Derywacje. Spis treści

Derywacje Andrzej Nowicki Uniwersytet Mikołaja Kopernika, Wydział Matematyki i Informatyki, ul. Chopina 12 18, 87 100 Toruń (e-mail: anow@mat.uni.torun.pl) Maj 1995 Spis treści 1 Derywacje algebr ogólnych 1 1.1 Pojęcia wstępne........................................ 1 1.2 Szeregi z podzielonymi potęgami.............................. 1 1.3 Funktor prawostronnie sprzężony do funktora zapominania............... 3 2 Wielomiany różniczkowe i ciała różniczkowe 5 2.1 Pierścień wielomianów różniczkowych............................ 5 2.2 Twierdzenie Ritta-Raudenbusha.............................. 5 2.3 Rozszerzeniach ciał różniczkowych............................. 6 2.4 Rozszerzenia uniwersalne i silnie-normalne......................... 7 2.5 Ciała różniczkowo domknięte................................ 7 2.6 Różniczkowe twierdzenie Hilberta o zerach......................... 8 3 Różniczkowa teoria Galois 9 3.1 Pojęcia wstępne........................................ 9 3.2 Problemy różniczkowej teorii Galois............................ 9 3.3 Ogólne fakty......................................... 10 3.4 Wrońskiany.......................................... 10 3.5 Pierścień wielomianów różniczkowych............................ 10 3.6 Rozszerzenia Picarda-Vessiot................................ 11 3.7 Główne twierdzenia o PV-rozszerzeniach.......................... 11 3.8 Dwa specjalne przypadki................................... 12 3.9 Rozszerzenia Liouville a................................... 14 Spis cytowanej literatury 15 i

1. Derywacje algebr ogólnych 1 1 Derywacje algebr ogólnych 1.1 Pojęcia wstępne Niech k będzie pierścieniem przemiennym z 1. Algebrą ogólną nad k lub k-algebrą ogólną nazywamy każdy lewy k-moduł A wraz z odwzorowaniem k-dwuliniowym (, ) : A A A, zwanym mnożeniem. Jeśli A jest k-algebrą ogólną, to element postaci (x, y), gdzie x, y A, zapisujemy jako xy. Dwuliniowość mnożenia oznacza, że: (αx)y = α(xy) = x(αy), (x + y)z = xz + yz, z(x + y) = zx + zy, dla wszystkich x, y, z A, α k. Algebrą ogólną jest w szczególności każda k-algebra przemienna z jedynką lub k-algebra łączna lub k-algebra Liego. Homomorfizmem ogólnych k-algebr A i B nazywamy każde odwzorowanie k-liniowe f : A B takie, że f(xy) = f(x)f(y), dla wszystkich x, y A. Niech A będzie k-algebrą ogólną. Każde k-liniowe odwzorowanie d : A A, spełniające warunek nazywamy k-derywacją k-algebry A. d(ab) = d(a)b + ad(b), dla a, b A, Jeśli i 1,..., i s są nieujemnymi liczbami całkowitymi, to przez i 1,..., i s oznaczamy nieujemną liczbę całkowitą, zwaną liczbą Newtona, zdefiniowaną wzorem i 1,..., i s = (i1+ +is)! i 1! i s!. Poniższy wzór, zwany wzorem Leibniza, jest dobrze znany w przypadku przemiennym lub łącznym. Jego dowód jest standardowym sprawdzeniem. Stwierdzenie 1.1.1. Jeśli d jest k-derywacją ogólnej k-algebry A, to d n (xy) = i, j d i (x)d j (y), dla wszystkich n 0, x, y A. i+j=n Suma i iloczyn Liego dwóch k-derywacji są k-derywacjami. Jeśli d jest k-derywacją i α k, to αd jest k-derywacją. Jeśli algebra A posiada jedynkę, to dla każdej k-derywacji d tej algebry zachodzi równość d(1) = 0. Każdą parę postaci (A, d), gdzie A jest ogólną k-algebrą i d jest jej k-derywacją, nazywamy k- algebrą różniczkową (ogólną). Homomorfizmem k-algebr różniczkowych (A, d A ) i (B, d B ) nazywamy każdy k-algebrowy homomorfizm f : A B taki, że d B f = fd A. Złøżenie homomorfizmów jest homomorfizmem. Odwzorowanie tożsamościowe jest homomorfizmem. Zmierzamy do wykazania, że istnieje funktor z kategorii k-algebr ogólnych do kategorii k-algebr różniczkowych, który jest prawostronnie sprzężony do funktora zapominania (A, d) A. 1.2 Szeregi z podzielonymi potęgami Niech A będzie algebrą ogólną nad pierścieniem k (przemiennym z jedynką). Niech A = At n

1. Derywacje algebr ogólnych 2 będzie produktem przeliczalnej ilości k-modułu A, tzn. k-modułem wszystkich ciągów (x 0, x 1,... ), o wyrazach należących do A. Ciąg postaci (x 0, x 1,... ) oznaczać będziemy przez x nt n. Dodawanie i mnożenie przez skalar w A są więc określone następująco: x n t n + y n t n = (x n + y n )t n, Określamy w A mnożenie przyjmując α x n t n = (αx n )t n. x n t n y n t n = z n t n, gdzie z n = i+j=n i, j x i y j. Stwierdzenie 1.2.1. Moduł A, wraz z powyższym mnożeniem, jest k-algebrą ogólną. Odwzorowanie A A, x xt 0 + 0t 1 + 0t 2 +, jest k-algebrową injekcją. Algebrę A nazywamy algebrą szeregów z podzielonymi potęgami algebry A. Stwierdzenie 1.2.2. Jeśli algebra A jest łączna lub przemienna lub z jedynką lub Liego, to tę samą własność ma algebra A. Dowód. Jeśli p, q, j są nieujemnymi liczbami całkowitymi, to p + q, j p, q = p, q, j. Stąd wynika, że jeśli x = x n t n, y = y n, z = z n są elementami należącymi do A, to (xy)z = an t n, x(yz) = b n t n, gdzie a n = p+q+j=n p, q, j (x p y q )z j, b n = p+q+j=n p, q, j x p (y q z j ). Jeżeli więc algebra A jest łączna, to a n = b n (dla wszystkich n) i stąd (xy)z = x(yz). Jest oczywiste, że jeśli A jest przemienne, to A również. Jeśli A posiada jedynkę, to element 1t 0 jest jedynką w A. Załóżmy teraz, że A jest algebrą Liego. Z powyższych wzorów wynika, że każde trzy elementy x, y, z A spełniają równość Jacobiego. Równość xx = 0, dla x = x n t n A, wynika z równości Zatem A jest k-algebrą Liego. i, i x i x i = 0, i, j x i x j + j, i x j x i = i, j (x i x j + x j x i ) = 0. Pewne własności i zastosowania algebr szeregów z podzielonymi potęgami w przypadku przemiennym opisane są w [7] 79-105, [2] oraz AlgHom 3 251-269 i 302-308, D 4 54-61, 96-124, 131-175. Lemat 1.2.3. Jeśli x 0, x 1,..., y 0, y 1,... są elementami k-algebry ogólnej A, to dla każdej nieujemnej liczby całkowitej n zachodzi równość i, j x i y j = p, q (x p+1 y q + x p y q+1 ). i+j=n+1 p+q=n Dowód. Sprawdzamy to tak samo jak w sytuacji przemiennej. Patrz D 4 112. Niech δ A : A A będzie odwzorowaniem określonym wzorem δ A ( x n t n ) = x n+1 t n.

