E-learning matematyka poziom podstawowy

Młodzieżowe Uniwersytety Matematyczne Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego E-learning matematyka poziom podstawowy Temat: Funkcje trygonometryczne Materiały merytoryczne do kursu Projekt realizowany przez Uniwersytet Rzeszowski w partnerstwie z Uniwersytetem Jagiellońskim oraz Państwową Wyższą Szkołą Zawodową w Chełmie Centralne Biuro Projektu, Uniwersytet Rzeszowski ul. Rejtana 16a, 35-959 Rzeszów tel. 17 871304, faks 17 87181

1 Wstęp Funkcje trygonometryczne należą do tematów, uważanych przez wielu uczniów za trudne, niezrozumiałe, zagmatwane... W ich opinii są one takie inne. Niestety, trzeba im przyznać rację. Pierwszą zasadniczą różnicą tych funkcji od innych poznawanych w szkole jest ich okresowość, a drugą- duża liczba ciekawych zależności między nimi, czyli tzw. tożsamości trygonometrycznych. Ta druga własność sprawia, że zadania z trygonometrii sprawiają kłopoty- trzeba trochę wprawy, żeby wiedzieć jaki wzór pasuje do danego zadania. Mamy nadzieję, że po lekturze tego opracowania i wspólnej pracy czytelnik lub czytelniczka ową wprawę będzie posiadać. 1

Historia funkcji trygonometrycznych Pierwszy odpowiednik funkcji trygonometrycznych prawdopodobnie pojawił się w starożytnej Grecji, a była to cięciwa, odpowiadająca danemu łukowi. Dla danego okręgu i jego części(łuku) cięciwa jest prostą, która przecina okrąg na końcach łuku. Dla tej funkcji stworzono pierwsze tabele wartości(ii wiek p.n.e.), z których korzystali astronomowie. Wiele z twierdzeń trygonometrycznych było znanych starożytnym Grekom, jednak w postaci odpowiedników operujących długościami łuków i cięciw, a nie miarami kątów i stosunkami długości boków trójkąta. WokresieV XIIw.n.e.indyjscymatematycyiastronomowie zamiast pełnej cięciwy wprowadzili jej połowę, co odpowiada współczesnej definicji sinusa. Symetralna odcinka cięciwy mieszczącego się wewnątrz koła przechodziprzezjegośrodekidzieliłuk(itymsamymkąt)na pół. Połowa długości cięciwy to dla okręgu jednostkowego sinus połowy kąta, czyli crdθ=sin θ. NastępnieAbual-Wafa(940-998)-perskimatematyki astronom zdefiniował funkcje trygonometryczne tangens, cotangens, secans i cosecans, korzystając z koła trygonometrycznego. Poza tym zasłynął on opracowaniem matematycznych, 8-cyfrowych tablic sinusów i tangensów oraz

odkryciem nierównomierności w ruchach Księżyca. 3

Współczesne nazwy tych funkcji były wprowadzone przez różnych europejskich matematyków w okresie XV XVIIw.Naprzykładnazwę tangens (zlac. styczna ) wprowadził niemiecki astronom i matematyk XV wieku Johann Muller(1436 1476) z Koenigsbergu (Dolna Frankonia), znany pod zlatynizowanym nazwiskiem Regiomontana(Joannes de Regio Monte). Około 1464r. powstało jego największe dzieło matematyczne De triangulis omnimodis libri quinque ( O trójkątach wszelkiego rodzaju ksiąg pięcioro ); w druku ukazało się w Norymberdze dopiero w r. 1533. Korzystając z dorobku matematyków greckich(ptolemeusz) i arabskich Regiomontan podał w nim(z wieloma dopełnieniami, własnymi dowodami i metodycznymi ulepszeniami) systematyczny wykład trygonometrii płaskiej(księgi I IV) i sferycznej(księga V). Dyscyplina stanowiąca nieuporządkowany zbiór reguł, twierdzeń i tablic do celów astronomicznych stała się odtąd dyscypliną całkowicie samodzielną, niezależną od astronomii. W tej nowej postaci, którą nadał jej Regiomontan, trygonometria przetrwała w zasadzie bez zmian do wieku XVIII. Jedynymi funkcjami trygonometrycznymi, jakich używał Regiomontan w swym głównym dziele, były sinus i cosinus. Dopiero później ułożył on tablicę tangensów. Ciekawym jest także fakt, że Regiomontan kilkakrotnie spotkał się z Marci- 4

nem Bylicą z Olkusza, wybitnym przedstawicielem krakowskiej szkoły astrologicznej. 5

