Skrypt do laboratorium PRACOWNIA FIZYCZNA I Ćwiczenie 1: Badanie siły odśrodkowej. Opracowanie: mgr Tomasz Neumann Gdańsk, 2011 Projekt Przygotowanie i realizacja kierunku inżynieria biomedyczna - studia międzywydziałowe współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.
Politechnika Gdańska, międzywydziałowy kierunek Inżynieria Biomedyczna USTALENIA WSTĘPNE Wymagania wstępne: Zapoznanie się z wiadomościami teoretycznymi oraz przebiegiem ćwiczenia zawartymi w instrukcji do ćwiczenia. Cele ćwiczenia: 1. Usystematyzowanie wiedzy z kinematyki i dynamiki punktu materialnego. 2. Zapoznanie studentów z metodą pomiaru siły odśrodkowej. 3. Wykonanie pomiaru wartości siły odśrodkowej w funkcji prędkości kątowej obrotnicy Fod (ω) oraz w funkcji masy m wózka wraz z obciążeniem Fod (m). 4. Analiza zebranych danych pomiarowych, błędów pomiarowych oraz wykonanie odpowiedniego wykresu w celu przedstawienia danych pomiarowych. 5. Wyznaczenie szukanych wielkości fizycznych. 6. Oszacowanie niepewności pomiarowych wielkości wyznaczanych. 7. Sformułowanie wniosków. Wykaz przyrządów niezbędnych do wykonania ćwiczenia: Rys. 1: Układ pomiarowy: 1 - układ napędowy; 2 - ramię podtrzymujące wózek; 3 - wózek; 4 - bramka licząca; 5 - dynamometr; 6 - dodatkowe obciążenie wózka. Wykaz literatury podstawowej: 1. D. Halliday, R. Resnick, J. Walker - Podstawy fizyki. 2. M. Skorko - Fizyka dla studentów wyższych technicznych studiów zawodowych. 3. I. Tarjan - Fizyka dla przyrodników. 4. K. A. Tsokos - Physics for IB diploma. 2
WPROWADZENIE DO ĆWICZENIA Kinematyka ruchu po okręgu Ruch po okręgu jest ruchem krzywoliniowym, którego torem jest okrąg. Ruch ten odbywa się na płaszczyźnie, więc aby dokładnie określić położenie ciała w dowolnej chwili czasu musimy znać współrzędne punktu (x, y) w układzie współrzędnych kartezjańskich lub (r, ϕ) w układzie współrzędnych biegunowych. Rozważając ruch punktu materialnego z rysunku 2 możemy zapisać następujące równania ruchu tego ciała uzależniając współrzędne kartezjańskie od współrzędnych biegunowych w postaci Rys. 2: Ruch punktu materialnego po torze kołowym. x = r cos ϕ, (1) y = r sin ϕ, (2) w których promień wodzący r jest wartością stałą w czasie, a ϕ jest zależnym od czasu kątem zakreślanym przez promień wodzący punktu materialnego, który informuje o przemieszczeniu kątowym ciała. Skoro ϕ jest funkcją czasu, to tym samym współrzędna x i y są zależne od czasu. Obliczając pochodne współrzędnych położenia po czasie z równania 1 i 2 otrzymamy wartości składowych prędkości ciała wzdłuż wyróżnionych osi współrzędnych v x = dx dt v y = dy dt = r sin ϕdϕ dt, (3) = r cos ϕdϕ dt. (4) 3
Wektor prędkości punktu poruszającego się po okręgu możemy przedstawić w postaci v = v x i + v y j, (5) w którym i i j są wersorami - tj. wektorami jednostkowymi. Wartość prędkości w dowolnej chwili czasu możemy wyznaczyć obliczając pierwiastek iloczynu skalarnego wektora prędkości ze samym sobą v = v v = r dϕ dt, (6) w którym dϕ/dt jest prędkością kątową ω. Prędkość kątowa jest wielkością wektorową, prostopadłą do płaszczyzny toru kołowego, wyprowadzonego z jego środka. Prędkość liniowa jest związana z prędkością kątową relacją wektorową postaci v = ω r. (7) Jeżeli rozważymy przypadek w którym dϕ = const to równanie 1 i 2 możemy przedstawić dt w postaci natomiast równania 3 i 4 będą przedstawiać się następująco x = r cos ωt, y = r sin ωt, (8) v x = rω sin ωt, (9) v y = rω cos ωt. (10) Po obliczeniu pochodnych względem czasu z równania 9 i 10 otrzymamy przyspieszenia poszczególnych składowych ciała w postaci a x = rω 2 cos ωt, (11) a y = rω 2 sin ωt. (12) Wypadkowe przyspieszenie punktu możemy wyznaczyć z formuły którego wartość dla ruchu jednostajnego po okręgu wynosi a = a x i + a y j, (13) a = ω 2 r. (14) Można wykazać za pomocą rachunku wektorowego, że dla ruchu jednostajnego po okręgu prawdziwa jest relacja a = ω 2 r. (15) Wyrażenie 15 opisuje przyspieszenie dośrodkowe a d punktu w ruchu krzywoliniowym. 4
