OPTYMALNE PROJEKTOWANIE ELEMENTÓW KONSTRUKCYJNYCH WYKONANYCH Z KOMPOZYTÓW WŁÓKNISTYCH

Zeszyty Naukowe WSInf Vol 13, Nr 1, 2014 Elżbieta Radaszewska, Jan Turant Politechnika Łódzka Katedra Mechaniki i Informatyki Technicznej email: elzbieta.radaszewska@.lodz.l, jan.turant@.lodz.l OPTYMALNE PROJEKTOWANIE ELEMENTÓW KONSTRUKCYJNYCH WYKONANYCH Z KOMPOZYTÓW WŁÓKNISTYCH Streszczenie W racy zajęto się roblemem rojektowania otymalnych struktur komozytów włóknistych ze względu na ich własności rzewodzenia cieła. Projektowanymi arametrami komozytu była orientacja włókien wyełniających warstwę komozytu. Do oszukiwania otymalnych rozwiązań oracowano system otymalizacyjny będący szeregowym ołączeniem algorytmu ewolucyjnego i gradientowego. Analizę zachowania się konstrukcji rzerowadzono metodą elementów skończonych zaś gradient funkcjonału celu wyznaczono korzystając z metody bezośredniej analizy wrażliwości. Słowa kluczowe: materiały komozytowe, rzeływ cieła, otymalne rojektowanie, algorytm hybrydowy 1 Wrowadzenie Sośród nowoczesnych materiałów inżynierskich jedynie komozyty stwarzają możliwość swobodnego kształtowania własności. Nie są one jednak łatwym materiałem do otymalnego rojektowania, zwłaszcza jeśli oczekujemy wysokiej wytrzymałości wyrobu końcowego. Metody analityczne zawodzą w wielu rzyadkach z owodu skomlikowanego kształtu i trudnych do określenia własności lokalnych. W takich rzyadkach jedynym rozsądnym rozwiązaniem jest analiza numeryczna, n. rzy użyciu metody elementów skończonych. Modelowanie, a nastęnie symulacja komuterowa warunków racy rzyszłego wyrobu komozytowego umożliwia wstęną weryfikację założeń rojektowo-konstrukcyjnych. W szczególnym rzyadku, stosując komozyty do budowy elementów konstrukcyjnych, symulacja ozwala na otymalne dobranie własności materiałowych oszczególnych warstw laminatu, orzez dostosowanie rodzaju wyełnienia oraz matrycy. 106

E. Radaszewska, J. Turant Komozyty stanowią bardzo ważną gruę materiałów komozytowych. Ich niewielka cena i łatwość kształtowania w ołączeniu z otencjalnie wysokimi własnościami wytrzymałościowymi owodują, że sektrum ich zastosowań roztacza się od artykułów codziennego użytku domowego do zaawansowanych zastosowań kosmicznych. Projektując odowiednie ułożenie włókien wyełniających możemy kształtować nie tylko arametry wytrzymałościowe komozytu, ale również jego własności termiczne zależne od kierunków ułożenia włókien. Odowiednie ułożenie włókien daje możliwość sterowania rzeływem cieła w elementach konstrukcyjnych umożliwiając lesze lub (w zależności od otrzeb) gorsze warunki rzewodzenia cieła w wybranych kierunkach. W rzyadku konstrukcji wykonanych z materiałów komozytowych, analiza ich zachowania się od obciążeniem cielnym jest nierozłączna z analizą komozytu i cech charakterystycznych jego budowy, gdyż termiczne charakterystyki materiałowe komozytowego elementu konstrukcyjnego są ściśle związane z jego wewnętrzną budową. Można więc owiedzieć, że każda konstrukcja może wymagać indywidualnego zarojektowania otymalnego dla niej materiału komozytowego. Własnościami materiału komozytowego możemy sterować orzez dobór takich arametrów strukturalnych jak: własności termiczne matrycy i włókien, objętościowy udział i kształt rzekroju włókien wyełniających w warstwach, orientacja i ułożenie włókien w analizowanym elemencie konstrukcyjnym, czy też liczba i grubość warstw. 2 Modelowanie materiałów komozytowych z uwagi na ich cielne własności Materiały komozytowe zbudowane z owtarzalnych elementów zwykle traktuje się dla celów analizy jako jednorodne czyli homogeniczne ciała o uśrednionych cielnych wsółczynnikach wyznaczonych w oarciu o bilans cielny oraz odstawowe rawo Fouriera [2,3,8]. W wyniku homogenizacji otrzymuje się wielkości oisujące charakter i szybkość rzewodzenia cieła wewnątrz materiału, oisywane rzede wszystkim wsółczynnikami rzewodności cielnej. W niniejszej racy została wykorzystana metoda obliczania zastęczych wsółczynników rzewodności cielnej w kierunku wzdłużnym i orzecznym do włókien dla elementu komozytowego wyełnionego włóknami o kołowym kształcie rzekroju orzecznego zaroonowana i oisana w ublikacjach [2,3]. Został również zbudowany jednorodny model zastęczy komozytu, który stanowił unkt wyjścia do sformułowania zadania otymalizacji w rocesie jego rojektowania. 107

