POSZUKIWANIE ZER FUNKCJI F(x). Zad. 2. Korzystając z metody punktu stałego znaleźć miejsce zerowe funkcji f(x) =

Podobne dokumenty
Matematyka stosowana i metody numeryczne

1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu

1 Równania nieliniowe

RÓWNANIA NIELINIOWE Maciej Patan

ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ NIELINIOWYCH

Metody rozwiązywania równań nieliniowych

Wprowadzenie do metod numerycznych Wykład 2 Numeryczne rozwiązywanie równań nieliniowych

Wprowadzenie Metoda bisekcji Metoda regula falsi Metoda siecznych Metoda stycznych RÓWNANIA NIELINIOWE

Rozwiązywanie równań nieliniowych

Metody numeryczne Wykład 7

Laboratorium 5 Przybliżone metody rozwiązywania równań nieliniowych

METODY ROZWIĄZYWANIA RÓWNAŃ NIELINIOWYCH

Metody Numeryczne. Wojciech Szewczuk

Metody numeryczne. Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Wydział Elektrotechniki, Informatyki i Telekomunikacji Uniwersytet Zielonogórski

Równania nieliniowe. LABORKA Piotr Ciskowski

Rozwiązywanie równań nieliniowych i ich układów. Wyznaczanie zer wielomianów.

Metody numeryczne I Równania nieliniowe

Wstęp do metod numerycznych Rozwiazywanie równań algebraicznych. P. F. Góra

Rozwiązywanie równań nieliniowych i ich układów. Wyznaczanie zer wielomianów.

Obliczenia iteracyjne

x y

Iteracyjne rozwiązywanie równań

wykres funkcji pierwiastki

OBLICZANIE POCHODNYCH FUNKCJI.

Optymalizacja ciągła

Rozwiązywanie równań nieliniowych i ich układów. Wyznaczanie zer wielomianów.

Wyznaczanie miejsc zerowych funkcji

Metody Numeryczne Optymalizacja. Wojciech Szewczuk

Instrukcje pętli przykłady. Odgadywanie hasła. 1) Program pyta o hasło i podaje adres, gdy hasło poprawne lub komunikat o błędnym haśle.

Wstęp do Programowania potok funkcyjny

Wstęp do metod numerycznych 9. Minimalizacja: funkcje jednej zmiennej. P. F. Góra

Kubatury Gaussa (całka podwójna po trójkącie)

METODY NUMERYCZNE. Wykład 4. Numeryczne rozwiązywanie równań nieliniowych z jedną niewiadomą. prof. dr hab.inż. Katarzyna Zakrzewska

Metody numeryczne. Równania nieliniowe. Janusz Szwabiński.

Rzut oka na współczesną matematykę spotkanie 3: jak liczy kalkulator i o źródłach chaosu

Metody numeryczne. dr Artur Woike. Ćwiczenia nr 2. Rozwiązywanie równań nieliniowych metody połowienia, regula falsi i siecznych.

METODY NUMERYCZNE. Wykład 4. Numeryczne rozwiązywanie równań nieliniowych z jedną niewiadomą. Rozwiązywanie równań nieliniowych z jedną niewiadomą

Analiza numeryczna Kurs INP002009W. Wykład 4 Rozwiązywanie równań nieliniowych. Karol Tarnowski A-1 p.

Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania

Egzamin z Metod Numerycznych ZSI, Grupa: A

Wyznaczanie miejsc zerowych funkcji

ELEMENTY ANALIZY NUMERYCZNEJ ELEMENTY ANALIZY NUMERYCZNEJ. Egzamin pisemny zestaw 1 24 czerwca 2019 roku

Bardzo łatwa lista powtórkowa

Metody Numeryczne w Budowie Samolotów/Śmigłowców Wykład I

Elementy metod numerycznych

ELEMENTY ANALIZY NUMERYCZNEJ ELEMENTY ANALIZY NUMERYCZNEJ. Egzamin pisemny zestaw 1 26 czerwca 2017 roku

Egzamin z Metod Numerycznych ZSI, Egzamin, Gr. A

y f x 0 f x 0 x x 0 x 0 lim 0 h f x 0 lim x x0 - o ile ta granica właściwa istnieje. f x x2 Definicja pochodnych jednostronnych

Wybrane metody przybliżonego. wyznaczania rozwiązań (pierwiastków) równań nieliniowych

Lab 10. Funkcje w argumentach funkcji metoda Newtona. Synonimy nazw typów danych. Struktury. Tablice struktur.

