Matematyka Finansowa MATERIAŁY DO WYKŁADU Procent to jedna setna. 1% = 0,01. Promil to jedna tysięczna. 1 = 0,001 = 0,1%. -procent od wartości to 0,01. Na przykład dwadzieścia trzy procent i cztery promile z 200 złotych to 200 zł 0,234 = 46,8 zł. Zad. Pożyczkodawca udzielił pożyczkobiorcy kredyt wysokości 1500 zł. Po roku pożyczkobiorca zobowiązany jest zwrócić pożyczkodawcy pożyczoną kwotę powiększoną o odsetki w wysokości 8% oraz sumę 60 zł tytułem opłat manipulacyjnych. a) Ile wynosi suma odsetek? b) Jakie jest oprocentowanie tego kredytu, gdy opłaty manipulacyjne potraktuje się jako część należnych odsetek? Odp. a) 1500 0,08 = 120. b) 1500 = 120 + 60, czyli = 180/1500 = 0,12 = 12%. Jeden procent to nie to samo co jeden punkt procentowy. Załóżmy, że oprocentowanie kredytu wynosiło poprzednio 8%, a obecnie wynosi 10%. Oznacza to, że oprocentowanie wzrosło o 25% w porównaniu do poprzedniej wartości (10% = 1,25 8%) albo o dwa punkty procentowe (z 8% na 10%). Można powiedzieć, że pojęcia procentu używa się w kontekście operacji mnożenia i dzielenia, a pojęcia punktu procentowego w kontekście dodawania i odejmowania. Zad. Klient banku spłaca kredyt zaciągnięty na 12%. Ze względu na korzystną historię kredytową klienta bank zgodził się zredukować wysokość odsetek o 20%. O ile punktów procentowych zmniejszono oprocentowanie? Odp. 12% 1 0,2 = 9,6%. 12% 9,6% = 2,4%. Przy obliczaniu procentów ważne jest aby poprawnie ustalić wartość bazową, czyli od czego procent jest naliczany. Załóżmy dla przykładu, iż bilet komunikacji miejskiej kosztował wcześniej 2 zł, a obecnie kosztuje 3 zł. W takiej sytuacji można powiedzieć, że obecnie bilet kosztuje o 50% więcej niż poprzednio (3ł = 2ł + 0,5 2ł), ale także, iż poprzednia cena biletu jest o 1/3 (czyli w przybliżeniu o 33% i 3 ) mniejsza niż obecnie. Inny wynik otrzyma się w sytuacji, gdy wartością bazową jest wartość poprzednia, inny gdy wartość aktualna. W szczególności, gdy wyjściowa cena towaru wzrośnie o %, a po jakimś czasie zmaleje o %, to końcowa cena będzie inna niż cena początkowa. Na przykład, gdy wyjściowa cena to 100 zł, wzrost o 10% daje wartość 110 zł. 10% ze 110 to 11. Spadek o 10% ze 110 zł oznacza, iż końcowa cena wynosić będzie 99 zł, a nie 100 zł. Zad. Cena pewnego dobra uwzględnia koszty potrzebnych do jego wytworzenia surowców i produkcji, a także koszty dystrybucji i podatku VAT. 60% ceny producenta to koszty zakupu surowców. Cena hurtownika to cena producenta powiększona o 10%, detalisty to cena hurtownika powiększona o 15%. Na każdym etapie, do tzw. ceny netto, dolicza się 23% podatku VAT, otrzymując cenę brutto. a) Obliczyć ceny netto hurtownika, detalisty, cenę końcową brutto oraz koszty poniesione na zakup surowców, jeśli cena producenta netto tego dobra wynosi 1350 zł. b) Każdy pośrednik płaci podatek VAT pomniejszony o sumę jaką łącznie zapłacili jego poprzednicy. Obliczyć kwoty podatku VAT od tego dobra odprowadzaną kolejno przez: dostarczycieli surowców, producenta, hurtownika i detalistę. Odp. Wprowadźmy oznaczenia: cena oferowana przez producenta bez podatku VAT (netto), - cena hurtownika netto, - cena detalisty netto, - cena surowców netto. a) = + 0,1 = 1,1 = 1485; = 1,15 = 1,15 1485 = 1678,05. Cena końcowa jest ceną brutto detalisty: = 1,23 1678,05 = = 2064,002 2064. Użycie znaku przybliżenia wynika z tego, iż cenę określa się z dokładnością do jednego grosza, czyli do dwóch miejsc po przecinku. Cena surowców to 60% ceny producenta: = 0,6 = 810. Podatek VAT płacony od surowców to 810 0,23 = 186,3. Producent płaci VAT nie od ceny brutto po jakiej sprzedaje produkt, ale od różnicy pomiędzy jego ceną a ceną surowców: 1350 810 0,23 = 124,2. Hurtownik: ( ) 0,23 = 1485 1350 0,23 = 31,05; detalista: 0,23 = 44,4015 44,4. Łącznie podatek VAT od tego produktu to 385 zł i 95 groszy, czyli dokładnie tyle ile wynosi różnica pomiędzy ceną końcową a ceną netto detalisty.