1. Derywacje algebr ogólnych 3 Stwierdzenie 1.2.4. Odwzorowanie δ A jest k-derywacją k-algebry A. Dowód. Liniowość odwzorowania δ A jest oczywista. Niech x, y A i niech x = x n t n, y = yn t n. Pokażemy, że δ A (xy) = δ A (x)y + xδ A (y). W tym celu wykorzystamy poprzedni lemat. Sprawdzamy: ( ( ) ) δ A (xy) = δ A n i+j=n i, j x iy j t n = ( ) n i+j=n+1 i, j x iy j t n = ( ) n i+j=n i, j (x i+1y j + x i y j+1 ) = ( ) n i+j=n i, j x i+1y j t n + n = n x n+1t n n y nt n + n x nt n n y n+1t n = δ A (x)y + xδ A (y). t n ( i+j=n i, j x iy j+1 ) t n Niech (A, d) będzie ogólną k-algebrą różniczkową. Definiujemy odwzorowanie η (A,d) : (A, d) (A, δ A ), x d n (x)t n. Stwierdzenie 1.2.5. Odwzorowanie η (A,d) jest homomorfizmem k-algebr różniczkowych. Dowód. Niech η = η (A,d) i niech a, b A. Pokażemy, że η(ab) = η(a)η(b) oraz ηd = δ A d. Pierwsza równość wynika ze wzoru Leibniza: η(ab) = n dn (ab)t n = ( ) n i+j=n i, j di (a)d j (b) = n dn (a)t n n dn (b)t n = η(a)η(b). Sprawdzamy drugą równość: t n ηd(a) = n dn+1 (a)t n = δ A ( n dn (a)t n ) = δ A η(a). 1.3 Funktor prawostronnie sprzężony do funktora zapominania Niech Alg k, DAlg k oznaczają odpowiednio kategorię ogólnych k-algebr i kategorię ogólnych k-algebr różniczkowych. Niech F : DAlg k Alg k, (A, d) A, będzie funktorem zapominania. Zdefiniujemy teraz funktor G : Alg k DAlg k. Jeśli A jest ogólną k-algebrą, to przyjmujemy G(A) = (A, δ A ), gdzie A jest algebrą szeregów z podzielonymi potęgami algebry A oraz δ A : A A jest k-derywacją wprowadzoną w poprzednim podrozdziale, tzn. δ A ( n x nt n ) = n x n+1t n. Jeśli f : A B jest homomorfizmem ogólnych k-algebr, to przyjmujemy G(f) = f, gdzie f : A B, x n t n f(x n )t n. n n Łatwo sprawdzić, że f jest homomorfizmem k-algebr różniczkowych G(A) = (A, δ A ) i G(B) = (B, δ B ).

1. Derywacje algebr ogólnych 4 Twierdzenie 1.3.1 (D 4 116). Funktor G : Alg k DAlg k jest prawostronnie sprzężony do funktora zapominania F : DAlg k Alg k. Innymi słowy: jeśli (A, d) jest różniczkową k-algebrą i B jest k- algebrą ogólną, to istnieje naturalny izomorfizm α DAlg k ((A, d), G(B)) Alg k (F (A, d), B). β Dowód. Jeśli B jest ogólną k-algebrą, to przez ε B : B B oznaczamy k-algebrowy homomorfizm określony wzorem n x nt n x 0. Przypomnijmy, że jeśli (A, d) jest k-algebrą różniczkową, to η (A,d) : (A, d) (A, δ A ), x d n (x)t n jest homomorfizmem różniczkowych k-algebr (patrz poprzedni podrozdział). Przyporządkowania α, β definiujemy w następujący sposób. Niech f : (A, d) G(B) = (B, δ B ) będzie homomorfizmem różniczkowych k-algebr. Wtedy przyjmujemy: α(f) = ε B F (f). Jeśli g : F (A, d) = A B jest homomorfizmem ogólnych k-algebr, to przyjmujemy: β(g) = G(g) η (A,d). Pokażemy, że funkcje α i β są wzajemnie odwrotne. Niech η = η (A,d), ε = ε B i niech a A. Wtedy: αβ(g)(a) = α(g(g)η)(a) = εf (G(g)η)(a) = ε(g(g)(η(a))) = εg(g)( n dn (a)t n ) = ε( n gdn (a)t n ) = gd 0 (a) = g(a). Zatem złożenie αβ jest tożsamością. Niech teraz f(a) = n f n(a)t n, gdzie elementy postaci f n (a) należą do B. Zauważmy, że wtedy δ n B f(a) = p f n+p(a)t p. Mamy więc: βα(f)(a) = β(εf (f))(a) = G(εF (f))η(a) = G(εF (f))( n dn (a)t n ) = n (εf (f)dn (a))t n = n (εfdn (a))t n = n (εδn B f(a))t n = n (εδn B ( p f p(a)t p ))t n = n (ε( p f n+p(a)t p ))t n = n f n(a)t n = f(a). Zatem złożenie βα jest również tożsamością. Naturalność funkcji α i β sprawdza się w standardowy sposób (szczegóły są w D 4 119 124). Powyższe konstrukcje i dowody oraz Stwierdzenie 1.2.2 świadczą o tym, że Twierdzenie 1.3.1 zachodzi także, gdy parę kategorii (DAlg k, Alg k ) zastąpimy parą kategorii k-algebr specjalnego typu. Wniosek 1.3.2. Niech Alg k będzie jedną z następujących kategorii k-algebr (a) łącznych, (b) łącznych z jedynką, (c) przemiennych, (d) Liego. Niech DAlg k będzie odpowiednią kategorią k-algebr różniczkowych. Wtedy funktor G : Alg k DAlg k jest prawostronnie sprzężony do funktora zapominania F : DAlg k Alg k.