Informatyka A. Algorytmy

Zagadnienia - równania nieliniowe

Metody numeryczne. materiały do wykładu dla studentów

Wykresy i własności funkcji

INFORMATYKA ELEMENTY METOD NUMERYCZNYCH.

Układy równań nieliniowych (wielowymiarowa metoda Newtona-Raphsona) f(x) = 0, gdzie. dla n=2 np.

Metody numeryczne. Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Wydział Elektrotechniki, Informatyki i Telekomunikacji Uniwersytet Zielonogórski

Analiza numeryczna kolokwium2a-15grudnia2005

PRZYBLI ONE METODY ROZWI ZYWANIA RÓWNA

Całkowanie numeryczne przy użyciu kwadratur

Wstęp do metod numerycznych 9. Rozwiazywanie równań algebraicznych. P. F. Góra

Materiały wykładowe (fragmenty)

Wstęp do metod numerycznych Zadania numeryczne 2016/17 1

ROZWIĄZYWANIE UKŁADÓW RÓWNAŃ NIELINIOWYCH PRZY POMOCY DODATKU SOLVER PROGRAMU MICROSOFT EXCEL. sin x2 (1)

Metody Obliczeniowe w Nauce i Technice

22 Pochodna funkcji definicja

1. Znajdowanie miejsca zerowego funkcji metodą bisekcji.

Zadanie 1. Korale (8 pkt) Rozważamy następującą rekurencyjną procedurę Korale, której parametrem jest dodatnia liczba całkowita n.

Wstęp do metod numerycznych 11. Minimalizacja: funkcje jednej zmiennej. P. F. Góra

Metody iteracyjne rozwiązywania układów równań liniowych (5.3) Normy wektorów i macierzy (5.3.1) Niech. x i. i =1

Materiały wykładowe (fragmenty)

Rozwiązywanie układów równań liniowych metody przybliżone Materiały pomocnicze do ćwiczeń z metod numerycznych

Metody Numeryczne. Laboratorium 1. Wstęp do programu Matlab

Algorytmy obliczeniowe

Numeryczne rozwiązywanie równań i układów równań

Równania nieliniowe, nieliniowe układy równań, optymalizacja

Analiza numeryczna Kurs INP002009W. Wykład 8 Interpolacja wielomianowa. Karol Tarnowski A-1 p.223

dr inż. Damian Słota Gliwice r. Instytut Matematyki Politechnika Śląska

Zajęcia nr 1: Zagadnienia do opanowania:

VIII. Zastosowanie rachunku różniczkowego do badania funkcji. 1. Twierdzenia o wartości średniej. Monotoniczność funkcji.

Obliczenia Naukowe i Metody Numeryczne. Laboratorium Komputerowe lista 4 5 października 2012

Matematyka stosowana i metody numeryczne

1 Metody iteracyjne rozwi zywania równania f(x)=0

1 Funkcja wykładnicza i logarytm

Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria

Wstęp do programowania INP001213Wcl rok akademicki 2018/19 semestr zimowy. Wykład 5. Karol Tarnowski A-1 p.

Z52: Algebra liniowa Zagadnienie: Zastosowania algebry liniowej Zadanie: Operatory różniczkowania, zagadnienie brzegowe.

Metody systemowe i decyzyjne w informatyce

ZADANIA OPTYMALIZCJI BEZ OGRANICZEŃ

Pochodna funkcji. Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji.

ROZKŁAD MATERIAŁU DO II KLASY LICEUM (ZAKRES ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ.