Otymalne rojektowanie... Zastęczy wsółczynnik rzewodności cielnej wzdłuż włókien można otrzymać z bilansu strumienia cieła łynącego w kierunku okrywającym się z osią włókna x 1, dla założonego takiego samego gradientu temeratury we włóknie, matrycy i zastęczym materiale. Uwzględniając wartości wsółczynników rzewodności cielnej włókna λ w i matrycy λ m oraz udział objętościowy włókna ρ w, uzyskuje się zależność określającą zastęczy wzdłużny wsółczynnik rzewodności cielnej. x w ( λw λm ) λm λ = ρ + 1 (1) Przeływ cieła w kierunku orzecznym do włókien w elemencie zależy od kształtu orzecznego rzekroju włókna. W każdej warstwie materiału komozytowego cieło rzeływa w jednej części warstwy szeregowo rzez matrycę i włókno w drugiej tylko rzez matrycę (rys.1). Rys. 1. Przeływ strumienia cieła w kierunku rostoadłym do kierunku włókna Dla włókna o kołowym rzekroju orzecznym można rozatrzyć tylko część czwartą ojedynczej komórki rzekroju orzecznego łyty komozytowej tak jak okazano to na rys.2. Strumień cieła rzeływa tutaj w jednej części szeregowo tylko rzez matrycę, w drugiej części zarówno rzez matrycę jak i włókno, rzy czym drogi strumienia są zależne od kąta ϕ. Uwzględniając bilans cielny w obu częściach warstwy, zastęczy wsółczynnik rzewodności cielnej warstwy materiału komozytowego w kierunku osi x 2 można zgodnie z [3] rzedstawić w ostaci: r λ mw2 λ x = λ 1+ 1 2 m (2) a3 + r λm gdzie: 108

E. Radaszewska, J. Turant 1+ u 4ArcTanh 2 λ m 1+ u r λm λ = = 1 mw2 π gdzie u (3) 2u 2 1+ u a2 + r λw Rys. 2. Pojedyncza komórka rzekroju orzecznego łyty komozytu i jej część czwarta Tak więc głównym celem modelowania komozytu obciążonego termicznie jest wyznaczenie zastęczych wsółczynników rzewodności cielnej dla materiału komozytowego, uwzględniając kształt rzekroju orzecznego włókien wyełniających matrycę, a nastęnie określenie macierzy rzewodności tego materiału konstrukcyjnego w funkcji arametrów materiałowych i geometrycznych oisujących jego strukturę. Budowa komozytu srawia, że orientacja włókien w każdej warstwie może być inna w stosunku do dowolnie rzyjętego globalnego układu odniesienia (rys.3). Rys. 3. Orientacja włókna w warstwie komozytu 109

Otymalne rojektowanie... W oarciu o odowiednie relacje transformacyjne macierz zastęczych wsółczynników rzewodności cielnej dla ortotroowej warstwy komozytu określona w globalnym układzie wsółrzędnych jest wyrażona zależnością [3]: λy 1 λy21 λ y12 = λy2 2 2 λ + ( ) ( ) x cos θk λx sin θk λx λx sinθ k cosθ k 1 2 1 2 2 2 λx λx sinθ k cosθ k λx sin θ k + λx cos θ k 1 2 1 2 (4) Otrzymany ortotroowy model komozytu stanowi unkt wyjścia do sformułowania zadania otymalizacji w rocesie rojektowania otymalnej struktury komozytowych elementów konstrukcyjny racujących od obciążeniem cielnym. 3 Sformułowanie roblemu W racy został rozatrzony łaski dwuwymiarowy element konstrukcyjny obciążony termicznie, wykonany z mikroskoowo niejednorodnego materiału w ostaci komozytu składającego się z matrycy wyełnionej włóknami o różnych od matrycy własnościach termicznych. Mikroskoowo niejednorodny materiał komozytowy został zastąiony, dla celów analizy zjawiska rzeływu cieła w elemencie konstrukcyjnym, makroskoowo jednorodnym materiałem ortotroowym (rys.4). Własności termiczne takiego materiału, zależą od: własności termicznych matrycy i włókien wyełniających, od udziału objętościowego składników, kształtu rzekroju i linii włókien wyełniających [2,3,4]. Rys. 4. Mikroskoowa niejednorodność i makroskoowa jednorodność materiału W racy założono, że matryca jest jednorodna, izotroowa o określonym wsółczynniku rzewodzenia cieła λ m, zaś włókna są długie, o kołowym kształcie rzekroju orzecznego, jednokierunkowo i równomiernie rozłożone w matrycy, jednorodne, izotroowe o wsółczynniku rzewodzenia cieła λ w. 110