2. Wielomiany różniczkowe i ciała różniczkowe 5 2 Wielomiany różniczkowe i ciała różniczkowe Na podstawie [3], [4], [1], [5], [6], D 1 -D 11, DC 1, PH 3. Algebra różniczkowa, to dział algebry rozpatrujący obiekty, w których obok operacji dodawania i mnożenia występują operacje różniczkowania. Algebra różniczkowa zajmuje się między innymi pierścieniami różniczkowymi, modułami różniczkowymi, ciałami różniczkowymi, a także różniczkowymi rozmaitościami algebraicznymi. Wielomian różniczkowy, to jeden z głównych obiektów algebry różniczkowej; odpowiednik zwykłego wielomianu w algebrze przemiennej. Przypomnijmy, że algebrą Ritta nazywamy każdy różniczkowy pierścień (przemienny) zawierający ciało Q liczb wymiernych. 2.1 Pierścień wielomianów różniczkowych Jeśli (R, d) jest pierścieniem różniczkowym, to przez R{y} oznaczamy pierścień wielomianów różniczkowych jednej zmiennej y nad R. Pierścień ten jest zwykłym pierścieniem wielomianów przeliczalnej ilości zmiennych y (0) = y, y (1), y (2),... nad R. Posiada on standardową derywację d, będącą rozszerzeniem derywacji d : R R taką, że d(y (n) ) = y (n+1). Pierścień wielomianów różniczkowych nad R zmiennych y 1,... y n (który oznacza się przez R{y 1,..., y n }) definiuje się indukcyjnie przyjmując R{y 1,..., y n } = R{y 1,..., y n 1 }{y n }. Jeśli K jest ciałem, to ciało ułamków pierścienia K{y 1,..., y n } oznacza się przez K y 1,..., y n. W szczególności K y jest ciałem ułamków pierścienia K{y}. Stwierdzenie 2.1.1 (DC 1 70). Jeśli K jest różniczkowym ciałem charakterystyki zero, to K{y 1,..., y n } d = K y 1,..., y n d = K d. 2.2 Twierdzenie Ritta-Raudenbusha Twierdzenie, o którym teraz powiemy jest różniczkową wersją twierdzenia Hilberta o bazie. Nie jest prawdą, że jeśli R jest różniczkowym pierścieniem, w którym każdy wstępujący ciąg ideałów różniczkowych stabilizuje sią, to R{y} jest również takim pierścieniem. Nie jest to prawdą nawet wtedy, gdy R jest różniczkowym ciałem. W tym przypadku mamy na przykład następujący ciąg ideałów różniczkowych, który nie stabilizuje się. [y 2 ] [y 2, d(y) 2 ] [y 2, d(y) 2, d 2 (y) 2 ].... Przez [A] oznaczamy najmniejszy ideał różniczkowy zawierający zbiór A. Mówimy, że różniczkowy pierścień R jest radykalnie różniczkowo noetherowski (w skrócie: RRN) jeśli każdy wstępujący ciąg radykalnych ideałów różniczkowych stabilizuje się. Twierdzenie 2.2.1 (Ritta-Raudenbusha, [1] 45, D 1 222). R{y} również jest RRN. Niech R jest RRN algebrą Ritta, to Każdy zwykły pierścień przemienny jest pierścieniem różniczkowym (z zerową derywacją). Z dowodu powyższego twierdzenia można uzyskać następujący wniosek. Wniosek 2.2.2. Jeśli R jest zwykłym radykalnie noetherowskim pierścieniem przemiennym zawierającym Q, to pierścień zwykłych wielomianów R[X] jest radykalnie noetherowski.

2. Wielomiany różniczkowe i ciała różniczkowe 6 Zanotujmy również: Wniosek 2.2.3. Jeśli K jest różniczkowym ciałem charakterystyki zero, to K{y 1,..., y n } jest RRN. W pierścieniu RRN każdy radykalny ideał różniczkowy jest przekrojem skończonej ilości pierwszych ideałów różniczkowych. Rozkład nieskracalny jest jednoznaczny. 2.3 Rozszerzeniach ciał różniczkowych Przez ciało różniczkowe rozumie się w ogólnym przypadku parę (K, ), w której K jest ciałem, a jest zbiorem derywacji ciała K. Mówimy, że ciało różniczkowe (L, ) jest rozszerzeniem różniczkowego ciała (K, ), jeśli K L oraz K =, tzn. = {δ K; δ }. W tym przypadku mówimy również, że ciało różniczkowe (K, ) jest różniczkowym podciałem różniczkowego ciała (L, ). Zbiór oznaczać będziemy też przez. Przez cały czas zakładać będziemy, że każdy zbiór postaci jest przemienny. Niech K L będzie rozszerzeniem ciał różniczkowych. Przekrój dowolnej ilości różniczkowych podciał jest różniczkowym podciałem. Jeśli Σ jest podzbiorem ciała L, to przez K Σ ozanczamy najmniejsze podciało różniczkowe w L zawierające K i Σ. Mówimy w tym przypadku, że K Σ jest różniczkowym rozszerzeniem ciała K generowanym przez Σ. Jeśli Σ jest zbiorem skończonym, to mówimy o rozszerzeniu skończenie generowanym. Jeśli natomiast Σ jest zbiorem jednoelementowym, to mówimy o rozszerzeniu pojedyńczym. Złożeniem różniczkowych podciał K 1 i K 2 nazywamy różniczkowe podciało K 1 K 2 = K 1 K 2 = K 2 K 1. Niech Θ będzie wolną półgrupą przemienną o bazie. Elementy półgrupy Θ nazywa się operatorami różniczkowymi. Niech A będzie podzbiorem różniczkowego ciała L K. Mówimy, że zbiór A jest różniczkowo algebraicznie zależny nad K, jeśli zbiór {θa; a A, θ Θ} jest algebraicznie zależny nad K. W przeciwnym wypadku mówimy o różniczkowo algebraicznej niezależności W podobny sposób definiuje się zależnoćć (lub niezależność) różniczkowo rozdzielczą. Dla rozszerzeń ciał różniczkowych istnieje następujący analog twierdzenia Abela o elemencie prymitywnym. Twierdzenie 2.3.1 ([5] 4 900). Jeśli K K a 1,..., a s jest różniczkowo algebraicznym rozszerzeniem rozdzielczym, to istnieje element b taki, że K a 1,..., a s = K b. Istnieje również analog twierdzenia Lürotha (w przypadku, gdy zbiór jest jednoelementowy). Twierdzenie 2.3.2 ([5] 4 900). takie, że M = K b. Jeśli K M K a są różniczkowymi ciałami, to istnieje b M Załóżmy, że K jest różniczkowym ciałem charakterystyki zero z jedną derywacją. Niech f K{y} będzie nieprzywiedlnym wielomianem różniczkowym jednej zmiennej. Załóżmy ponadto, że a, b są elementami pewnego ciała różniczkowego zawierającego K takimi, że f(a) = f(b) = 0. Następujące pytanie, to tzw. problem Ritta. Pytanie 2.3.3. Czy istnieje różniczkowy K-izomorfizm K a K b? Jeśli f jest wielomianem rzędu co najwyżej 2 (tzn. w wielomianie f nie występują zmienne y (s), dla S > 2), to odpowiedź na to pytanie jest pozytywna. Udowodnił to Ritt. Znane są różne dowody tego faktu. Istnieją też pewne drobne uogólnienia wyniku Ritta (B. Lando, R. M. Cohn). Problem jest jednak nadal otwarty.