Pojęcie procentu związane jest z działaniami mnożenia i dzielenia. Dlatego w większości przypadków, gdy liczy się średnią, używa się średniej geometrycznej, nie arytmetycznej. Na przykład, jeżeli lokata bankowa na początku była oprocentowana na 5% w stosunku rocznym, w drugim roku trwania lokaty na 2%, a w trzecim na 0,5%, to kwota ulokowana na takiej lokacie po roku byłaby warta 1 = 1,05, po dwóch latach 2 = 1 1,02 = 1,071, a po trzech 3 = 1,076355. Oprocentowanie średnie roczne dla tej lokaty, to takie niezmienne oprocentowanie, które dałoby taki sam rezultat w tym samym okresie. Czyli 1 + = 1,076355. Stąd, po prostych przekształceniach otrzymuje się = 1,076355 1 2,48%. Wynik ten jest inny niż w przypadku średniej arytmetycznej, która w tym przypadku wynosi 2,5%. Zad. Szacuje się, że światowa produkcja dóbr i usług w 1950 r. wynosiła 6 bln dol., a w 2000 43 bln dol. a) Jaki był w tym okresie średni roczny wzrost tego wskaźnika? b) Zakładając, że wzrost ten utrzymałby się na tym samym poziomie przez dalsze 50 lat, ile wynosiłaby światowa produkcja dóbr i usług w roku 2050? Odp. a) 6bln 1 + = 43bln = 43/6 1 4,0175% b) 43bln 1 + 308,17bln. Zad. Koszty produkcji akumulatorów litowo-jonowych spadły w latach 2010-2015 o 65%. Jaki był średni roczny spadek tych kosztów? Odp. = 0,35 =, 1 19,12%. Zad. Przy systemie kapitalizacji miesięcznej bank zmieniał oprocentowanie rocznej lokaty. W pierwszym kwartale = 6%, w drugim 3,5%, a w trzecim i czwartym kwartale = 2,5%. Ile wynosiło średnie oprocentowanie lokaty? Odp. 1 +, 1 +, 1 +, 1,03685 1 + ( 1,03685 1) 12 3,62%. Inflacja to proces ogólnego wzrostu cen, co skutkuje między innymi tym, iż za taką samą nominalnie kwotę z roku na rok można nabyć coraz mniej towarów i usług. Jeżeli, przeciwnie, wartość nabywcza z roku na rok rośnie, mówi się o deflacji. Na przykład, w roku 2012 w Polsce współczynnik inflacji wyniósł 3,7%, stąd kwota 10 000 zł pod koniec roku 2012 miała wartość nabywczą taką jak ł, 9 643,20 zł na początku tego roku. W roku 2015 miała miejsce deflacja w wysokości 9. Stąd kapitał 10 000 zł w okresie przełomu 2014/15 roku miał wartość nabywczą taką jak kapitał ł, 10 090,82 ł w analogicznym okresie przełomu lat 2015/16. Zad. Ulokowano na lokacie na 3% w skali roku określony kapitał na okres 5 lat. Obliczyć a) nominalną stopę zwrotu na koniec okresu trwania lokaty; b) realną roczną stopę zwrotu dla poszczególnych lat, jeśli współczynnik inflacji w następujących po sobie latach wynosił odpowiednio: 4,3,%, 3,7%, 0,9%, 0%, -0,9%. Odp. a) 1 = 01 + 0,03, 2 = 11,03 = 01,03, itd.: 5 = 01,03 01,1593., Po pięciu latach lokata przyniosła 15,93%. b) (1) (0) 1,036., = 3,6%. Zad. Obliczyć realny wzrost wartości dochodu jeśli w ciągu roku nominalnie, rok do roku, dochód ten wzrósł o 1,8%, w połączeniu ze wskaźnikiem deflacji w wysokości 9. Odp. 1 = (0),, (0) 1,0272. 1 0 2,72%. Reguła bankowa, stosowana często przez banki, opiera się na założeniu, że przy liczeniu oprocentowania z lokaty (lub przy pobieraniu odsetek od kredytu), każdy miesiąc jest tak samo ważny. Czyli iż trwa dokładnie 30 dni, a cały rok 360 dni. Standardową praktyką, stosowaną przez banki, jest nie uwzględnianie dni założenia i likwidacji lokaty przy dopisywaniu odsetek od niej. Natomiast w przypadku brania kredytu od banku dni te są uwzględniane. I tak, lokata
