Analiza numeryczna, II rok inf., WPPT- 12 stycznia 2008 Terminy egzaminów Przypominam, że egzaminy odbędą się w następujących terminach: egzamin podstawowy: 30 stycznia, godz. 13 15, C-13/1.31 egzamin poprawkowy: 7 lutego, godz. 17 19, C-13/1.31 Bardzo łatwa lista powtórkowa 1. Zapisz następujące liczby dziesiętne w systemie dwójkowym zmiennopozycyjnym z mantysą czterocyfrową z pierwszą cyfrą znaczącą po przecinku(na cechę nie wprowadza się ograniczeń):7,8,9,0.5,1.5,0.25,48. 2. Czemu w standardzie IEEE, typ single, równa się najmniejsza liczba dodatnia zmiennopozycyjna znormalizowana η? Czemu równa się w komputerze 1 + η? 3. Czemu w standardzie IEEE, typ single, równa się najmniejsza liczba dodatnia zmiennopozycyjnaznormalizowanaǫtaka,że1+ǫ>1? 4.CotojestNAN? 5. Podaj przykład liczby mniejszej od 1, która nie ma dokładnej reprezentacji w standardzie IEEE, typ single. 6.Zaproponujalgorytmobliczaniawartościfunkcjif(x)= x+2 xdlabardzodużych wartości x. Podaj uzasadnienie swojego wyboru i przeprowadź analizę błędów zaokrągleń zaproponowanego algorytmu. 7. Jaki algorytm nazywamy algorytmem numerycznie poprawnym? 8. Udowodnij, że dodawanie liczb w arytmetyce zmiennopozycyjnej w komputerze nie jest działaniem łącznym. 9.Niechw(x)=x 2 10 5 x+1.jakiekłopotymogąsiępojawićprzyobliczaniupierwiastków tego wielomianu w zmiennopozycyjnej arytmetyce dziesiętnej z mantysą 8-mio cyfrową ijakijeominąć? 10. Co ilustruje perfidny wielomian Wilkinsona? 11.Omówalgorytmobliczaniawkomputerzepierwiastkówwielomianuax 2 +bx+x,a 0. Kiedy zadanie obliczania piewiastków tego wielomianu jest źle uwarunkowane? 12. Co jest wskaźnik uwarunkowania zadania? Jaką wielkość(i dlaczego?) przyjmuje się jako wskaźnik uwarunkowania zadania obliczania wartości funkcji: y = f(x)? 13. Podaj definicję wielomianu interpolacyjnego Lagrange a. Jak udowodnić, że ten wielomian jest określony jednoznacznie? 14. Podaj wzór na resztę interpolacji. 15. Podaj definicję ilorazu różnicowego. Jak udowodnić, że iloraz różnicowy nie zależy od kolejności węzłów? 16.Udowodnij,żeilorazróżnicowyfunkcjif(x)=x n opartynan+2węzłachjestrówny zero. 1
17. Omów algorytm wyznaczania ilorazów różnicowych, które występując we wzorze Newtona na wielomian interpolacyjny. 18. Wyznacz wielomian interpolacyjny w(x) taki, że w(0)=1, w(2)=3, w(3)=2, w(4)=5, w(6)=7 dwoma sposobami. Zastosuj wzór Lagrange a i wzór Newtona. 19.Niechfunkcjafwwęzłachx 0 =2,x 1 =0ix 2 =3przyjmujeodpowiedniowartości11, 7i28. (a) Korzystając z wzoru Newtona, wyznacz wielomian w(x) interpolujący funkcję f. (b) Bez jawnego wyznaczania ilorazów różnicowych, uzasadnij, dlaczego f[x 2,x 1,x 0 ]=f[x 1,x 0,x 2 ]. (c) Niech wielomian u(x) interpoluje funkcję f w powyższych węzłach oraz w dodatkowymwęźlex 3 =4,przyczymf(4)=0.Czemurównasięu(x) w(x)?odpowiedź uzasadnij bez jawnego wyznaczania wielomianu u(x). 20.Dlafunkcjif(x)=sin ( ) πx 2 wyznaczwielomianinterpolacyjnyopartynawęzłach 1,0,1. Zbadaj, z jakim błędem w(0.5) przybliża wartość funkcji f(0.5). Oszacuj resztę interpolacji. 