2. Wielomiany różniczkowe i ciała różniczkowe 7 2.4 Rozszerzenia uniwersalne i silnie-normalne Zakładamy, że K jest różniczkowym ciałem charakterystyki zero (ze skończonym zbiorem, parami przemiennych derywacji). Jeśli K L jest różniczkowo skończenie generowanym rozszerzeniem ciał różniczkowych, to fakt ten zapisujemy jako K fg L. Definicja 2.4.1 ([6]). Mówimy, że rozszerzenie ciał różniczkowych K U jest uniwersalne (co zapisujemy jako K u U ) jeśli dla każdego rozszerzenia ciał różniczkowych K fg F U oraz dla każdego F fg G istnieje ciało różniczkowe F takie, że K F F U i F G nad F. Twierdzenie 2.4.2 ([5] 4 900). Dla każdego różniczkowego ciała K charakterystyki zero istnieje różniczkowe rozszerzenie uniwersalne K u U. Niech U będzie ustalonym uniwersalnym ciałem różniczkowym charakterystyki zero i niech K będzie jego ciałem stałym. Załóżmy, że M jest ciałem różniczkowym zawartym w U i σ : M U jest różniczkowym homomorfizmem. Definicja 2.4.3 ([5] 4 902). Mówimy, że homomorfizm σ jest silny jeśli: (1) σ(a) = a, dla wszystkich a M, (2) σ(m) KM, (3) M Kσ(M). Definicja 2.4.4 ([5] 4 902). Niech L M U będzie rozszerzeniem ciał różniczkowych. Mówimy, że rozszerzenie L M jest silnie-normalne jeśli: (a) L fg L, (b) każdy L-homomorfizm różniczkowy z M do U jest silny. Rozszerzenia silnie-normalne odgrywają pewną rolę w różniczkowej teorii Galois. Wyjaśnimy to później. Załóżmy teraz, że L M U jest rozszerzeniem ciał różniczkowych charakterystyki zero, przy czym rozszerzenie L U jest uniwersalne. Można udowodnić, że jeśli rozszerzenie L M jest różniczkowo skończenie generowane lub jest różniczkowo algebraiczne, to rozszerzenie M U jest uniwersalne. Twierdzenie 2.4.5 (Kolchin 1980, [6] 82). rozszerzenie M U jest uniwersalne. 2.5 Ciała różniczkowo domknięte Na podstawie [6], PH 3 91. Jeśli rozszerzenie L M jest silnie-normalne, to Z ciałami różniczkowo domkniętymi były i są nadal problemy. Ciała te pojawiły się w pracach Ritta i Seidenberga. W 1959 roku A. Robinson pokazał, na gruncie teorii logiki, że ciała różniczkowe dopuszczają modelowe dopełnienia. Podał definicję ciała różniczkowo domkniętego. Aksjomatykę takiego ciała podał L. Blum w 1977. Definicja 2.5.1 ([6] 82). Niech K będzie ciałem różniczkowym charakterystyki zero. Mówimy, że ciało K jest różniczkowo domknięte jeśli dowolny system składający się z równania różniczkowego P (y) = 0 rzędu n (gdzie P (y) K{y}) i nierówności postaci Q(y) 0, gdzie Q(y) jest wielomianem różniczkowym należącym do K{y} rzędu ostro mniejszego od n, ma rozwiązanie w K. Dzięki wynikom prac F. Bluma, P. Bluma i S. Shelah a z lat siedemdziesiątych można było wprowadzić pojęcie różniczkowego domknięcia danego różniczkowego ciała charakterystyki zero. Definicja 2.5.2 ([6] 82). Różniczkowym domknięciem różniczkowego ciała K nazywamy rożniczkowe ciało K takie, że: (1) K K jest rozszerzeniem ciał różniczkowych, (2) ciało K jest różniczkowo domknięte, (3) jeśli Ω jest różniczkowo domkniętym ciałem różniczkowym zawierającym K, to istnieje K- homomorfizm różniczkowy K Ω.