W przypadku, gdy rozważać będziemy ruch krzywoliniowy jednostajnie zmienny, na wypadkowe przyspieszenie ciała będzie składało się przyspieszenie dośrodkowe a d oraz przyspieszenie styczne a s. Wartość przyspieszenia ciała a w takim ruchu wynosi a = a 2 s + a 2 d, (16) przy czym przyspieszenie stycznie możemy wyznaczyć z zależności a s = ε r, (17) gdzie ε to przyspieszenie kątowe ciała, a r promień wodzący punktu poruszającego się z przyspieszeniem a s. Dynamika punktu materialnego Zasady dynamiki zostały podane przez Newtona jako tzw. prawa ruchu. Zgodnie z pierwszą zasadą dynamiki, jeżeli na ciało nie działają żadne siły, albo siły działające równoważą się to ciało porusza się ze stałą prędkością ruchem jednostajnym prostoliniowy. Poprzez to definiuje nam istnienie specjalnego układu tj. układu inercjalnego w którym nie działają żadne siły. Jeżeli mamy obiekt w układzie inercjalnym to po zadziałaniu wypadkową siłą zewnętrzną F w, spowodujemy przyspieszenie ciała zgodnie z drugą zasadą dynamiki opisane równaniem a = F w m, (18) z którego wynika, że przyspieszenie jest wprost proporcjonalne do działającej siły wypadkowej, a odwrotnie proporcjonalne do masy obiektu. Należy pamiętać, że jednostką siły w układzie SI jest niuton (1 N = kg m ), a pomiaru siły możemy dokonać za pomocą dynamometru. s 2 Trzecia zasada dynamiki, zwana również zasadą akcji i reakcji dotyczy oddziaływania ciał. Jeżeli rozważymy dwa punktu materialne, to będą one oddziaływały ze sobą siłą o tej samej wartości i kierunku, przeciwnym zwrocie i różnych punktach przyłożenia. Siły z trzeciej zasady dynamiki nie równoważą się. Należy pamiętać, że zasady dynamiki punktu materialnego są spełnione wyłącznie w układzie inercjalnym. Jeżeli rozważymy ruch po okręgu z rysunku 2 w układzie inercjalnym, przy założeniu, że jest to ruch jednostajny, wiemy, że ciało to porusza się z przyspieszeniem dośrodkowym a d. Przyczyną tego przyspieszenia jest siła dośrodkowa. Siła ta ma kierunek oraz zwrot zgodny z przyspieszeniem dośrodkowym o wartości F do = mω 2 r. (19) Wzór 19 wynika wprost z przekształcenia drugiej zasady dynamiki Newtona. Ruch ten możemy rozważyć także w układzie nieinercjalnym. Przeciwnie do układu inercjalnego, układ nieinercjalny charakteryzuje się pewnym przyspieszeniem, w którym nie są 5
Politechnika Gdańska, międzywydziałowy kierunek Inżynieria Biomedyczna spełnione zasady dynamiki punktu materialnego. Możemy sobie z tym poradzić, wprowadzając pojęcie pozornej siły bezwładności, która jest opisana zależnością F~b = m~au, (20) w którym au opisuje przyspieszenie układu, w którym dokonujemy obserwacji. Znak minus informuje nas o przeciwnym zwrocie siły bezwładności niż przyspieszenie układu. Wybierając układ odniesienia związany z obracającym się ciałem, wiemy, że siła bezwładności opisana jest przeciwnie skierowana do siły dośrodkowej o wartości Fb = mω 2 r. (21) Siła bezwładności opisana wzorem 21 jest potocznie nazywana siłą odśrodkową. Siła dośrodkowa jest równa co do wartości sile