E. Radaszewska, J. Turant Zagadnienie to oisano równaniem różniczkowym ustalonego rzewodnictwa cieła, które uzuełniono odowiednimi warunkami brzegowymi. Przewodzeniem cieła w ciałach stałych i nieruchomych cieczach rządzi rawo Fouriera [8], zgodnie z którym natężenie strumienia rzewodzonego cieła jest roorcjonalne do gradientu temeratury mierzonego wzdłuż kierunku rzeływu cieła. q = λ T (5) gdzie: q - natężenie strumienia rzewodzonego cieła, T - gradient ola temeratury, λ - macierz wsółczynników rzewodzenia. Zagadnienie dwuwymiarowego ustalonego rzewodzenia cieła, w rzyadku gdy arametry fizyczne ciała nie zależą od temeratury srowadza się do rozwiązania w obszarze Ω równania: divq + f = 0 (6) (gdzie f oznacza wewnętrzne źródło cieła), z odowiednimi warunkami brzegowymi anującymi na brzegu Γ (rys.5). Płaski materiał komozytowy z zadanymi warunkami brzegowymi Warunki brzegowe są sformułowane w ogólnej ostaci jako ewne wielkości fizyczne określone na konkretnych fragmentach brzegu rozatrywanego ciała, oisujące wymianę cieła i mogą być zadane na trzy sosoby: warunki brzegowe ierwszego rodzaju, tzw. warunki Dirichleta, określone są rzez rozkład temeratury, warunki brzegowe drugiego rodzaju, tzw. warunki Neumanna, określone są rzez wartość natężenia strumienia cielnego, 111

Otymalne rojektowanie... warunki brzegowe trzeciego rodzaju, tzw. warunki Henkela, określone są orzez temeraturę otaczającego ośrodka oraz zależność, która oisuje wymianę cieła między ciałem a tym ośrodkiem, co możemy zaisać w nastęującej ostaci: T = T q q n n 0 0 = n q = q naγ (7) = h k n naγ ( T T ) na Γc gdzie T 0 jest zadaną temeraturą, n jednostkowym wektorem normalnym do kierunku brzegu, h jest wsółczynnikiem konwekcji a T oznacza temeraturę otoczenia. 4 Analiza wrażliwości ól stanu dla ustalonego rzeływu cieła Zmiana zachowania się elementów konstrukcyjnych od wływem zadanego obciążenia cielnego może być wywołana zmianami arametrów materiałowych komozytu. Załóżmy, że arametry materiałowe komozytu: takie jak ois kształtu włókien wyełniających, własności termiczne materiałów matrycy i wyełnienia oraz gęstość nasycenia matrycy włóknami tworzą wektor arametrów b. Zmiana każdej ze składowych b tego wektora wywołuje odowiednie zmiany ól stanu konstrukcji wykonanej z komozytu. W celu znalezienia zmian ól stanu na zmiany arametrów materiałowych możemy rzerowadzić analizę wrażliwości korzystając z bezośredniej metody takiej analizy [1,5,6]. W metodzie tej, nieznane ochodne ól stanu obliczane są rzez rozwiązanie ewnych dodatkowych roblemów rzewodzenia cieła, oisanych równaniami otrzymanymi w wyniku zróżniczkowania równań roblemu odstawowego względem każdego elementu wektora arametrów b. Różniczkując równania (5-7), oisujące zachowanie się konstrukcji odstawowej (rys.5), względem zmiennej b otrzymujemy układ równań o analogicznej ostaci do układu (5-7). Konsekwentnie, owstały układ równań możemy traktować jako ois ustalonego rzeływu cieła w konstrukcji, w której rolę ola temeratury sełniałaby jej ochodna o arametrze b, a ois takiej tzw. konstrukcji dodatkowej można rzedstawić w ostaci: T q 112

