Spis treści. Wyrażenia wymierne. Prawdopodobieństwo. Stereometria

Transkrypt

1

2 Spis treści Wyrażenia wymierne Przekształcanie wielomianów... 8 Równania wymierne Hiperbola. Przesuwanie hiperboli Powtórzenie Praca badawcza Hiperbola, elipsa, parabola Prawdopodobieństwo Zdarzenia losowe Drzewka Własności prawdopodobieństwa Elementy kombinatoryki Kombinatoryka i prawdopodobieństwo Powtórzenie Praca badawcza. Metoda Monte Carlo Stereometria Wielościany Wielościany foremne Kąty w wielościanach Pola powierzchni i objętości graniastosłupów i ostrosłupów Przekroje prostopadłościanów Pola powierzchni i objętości wielościanów Walec Stożek Kula Powtórzenie Praca badawcza. Linie geodezyjne ODPOWIEDZI W podręczniku przyjęto następujące oznaczenia: zadanie nieelementarne (niekoniecznie trudne) zadanie trudne

3 77 MLK3x str. 77

4 WIELOŚCIANY WIELOŚCIANY Na rysunku przedstawiono kilkanaście brył zwanych wielościanami. W zrozumieniu rysunków pomoże ci budowanie modeli. Każdy wielościan jest ograniczony wielokątami ścianami wielościanu w taki sposób, że każda krawędź wielościanu jest wspólnym bokiem dwóch ścian. A Wśród powyższych wielościanów wskaż te, które nie są wypukłe. Figurę (płaską lub przestrzenną) nazywamy wypukłą, gdy każdy z odcinków łączących dwa dowolne punkty figury cały zawiera się w tej figurze. Istnieje wiele różnych definicji wielościanu, jednak wszystkie są dosyć skomplikowane. Co więcej, pewne bryły zgodnie z jedną definicją są wielościanami, a według innych definicji nimi nie są. Nie ma jednak wątpliwości, że według każdej z tych definicji znane ci z wcześniejszej nauki graniastosłupy i ostrosłupy są wielościanami. B Znajdź wśród powyższych wielościanów te, które są graniastosłupami, oraz te, które są ostrosłupami. 78 STEREOMETRIA

5 Poniżej przypominamy podstawowe wiadomości o graniastosłupach i ostrosłupach. GRANIASTOSŁUP Graniastosłup to wielościan, w którym można wskazać dwie ściany (podstawy) będące przystającymi wielokątami, leżącymi na równoległych płaszczyznach, oraz pozostałe ściany (ściany boczne) będące równoległobokami. Krawędzie boczne graniastosłupa mają równe długości i są równoległe. OSTROSŁUP Ostrosłup to wielościan, w którym można wskazać jedną ścianę (podstawę) będącą dowolnym wielokątem oraz pozostałe ściany (ściany boczne) będące trójkątami o wspólnym wierzchołku. Wspólny wierzchołek wszystkich ścian bocznych ostrosłupa nazywamy wierzchołkiem ostrosłupa. C Naszkicuj albo opisz wielościan, który nie jest graniastosłupem, ale można w nim wskazać dwie ściany, które są: 1. wielokątami leżącymi na równoległych płaszczyznach, 2. przystającymi wielokątami, 3. przystającymi wielokątami leżącymi na równoległych płaszczyznach. Wysokością graniastosłupa nazywamy każdy odcinek łączący płaszczyzny podstaw i prostopadły do obu tych płaszczyzn. Uwaga. Pojęcie odcinka prostopadłego do płaszczyzny jest intuicyjnie jasne i taka intuicja wystarcza na potrzeby tego rozdziału. Dokładniej prostopadłość prostych i płaszczyzn w przestrzeni omawiamy w następnym rozdziale. WIELOŚCIANY 79