21. Co to są węzły Czebyszewa? Omów własności wielomianów Czebyszewa, które są powodem stosowania węzłów Czebyszewa w interpolacji- sformułuj twierdzenie dotyczące tych własności. 22. Wyznacz wielomian interpolacyjny Lagrange a w(x) z trzema węzłami Czebyszewa, interpolujący funkcję 1/(x + 2) na przedziale[ 1, 1]. Oszacuj resztę interpolacji na przedziale[ 1, 1]. 23.Wyznaczwspółczynnkia 0,a 1,a 2 wielomianuw(x)=a 0 x 2 +a 1 x+a 2 spełniającego następujące warunki interpolacji: w( 2) = 1, w(0) = 0, w(2) = 1, rozwiązując odpowiedni układ równań liniowych. Wyznacz wielomian interpolacyjny z wzoru Newtona. Jak obliczyć wartość wielomianu w(x) dla x = 0.5 w obu przypadkach? Napisz schemat algorytmu obliczania wartości tego wielomianu w postaci Newtona dla x = t. Wzoruj się na schemacie Hornera. 24.Napiszschematalgorytmudzieleniawielomianuw(x)=a n x n +a n 1 x n 1 +...+a 1 x+a 0 przez jednomian x r. Uwaga. Zakładmy, że r jest pierwiastkiem wielmianu w(x). To gwarantuje, że wielomian dzieli sie przez jednomian. 25.Wielomianw(x)=x 3 x 5=0madodatnipierwiastekα 1.9.Czywielomianw(x) ma jeszcze inny pierwiastek dodatni? W jakim przedziale leżą wszystkie pierwiastki rzeczywiste wielomianu w(x)? Skorzystaj z twierdzenia Maclaurina. 26.Niechf(x)= x. (a) Naszkicuj wykres funkcji f. (b)czy(idlaczego)metodanewtonajestzbieżnadozerafunkcjif?podajuzasadnienie geometryczne. 27.Jakijestwykładnik(rząd)metodyx k+1 =x k f(x k) 2f (x k ) zastosowanejdowyznaczenia zerafunkcjif(x)= 1 x 2? 2
28.Niechf(x)=x 2sinx.Pokaż,żeciągx k+1 =2sinx k jestzbieżnydozerafunkcjifw przedziale(π/2,2)dladowolnegox 0 ztegoprzedziału. 29. Wyznacz metodą Newtona kilka kolejnych przybliżeń dodatnego pierwiastka wielomianu (a)x 2 4, (b)x 2 2x+4, (c)(x 2)(x 2 +x+1). Jaka jest krotność tych pierwiastków? Dla którego wielomianu metoda Newtona jest szybciej zbieżna? 30.Wyznaczkilkaprzybliżeńzerafunkcjif(x)=x 3 1trzemametodami: metodą bisekcji, metodą Newtona, metodą siecznych. Napisz schemat tych algorytmów razem z odpowiednim kryterium kończenia procesu iteracyjnego. 31.Zlokalizujgraficzniezerofunkcjif(x)=cos(x) x+1.następniezastosujmetodę Newtona do jego wyznaczenia. Jak wybrać przybliżenie początkowe? 32.Zlokalizujgraficznierozwiązanierównaniae x 3x=0.Czy(idlaczego?)dorozwiązania tegorównaniamożnazastosowaćnastępującąmetodę:x k+1 = 1 3 ex k? 33. Jaka jest interpretacja geometryczna metod siecznych i Newtona obliczania zer funkcji? Jakie są wykładniki zbieżności tych metod? 34.Dwaspośródczterechpierwiastkówwielomianuw(x)=x 4 +2x 3 7x 2 +3sądodatnie. Do ich wyznaczenia chcemy zastosować metodę Newtona. Jak wybrać przybliżenia początkowe? 35.Cozdarzysię,jeślimetodaNewtonabędziezastosowanadowielomianuw(x)=2x 3 9x 2 +12x+15znastępującymiprzybliżeniamipoczątkowymi: (a)x 0 =3, (b)x 0 <3, (c)x 0 >3? 36. Co to znaczy, że zbieżność jakiejś metody iteracyjnej jest kwadratowa? Omów wady i zalety jakichś dwóch kryteriów kończenia procesu iteracyjnego. 37.WmetodzieNewtona,zastosowanejdoobliczenia rkonstruujesięciąg x k+1 = 1 [x k + r ]. 2 xk Niechr=2.Czyx 0 =1jestdobrymprzybliżeniempoczątkowym? 38. Zastosuj twierdzenie Maclaurina do wyznaczenia przydziałów zawierających pierwiastki dodatnieiujemnewielomianuw(x)=(x 2) 2 (x 3)(x+1) 2 (x 2 +2).Uwaga.Wyznacz współczynniki tego wielomianu. 3
