Grafika inżynierska geometria wykreślna 4. Wielościany. Budowa. Przekroje. dr inż. arch. Anna Wancław Politechnika Gdańska, Wydział Architektury Studia inżynierskie, kierunek Gospodarka przestrzenna, semestr I
4. Wielościany. Budowa. Przekroje. Wielościany definicje, klasyfikacja Transformacja celowa powtórzenie Budowa wielościanów - zadania Przekroje wielościanów płaszczyzną rzutującą Związki kolineacji i powinowactwa
Wielościany wokół nas
Wielościany - definicja Wielościan bryła geometryczna, ograniczona powierzchnią utworzoną ze skończonej ilości wielokątów spełniających następujące warunki: 1) Każde dwa wielokąty mają bok, bądź wierzchołek wspólny, albo nie mają żadnego punktu wspólnego, 2) Każdy bok wielokąta jest bokiem wspólnym tylko dla dwóch wielokątów 3) Każdy wierzchołek wielokąta jest wspólny dla co najmniej trzech wielokątów Każdy wielościan utworzony jest ze ścian, krawędzi i wierzchołków. Grzech pierworodny teorii wielościanów popełniony został już w czasach Euklidesa, i był popełniany przez Keplera, Poinsota, Cauchy'ego i wielu innych. Nigdy nie udało im się określić, czym są wielościany. Branko Grünbaum
Wielościany - klasyfikacja Wielościany foremne (umiarowe, platońskie) Wielościany półforemne (archimedejskie) Ostrosłupy Graniastosłupy inne
Wielościany foremne - czworościan - sześcian - ośmiościan - dwunastościan - dwudziestościan
Wielościany półforemne Istnieje 13 (15) wielościanów półforemnych oraz dwie nieskończone serie.
Ostrosłupy prawidłowy prosty wysokość spodek wysokości
Graniastosłupy prostopadłościan wysokość prawidłowy prosty
P R x12 R TRANSFORMACJA - przyjęcie rzutni równolegle i prostopadle do prostej. Rzeczywista wielkość odcinka.
R x12 R R x13 TRANSFORMACJA - przyjęcie rzutni równolegle do prostej. P Rzeczywista wielkość odcinka. P
R x12 R R x13 TRANSFORMACJA - przyjęcie rzutni równolegle i prostopadle do prostej. P P P IV =R IV x34 Położenie rzutujące odcinka.
Q TRANSFORMACJA - przyjęcie rzutni prostopadle i równolegle do płaszczyzny. Położenie rzutujące i rzeczywiste wielkości na płaszczyźnie. P R x12 R Q
Q TRANSFORMACJA - przyjęcie rzutni prostopadle do płaszczyzny. 1 m R x12 P m 1 R Q Chcąc przyjąć trzecią rzutnię prostopadle do płaszczyzny PQR przyjmujemy na niej pomocniczą poziomą prostą m. Wyznaczamy rzut poziomy prostej m.
Q TRANSFORMACJA - przyjęcie rzutni prostopadle do płaszczyzny. P m 1 1 m R x12 R R Przyjmujemy rzutnię trzecią prostopadle do płaszczyzny trójkąta PQR (oś rzutów x12 jest prostopadła do rzutu poziomego prostej m). Q =m =1 Położenie rzutujące trójkąta. x13 Q
Q TRANSFORMACJA - przyjęcie rzutni prostopadle i równolegle do płaszczyzny. Rzeczywiste wielkości na płaszczyźnie P m 1 1 m R x12 R R R IV m IV 1 IV P IV Rzeczywista wielkość trójkąta. Q =m =1 Q IV x13 Q x34
Budowa wielościanów Zadanie W A p p Skonstruować rzuty ostrosłupa prawidłowego czworościennego, którego krawędzią boczną jest odcinek AW, a przekątną podstawy prosta p. A p w
Budowa wielościanów Zadanie W A D a S Skonstruować rzuty ostrosłupa prawidłowego czworościennego, którego krawędzią boczną jest odcinek AW, a przekątną podstawy prosta p. B C p PLAN ROZWIAZANIA: 1. Ponieważ proste a i b określają płaszczyznę przekroju ostrosłupa, możliwe jest wyznaczenie trójkąta przekroju AWC (prostopadle do p prowadzimy wysokość ostrosłupa, spodek wysokości S określi nam środek podstawy i połowę przekątnej. 2. Na prostej prostopadłej do AWC, w odległości równej połowie przekątnej będą leżały pozostałe naroża podstawy B i D. Sprowadzając płaszczyznę przekroju AWC do położenia rzeczywistych wielkości (za pomocą transformacji), będziemy mogli powyższy plan wykonać w rzutach prostokątnych.