założona 26 lutego i zlikwidowana 5 maja trwa 4 dni w lutym (27, 28, 29,30), po 30 dni w marcu i kwietniu oraz 4 dni w maju. Okres dopisywania odsetek od kredytu jest o dwa dni dłuższy i wynosi 70 dni. We wzorach stosowanych w matematyce finansowej czas podaje się w latach. W przypadku okresu mniejszych niż rok czas podany będzie w postaci ułamka. Na przykład w poprzednim przykładzie czas dopisywania odsetek od kredytu wynosi = 68/360 0,1889, a czas trwania kredytu = 70/360 0,1944. Zad. 5. Używając funkcji programu Excel obliczyć czas pomiędzy 26 lutym, a 5 maja według reguły bankowej. Odp. W programie Excel datę zapisuje się w formacie rok-miesiąc-dzień (na przykład 2014-02-26) lub dzień-mie, gdzie mie to pierwsze trzy litery miesiąca (na przykład 26-lut, 1-cze, 11-lis itd.). Zapisujemy w dwóch różnych komórkach daty 26-lut i 5-maj, przykładowo w komórkach A1 i B1. W osobnej komórce piszemy =DNI.360(A1;B1). Czyli według reguły bankowej =DNI.360(A1;B1)-1. Komenda =YEARFRAC(A1;B1) da taki sam rezultat jak komenda =DNI.360(A1;B1)/360. Przy dopisywaniu odsetek istotne jest według jakiej reguły się to robi, czyli jaki jest model kapitalizacji. Kapitalizacja prosta ma miejsce wtedy, gdy odsetki dopisuje się tylko od kapitału początkowego (nie uwzględnia się odsetek od odsetek). Model kapitalizacji prostej stosuje się najczęściej w przypadku krótkiego okresu kapitalizacji. Kapitalizacja złożona to kapitalizacja dla której co dany okres odsetki dopisuje się do kapitału od którego oblicza się odsetki. Kapitalizacja z dołu, to kapitalizacja złożona przy której odsetki dopisuje się do kapitalizowanej kwoty pod koniec okresu kapitalizacji. Kapitalizacja z góry ma miejsce wtedy, gdy odsetki dopisuje się na początku okresu kapitalizacji. W zależności od okresu kapitalizacji wyróżnia się kapitalizację roczną, półroczną, kwartalną, miesięczną czy dniową. Przy określaniu systemu kapitalizacji obowiązuje konwencja, iż jeśli nie określa się czy chodzi o kapitalizację prostą czy złożoną, to przyjmuje się domyślnie, iż chodzi o kapitalizację złożoną. Gdy nie określa się czy kapitalizacja jest z dołu czy z góry, przyjmuje się domyślnie kapitalizację z dołu. Gdy nie podaje się okresu kapitalizacji domyślnie przyjmuje się roczny okres kapitalizacji. I tak, zamiast używać określenia kapitalizacja złożona z dołu z miesięcznym okresem kapitalizacji mówi się po prostu kapitalizacja miesięczna. Przyjmując standardowe oznaczenia: - czas (wyrażany w latach); = () wartość kapitału w chwili ; liczba okresów kapitalizacji (w okresie jednego roku), otrzymuje się następujące wzory. Kapitalizacja prosta = 0(1 + ). Modele kapitalizacji złożonej: z dołu: odsetki są dopisywane pod koniec okresu kapitalizacji = 01 + /. z góry (odsetki dopisuje się na początku okresu kapitalizacji) = 01 /. ciągły (odsetki dopisuje się według wzoru = 0 ). W