W XVI w. duński matematyk Thomas Fincke(1561 1656) w swojej najważniejszej książce Geometriae rotundi (1583) wprowadził nazwy funkcji trygonometrycznychtangensisekans.pozatymtowłaśniedziękitemu uczonemu mężowi korzystamy obecnie ze skrótowych nazw funkcji trygonometrycznych, pisząc sin zamiast sinus,awmiejscetangensa-tg...nazwyfunkcjicosinus i cotangens(z lac. complementum- uzupelnienie) wprowadził znany angielski astronom i matematyk Edmund Gunter(1581 166). Można pokusić się o stwierdzenie, że największy wkład w rozwój współczesnej teorii funkcji trygonometrycznych miał wybitny szwajcarski matematyk Euler. Dzięki swoim licznym i szeroko rozpowszechnionym podręcznikom, zainicjował i spopularyzował on kilka konwencji zapisu; w szczególności, wprowadził pojęcie funkcji oraz jako pierwszy zastosował zapis f(x) dla oznaczenia funkcji f argumentu x. Był też autorem nowoczesnego oznaczania funkcji trygonometrycznych, litery e jako podstawy logarytmu naturalnego(obecnie znanej także jako liczba Eulera),zastosowaniagreckiejlitery dlaoznaczaniasumy orazliteryidowyrażeniajednostkiurojonej(i = 1). Użycie greckiej litery π dla oznaczenia stosunku obwodu okręgu do jego średnicy nie było wprawdzie jego autorstwa, ale zostało przez niego rozpropagowane. 6

Jeden z najbardziej znanych wzorów matematycznych, noszących imię Eulera, ma postać e ix =cosx+isinx, gdziex R,zaśijestjednostkąurojoną.Jesttobardzo ważny wzór matematyczny z teorii funkcji zespolonych, łączący w zaskakujący sposób funkcje trygonometryczne z wykładniczą. Zamieszczony wzór pojawił się w tym historycznym wprowadzeniu bardzo na wyrost, ale możecie mieć pewność, że jeżeli wybierzecie się na studia wyższe o kierunkach ścisłych, na pewno poznacie go bliżej i będziecie wykorzystywali na różnych przedmiotach. Tylezhistorii,ateraz-dodzieła! 7

3 Pojęciawstępne Zacznijmy klasycznie- od wprowadzenia funkcji trygonometrycznych w trójkącie prostokątnym, następnie zamieścimy podstawowe definicje i twierdzenia, niezbędne do przedstawienia tematu. Aby Cię nie zanudzić, jak zwykle do teorii dodamy przykłady- zarówno rozwiązane, tak i do samodzielnej pracy. 8

3.1 Funkcje trygonometryczne w trójkącie prostokątnym α, β kąty ostre w trójkącie prostokątnym; c przeciwprostokątna; a przyprostokątna przeciwległa kątowi α,(przyległa β); b przyprostokątna przeciwległa kątowi β,(przyległa α). Β a c b Α Rysunek 1: Wprowadzenie funkcji cos x, sin x w trójkącie prostokątnym. 9

Sinusem kąta ostrego α w trójkącie prostokątnym nazywamy stosunek długości przyprostokątnej przeciwległej temu katowi do długości przeciwprostokatnej: sinα= a c. 10

Cosinusem kąta ostrego α w trójkącie prostokątnym nazywamy stosunek długości przyprostokątnej przyległej do tego kąta do długości przeciwprostokątnej: cosα= b c. 11

Tangensem kąta ostrego α w trójkącie prostokątnym nazywamy stosunek długości przyprostokątnej przeciwległej temu kątowi do długości drugiej przyprostokątnej: tgα= a b. 1

Cotangensem kąta ostrego α w trójkącie prostokątnym nazywamy stosunek długości przyprostokątnej przyległej do tego kąta do długości drugiej przyprostokątnej: ctgα= b a, ctgα= 1 tgα. 13

Przykład 3.1. Tangens kąta ostrego trójkąta prostokątnegowynosi 3,adługośćprzyprostokątnej,leżącej naprzeciw tego kąta, wynosi 5. Oblicz długość drugiej przyprostokątnej. 14

Rozwiązanie To zadanie łatwiej będzie rozwiązać, jeżeli sporządzimy rysunek pomocniczy: Β a 5 c X Α Rysunek : Rysunek pomocniczy do przykładu 3.1. Ztreścizadaniaizrysunkumożemyzapisać,że: tgα= 3, tgα=5 x, stąd: 3 =5 x=3 5 x x=7,5. Odpowiedź: Długość drugiej przyprostokątnej wynosix=7,5. 15