2. Wielomiany różniczkowe i ciała różniczkowe 8 Definicja 2.5.3 ([6] 82). Mówimy,,ze różniczkowe domknięcie K jest minimalne jeśli nie istnieje różniczkowy K-homomorfizm σ : K L K, gdzie L K. Przypuszczano najpierw (G. E. Sacks 1972), że każde różniczkowe domknięcie jest minimalne. Tak jednak w ogólności nie jest. W 1973 roku Kolchin, Shelah i Rosenlicht pokazali niezależnie, że różniczkowe domknięcie ciała Q, liczb wymiernych, nie jest minimalne. M. F. Singer (lata siedemdziesiąte) udowodnił, że różniczkowe ciała rzeczywiste uporządkowane posiadają różniczkowe domknięcia i domknięcia te są minimalne. Powyższe wyniki dotyczą charakterystyki zero. Istnieją prace (np. C. Wood 1974) o podobnej tematyce dla ciał charakterystyki dodatniej. Istnieją w tym przypadku różniczkowe domknięcia, ale nie można mówić o minimalności. 2.6 Różniczkowe twierdzenie Hilberta o zerach Zakładamy, że K jest różniczkowym ciałem charakterystyki zero, którego ciało stałych jest algebraicznie domknięte. Zakładamy ponadto, że Ω jest uniwersalnym ciałem różniczkowym zawaierającym ciało K. Jeśli A jest podzbiorem pierścienia K{y 1,..., y n }, to przez V(A) oznaczmy podzbiór w Ω n zdefiniowany jako V(A) = {a Ω n ; f A f(a) = 0}. Jest oczywiste, że V(A) = V((A)) = V([A]) = V({A}), gdzie (A) jest ideałem generowanym przez A, [A] jest najmniejszym ideałem różniczkowym zawierającym A oraz {A} jest najmniejszym radykalnym ideałem różniczkowym zawierającym A. Z twierdzenia Ritta-Raudenbusha (tzn. z różniczkowego twierdzenia Hilberta o bazie) wynika, że istnieje skończony podzbiór A A taki, że V(A) = V(A ). Rodzina wszystkich zbiorów postaci V(A), gdzie A K{y 1,..., y n }, spełnia wszystkie aksjomaty rodziny zbiorów domkniętych. Mamy zatem topologię na zbiorze Ω n, zwaną różniczkową topologią Zariskiego. Istnieje następujący różniczkowy analog twierdzenia Hilberta o zerach. Twierdzenie 2.6.1 ([5] 2 242). Niech f 1,..., f s będą wielomianami różniczkowymi należącymi do pierścienia K{y 1,..., y n }. Niech g K{y 1,..., y n } będzie takim wielomianem różniczkowym, który zeruje się we wszystkich punktach zbioru V(f 1,..., f s ). Wtedy pewna potęga wielomianu g należy, do ideału różniczkowego [f 1,..., f s ]. Stąd wynika w szczególności, że jeśli V(A) jest zbiorem pustym, to [A] = {A} = K{y 1,..., y n }. Następne dwa twierdzenia, to równoważne sformułowania twierdzenia powyższego. Twierdzenie 2.6.2. Jeśli A K{y 1,..., y n }, to IV(A) = {A}, gdzie I(X) = {f K{y 1,..., y n }; f(a) = 0 dla a X}. Twierdzenie 2.6.3. Istnieje wzajemnie jednoznaczna odpowiedniość pomiędzy zbiorami domkniętymi w Ω n, a radykalnymi ideałami różniczkowymi w K{y 1,..., y n }. Każdy zbiór domknięty w Ω n jest skończoną sumą domkniętych zbiorów nieprzywiedlnych. Zbiorom nieprzywiedlnym odpowiadają różniczkowe ideały pierwsze w K{y 1,..., y n }. Nie ma dobrych twierdzeń i algorytmów dotyczących rozkładu na sumę nieprzywiedlnych zbiorów domkniętych.

3. Różniczkowa teoria Galois 9 3 Różniczkowa teoria Galois Na podstawie [3], [4], [1], [5], [6], D 1, D 5 53-65, PH 3 76-106, Teczka Różniczki. 3.1 Pojęcia wstępne Ciałem różniczkowym nazywamy parę (L, d), w której L jest ciałem, a d : L L jest derywacją. Homomorfizmem ciał różniczkowych (L, d), (M, δ) nazywamy każdy homomorfizm ciał f : L M taki, że δd = fd. Mówimy, źe ciało K jest podciałem różniczkowym (krótko d-podciałem) różniczkowego ciała (L, d), jeśli d(k) K. Jeśli K jest d-podciałem w (L, d), to para (K, d K) jest ciałem różniczkowym. Włożenie K L jest wtedy homomorfizmem ciał różniczkowych. Zdanie K L są ciałami różniczkowymi oznacza, że K jest d-podciałem różniczkowego ciała (L, d). W tym przypadku mówić będziemy również, że K L jest rozszerzeniem ciał różniczkowych. Niech K L będą ciałami różniczkowymi. Zwykłą grupę Galois rozszerzenia K L oznaczamy przez G K (L). Przypomnijmy, że G K (L) jest zbiorem wszystkich K-auotomorfizmów ciała L, tzn. wszystkich automorfizmów σ : L L takich, że σ K = 1 K. Przez Gd K (L) oznaczać będziemy grupę wszystkich różniczkowych K-automorfizmów ciała L. Nazywać ją będziemy różniczkową grupą Galois rozszerzenia K L. Odwzorowanie σ : L L należy do Gd K (L) wtedy i tylko wtedy, gdy σ jest zwykłym automorfizmem ciała L takim, że dσ = σd oraz σ K = 1 K. Jest oczywiste, że Gd K (L) jest podgrupą grupy G K (L). Jeśli H jest podzbiorem grupy Gd K (L), to przez L H oznaczamy zbiór L H = {a L; σ H σ(a) = a}. Zbiór L H jest d-podciałem ciała L zawierającym ciało K. 3.2 Problemy różniczkowej teorii Galois Z rozszerzeniem K L (ciał różniczkowych) stowarzyszone są dwa następujące zbiory. K = zbiór wszystkich ciał różniczkowych M takich, że K M L, G = zbiór wszystkich podgrup grupy Gd K (L). Są to zbiory częściowo uporządkowane ze względu na inkluzję. Definiujemy dwa antymorfizmy (tzn. odwzorowania zmieniające inkluzję, patrz [8]) α : K G, β : G K przyjmując α(m) = Gd M (L), dla M K, β(h) = L H, dla H G. Nie jest trudno wykazać, że antymorfizmy α, β tworzą związek Galois (patrz [8]), tzn. M K M βα(m), H G H αβ(h). Mówimy, że ciało M K jest stacjonarne (lub domknięte) jeśli βα(m) = M. Mówimy, że podgrupa H G jest stacjonarna (lub domknięta) jeśli αβ(h) = H. Spełnione są założenia ogólnej teorii Galois ([8]). Mamy zatem dwa główne problemy: Problem G1. Opisać ciała i podgrupy stacjonarne. Problem G2. Kiedy odwzorowania α i β są wzajemnie odwrotne?