praktyce, zamiast kapitalizacji dziennej, godzinnej czy sekundowej stosuje się kapitalizację ciągłą, gdyż jeśli kapitalizacja jest odpowiednio częsta rezultat jest praktycznie taki sam, a wzór na kapitalizację ciągłą jest wygodniejszy w stosowaniu. Jest to prosta konsekwencja wzoru lim 1 + = lim 1 =, gdzie 2,71828 to stała Eulera, czyli podstawa logarytmu naturalnego. Zad. Wpłacono na lokatę 1000 zł. Obliczyć wartość lokaty po 4 latach przy r=6,5% dla: a) modelu kapitalizacji prostej; b) dla modelu kapitalizacji złożonej z dołu; c) dla modelu kapitalizacji z dołu z kwartalnym okresem kapitalizacji; d) dla modelu kapitalizacji złożonej z góry z miesięcznym okresem kapitalizacji; e) dla modelu kapitalizacji ciągłej. Odp. a) (4) = 1000(1 + 0,065 4) = 1260; b) (4) = 10001,065 1286,47; c) (4) = 1000 1 +, 1294,22; d) (4) = 1000 1, 1297,85; e) (4) = 1000, 1296,93.
Warto zauważyć, iż stosowanie kapitalizacji prostej w pełnych okresach oznacza mniejsze odsetki niż stosowanie kapitalizacji złożonej z dołu, a kapitalizacja z dołu daje mniejsze odsetki niż kapitalizacja z góry. Na wielkość odsetek wpływ ma też częstotliwość kapitalizacji. W przypadku kapitalizacji z dołu, czym częstsza kapitalizacja, tym odsetki większe, w przypadku kapitalizacji z góry odwrotnie. Kapitalizacja ciągła daje większe odsetki niż kapitalizacja z dołu, ale mniejsze niż kapitalizacja z góry. Chociaż w przypadku częstej kapitalizacji (jak dniowa czy minutowa) różnica jest w gruncie rzeczy symboliczna. Zależność tą opisuje wzór: 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 1. Na przykład, jeśli bank oferuje kredyt na 12%, to kapitalizacja kredytu z dołu jest dla kredytobiorcy korzystniejsza niż kapitalizacja z góry. A gdy wiadomo, iż odsetki od kredytu będą naliczane według kapitalizacji z góry, to czym częściej następuje kapitalizacja, tym lepiej. Efektywna stopa procentowa (lub inaczej rzeczywista roczna stopa oprocentowania) służy do porównania lokat bądź kredytów bankowych. Jest to oprocentowanie dla której dana lokata dałaby odsetki takie same jak lokata przy kapitalizacji rocznej. Na przykład, gdy nominalna stopa oprocentowania lokaty wynosi 7%, to gdy obowiązuje kapitalizacja półroczna z góry, jej efektywna stopa oprocentowania wynosi 7,385%, gdyż 1, (1 + 0,07385). FV wartość przyszła (future value) i PV wartość bieżąca (present value) to terminy odnoszące się do zmiany wartości kapitału w czasie. Na przykład załóżmy, że kolega posiada weksel wystawiony na początku roku na kwotę 1000 zł oprocentowany na 10% przy kapitalizacji prostej, płatny przez wystawcę weksla pod koniec roku. Jego wartość wynosić wtedy będzie = 1100 ł. Kolega nie może czekać do końca roku na odzyskanie gotówki i w trzecim miesiącu od jego wystawienia chce go nam odsprzedać. Ile jest on wart w chwili t, przy założeniu, iż ryzyko niewykupienia weksla jest żadne? = 1000 (1 + 0,1). Czyli po trzech miesiącach będzie on wart 3/ 12 = 1000 (1 + 0,1 0,25) = 1025. Wykupienie go od kolegi za kwotę mniejszą niż 1025 zł będzie dla nas opłacalne. Zad. Wartość lokaty za 9 miesięcy, przy systemie kapitalizacji kwartalnej i przy oprocentowaniu 4,5%, będzie wynosić 3200 zł. Jaka jest jej wartość bieżąca? 