Metody Obliczeniowe w Nauce i Technice

Analiza Matematyczna MAEW101 MAP1067

1 Pochodne wyższych rzędów

Wykład 11. Informatyka Stosowana. Magdalena Alama-Bućko. 18 grudnia Magdalena Alama-Bućko Wykład grudnia / 22

Analiza matematyczna 2 zadania z odpowiedziami

Opracowanie: mgr Jerzy Pietraszko

ANALIZA MATEMATYCZNA 2 zadania z odpowiedziami

IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych,

Analiza Matematyczna MAEW101

Transkrypt:

POSZUKIWANIE ZER FUNKCJI F(x). Metoda punktu stałego f(x) = x g(x) = 0 i szukamy punktu stałego wyrażenia x = g(x). Algorytm metody: x 0 =... for k = 1, 2,... x k = g(x k 1 ) if (znaleziono zero funkcji), stop Zad. 1. Korzystając z metody punktu stałego znaleźć miejsce zerowe funkcji f(x) = x e x. Jako punkt startowy przyjąć p 0 = 0.5. Obliczyć trzy pierwsze przybliżenia p 1, p 2, p 3. Porównać je z wartością dokładną P = 0.5271. Zad. 2. Korzystając z metody punktu stałego znaleźć miejsce zerowe funkcji f(x) = 4 + 3x 0.5x 2. Pokazać, że punkty P = 2, P = 4 są punktami stałymi funkcji g(x). A) Obliczyć trzy pierwsze przybliżenia p 1, p 2, p 3 dla punktu startowego p 0 = 1.9 i przedziału [1,3]; B) obliczyć trzy pierwsze przybliżenia p 1, p 2, p 3 dla punktu startowego p 0 = 3.8 i przedziału [3,5]. Zad. 3. Pokazać, że funkcje g 1 (x) = x 1 3 + 2, g 2 (x) = (x 2) 3, g 3 (x) = 6 + 2x 1 3 są 3 x 2 3 funkcjami iteracyjnymi w metodzie punktu stałego funkcji f(x) = x x 1 3 2. Obliczyć trzy pierwsze przybliżenia p 1, p 2, p 3 startując z punktu p 0 = 3.0. Obliczyć wartości bezwzględne funkcji g 1, g 2, g 3 na przedziale [3,4]. Obliczyć błąd względny kolejnych iteracji E(p k ) = p k p k 1 p k. function [k,p,err,p] = fixpt(g,p0,tol,max1) g - iterowana funkcja (podana w oddzielnym m-file u) p0 - startowy punkt iteracji tol - dokladnosc iteracji max1 - maksymalna liczba iteracji k - numer iteracji przy ktorym osiagnieto zakladana dokladnosc p - obliczony punkt staly (miejsce zerowe) err - osiagniety blad bezwzgledny P - wektor kolejnych wartosci punktow \{pk\} P(1)=p0; for k:=2:max1 P(k)=feval(g,P(k-1)); err=abs(p(k)-p(k-1)); Metody numeryczne lista nr 4 1

relerr=err/(abs(p(k))+eps); p=p(k); if (err<tol) (relerr<tol),break, if k==max1 disp( przekroczono maksymalna liczbe iteracji ) P=P ; Metoda bisekcji Zad. 4. Funkcja f(x) = x sin(x) jest określona na przedziale [0,2]. Korzystając z metody bisekcji wyznaczyć a [0, 2] takie, że f(a) = 1. Zad. 5. Dla podanej funkcji f(x) wyznacz początkowy przedział wartość [a, b] tak, aby f(a) f(b) < 0: A) f(x) = e x 2 x, B) f(x) = cos(x) + 1 x. Zad. 6. Dla funkcji danych f(x) wyznacz cztery pierwsze wartości punktów środkowych c 0, c 1, c 2, c 3 : A) ln(x) 5 + x = 0, [a 0, b 0 ] = [3.2, 4.0], B) x 2 10x + 23 = 0, [a 0, b 0 ] = [6.0, 7.0]. Korzystając ze wzoru dokładność wyznaczonego miejsca zerowego E = b 0 a 0 2 n wyznacz ilość potrzebnych iteracji N, aby znaleźć w obu przypadkach miejsce zerowe z dokładnością E = 10 4. function [c,err,yc] = bisect(f,a,b,delta) f - iterowana funkcja (podana w oddzielnym m-file u) a - poczatek przedzialu b - koniec przedzialu delta - dokladnosc iteracji c - miejsce zerowe funkcji f(x) err - osiagniety blad bezwzgledny yc - wartosc funkcji w punkcie c ya=feval(f,a); yb=feval(f,b); if ya*yb>0, break, max1=1+round((log(b-a)-log(delta))/log(2)); c=(a+b)/2; yc=feval(f,c); Metody numeryczne lista nr 4 2