Budowa wielościanów Zadanie Ze względu na miejsce do konstrukcji, transformację prostopadle do płaszczyzny a=a,p przyjmiemy w stosunku do rzutni pionowej. W tym przypadku do wyznaczenia rzutni trzeciaej przyjmiemy pomocniczą prostą czołową n. 1 a n p p x12 p A 1 n a w
Budowa wielościanów Zadanie Prostopadle do n a przyjmujemy oś rzutów x 23. x23 1 n p x12 p A 1 n a w
Budowa wielościanów Zadanie x23 Wyznaczamy rzut trzeci danych elementów, płaszczyzna a będzie w tym rzucie rzutująca. A =m =1 a =a =p 2 1 a n 2 2 p p x12 A 1 n a w
Budowa wielościanów Zadanie x23 Równolegle do płaszczyzny a przyjmujemy rzutnię czwartą. Można przyjąć rzutnię w tym samym miejscu co płaszczyzna (a =x 34 ). A =n =1 1 a n 2 p x12 A IV 1 IV a =a =p =x 34 2 2 p a IV n IV p IV A 1 n a w W IV 2 IV
Budowa wielościanów Zadanie Ponieważ w rzucie czwartym wielkości są rzeczywiste, konstruujemy trójkąt przekroju AWC. Z rzutem spodka wysokości S pokryją się rzuty prostopadłej przekątnej BD. A =n =1 x23 1 a n 2 p x12 A IV a =p =x 34 2 2 p W IV a IV S IV =B IV =D IV p IV 2 IV C IV A 1 n a w
Budowa wielościanów Zadanie Wyznaczamy w rzucie trzecim punkt C (leżący na p) oraz przekątną BD, która jest w tym rzucie w rzeczywistej B wielkości. A IV A =n =1 S a =p =x 34 x23 2 C 1 a n 2 2 p p x12 W IV a IV S IV =B IV =D IV p IV D 2 IV C IV A 1 n a w
Budowa wielościanów Zadanie Wyznaczamy w rzucie trzecim krawędzie ostrosłupa. B x23 1 a n A IV A =n =1 S a =p =x 34 2 C 2 2 p p x12 W IV a IV S IV B IV =D IV p IV D 2 IV C IV A 1 n a w
Budowa wielościanów Zadanie Wyznaczamy w rzucie drugim (pionowym) punkty B, C i D. B x23 1 B a n A IV A =n =1 S a =p =x 34 2 C D 2 2 C p p x12 W IV a IV S IV B IV =D IV p IV D 2 IV C IV A 1 n a w
Budowa wielościanów Zadanie Wyznaczamy w rzucie drugim (pionowym) krawędzie ostrosłupa, określamy widoczność. A IV A =n =1 a =p =x 34 B x23 2 C B a 1 n D 2 2 C p p x12 W IV a IV B IV =D IV p IV D 2 IV C IV A 1 n a w
Budowa wielościanów Zadanie Wyznaczamy w rzucie pierwszym (poziomym) punkty B, C i D. B x23 B 1 n a A IV A =n =1 a =p =x 34 2 C B D p 2 2 C p C x12 W IV a IV B IV =D IV p IV D 2 IV C IV A 1 n a D w
Budowa wielościanów Zadanie Wyznaczamy w rzucie pierwszym (poziomym) krawędzie ostrosłupa, określamy widoczność. A IV A =n =1 a =p =x 34 B x23 2 C 1 n B B a p D 2 2 C p C x12 W IV a iv B IV =D IV p IV D 2 IV C IV A 1 n a D w
Przekroje wielościanów płaszczyzną rzutującą g e S Q R E B S R D C Q D E A =C B W
Przekroje wielościanów płaszczyzną rzutującą g e S Q R E B S R D C Q D E A =C B W
Przekroje wielościanów płaszczyzną rzutującą g e S Q R E B S R D C Q D E A =C B W
33 Związki kolineacji i powinowactwa
Związki kolineacji i powinowactwa w przekrojach p S Q R e E g =k B S R a D C Q k =b D E A =C B p Osią powinowactwa (p) lub kolineacji (k) jest krawędź przecięcia się płaszczyzn podstawy i przekroju (a i e oraz b i g). W
Związki kolineacji i powinowactwa w przekrojach p p S S P 1 Q R S 1 Q 1 R e a R 1 D S k =b 1 E Q R 1 A =C D 1 E 1 P 1 A 1 B Q 1 C 1 B 1 Konsekwentny system oznaczeń punktów W podstawy i przekroju ułatwi sprawdzenie związków kolineacji lub powinowactwa. D 1 D g =k A 1 B E 1 C 1 1 E C B
p =I =II I II p Związki kolineacji i powinowactwa w przekrojach S S P 1 P 1 Q Q R S 1 Q 1 R S 1 Q 1 e a R 1 R 1 k =b W D 1 E 1 C B 1 1 D D D 1 E 1 C 1 E E g =k A 1 B 1 A 1 C A =C Proste na których położone są odpowiednie boki wielokąta podstawy i przekroju przecinają się na osi powinowactwa. Punkty przecięcia opisujemy cyframi rzymskimi. B B
Związki kolineacji i powinowactwa w przekrojach p =I =II S P 1 Q S 1 Q 1 R e R 1 D 1 E 1 C B 1 1 III E g =k A 1 B I S R a D C II p P 1 Q S 1 Q 1 R 1 k =b W D D 1 E 1 C 1 E III A 1 B 1 A =C B
p =I =II I II p Związki kolineacji i powinowactwa w przekrojach S S P 1 P 1 Q Q R S 1 Q 1 R S 1 Q 1 e a R 1 R 1 k =b W D 1 E 1 C B 1 1 III D D D 1 E 1 C 1 E E III g =k A 1 Rzuty punktu przecięcia się przedłużeń boków podstawy i przekroju z osią kolineacji muszą leżeć na jednej odnoszącej (III i III ). B 1 A 1 C A =C B B
p =I =II I II p Związki kolineacji i powinowactwa w przekrojach S S P 1 P 1 Q Q R S 1 Q 1 R S 1 Q 1 e a R 1 R 1 g =k k =b W A 1 IV D 1 E 1 C B 1 1 III D D D 1 E 1 Rzuty punktu przecięcia się przedłużeń boków podstawy i przekroju z osią kolineacji muszą leżeć na jednej odnoszącej (III, IV i III, IV ). C 1 E E III B 1 A 1 IV C A =C B B
Skonstruować rzuty ostrosłupa prawidłowego czworościennego, którego krawędzią boczną jest odcinek AW, a przekątną podstawy prosta p. a p p A a w
x23 a n 1 A =m =1 2 p x12 A IV a =p =x 34 2 2 p p IV A 1 n a w W IV 2 IV
Przekroje wielościanów płaszczyzną rzutującą S Q R e E g B S R D C Q D E A =C B W