3. Różniczkowa teoria Galois 10 3.3 Ogólne fakty Niech K L będzie rozszerzeniem ciał różniczkowych. Stwierdzenie 3.3.1. Istnieje wzajemnie jednoznaczna odpowiedniość pomiędzy ciałami stacjonarnymi należącymi do K, a podgrupami stacjonarnymi należącymi do G. Dowód. Odpowiedniość tę zadaje związek Galois (α, β). Jest to oczywisty fakt ogólnej teorii Galois. Każde ciało stacjonarne jest postaci β(h), gdzie H G. Natomiast każda podgrupa stacjonarna jest postaci α(m), gdzie M K. Ponadto, αβα = α, βαβ = β. Jeśli A jest podgrupą grupy B, to przez (B : A) oznaczamy indeks grupy B względem A. Jeśli natomiast C jest podciałem ciała D, to przez (D : C) oznaczamy wymiar przestrzeni liniowej D nad C. Stwierdzenie 3.3.2 ([1] 18, D 5 54). (1) Niech M 1, M 2 K, M 1 M 2. Jeśli (M 2 : M 1 ) = n <, to (α(m 1 ) : α(m 2 )) n. (2) Niech H 1, H 2 G, H 1 H 2. Jeśli (H 2 : H 1 ) = n <, to (β(h 1 ) : β(h 2 )) n. Stwierdzenie 3.3.3 ([1] 19, D 5 54). (1) Niech M 1, M 2 K, M 1 M 2. Jeśli ciało M 1 jest stacjonarne i (M 2 : M 1 ) = n <, to ciało M 2 również jest stacjonarne. (2) Niech H 1, H 2 G, H 1 H 2. Jeśli podgrupa H 1 jest stacjonarna i (H 2 : H 1 ) = n <, to podgrupa H 2 również jest stacjonarna. Stwierdzenie 3.3.4 ([1] 19, D 5 55). Niech G = Gd K (L). (1) Jeśli H jest dzielnikiem normalnym w G, to σ(β(h)) = β(h), dla każdego σ G. (2) Niech M K będzie takim ciałem, że σ(m) = M, dla wszystkich σ G. Wtedy grupa α(m) jest dzielnikiem normalnym w G i grupa ilorazowa G/α(M) jest grupą wszystkich różniczkowych automorfizmów ciała M zachowujących K i dających się rozszerzyć do L. Stwierdzenie 3.3.5 (D 5 55). Jeśli H jest dzielnikiem normalnym w Gd K (L), to αβ(h) jest dzielnikiem normalnym w Gd K (L). 3.4 Wrońskiany Niech (K, d) będzie ciałem różniczkowym i niech y 1,..., y n K. Definicja 3.4.1. Wrońskianem elementów y 1,..., y n nazywamy wyznacznik (n n) macierzy [d i (y j )], gdzie i = 0,..., n 1, j = 1,..., n. Stwierdzenie 3.4.2 ([1] 21). Elementy y 1,..., y n K są liniowo zależne nad K d wtedy i tylko wtedy, gdy wrońskian tych elementów jest równy zero. 3.5 Pierścień wielomianów różniczkowych Jeśli (R, d) jest pierścieniem różniczkowym, to przez R{y} oznaczamy pierścień wielomianów różniczkowych jednej zmiennej y nad R. Pierścień ten jest zwykłym pierścieniem wielomianów przeliczalnej ilości zmiennych y (0) = y, y (1), y (2),... nad R. Posiada on standardową derywację d, będącą rozszerzeniem derywacji d : R R taką, że d(y (n) ) = y (n+1). Załóżmy teraz, że (K, d) jest ciałem różniczkowym. Jeśli charakterystyka ciała K jest równa zero, to K{y} d = K d. Ciało ułamków pierścienia K{y} oznacza się przez K y. W zerowej charakterystyce K y d = K d (patrz DC 1 70). Pierścień wielomianów różniczkowych nad K zmiennych y 1,... y n (który oznacza się przez K{y 1,..., y n }) definiuje się indukcyjnie przyjmując K{y 1,..., y n } = K{y 1,..., y n 1 }{y n }. Ciało ułamków takiego pierścienia oznacza się zwykle przez K y 1,..., y n.

3. Różniczkowa teoria Galois 11 3.6 Rozszerzenia Picarda-Vessiot Niech (K, d) będzie ciałem różniczkowym. Rozpatrzmy wielomian różniczkowy F (y) K{y} postaci F (y) = y (n) + a 1 y (n 1) + + a n 1 y (1) + a n y. Jest to jednorodny wielomian różniczkowy liniowy o współczynnikach z ciała K. Zerem tego wielomianu nazywamy każdy element b należący do ciała K (lub do różniczkowego rozszerzenia ciała K) taki, że F (b) = 0, gdzie F (b) = d n (b) + a 1 d n 1 (b) + + a n 1 d 1 (b) + a n b. Ze Stwierdzenia 3.4.2 wynika, że wielomian F (y) może mieć, co najwyżej n zer liniowo niezależnych nad K d. Definicja 3.6.1. Mówimy, że różniczkowe ciało L jest rozszerzeniem Picarda-Vessiot (lub PV-rozszerzeniem) ciała K względem równania F (y) = 0 jeśli: (1) ciało stałych ciała L jest identyczne z ciałem stałych ciała K, (2) istnieją elementy b 1,..., b n L, liniowo niezależne nad K d, będą zerami wielomianu F (y) i takie, że L = K b 1,..., b n (najmniejsze podciało różniczkowe ciała L, zawierające K oraz b 1,..., b n ). Jeśli K jest ciałem funkcji meromorficznych (określonych na pewnym obszarze płaszczyzny), to pewne klasyczne twierdzenie mówi, że istnieje PV-rozszerzenie każdego równania postaci F (y) = 0, gdzie F (y) jest takie, jak powyżej. Można (dosyć łatwo) podać przykład takiego PV-rozszerzenia pewnego różniczkowego ciała K (charakterystyki zero) względem pewnego równania, że różniczkowa grupa Galois tego rozszerzenia jest pełną grupą liniową GL n (K d ) ([1] 22, D 1 126). Stwierdzenie 3.6.2 (PH 3 81). Niech K L będzie PV-rozszerzeniem równania F (y) = 0. Niech σ Gd K (L). Jeśli b L jest zerem równania F (y) = 0, to σ(b) również jest zerem tego równania. Dowód. Niech F (y) = y (n) + a 1 y (n 1) + + a n 1 y (1) + a n y, gdzie a 1,..., a n σ(a i ) = a i, dla i = 1,..., n oraz σd = dσ. Mamy zatem K. Wtedy 0 = σ(0) = σ(d n (b) + + a n b) = d n (σ(b)) + a n σ(b) = F (σ(b)). Stwierdzenie 3.6.3 (PH 3 81). Niech K L = K b 1,..., b n będzie PV-rozszerzeniem równania F (y) = 0. Wówczas różniczkowa grupa Galois Gd K (L) jest izomorficzna z pewną podgrupą grupy GL n (K d ). Dowód. Niech σ Gd K (L). Z powyższych faktów wynika, że wówczas σ(b i ) = n k ij b j, k ij K d. j=1 Mamy więc przyporządkowanie σ [k ij ]. Oczywiśćie [k ij ] GL n (K d ), gdyż σ jest automorfizmem (ma więc automorfizm odwrotny). Złożeniu automorfizmów odpowiada iloczyn macierzy. 3.7 Główne twierdzenia o PV-rozszerzeniach Przedstawiamy (bez dowodów) główne fakty dotyczące PV-rozszerzeń. Twierdzenie 3.7.1 ([3], [1] 36). Różniczkowa grupa Galois PV-rozszerzenia jest algebraiczną grupą macierzową nad ciałem stałych. Twierdzenie 3.7.2 (Kolchin [3]). Niech (K, d) będzie różniczkowym ciałem charakterystyki zero takim, że ciało stałych K d jest algebraicznie domknięte. Wówczas dla każdego równania postaci F (y) = 0 istnieje PV-rozszerzenie ciała K.