odśrodkowej, mają ten sam kierunek, jednak siły te mają przeciwne zwroty. Nie możemy jednak mówić o równoważeniu się tych dwóch sił, ponieważ siły osobno działają w innych układach odniesienia. PRZEBIEG ĆWICZENIA Przed przystąpieniem do wykonywania ćwiczenia należy sprawdzić, czy na ramieniu obrotnicy nie ma luźnych elementów, które mogłyby odlecieć w wyniku uruchomienia aparatury. Należy także sprawdzić, czy przyciski sterowania obrotami są wyciśnięte oraz potencjometr sterujący szybkością obrotów znajduje się w pozycji zero. Następnie podłączamy zasilanie sterownika obrotnicy oraz zasilanie bramki zliczającej. Rys. 3: Jednostka napędowa: 1 -przycisk maksymalnej prędkości obrotnicy bez możliwości regulacji (nie używamy podczas ćwiczenia); 2 - przycisk - obroty w lewą stronę; 3 - przycisk - obroty w prawą stronę; 4 - regulacja szybkości obrotów. Aby wyznaczyć prędkość kątową wózka, należy dostawić bramkę tak, aby koniec obracającego się ramienia przechodził przez jej wnękę. Po ustawieniu na bramce zliczającej 6
i wciśnięciu set bramka zmierzy czas trwania jednego obrotu. W kolejnym kroku należy dokonać pomiaru siły odśrodkowej w funkcji częstości oraz w funkcji masy wózka zgodnie z tabelami pomiarowymi. Następnie dla każdego pomiaru należy obliczyć iloczyn ω 2 r i wykonać wykres siły odśrodkowej w funkcji ω 2 r. Współczynnik kierunkowy uzyskanej prostej lub wyraz wolny, który należy wyznaczyć metodą regresji liniowej oraz metodą graficzną będzie zawierał w sobie informację o masie wózka. Należy porównać otrzymaną wartość z wartością rzeczywistą wózka. Podobne pomiary można przeprowadzić z wózkiem dodatkowo obciążonym przy zmiennej częstości oraz z wózkiem sukcesywnie obciążanym przy stałej częstości obrotu. Zadania 1. Wyznaczyć masę wózka nieobciążonego w funkcji prędkości kątowej. 2. Wyznaczyć masę wózka obciążonego w funkcji prędkości kątowej. 3. Wyznaczyć masę wózka przy stałej prędkości kątowej w funkcji masy obciążającej wózek. OPRACOWANIE DANYCH POMIAROWYCH W doświadczeniu dokonywaliśmy pomiaru siły odśrodkowej, promienia, częstości oraz dodatkowej masy zgodnie z równaniem F od = (m w + m ob )ω 2 r. (22) W każdym kroku eksperymentu mamy wyznaczyć masę wózka m w z serii pomiarów. Można zauważyć, że równanie 22 jest równaniem liniowym postaci y(x) = ax + b, (23) w którym nie znamy współczynnika kierunkowego a oraz wyrazu wolnego b. Jednak w wyniku pomiarów uzyskaliśmy współrzędne punktów pomiarowych x i i y i wraz z ich niepewnościami maksymalnymi x i i y i. Po naniesieniu punktów pomiarowych wraz z niepewnościami na wykres, powinniśmy zauważyć układanie się punktów pomiarowych wzdłuż prostej. Najlepiej dopasowana prosta do punktów pomiarowych (x i, y i ), to taka, która przechodzi możliwie najbliżej wszystkich punktów pomiarowych. Narzuca do warunek, aby suma kwadratów odchyłek wartości dopasowanych y(x i ) do zmierzonych y i była minimalna i spełniała warunek n [ yi (ax i + b) ] 2 = min. (24) i=1 Zgodnie z równaniem 24 minimum funkcji wyznaczymy licząc pochodne cząstkowe tej funkcji i przyrównanie je do zera. Otrzymamy do rozwiązania układ równań postaci n [ yi (ax i + b) ] 2 = 0 a i=1 n [ yi (ax i + b) ] (25) 2 = 0. b i=1 7