39.Niechf(x)=(x 1) 2.Udowodnij,żemetodaNewtonazastosowanadofunkcjifjest zbieżna liniowo. 40. Rozpatrzymy następującą modyfikację metody siecznych x n+1 =x n x n x 0 f(x n ) f(x 0 ) f(x n). Jest to metoda iteracyjna jednopunktowa. Załóżmy, że ciąg wyznaczony tą metodą jest zbieżny do zera funkcji f. Pokaż, że szybkość zbieżności jest tylko liniowa. 41. Za pomocą odpowiedniego rysunku sprawdź, czy równanie x 2 4sinx=0 ma rozwiązanie i zaproponuj jakieś przybliżenie początkowe tego rozwiązania. 42. Napisz schemt algorytmu rozwiązywania metodą Newtona równania z poprzedniego zadania. Podaj jakieś kryterium kończenia procesu iteracyjnego. 43. Podaj definicje odwzorwania zwężającego i punktu stałego. Czy odwzorowanie g(x) = 1+2/xjestzwężającenaprzedziele[1,3]? 44. Napisz schemat algorytmu rozwiązania układu równań liniowych z macierzą trójkątną dolną. 45. Napisz schemat algorytmu eliminacji Gaussa rozwiązywania układu rówanń liniowych z macierzą trójprzekątniową(niezerowe elementy są tylko na głównej przekątnej oraz bezpośrednio nad i pod nią). 46. Podaj definicję i przykład normy wektora. 47. Z jaką normą wektora jest zgodna norma Frobeniusa macierzy? Co to są normy zgodne? 48. Oblicz wskaźniki uwarunkowania następujących macierzy(można wybrać dowolną normę macierzy podaną na wykładzie): [ ] [ ] 0.87 0.5 2 0,. 0.5 0.87 0 0.5 49. Rozważmy następujący układ równań liniowych(ax = b): [ ][ ] [ 0.913 0.659 x1 0.254 = 0.457 0.330 0.127 Oblicz wskaźnik uwarunkowania macierzy A. Niech oraz x 2 ˆx=[ 0.0827,0.5] T, x=[0.999, 1.001] T ˆr=Aˆx b, r=a x b. Oblicznormy ˆr 1, r 1,gdzie x 1 = x 1 + x 2.Wiadomo,żerozwiązaniemdokładnymukładuAx=bjestx=[1, 1] T.Cotenprzykładilustruje? W arytmetyce dziesiętnej zmiennopozycyjnej w mantytsą cztery-cyfrową(pierwsza cyfra różna od zera jest po przecinku) rozwiąż powyższy układ równań liniowych za pomocą eliminacjigaussabezwyboruelementugłównego(odp.ˇx=[ 0.0827,0.5] T ). ]. 4
50. Jak numerycznie obliczyć macierz odwrotną? 51.NaprzykładzieukładurównańliniowychAx=bzmacierzą [ ] ǫ 1 A=, ǫbardzomałe 1 1 objaśnij potrzebę wyboru elementu głównego w eliminacji Gaussa. Na czym polega częściowy wybór elementu głównego? 52. Dane są następujące wartości funkcji f(x): f( 2)=8, f( 1)=, f(0)=0, f(1)=1, f(2)=8. Wyznaczwielomianw(x)stopnia 3,dlaktóregojestosiągnięteminimum 5 min (f(x k ) w(x k )) 2, w(x) R 3 [x] k=1 gdziex 1 = 2,x 2 = 1,x 3 =0,x 4 =1,x 5 =2. 53. Podaj definicję macierzy Grama. Wyznacz macierz Grama dla danych z poprzedniego zadania. 