3. Różniczkowa teoria Galois 12 Dowód tego twierdzenia opracowany jest w D 1. Trudna część dowodu: wykazanie, że ciała stałych są identyczne. Mówimy, że rozszerzenie ciał różniczkowych K L jest różniczkowo normalne (lub, że jest d- normalne) jeśli a L K σ GdK (L) σ(a) a. Stwierdzenie 3.7.3. Niech K L będzie rozszerzeniem ciał różniczkowych i niech G = Gd K (L). Następujące warunki są równoważne. (1) Rozszerzenie K L jest d-normalne. (2) Istnieje podgrupa H G taka, że L H = K. (3) L G = K. Dowód. (3) (1). Niech a L K. Wtedy a L G, więc σ(a) a dla pewnego σ G. (1) (3). Przypuśćmy, że K L G. Niech a L G K. Wtedy a L K oraz σ(a) = a dla wszystkich σ G. Jest to sprzeczne z (1). (3) (2) oczywiste. (2) (3). H G, więc K = L H L G K, czyli L G = K. Z powyższego stwierdzenia wynika, że jeśli rozszerzenie K L jest d-normalne, to K jest ciałem stacjonarnym. Stąd wynika również, że każde rozszerzenie d-normalne jest rozszerzeniem normalnym w zwykłym (nieróżniczkowym) sensie. W charakterystyce zerowej są więc to zawsze rozszerzenia Galois. Twierdzenie 3.7.4 ([3], [1] 36). Niech (K, d) będzie różniczkowym ciałem charakterystyki zero takim, że ciało stałych K d jest algebraicznie domknięte. Wtedy każde PV-rozszerzenie ciała K jest d-normalne Załóżmy, że K L jest PV-rozszerzeniem. Wiemy (Twierdzenie 3.7.1), że wtedy różniczkowa grupa Galois Gd K (L) jest algebraiczną grupą macierzową. Mamy wtedy dwa następujące zbiory. K = zbiór wszystkich ciał różniczkowych M takich, że K M L, G = zbiór wszystkich algebraicznych podgrup grupy Gd K (L). Są to zbiory częściowo uporządkowane ze względu na inkluzję. Twierdzenie 3.7.5 ([3], [1] 38). Niech (K, d) będzie różniczkowym ciałem charakterystyki zero takim, że ciało stałych K d jest algebraicznie domknięte. Załóżmy, że różniczkowe ciało (L, d) jest PVrozszerzeniem ciała (K, d). Istnieje wówczas wzajemnie jednoznaczna odpowiedniość pomiędzy ciałami różniczkowymi należącymi do K, a podgrupami należącymi do G. Przy tej odpowiedniości podgrupom normalnym odpowiadają rozszerzenia d-normalne ciała K. 3.8 Dwa specjalne przypadki Zakładamy,że (K, d) jest różniczkowym ciałem charakterystyki zero. Niech b będzie elementem pewnego różniczkowego ciała zawierającego ciało K. Załóżmy, że b K, d(b) = a K, d(u) a, dla u K. Stwierdzenie 3.8.1 ([1] 23, D 1 154). (1) Element b jest przestępny nad K. (2) Ciało K b jest ciałem K(b), funkcji wymiernych jednej zmiennej. (3) K b d = K d. (4) Elementy 1, b są zerami różniczkowego wielomianu F (y) K{y}, gdzie F (y) = y (2) d(a) a y(1). (5) Rozszerzenie K K b jest PV-rozszerzeniem równania F (y) = 0. (6) Różniczkowa grupa Galois Gd K (K b ) jest addytywną grupą ciała K d.