1 + 0,045 = 3200ł = 3200ł 1 + 0,045 3094,39ł. Obliczanie wartości bieżącej danej kwoty (PV) na podstawie jej wartości w danym momencie w przyszłości (FV) nazywa się dyskontowaniem (dyskonto rzeczywiste). To operacja odwrotna do kapitalizacji. Innymi słowy, dyskontowanie umożliwia odpowiedź na pytanie, ile trzeba mieć obecnie, aby w przyszłości otrzymać określoną z góry kwotę. Oczywiście wartość dyskontowania zależy od warunków kapitalizacji. Rozróżnia się dyskonto proste i dyskonto składane. Dyskontowanie proste jest operacją odwrotną do oprocentowania prostego. = = =. Dyskonto składane to odwrotność oprocentowania składanego. = 1. Oprócz tych dwóch rodzajów dyskontowania rozróżnia się dyskontowanie handlowe, stosowane często w rachunkach weksli i bonów. To metoda obliczania odsetek od wkładu na podstawie wartości przyszłej, zgodnie ze wzorem =, gdzie = to wielkość odsetek. Stąd = (1 ). Naturalną sprawą jest to, że większość ludzi, jeśli ma już coś otrzymać, to czym szybciej to otrzymają tym lepiej dla nich. Odwrotnie jest w przypadku wydawania. Jeśli już muszą coś zapłacić, a do wyboru mają kilka różnych terminów zapłaty, to wybiorą termin najpóźniejszy. Ale mając wybór pomiędzy otrzymaniem np. 1000 złotych teraz
lub 1500 zł za rok, większość z będzie skłonna zaczekać. Natomiast jeśli trzeba by wydać teraz 1000 lub 1500 za rok, lepiej uregulować taką należność bezzwłocznie. Ogólnie, stojąc przed dylematem otrzymać teraz albo + za rok, wybierzemy teraz jeśli jest małe, za rok jeśli odpowiednio duże. Stopa dyskontowa, to takie oprocentowanie, dla którego podobny wybór będzie neutralny (bez znaczenia). Na przykład, dla pewnej firmy obojętne jest, czy płatność za jej towar będzie mieć postać jednorazowej zapłaty w wysokości 8400 zł w momencie przekazania go do użytku klienta, czy też będą to dwie płatności po roku i po dwóch latach po 4620 zł każda. Sytuacja ta może odpowiadać równaniu 8401 + = 4621 + + 462, gdzie to odpowiednik stopy dyskontowej. Ma ono dwa rozwiązania względem, przy czym tylko jedno dodatnie: 6,60%. Prowizja za udzielenie kredytu (lub leasingu) to opłata pobierana w wysokości niewiększej niż 5% wartości kredytu. Pożyczkodawca, przy takim oprocentowaniu może powiększyć swoją prowizję, jeżeli pobierze ją nie od samej kwoty kredytu, ale od kwoty kredytu powiększonej o dodatkowe koszty. Prowizję tego typu nazywa się prowizją brutto. Na przykład prowizja netto w wysokości 5% od kredytu na sumę 1000 zł to 50 zł. Prowizja brutto pobierana jest od kwoty która pomniejszona o 5% będzie równa 1000 zł, czyli od 1000 ł/1 0,05 1052,63 ł. Czyli prowizja brutto w takim przypadku jest większa o 2,63 zł. Renta (lub inaczej annuit) to strumień lub ciąg płatności (wpłat lub wypłat) dokonywanych w regularnych odstępach czasu. Rata to pojedyncza płatność renty. Przykładem renty jest zbiór opłat abonamentowych, zbiór opłat z tytułu należności czynszowych, płatności z tytułu podatku dochodowego czy raty kredytu. Ze względu na czas płatności