6 Jeśli podstawy graniastosłupa są trójkątami, to nazywamy go graniastosłupem trójkątnym, jeśli podstawy są czworokątami, to nazywamy go graniastosłupem czworokątnym itd. D Ile wszystkich krawędzi, ile wierzchołków i ile ścian ma graniastosłup dwunastokątny, a ile n-kątny? Graniastosłup, w którym krawędzie boczne są prostopadłe do podstaw, nazywamy graniastosłupem prostym. Uwaga. Wszystkie ściany boczne graniastosłupa prostego są prostokątami. Graniastosłup, w którym wszystkie ściany są prostokątami, nazywamy prostopadłościanem. Uwaga. W prostopadłościanie za podstawy można przyjąć dowolną parę ścian równoległych. Graniastosłup, w którym krawędzie boczne nie są prostopadłe do podstaw, nazywamy graniastosłupem pochyłym. Graniastosłup prosty, w którym podstawy są wielokątami foremnymi, nazywamy graniastosłupem prawidłowym. E Oblicz sumę długości wszystkich krawędzi graniastosłupa prawidłowego siedmiokątnego o wysokości 3 i krawędzi podstawy długości 2. Uwaga. Na podstawie rysunku graniastosłupa na ogół nie możemy rozstrzygnąć, czy jest to graniastosłup prawidłowy. Na przykład rysunek poniżej (pierwszy z lewej strony) mógłby przedstawiać każdy z graniastosłupów, których siatki są narysowane obok, czyli zarówno graniastosłup prawidłowy, jak również taki, który prawidłowy nie jest. 80 STEREOMETRIA

7 Wysokością ostrosłupa nazywamy odcinek łączący wierzchołek ostrosłupa z płaszczyzną podstawy, prostopadły do tej płaszczyzny. Koniec wysokości leżący na płaszczyźnie podstawy nazywamy spodkiem wysokości. Zauważ, że w graniastosłupie można wskazać wiele odcinków, które są wysokościami, a ostrosłup, który nie jest trójkątny, ma tylko jedną wysokość. F Naszkicuj ostrosłup czworokątny, który spełnia podany warunek. 1. Jedna z krawędzi bocznych jest jednocześnie wysokością ostrosłupa. 2. Spodek wysokości leży poza podstawą ostrosłupa. 3. Spodek wysokości ostrosłupa jest środkiem krawędzi podstawy. Jeśli podstawa ostrosłupa jest trójkątem, to ostrosłup nazywamy trójkątnym, jeśli podstawa jest czworokątem, to nazywamy go czworokątnym itd. G Ile wszystkich wierzchołków, ile ścian i ile krawędzi ma ostrosłup dwunastokątny, a ile n-kątny? Ostrosłup trójkątny nazywany jest czworościanem. Uwaga. W czworościanie każdą ze ścian możemy uznać za podstawę. Czworościan ma zatem cztery wysokości. Ostrosłup, w którym podstawa jest wielokątem foremnym i krawędzie boczne mają równe długości, nazywamy ostrosłupem prawidłowym. Uwaga. W ostrosłupie prawidłowym ściany boczne są przystającymi trójkątami równoramiennymi. H I Oblicz sumę długości wszystkich krawędzi ostrosłupa prawidłowego czworokątnego o krawędzi podstawy długości 2 i wysokości 3. Jakie wielokąty mogą być podstawami ostrosłupa prawidłowego, w którym wszystkie krawędzie mają jednakową długość? WIELOŚCIANY 81