E. Radaszewska, J. Turant divq, + f, = λ, = 0 * q, = λ T, + q q * T (8) z warunkami brzegowymi rzyjmującymi ostać: T, q, n q, n = 0 = n q, = n q, = 0 ( T ) = h T, h, T = ( T T ) h gdzie symbol (), oznacza różniczkowanie cząstkowe o -tym arametrze. Otrzymany układ równań (8-9) oisuje tzw. -tą konstrukcję dodatkową o takim samym kształcie i wykonaną z materiału komozytowego o takich samych arametrach termicznych jak konstrukcja odstawowa, ale oddaną działaniu dodatkowego wstęnego strumienia cielnego q *. Szukane ochodne ól konstrukcji odstawowej wyrażają się zatem rzez odowiednie ola stanu -tej konstrukcji dodatkowej i są otrzymywane w wyniku rozwiązania układu równań (8-9), które może być zrealizowane tą samą techniką co rozwiązanie zadania odstawowego (5-7). W raktyce analityczne wyrażenia na wrażliwość oddaje się dyskretyzacji i rozwiązuje numerycznie rzy wykorzystaniu metody elementów skończonych [9]. Rozwiązanie roblemu odstawowego ozwala wyznaczyć węzłowe wartości temeratury w analizowanej konstrukcji komozytowej oraz ich ochodne, otrzebne n. w rocesie otymalnego rojektowania konstrukcji komozytowej. 5 Sformułowanie roblemu otymalizacyjnego Możliwość kształtowania budowy komozytów ozwala uzyskać żądane własności tych materiałów konstrukcyjnych orzez otymalne zarojektowanie ich struktury, a rzede wszystkim właściwe rozmieszczenie i zorientowanie włókien wyełniających w matrycy w oszczególnych warstwach. Każdy z arametrów komozytu w różnym stoniu decyduje o jego własnościach termicznych, a w konsekwencji także wykonanego z niego (9) 113

Otymalne rojektowanie... elementu konstrukcyjnego i może być traktowany jako zmienna decyzyjna w rocesie rojektowania jego struktury. Z gruy arametrów b oisujących strukturę komozytowego materiału rzyjęto jako znane arametry deterministyczne własności termiczne włókien i matrycy, zaś jako zmienne rojektowe rzyjęto orientację włókien w warstwie. Jak okazano na rys.3, orientacja włókien wyełniających θ jest określona orzez kąt zawarty omiędzy osią włókien w dowolnym unkcie warstwy komozytu a osią y 1 globalnego układu odniesienia [3,4]. W obszarze warstwy arametr ten może być stały i wówczas włókna są ułożone rostoliniowo w matrycy lub może być zmienny i wtedy włókna w matrycy są rozmieszczone krzywoliniowo. Zakładamy, że arametry charakteryzujące kształt każdego włókna są identyczne z arametrami ewnego wzorcowego włókna orzez rzesunięcia którego owstaje rodzina włókien wyełniających. Projektowanie otymalnych struktur komozytowych zostało rozatrzone od kątem uzyskania rzez element konstrukcyjny wykonany z tego materiału określonych własności termicznych. W związku z tym jako funkcjonał celu rzyjmuje się miarę jakości oisującą zachowanie się elementu konstrukcyjnego od wływem działających obciążeń z uwagi na rzyjęte zmienne rojektowe. W ogólnej formie funkcjonał celu F c został wyrażony jako [1,6]: F Ψ( T, T,, f ) dω + γ ( T, qn T ) = q dγ (10) c, gdzie Ψ i γ są ciągłymi i różniczkowalnymi funkcjami swoich argumentów. Ogólny funkcjonał (10) może rzybierać różne szczególne ostaci, będące n. miarami równomierności rozkładów temeratur w wybranych obszarach konstrukcji czy strumienia cieła emitowanego rzez elementy konstrukcji. W rzyadku konstrukcji mających być najleszymi rzewodnikami cieła roblem otymalizacyjny rzyjmie ostać: F c = ( b ) q( b) dγ max (11) Γc a dla rojektowania najleszych izolatorów byłby rzedstawiony w formie: F c = ( b ) q( b) dγ min (12) Γc 114