if yc==0 a=c; b=c; elseif yb*yc>0 b=c; yb=yc; else a=c; ya=yc; if (b-a)<delta, break, c=(a+b)/2; err=abs(b-a); yc=feval(f,c); Metoda Newtona f(x) = x g(x) = 0 i rozwiązujemy problem x = g(x). Funkcja g(x) = x f(x)/f (x). Zad. 7. Korzystając z metody Newtona znajdź formułę na miejsce zerowe funkcji f(x) = x 2 A, gdzie A > 0 i p 0 > 0. Startując z p 0 = 2 oblicz wartości czterech kolejnych przybliżeń p 1, p 2, p 3, p 4 dla A = 5. Zad. 8. Dla funkcji f(x) = x 2 x + 2: B) startując z punktu p 0 = 1.5 znajdź kolejne przybliżenia p 1, p 2, p 3 ; C) oblicz wartości g (p k ) w punktach p 1, p 2, p 3 ; D) wyznacz wartości różnic kolejnych przybliżeń E(p k ) = p k p k 1. Zad. 9. Dla funkcji f(x) = (x 2) 2 : B) startując z punktu p 0 = 2.2 znajdź kolejne przybliżenia p 1, p 2, p 3 ; C) oblicz wartości g (p k ) w punktach p 1, p 2, p 3 ; D) wyznacz wartości różnic kolejnych przybliżeń E(p k ) = p k p k 1. Zad. 10. Dla funkcji f(x) = x e x : B) startując z punktu p 0 = 0.2 znajdź kolejne przybliżenia p 1, p 2, p 3 ; do jakiej wartości zbiega szereg {p k }? C) startując z punktu p 0 = 2.0 znajdź kolejne przybliżenia p 1, p 2, p 3 ; do jakiej wartości zbiega szereg {p k }? Metody numeryczne lista nr 4 3

function [p0,err,k,y]=newton(f,df,p0,delta,epsilon,max1) f - iterowana funkcja (podana w oddzielnym m-file u) df - pochodna iterowanej funkcji p0 - startowy punkt iteracji delta - dokladnosc iteracji punktu p0 epsilon - dokladnosc iteracji wartosci funkcji f(x) max1 - maksymalna liczba iteracji p0 - miejsce zerowe funkcji f(x) err - osiagniety blad bezwzgledny k - numer iteracji przy ktorym osiagnieto zakladana dokladnosc y - wartosc funkcji w punkcie p0 p1=p0-feval(f,p0)/feval(df,p0); err=abs(p1-p0); relerr=2*err/(abs(p1)+delta); p0=p1; y=feval(f,p0); if (err<delta) (relerr<delta) (abs(y)<epsilon), break, Metoda siecznych f(x) = x g(x) = 0 i rozwiązujemy problem x = g(x). Funkcja g(p k, p k 1 ) = p k f(p k ) (p k p k 1 )/(f(p k ) f(p k 1 )). Zad. 11. Startując z punktów p 0 = 2.6 i p 1 = 2.4 i stosując metodę siecznych wyznacz kolejne wartości punktów p 2, p 3, p 4 dla funkcji f(x) = x 3 3x + 2. Zad. 12. Zastosować metodę siecznych do zad. 1 i zad. 2 przyjmując jako punkty początkowe metody wartości p 0 i p 1. Porównać otrzymane przybliżenia miejsc zerowych obiema metodami. Metody numeryczne lista nr 4 4

function [p1,err,k,y]=sieczne(f,p0,p1,delta,epsilon,max1) f - iterowana funkcja (podana w oddzielnym m-file u) p0 - pierwszy startowy punkt iteracji p1 - drugi startowy punkt iteracji delta - dokladnosc iteracji punktu p0 epsilon - dokladnosc iteracji wartosci funkcji f(x) max1 - maksymalna liczba iteracji p1 - miejsce zerowe funkcji f(x) err - osiagniety blad bezwzgledny k - numer iteracji przy ktorym osiagnieto zakladana dokladnosc y - wartosc funkcji w punkcie p1 p2=p1-feval(f,p1)*(p1-p0)/(feval(f,p1)-feval(f,p0)); err=abs(p2-p1); relerr=2*err/(abs(p2)+delta); p0=p1; p1=p2; y=feval(f,p1); if (err<delta) (relerr<delta) (abs(y)<epsilon), break, Metody numeryczne lista nr 4 5