8 Oto ważne twierdzenie dotyczące ostrosłupów prawidłowych. W ostrosłupie prawidłowym spodek wysokości jest środkiem okręgu opisanego na podstawie. Dowód Aby udowodnić powyższe twierdzenie, wystarczy wykazać, że spodek wysokości jest jednakowo odległy od wszystkich wierzchołków podstawy. Rozważmy w ostrosłupie prawidłowym trójkąty, których dwoma bokami są wysokość ostrosłupa ikrawędźboczna. Wszystkie takie trójkąty są prostokątne, mają wspólną przyprostokątną i przeciwprostokątne o tej samej długości. Wobec tego we wszystkich tych trójkątach trzeci bok odcinek łączący spodek wysokości z wierzchołkiem podstawy ma taką samą długość. Zauważ, że taki sam dowód można przeprowadzić dla nieco ogólniejszego twierdzenia: Jeśli wszystkie krawędzie boczne ostrosłupa mają równe długości, to na podstawie ostrosłupa można opisać okrąg i środek tego okręgu jest spodkiem wysokości ostrosłupa. J Na rysunkach przedstawiono ostrosłupy prawidłowe. Oblicz długości odcinków oznaczonych literami. Z powyższego twierdzenia wynika, że spodek wysokości ostrosłupa prawidłowego trójkątnego pada w punkcie, w którym przecinają się wysokości podstawy. Punkt ten dzieli każdą z wysokości w stosunku 1 : 2. K Na poniższym rysunku przedstawiono ostrosłup prawidłowy trójkątny. Jakie długości mają odcinki x i y? 82 STEREOMETRIA

9 P Krawędź podstawy ostrosłupa prawidłowego trójkątnego ma długość 3, a jego krawędź boczna ma długość 4. Jaką wysokość ma ten ostrosłup? AF = Korzystamy ze wzoru na wysokość trójkąta równobocznego h = a 3 2. AE = 2 3 AF = = 3 AE 2 + DE 2 = DA 2 Odcinek AE to 2 3 wysokości podstawy ostrosłupa. Korzystamy z tw. Pitagorasa. ( 3) 2 + DE 2 =4 2 DE = 13 Odp. Wysokość ostrosłupa jest równa 13. Podstawą graniastosłupa prostego o wysokości 3 jest romb o boku 2. Kąt ostry rombu ma miarę 60. Oblicz długości przekątnych tego graniastosłupa. Trójkąt ABD jest równoboczny, a odcinek AS to wysokość tego trójkąta. BD =2 AS = = 3 AC =2 3 AG 2 = AC 2 + CG 2 AG 2 =(2 3) AG = 21 HB 2 = BD 2 + DH 2 HB 2 = HB = 13 Korzystamy z tw. Pitagorasa dla trójkątów prostokątnych ACG i HDB. Odp. Przekątne tego graniastosłupa mają długości 21 i 13. KILKA UWAG O RYSOWANIU BRYŁ Na zdjęciu model sześcianu oświetlony jest światłem o równoległych promieniach. Na białym ekranie widać cień modelu. Sporządzając rysunek wielościanu na kartce, wykonujemy go tak, jakbyśmy rysowali cień rzucany przez krawędzie tego wielościanu. WIELOŚCIANY 83

10 Poniższe zdjęcia wykonano w ten sposób, że ramkę w kształcie kwadratu (na zdjęciu: zielony czworokąt) ustawiono w różnych położeniach względem ekranu, otrzymując cienie o różnych kształtach. Przyglądając się zdjęciom, można zauważyć, że cienie równoległych boków ramki są równoległe, cień kwadratowej ramki ma zawsze kształt równoległoboku. Kolejna ramka miała kształt trapezu równoramiennego, w którym poprowadzono wysokość (czerwony odcinek) łączącą środki podstaw. Można zauważyć, że jeśli punkt dzieli odcinek na dwie równe części, to cień punktu dzieli cień odcinka w tym samym stosunku. Gdy rysujemy wielościany, musimy przestrzegać następujących reguł: Jeśli w wielościanie odcinki są równoległe, to odpowiadające im odcinki na rysunku także są równoległe. Jeśli w wielościanie odcinki są równoległe i równej długości, to odpowiadające im na rysunku odcinki też są równoległe i równej długości. Jeśli punkt dzieli odcinek w wielościanie w pewnym stosunku, to odpowiadający mu punkt na rysunku dzieli odcinek w tym samym stosunku. 84 STEREOMETRIA