Po rozwiązaniu układu równań 25 otrzymamy wartość parametru a postaci oraz b, który wynosi b = a = n n x i y i n n x i y i i=1 i=1 i=1 ( n ) 2 n, (26) x i n x 2 i i=1 i=1 n n x i x i y i n n y i x 2 i i=1 i=1 i=1 i=1 ( n ) 2 n. (27) x i n x 2 i i=1 i=1 Wartością oczekiwaną wielkości mierzonej w eksperymencie jest średnia arytmetyczna z n pomiarów, więc wzór 26 możemy przedstawić następująco a = xy x y x 2 ( x ) 2, (28) a b możemy wyliczyć z zależności b = y ax. (29) Znając wartości a i b możemy nanieść naszą prostą na wykres, na którym znajdują się zaznaczone punkty pomiarowe wraz z niepewnościami. Dobrze dopasowana zależność liniowa do punktów pomiarowych powinna mieć tyle samo punktów pomiarowych nad jak i pod dopasowaną prostą oraz przechodzić przez co najmniej 68% słupków błędów. Jeżeli powyższe warunki nie są spełnione to możemy podejrzewać, iż badana zależność nie jest liniowa bądź podczas pomiaru zostały zaniżone wartości niepewności pojedynczego pomiaru. Należy jednak mieć na uwadze, że dopasowane parametry prostej a i b są także obarczone niepewnością. Jest to odchylenie standardowe, które zgodnie z prawami statystyki dla współczynnika a wynosi S a = 1 n 2 natomiast S b możemy wyznaczyć z zależności y 2 axy by x 2 ( x ) 2, (30) S b = S a x 2. (31) Aby ustalić, czy badana współzależność jest liniowa należy wyznaczyć współczynnik korelacji liniowej r dla serii pomiarów postaci r = xy x y [x2 (x) 2 ][ y2 (y) 2 ]. (32) Współczynnik korelacji liniowej r zawiera się w przedziale 1 r 1. Korelacja jest tym większa im wartość bezwzględna z r zmierza do jedności. W tablicy statystycznej 8
na ostatniej stronie zostały podane graniczne wartości r w zależności od liczby pomiarów i poziomu istotności, od których wzwyż można wnioskować o istnieniu istotnej współzależności pomiędzy badanymi wielkościami. Dopasowanie prostej do danych pomiarowych możemy także wykonać metodą graficzną. W tym celu należy narysować prostą przechodzącą przez możliwie największą ilość słupków pomiarowych, przy czym połowa punktów pomiarowych powinna znajdować się nad prostą, a druga połowa punktów pomiarowych pod prostą. Odczytujemy z wykresu współczynnik a jako tangens nachylenia prostej oraz współczynnik b jako przecięcie z osią odciętych. W celu wyznaczenia niepewności maksymalnych a i b wielkości a i b należy przeprowadzić dwie skrajne proste o minimalnym i maksymalnym kącie nachylenia jak na rysunku 4, dla których spełniona jest jeszcze metoda regresji liniowej. Wówczas wartość niepewności maksymalnej a może być oszacowana jako natomiast b jako Rys. 4: Metoda regresji liniowej wykonana metodą graficzną. a = a max a min, (33) 2 b = b max b min, (34) 2 SPRAWDŹ CZY ROZUMIESZ - ZADANIA PROBLEMOWE 1. Jaką siłą nacisku działa samochód o masie m na środek mostu, jeżeli przejeżdża on przez most z stałą prędkością v. Rozpatrzeć trzy przypadki: a) most jest poziomy; b) most jest wklęsły, a jego promień krzywizny wynosi R; c) most jest wypukły, a jego promień krzywizny wynosi R. 2. Kamień przywiązany do sznurka o długości L jest obracany ruchem jednostajnym w płaszczyźnie pionowej. Obliczyć przy jakiej liczbie obrotów na sekundę sznurek pęknie, jeśli zrywa się on pod działaniem siły równej dziesięciokrotnemu ciężarowi kamienia. 9
PRACOWNIA FIZYCZNA I - KARTA POMIARÓW BADANIE SIŁY ODŚRODKOWEJ...... nazwisko i imię data wykonania 1) Pusty wózek T L [ ] T P [ ] F [ ] r [ ] T L =...; T P =...; F =...; r =...; 2) Wózek obciążony masą m o b =... T L [ ] T P [ ] F [ ] r [ ] T L =...; T P =...; F =...; r =...; 3) Stała prędkość kątowa ω = (... ±...) rad s m ob [g] 0 20 50 80 100 130 150 160 170 180 F [ ] r [ ] F =...; r =...;... podpis prowadzącego zajęcia 10
Tabela krytycznych wartości współczynnika korelacji r(n; α) dla różnych poziomów istotności α oraz liczby pomiarów n. 11