wyróżnia się raty płatne z dołu, to jest gdy płatności są kapitalizowane dopiero pod koniec okresu rozliczeniowego lub raty płatne z góry, gdy raty są kapitalizowane od razu. Ze względu na wielkości rat rozróżnia się w szczególności renty z ratami o nieregularnych wielkościach, o ratach stałych i ratach malejących. Przy obliczaniu wartości przyszłej renty z równymi ratami wykorzystuje się wzór 1 + + + + =. Na przykład, jeśli na początku każdego miesiąca wpłaca się taką samą kwotę na konto oprocentowane na przy systemie kapitalizacji miesięcznej, to na początku drugiego miesiąca stan konta wynosi 1 + +, na początku trzeciego 1 + + 1 + +, a na początku tego miesiąca 1 + + + 1 + + = = 1, gdzie = 1 +. Przy kapitalizacji miesięcznej z góry na początku drugiego miesiąca stan konta wynosi 1 + + 1 + = + 1, a po n- miesiącach + + + = + + + 1 = = 1. Zad. Kredyt na kwotę 10 000 zł oprocentowany na 14% przy kapitalizacji ciągłej ma być spłacony w postaci 8 kwartalnych równych rat, przy czym pierwsza rata płacona jest a) pod koniec pierwszego kwartału; b) na początku kwartału. Obliczyć wielkość rat. Odp. a) Kredyt ma być spłacony w przeciągu dwóch lat. Wartość przyszła kapitału 10 000 po dwóch latach to = 10 000, 13 231,30. Wielkości rat mają być takie, aby wartość przyszła renty była praktycznie równa tej kwocie. Pierwsza rata będzie oprocentowana przez dwa lata bez trzech miesięcy, stąd wartość przyszła raty o wielkości wynosi,, drugiej,, trzeciej,, itd. Przedostatniej, i ostatniej. Podstawiając =, otrzymujemy = + + + + 1 = = 9,071658. Stąd =,, 1 458,53. b) Ostatnia rata zostanie zapłacona po 21 miesiącach, stąd = 10 000, / 11 303,19. Jako iż, warunki i czas oprocentowania rat są takie same jak w podpunkcie a), stąd = 1 245,99.,
PRZYKŁADOWY ZESTAW ZADAŃ EGZAMINACYJNYCH Zad. 1. Pożyczka na kwotę 8 200 zł ma być spłacona w postaci 10 miesięcznych rat (z dołu, kapitalizacja miesięczna) w wysokości 842 zł każda. Obliczyć oprocentowanie pożyczki a) nominalne b) rzeczywiste roczne. c) Po sześciu miesiącach klient poprosił o zawieszenie pozostałych czterech rat na okres pół roku. O ile w tej sytuacji powinny wzrosnąć pozostałe raty? a) =, % = = 1 + b) = 1 + =, % c) = + = 50,26 Zad. 2. Oprocentowanie lokaty (założonej 30 kwietnia, zlikwidowanej w pierwszym dniu nowego roku) było zmienne i wynosiło: do końca czerwca 6%, od lipca do końca września 5,5%, od października i do końca trwania lokaty 4%. Obliczyć kwotę odsetek od kapitału 3 tys. zł ulokowanego na tej lokacie przy systemie kapitalizacji a) ciągłej; b) ciągłej, z uwzględnieniem iż potrąca się 20% podatku; c) miesięcznej z góry. Obliczyć oprocentowanie efektywne roczne d) przy warunkach jak w podpunkcie a). a) 102,98 b) 82,55 c) 103,21 d) = = 5,15% Zad. 3. Wartość pewnego kapitału w ciągu pół roku kolejno wzrosła o 15%, następnie zmalała, by po ponownym wzroście o 26% zwiększyć swą wyjściową wartość o 5%. a) Ile procent wynosił ten spadek? b) O ile procent wzrosła realna wartość kapitału jeśli współczynnik inflacji rocznej był równy 3,8%? a) 1,15 1 + 1,26 = 1,05 = 27,54% b),,% = 1,0304 = 3,04%