3. Różniczkowa teoria Galois 13 Dowód. (1). Przypuśćmy, że element b jest algebraiczny nad K. Wtedy b n + u 1 b n 1 + + u n = 0, dla pewnych u 1,..., u n K. Załóżmy, że n jest minimalne. Działając derywacją d otrzymujemy nb n 1 a + d(u 1 )b n 1 + (n 1)u 1 b n 2 a + = 0. Ponieważ n jest minimalne, więc na + d(u 1 ) = 0, czyli a = d( n 1 u 1 ) wbrew temu, że a nie jest postaci d(u), dla u K. (2). Z (1) wiemy, że K(b) jest ciałem funkcji wymiernych zmiennej b nad K. Ciało K(b) jest oczywiście zawarte w K b. Każdy element z K b jest postaci G(b)/H(b), gdzie G(y), H(y) K{y}. Ponieważ d(b) K więc G(b), H(b) K[b], a zatem G(b)/H(b) K(b). (3). Najpierw pokażemy, że K[b] d = K d. Niech u n b n + +U 1 b 1 +u 0 K[b] d, gdzie u n,..., u 0 K i u n 0. Przypuśćmy, że n 1. Wtedy 0 = d(u n b n + + u 0 ) = d(u n )b n + nu n ab n 1 + d(u n 1 )b n 1 +, a zatem d(u n ) = 0 oraz nu n a + d(u n 1 ) = 0. Stąd wynika, że a = d( un 1 nu n ), wbrew temu, że element a nie jest postaci d(u), u K. Zatem n = 0, czyli K[B] d = K d. Niech teraz w K b = K(b) będzie dowolnym elementem ciała K b d. Niech w = f/g, gdzie f, g K[b]. Możemy założyć, że wielomian g jest unormowany i jego stopień jest minimalny. Jeśli deg g = 0, to w K[b] d = K. Przypuśćmy, że deg g > 0. Ponieważ d(w) = 0 więc w = f/g = d(f)/d(g). Mamy zatem sprzeczność z minimalnością stopnia (bowiem deg d(g) < deg g. (4). F (1) = d 2 (1) d(a) a d(1) = 0, F (b) = d2 (b) d(a) d(a) a d(b) = d(a) a a = 0. (5) K b = K 1, b. Elementy 1, b są liniowo niezależnymi nad K d zerami równania F (y) = 0 oraz (na mocy (2)) K b d = K d. (6). Niech σ Gd K (K b ). Wtedy d(σ(b)) = a. Istotnie, d(σ(b)) = σ(d(b)) = σ(a) = a. Zatem d(σ(b) b) = a a = 0, czyli σ(b) = b+c, dla pewnego c K b d = K d. Zachodzi też oczywiście odwrotnie; jeśli c K d, to istnieje dokładnie jeden różniczkowy automorfizm σ Gd K (K b ) taki, że σ(b) = b + c. Stąd wynika, że grupa Gd K (K b ) jest izomorficzna z grupą wszystkich liniowych K d -automorfizmów σ K d -przestrzeni liniowej K d 1 + K d b takich, że σ(b) = b + c, σ(1) = 1, czyli automorfizmów liniowych o macierzy Zatem Gd K (K b ) (K d, +). [ 1 c 0 1 ], c K d. Ciało postaci K b, gdzie b jest takim elementem jak powyżej, nazywamy rozszerzeniem całkowym ciała K. Zajmiemy się teraz drugim przykładem PV-rozszerzenia. Niech w będzie elementem pewnego różniczkowego ciała L zawierającego K. Załóżmy, że d(w) = aw, dla pewnego a K. Wówczas ciało K w pokrywa się z ciałem K(w) (najmniejszym podciałem w L zawierającym K oraz w). Jeśli element w jest taki jak powyżej i K w d = K d, to ciało K w nazywamy wykładniczym rozszerzeniem ciała K.

3. Różniczkowa teoria Galois 14 Stwierdzenie 3.8.2. Wykładnicze rozszerzenie jest PV-rozszerzeniem (ciała K). Dowód. Wynika to z definicji PV-rozszerzenia. Oczywiście F (w) = 0, gdzie F = y (1) ay. Założenie K w d = K d jest tutaj istotne i może w ogólnym przypadku nie zachodzić. Przykład 3.8.3. Niech K = k(x) będzie ciałem funkcji wymiernych jednej zmiennej x nad ciałem k charakterystyki zero. Niech d : K K będzie k-derywacją taką, że d(x) = x. Mamy wtedy różniczkowe ciało (K, d) i K d = k. Niech L = k(x, y) będzie ciałem funkcji wymiernych dwóch zmiennych. Rozszerzamy derywację d do k-derywacji ciała L przyjmując d(y) = y. Wtedy K y = k(x, y), d(y) = 1y oraz K y d K d = k, gdyż x/y K y d k. Rozszerzenie K y nie jest więc PV-rozszerzeniem ciała K. Stwierdzenie 3.8.4 ([1] 23, D 1 154). Jeśli K w jest rozszerzeniem wykładniczym ciała K, to różniczkowa grupa Galois Gd K (K w ) jest izomorficzna z podgrupą multyplikatywnej grupy ciała K d. Dowód. Niech, tak jak poprzednio, d(w) = aw, gdzie a K. Wiemy, że K w = K(w). Niech σ Gd K (K(w)). Wtedy d(σ(w)) = σ(d(w)) = σ(aw) = aσ(w). Zatem d(σ(w)/w)) = 0, czyli σ(w)/w K(w) d = K d. Stąd wynika, że σ(w) = cw, dla pewnego niezerowego c K d. Można łatwo wykazać (D 1 160), że jeśli (K w ) jest rozszerzeniem wykładniczym i w jest elementem algebraicznym nad K, to grupa Gd K (K w ) jest skończona. Jeśli natomiast w jest elementem przestępnym nad K, to Gd K (K w ) K d {0}. 3.9 Rozszerzenia Liouville a Mówimy, że rozszerzenie ciał różniczkowych K L jest Liouville a jeśli L d = K d oraz istnieje skończony ciąg różniczkowych ciał pośrednich K = K 0 K 1 K 2 K n = L takich, że każde rozszerzenie K i K i+1 jest całkowe lub wykładnicze. Stwierdzenie 3.9.1 ([1] 24). Jeśli K L jest rozszerzeniem Liouville a, to różniczkowa grupa Galois Gd K (L) jest rozwiązalna. Istnieją również uogólnione rozszerzenia Liouville a. Różniczkowa grupa Galois takich uogólnionych rozszerzeń jest algebraiczna i jej składowa jedności jest grupą rozwiązalną. Teoria PV-rozszerzeń została uogólniona przez Kolchina na klasę różniczkowych rozszerzeń silnienormalnych. Różniczkowa grupa Galois dla taich rozszerzeń jest również algebraiczna. Istnieje tutaj wzajemnie jednoznaczna odpowiedniość pomiędzy różniczkowymi ciałami pośrednimi, a podgrupami różniczkowej grupy Galois.

Literatura 15 Literatura [1] I. Kaplansky, An Introduction to Differential Algebra, Hermann, Paris, 1976. [2] W. F. Keigher, Adjunctions and comonads in differential algebra, Pac. J. Math., 59(1975). [3] E. R. Kolchin, Algebraic matric groups and the Picard-Vessiot theory of homogeneous linear ordinary differential equations, Bull. Amer. Math. Soc., 54(1948), 1-42. [4] E. R. Kolchin, Differential Algebra and Algebraic Groups, Academic Press, New York, London, 1973. [5] Matematyczna Encyklopedia, Tomy 1-5, Moskwa, 1977-1985. [6] A. V. Mikhalev, E. V. Pankrat ev, Differential and difference algebra, Itogi Nauki, 1987, 67 139. [7] A. Nowicki, Differential ideals and rings, Ph. D. thesis (Polish), Toruń UMK, 1978. [8] A. Nowicki, Wybrane zagadnienia algebry, Preprint 1995.