m l +,..., m} (tzn. a i > m l dla pewnego i =,..., n). Tak jak poprzednio, naszym zadaniem jest obliczenie prawdopodobieństwa warunkowego P (A B) A B P (A B) = =. P (B) B Zadanie to sprowadza się znów do obliczenia A B oraz B. Najpierw obliczymy B. Zauważmy, że zbiór B składa się z ciągów (a,..., a n ), w których każdy wyraz należy do zbioru {,..., m l}. Zatem z reguły mnożenia otrzymujemy W podobny sposób dostajemy B = Ω B = m n (m l) n. A = (m k) n oraz A B = (m k l) n. Następnie z zasady włączeń i wyłączeń otrzymujemy A B = Ω (A B) = m n A B = m n ( A + B A B ) = = m n (m k) n (m l) + (m k l) n. P (A B) = mn (m k) n (m l) n + (m k l) n m n (m l) n = (m k)n (m k l) n m n (m l) n. Zadanie c. Oblicz prawdopodobieństwo warunkowe, że jeśli rzucimy 5 razy symetryczną sześcienną kostką do gry, to otrzymamy co najmniej dwie jedynki pod warunkiem, że otrzymamy co najmniej dwie szóstki. Rozwiązanie. Niech przestrzeń zdarzeń elementarnych Ω będzie zbiorem wszystkich ciągów (a,..., a 5 ) długości 5 takich, że a,..., a n {, 2, 3,, 5, }. Z reguły mnożenia wynika, że Ω = 5. W tej przestrzeni rozważamy następujące dwa zdarzenia: A : zdarzenie polegające na tym, że w ciągu (a,..., a 5 ) co najmniej dwa wyrazy są jedynkami (tzn. a i = a j = dla pewnych i, j takich, że i < j 5), B : zdarzenie polegające na tym, że w ciągu (a,..., a 5 ) co najmniej dwa wyrazy są szóstkami (tzn. a i = a j = dla pewnych i, j takich, że i < j 5). Tak jak poprzednio, naszym zadaniem jest obliczenie prawdopodobieństwa warunkowego P (A B) A B P (A B) = =. P (B) B Zadanie to sprowadza się znów do obliczenia A B oraz B. Najpierw obliczymy B. Tym razem pokażę jeden sposób obliczenia B.
W. Guzicki Próbna matura, grudzień 20 r. poziom rozszerzony 7 Zauważmy, że zbiór B składa się z ciągów (a,..., a 5 ), w których albo każdy wyraz należy do zbioru {, 2, 3,, 5}, albo jeden wyraz jest szóstką i pozostałe należą do zbioru {, 2, 3,, 5}. Zatem korzystając z reguł dodawania i mnożenia otrzymujemy B = Ω B = 5 (5 5 + 5 5 ) = 5 0 5 = 777 250 = 52. W podobny sposób dostajemy A = 0 5. Obliczenie A B jest trudniejsze. Do zbioru A B należą ciągi (a,..., a 7 ) takie, że: wszystkie wyrazy ciągu (a,..., a 5 ) są różne od i od ; istnieje 5 takich ciągów, wszystkie wyrazy ciągu (a,..., a 5 ) są różne od i dokładnie jeden jest równy ; istnieje 5 takich ciągów, wszystkie wyrazy ciągu (a,..., a 5 ) są różne od i dokładnie jeden jest równy ; istnieje 5 takich ciągów, dokładnie jeden wyraz ciągu (a,..., a 5 ) jest równy i dokładnie jeden jest równy ; istnieje 5 3 takich ciągów. Łącznie zatem mamy A B = 5 + 2 5 + 5 3 = ( + 0 + 20) 3 = 7 3. Następnie z zasady włączeń i wyłączeń otrzymujemy A B = Ω (A B) = 5 A B = 5 ( A + B A B ) = = 5 2 0 5 + 7 3 = 777 2500 + 8 = 0. P (A B) = 0 52 = 0 09 0,0973. Zadanie d. Mamy urnę zawierającą m kul ponumerowanych liczbami od do m. Losujemy n razy (ze zwracaniem) kulę z tej urny. Oblicz prawdopodobieństwo warunkowe tego, że co najmniej dwa razy wylosujemy kulę z numerem pod warunkiem, że co najmniej dwa razy wylosujemy kulę z numerem m. Rozwiązanie. Niech przestrzeń zdarzeń elementarnych Ω będzie zbiorem wszystkich ciągów (a,..., a n ) długości n takich, że a,..., a n {,..., m}. Z reguły mnożenia wynika, że Ω = m n. W tej przestrzeni rozważamy następujące dwa zdarzenia: A : zdarzenie polegające na tym, że w ciągu (a,..., a n ) co najmniej dwa wyrazy są równe (tzn. a i = a j = dla pewnych i, j takich, że i < j n), B : zdarzenie polegające na tym, że w ciągu (a,..., a 7 ) co najmniej dwa wyrazy są równe m (tzn. a i = a j = m dla pewnych i, j takich, że i < j n). Tak jak poprzednio, naszym zadaniem jest obliczenie prawdopodobieństwa warunkowego P (A B) A B P (A B) = =. P (B) B
W. Guzicki Próbna matura, grudzień 20 r. poziom rozszerzony 8 Zadanie to sprowadza się znów do obliczenia A B oraz B. Najpierw obliczymy B. Zauważmy, że zbiór B składa się z ciągów (a,..., a n ), w których albo każdy wyraz należy do zbioru {,..., m }, albo jeden wyraz jest równy m i pozostałe należą do zbioru {,..., m }. Zatem korzystając z reguł dodawania i mnożenia otrzymujemy B = Ω B = m n ((m ) n + n (m ) n ) = m n (m + n ) (m ) n. W podobny sposób dostajemy A = (m + n ) (m ) n. Obliczenie A B jest trudniejsze. Do zbioru A B należą ciągi (a,..., a n ) takie, że: wszystkie wyrazy ciągu (a,..., a n ) są różne od i od m; istnieje (m 2) n takich ciągów, wszystkie wyrazy ciągu (a,..., a n ) są różne od i dokładnie jeden jest równy m; istnieje n (m 2) n takich ciągów, wszystkie wyrazy ciągu (a,..., a n ) są różne od m i dokładnie jeden jest równy ; istnieje n (m 2) n takich ciągów, dokładnie jeden wyraz ciągu (a,..., a n ) jest równy i dokładnie jeden jest równy m; istnieje n (n ) (m 2) n 2 takich ciągów. Łącznie zatem mamy A B = (m 2) n + 2 n (m 2) n + n (n ) (m 2) n = = (m 2) n 2 ((m 2) 2 + 2n(m 2) + n(n ) ) = = (m 2) n 2 (m 2 m + + 2mn n + n 2 n ) = = (m 2) n 2 ((m + n) 2 (m + n) + n ) = = (m 2) n 2 ((m + n 2) 2 n ). Następnie z zasady włączeń i wyłączeń otrzymujemy A B = Ω (A B) = m n A B = m n ( A + B A B ) = = m n 2(m + n ) (m ) n + ( (m + n 2) 2 n ) (m 2) n 2. P (A B) = mn 2(m + n ) (m ) n + ( (m + n 2) 2 n ) (m 2) n 2 m n (m + n ) (m ) n = = (m + n ) (m )n ( (m + n 2) 2 n ) (m 2) n 2 m n (m + n ) (m ) n. Jeśli przyjmiemy m = i n = 5, to otrzymamy P (A B) = 0 5 (9 2 5) 3 250 7 5 0 5 = 777 250 = 38 52 = 99 09 = 99 09 = 0 09. = 250 8 52 =