54. Wyznacz współczynniki a i b, dla których wyrażenie m (ax k +a y k ) 2 k=1 ma najmniejsza wartość. Uwaga. Jest to aproksymacja średniokwadratową funkcji f(x) oznanychwartościachy k =f(x k )zapomocąwielomianustopnia 1. 55.Wyznaczwspółczynnikiaibwielomianuax 2 +b,którynajlepiejaproksymujewsensie najmniejszych kwadratów na zbiorze S ={ 1, 0, 1} funkcję f o wartościach f( 1)=3.1,f(0)=0.9,f(1)=2.9. 56. Dane są następujące wartości funkcji f: f(1), f(2)=3, f(3)=5, f(4)=3.dwomasposobamiwyznaczwielomianystopnia zerowego, pierwszego i drugiego, które najlepiej aproksymują funkcję f na zbiorze {1, 2, 3, 4}. Zastosuj wielomiany ortogonalne i układ z macierzą Grama. 57.Dlafunkcjif(x)=1/xwyznacznaprzedziale[1,2]optymalnywielomianstopniazerowego (a) w sensie aproksymacji średniokwadratowej(waga p(x) = 1, przedział całkowania [1,2]), (b) w sensie aproksymacji jednostajnej. 58. Podaj wzór na współczynniki rozwinięcia funkcji x w szereg Czebyszewa. Na czym polega idea algorytmu Clenshawa i do czego on służy? 59.Niechf(x)=a n x x +a n 1 x n 1 +...+a 0.Pokaż,żewielomian w(x)=f(x) a n 2 1 n T n (x) jest wielomianem optymalnym stopnia n 1 dla funkcji f(x) w sensie aproksymacji jednostajnej. 5
60. Czym interpolacja różni się od aproksymacji średniokwadratowej? 61. Podaj dwa twierdzenia charakteryzujące najlepszą aproksymację średniokwadratową. 62. Co to jest alternans? 63. Omów krótko algorytm wyznaczania n tego wielomianu optymalnego dla funkcji f w sensieczebyszewanazbiorzen+2punktów.wjakispsóbobliczasięwnimbłąd aproksymacji? 64. Wyznacz pierwszy wielomian optymalny w sensie aproksymacji jednostajnej na przedziale[0,1]dlafunkcjif(x)=1/(1+x).wskażalternans. 65.Czywielomianw(x)=x 2 + 1 8 jestdrugimwielomianemoptymalnydlafunkcjif(x)= x w sensie aproksymacji jednostajnej? Dlaczego? 66.Dlafunkcjif(x)=x 3 wyznaczdrugi(n=2)wielomianoptymalnywsensieaproksymacji jednostajnej na przedziale[ 1, 1]. (a) Jak na jego podstawie wyznaczyć wielomian optymalny u(x) dla f na przedziale [0,1]? Wskazówka. Zrób liniową zamianę zmiennych, żeby przejść od przedziału[ 1, 1] do przedziału[0, 1]. (b) Czy(i dlaczego) wielomian v(x) = u(x) 3x będzie wielomian optymalnym dla f(x)=x 3 3xnaprzedziale[0,1]? 67.Niech 1 f(t)dt A 1 f(x 1 )+A 2 f(x 2 ), 1 gdziex 1 = 1/ 3,x 2 =1/ 3.WyznaczwspółczynnikiA 1 ia 2 tak,bytakwadratura była dokładna dla wielmianów możliwie wysokiego stopnia. Zastosuj tę kwadraturę do obliczenia przybliżonej wartości całki oznaczonej 1 0 e t2 dt. Wskazówka. Zastosuj liniową zamianę zmiennych t =(x + 1)/2. 68. Zastosuj znane kwadratury do obliczenia przybliżonej wartości całki oznaczonej 1 0 x 3 dx, porównaj je z dokładną wartością tej całki oraz oszacuj teoretyczny błąd. 69. Co wzór trapezów ma wspólnego z interpolacją? Podaj interpretację geometryczną wzoru trapezów. Jak udowodnić wzór na błąd tej kwadratury? Omów krótko ideę dowodu. 70.Wyznaczwielomianinterpolującyfunkcjęfwwęzłacha,bi(a+b)/2.Obliczcałkę oznaczoną z tego wielomianu na przedziale[a, b]. Czy w ten sposób otrzymałeś wzór Simpsona? Krystyna Ziętak 6