E. Radaszewska, J. Turant W niniejszej racy ograniczymy roces otymalizacji do zadań (11) i (12). 6 Algorytm otymalizacyjny Do rozwiązania, sformułowanego zadania otymalnego rojektowania struktury materiałów komozytowych oracowany został tzw. hybrydowy system otymalizacyjny składający się z dwóch szeregowo ołączonych algorytmów: ewolucyjnego i gradientowego (rys.6). Rys. 5. Hybrydowy system otymalizacyjny Pierwszy eta otymalizacji stanowi algorytm ewolucyjny, który oarty jest na naśladowaniu naturalnych rocesów zachodzących w rzyrodzie [7]. Algorytm ewolucyjny startuje z losowo wygenerowanej oulacji oczątkowej, generując w kolejnych okoleniach rozwiązania bliższe rozwiązaniu otymalnemu. W kroku oceny oulacji algorytm wsółracuje z metodą elementów skończonych [9], dzięki której zostają wyznaczone ola stanu konstrukcji niezbędne do naliczenia wartości odowiedniego funkcjonału celu. 115

Otymalne rojektowanie... W celu zwiększenia efektywności obliczeń zastosowano jedną z gradientowych deterministycznych technik otymalizacyjnych, a mianowicie metodę zmiennej metryki, rzy czym algorytm tej metody uruchamiany jest z najleszego rozwiązania znalezionego w wyniku działania algorytmu ewolucyjnego. Zastosowanie metody zmiennej metryki w rocesie otymalizacji struktury komozytowych elementów konstrukcyjnych wymagało obliczenia gradientu (wrażliwości ierwszego rzędu) funkcjonału mierzącego jakość konstrukcji względem zmiennych rojektowych. Dla funkcjonału celu F c, określonego zależnością (10), jego wrażliwość ierwszego rzędu z uwagi na -tą składową wektora zmiennych rojektowania b (gdzie: = 1,..., n) ma ostać: Ψ, dω + F = γ, dγ (13) c, Obliczenie ochodnych cząstkowych funkcji odcałkowych wymaga znajomości ochodnych ól stanu, które mogą być wyznaczone korzystając z metody bezośredniej analizy wrażliwości, rzedstawionej w rozdziale 4. 7 Numeryczny rzykład obliczeniowy Rozatrzmy element konstrukcyjny wykonany z komozytu wyełnionego rostoliniowymi włóknami o rzekroju kołowym, rys.7. Na dwóch brzegach elementu Γ T1 i Γ T2 wymuszono stałą temeraturę, a ozostałe brzegi izolowano termicznie. Zawartość włókien wyełniających w warstwie wynosi 30%. Materiałem wyełnień były włókna szklane o wsółczynniku rzewodzenia cieła λ w =0.04 [W/(m K)]., matrycę komozytu stanowiła żywica eoksydowa o wsółczynniku rzewodzenia cieła λ m =0.3[W/(m K)]. Rys. 6. Parametry wymiarowe i obciążenie termiczne elementu 116

E. Radaszewska, J. Turant W racy oszukiwano takiego kierunku osi włókien wyełniających w warstwie komozytowego materiału, który będzie realizować maksimum strumienia cieła na brzegu Γ T1 o zadanej temeratury T=20 [ o C]. W rozatrywanym rzyadku warstwa komozytu została wyełniona jedną rodziną rostoliniowych, równoległych włókien, których kierunek określono kątem θ mierzonym od dodatniego kierunku osi y 1 tak, jak okazano to na rys.7. Kąt θ ułożenia włókien wyełniających był tutaj arametrem rojektowania, którego zmienność założono w granicach od 0 o do 180 o. Konsekwentnie, roblem otymalizacyjny może być rzedstawiony w analogicznej formie do (11) w ostaci: ΓT 1 q( θ ) dγ max (14) Zadanie rozwiązano dla modelu dyskretnego dzieląc obszar konstrukcji na trójkątne, trzywęzłowe elementy skończone w oarciu o oracowany hybrydowy system otymalizacyjny. Z rzerowadzonej otymalizacji wynika, że dla rzyjętego kształtu osi włókien wyełniających rozatrywany element konstrukcyjny będzie osiadał największą wartość strumienia cieła na brzegu Γ T1 równą 9,80 [W] rzy ułożeniu włókien w materiale komozytu od kątem θ=167 0. W celu orównania uzyskanych rezultatów otymalizacji rzerowadzono identyczną analizę oszukując takiego ułożenia włókien, dla którego strumień cieła na tym samym brzegu byłby najmniejszy czyli analizowany element stanowiłby najleszy izolator w danej klasie rozwiązań. Aby znaleźć wsomniane ułożenie włókien rozwiązano roblem analogiczny do (12): ΓT 1 q( θ ) dγ min (15) W wyniku rzerowadzonego rocesu otymalizacyjnego określono kąt nachylenia włókien θ=85 0. Konstrukcja o tak dobranym kierunku włókien charakteryzowała się strumieniem cieła na brzegu Γ T1 równym 7,83 [W]. Otymalne ułożenie rostoliniowych włókien odowiadające maksymalnemu strumieniowi i ułożenie włókien dla konstrukcji o minimalnym strumieniu rzedstawiono na rys.8. Porównując otrzymane wartości funkcjonałów celu dla konstrukcji komozytowej z otymalnym ułożeniem włókien i konstrukcji orównawczej stwierdzono około 25% wzrost wartości natężenia strumienia ciel- 117