11 ciekawostka Rysowanie brył nie jest łatwe, gdyż musimy przedstawić w dwóch wymiarach figury, które są trójwymiarowe. Gotowe rysunki można na ogół interpretować na różne sposoby. Stąd biorą się niektóre złudzenia optyczne. Na przykład złudzeniu możemy ulec, patrząc na pierwszy rysunek sześcianu. Rysunek ten jest wieloznaczny. Sześcian możemy zobaczyć na dwa sposoby, zależnie od tego, które krawędzie uznamy za niewidoczne. Inny przykład złudzenia optycznego to tzw. schody Zöllnera (czyt. celnera) przedstawione na rysunku poniżej (z lewej strony). Dwie osoby patrzące na ten rysunek mogą zobaczyć schody na różne sposoby, na przykład widziane z góry albo widziane od dołu. Kolejne rysunki pomagają dostrzec dwie różne interpretacje (kropka wskazuje ścianę, którą powinieneś zobaczyć na pierwszym planie). ciekawostka Najbardziej zaskakujące są rysunki tzw. figur niemożliwych. Poniżej podajemy przykłady takich figur. Pozornie wydaje się, że rysunki przedstawiają rzeczywiste bryły i można zbudować ich modele. Jednak dokładniejsza analiza pokazuje, że jest to niemożliwe, gdyż bryły takie nie istnieją! Artyści na kanwie takich rysunków potrafią stworzyć intrygujące obrazy. Przykładem wykorzystania pierwszego z nich jest grafika M.C. Eschera (czyt. eszera) Wodospad. WIELOŚCIANY 85

12 ZADANIA 1. Przerysuj i uzupełnij tabelki. Graniastosłupy Liczba ścian 7 Liczba krawędzi 9 Liczba wierzchołków 12 Ostrosłupy Liczba ścian 7 Liczba krawędzi 10 Liczba wierzchołków 9 2. a) Ile ścian bocznych ma ostrosłup o 100 krawędziach? b) Ile ścian bocznych ma graniastosłup o 100 wierzchołkach? c) Czy graniastosłup może mieć 20 krawędzi? d) Czy ostrosłup może mieć 15 krawędzi? e) Czy ostrosłup może mieć 22 krawędzie i 12 ścian bocznych? f) Czy graniastosłup może mieć 10 ścian bocznych i 20 wierzchołków? Liczba ścian (S), liczba wierzchołków (W ) i liczba krawędzi (K) dowolnego wielościanu wypukłego są ze sobą związane zależnością, którą odkrył w 1752 roku wielki matematyk szwajcarski Leonhard Euler (czyt. leonard ojler). wzór eulera: S + W = K a) Ile krawędzi ma wielościan wypukły o 10 ścianach i 12 wierzchołkach? b) Wykaż, że nie może istnieć wielościan wypukły o dwudziestu krawędziach i dziewiętnastu ścianach. c) Podaj liczbę ścian, wierzchołków i krawędzi graniastosłupa, którego podstawą jest n-kąt. Sprawdź, czy liczby te spełniają wzór Eulera. 4. Wykaż, korzystając ze wzoru Eulera, że liczby ścian, wierzchołków i krawędzi wielościanu wypukłego nie mogą być kolejnymi liczbami naturalnymi. 5. Niech jedna ze ścian pewnego wielościanu wypukłego będzie wielokątem przystającym do jednej ze ścian innego wielościanu wypukłego. Wykaż, że jeśli te wielościany skleimy przystającymi ścianami (tak, by odpowiednie krawędzie przylegały do siebie), to dla otrzymanego wielościanu można stosować wzór Eulera. 6. a) Czy istnieje graniastosłup, który nie ma przekątnych? b) Czy w graniastosłupie prawidłowym wszystkie przekątne mają taką samą długość? c) Ile przekątnych ma graniastosłup n-kątny? d) Czy w każdym graniastosłupie czworokątnym dowolne dwie przekątne się przecinają? Przekątna wielościanu to odcinek łączący dwa wierzchołki i nieleżący na żadnej ścianie. 86 STEREOMETRIA