Otymalne rojektowanie... nego, co wskazuje na duże możliwości sterowania rzeływem cieła w materiałach komozytowych. Strumień maksymalny Strumień minimalny Rys. 7. Ułożenie włókien w konstrukcji otymalnej i orównawczej 8 Podsumowanie Wyniki rzedstawione w racy ozwalają stwierdzić, że dobór odowiedniego kierunku osi włókien wyełniających w komozycie wływa istotnie na uzyskiwane własności termiczne wykonanego z niego elementu konstrukcyjnego. Pełne zalety komozytowych materiałów konstrukcyjnych można uzyskać w rzyadku otymalnego rojektowania ich struktury, a rzede wszystkim właściwego rozmieszczenia i zorientowania włókien wyełniających w matrycy z unktu widzenia rzyjętej w rocesie otymalizacji miary jakości komozytu. Zaroonowana technika otymalizacyjna, olegająca na ołączeniu algorytmu ewolucyjnego z algorytmem gradientowym jest efektywnym narzędziem w rozwiązywaniu zadań rojektowania otymalnych struktur komozytów włóknistych. Uzyskane wyniki mogą stanowić unkt wyjścia do rojektowania struktury materiału komozytowego stanowiącego tworzywo konkretnej konstrukcji racującej od zadanym obciążeniem ozwalając tym samym uniknąć kosztownych i racochłonnych badań doświadczalnych, które można ograniczyć do końcowych badań ekserymentalnych gotowej konstrukcji. 9 Literatura [1] K. Dems, Sensitivity analysis and otimal design for fibre reinforced comosite disks, Structural Otimization, 11, 1996, s.178-186 118

E. Radaszewska, J. Turant [2] K. Dems, E. Radaszewska, Modelowanie własności termicznych w wielowarstwowym materiale komozytowym, Modelowanie Inżynierskie, Politechnika Śląska, 2006, Vol.1, nr 32, 2006, s. 97-104 [3] K. Dems, E. Radaszewska, J. Turant, Modeling of fiber reinforced comosite material subjected to thermal load, Journal of Thermal Stresses, 2012, s.579-595 [4] J. German, Podstawy mechaniki komozytów włóknistych, Wydawnictwa Politechniki Krakowskiej, Kraków, 1996 [5] E. Kącki, A. Małoleszy, A. Romanowicz, Metody numeryczne dla inżynierów, Wydawnictwa Politechniki Łódzkiej, Łódź 1997 [6] R. Korycki, Identyfikacja i otymalne rojektowanie kształtu wyrobów i konstrukcji włókienniczych rzewodzących cieło, Zeszyty Naukowe Politechniki Łódzkiej, nr 929, 2003, Łódź [7] Z. Michalewicz, Algorytmy genetyczne + struktury danych = rogramy ewolucyjne, Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, Warszawa, 1996 [8] S. Wiśniewski, T.S. Wiśniewski, Wymiana cieła, WNT, Warszawa, 2000 [9] O.C. Zienkiewicz, Metoda elementów skończonych, Warszawa, Arkady 1972 THE OPTIMAL DESIGN OF STRUCTURAL ELEMENTS MADE OF FIBRE COMPOSITE MATERIALS Summary The dissertation is devoted to the roblem of otimal design of two-dimensional structures made of fibre comosite materials with resect to their heat conductivity roerties. The filling fibres orientation was chosen as design arameters. The hybrid otimization algorithm, consists of a sequence of evolution and gradient-oriented rocedures was develoed. The behaviour analysis of comosite structure was carried out using finite element method and gradients of objective functional were obtained with usage of direct method of sensitivity analysis. Keywords: comosite material, heat conduction, the otimal design, hybrid algorithm 119