Przykład 3.. Narysuj kąt, tangens którego jest równy 1,5. 16

Rozwiązanie. Wystarczy narysować dowolny trójkąt prostokątny, w którymtangensjednegozkątówwynosi1,5: tgα= a b =1,5=15 10 = 3 ; a b = 3 a=3,b=. Możemywybraćdowolnewielkościaibtakie,abyspełnionybyłwarunek a b = 3,(naprzykład:a=6ib=4). Następnie rysujemy kąt prosty, na jego ramionach zaznaczamy odpowiednie odcinki i łączymy ich końce. W otrzymanym trójkącie prostokątnym szukany kąt leży naprzeciwko boku o długości 3 cm. 17

Przykład 3.3. Nachylenie stoków gór, dachów domów, schodów często podawane jest w procentach. Na pewno widzieliście znak drogowy, ostrzegający przed stromym podjazdem- tabliczka na tym znaku wskazuje nachylenie drogi do poziomu, podane w procentach. Na przykład nachylenie wynoszące 15% oznacza, że tangens kąta nachylenia drogi do poziomu wynosi 0, 15. Α 100 m 10 m Rysunek 3: Kąt z nachyleniem 10% 18

Ćwiczenie. a) Nachylenie pewnego zbocza wynosi 5%. Narysuj kąt, który odpowiada takiemu nachyleniu. b) Pod jakim kątem byłoby nachylone zbocze góry, gdyby jego nachylenie wynosiło 100%? 19

3. Wprowadzenie funkcji trygonometrycznych sinxicosxnaokręgu Możemy wprowadzić funkcje trygonometryczne w inny sposób naokręguopromieniur = 1ześrodkiemw punkcie o współrzędnych(0, 0). Wyobraźcie punkt, który porusza się tylko po okręgu. Jeżeli punkt porusza się w kierunku, przeciwnym ruchu wskazówek zegara, to kąt mierzony od dodatniego zwrotu osi OX do wektora wodzącego naszego punktu ma znak dodatni, a w kierunku zgodnym z ruchem wskazówek zegara ujemny. Współrzędnaxpunktudanamwartośćcosα,awspółrzędna y wartośćsinα. y 1.0 y 0.5 1.0 0.5 0.5 1.0 x x 0.5 1.0 Rysunek4:Okrągopromieniur=1. 0

Taki sposób wprowadzenia funkcji pozwala na odczytanie z rysunku nie tylko pewnych właściwości funkcji cos α, sin α, a również na łatwiejsze zapamiętanie wartości tych funkcji dla wybranych kątów, często pojawiających się w zadaniach, oraz wizualizacje wzorów redukcyjnych. Na kolejnych slajdach pokażemy, jak korzystać z takiego sposobu prezentacji funkcji trygonometrycznych. 1

3.3 Wartosci funcji trygonometrycznych wybranych argumentów Korzystajączokręguopromieniur=1,odczytamywartości funkcji sin α, cos α wybranych kątów. Odczytane i obliczone wartości zestawimy w tabeli. Π 1.0 3 0.5 Π 3 Π 4 Π 6 Π 1.0 0.5 0.5 1.0 3 0 0.5 Rysunek 5: Okrąg trygonometryczny z zaznaczonymi wartościami sinαicosαdlawybranychkątów. π π π π x 0 6 4 3 π π 0 0 30 0 45 0 60 0 90 0 180 0 360 0 1 sinx 0 3 1 0 0 cosx 1 3 1 0 1 1 tgx 0 3 3 1 3 0 0 ctgx 3 1 3 3 0 1.0 3Π

Pokażemy wam jeszcze krótki sposób zapamiętywania wartości funkcji trygonometrycznych wybranych kątów. Na początek zapamiętajmy zależność pomiędzy miarą łukową a stopniową. Jest ona bardzo łatwa. Po pierwsze: jeśli weźmiemy okrąg o promieniu 1, to jego obwód wynosi dokładnie π. Po drugie:jak narysujesz w tym okręgu promień, to zobaczysz że masz kąt pełny. Miara stopniowa kąta pełnego to360. Teraz już tylko korzystasz ze znanej proporcjonalności prostejnp.dlakąta30 π=360 x=30 Stąd już łatwo wyliczyć, że x= 30 360 π=π 6. Przejdźmy teraz do zapamiętywania 3

Rysujemy prostą tabelkę wartości następująco: x 0 π 6 sinx cosx π 4 π 3 π 0 0 30 0 45 0 60 0 90 0 4

w puste miesca stawiam wszędzie kreskę ułamkową x 0 π 6 0 0 30 0 45 0 60 0 90 0 sinx cosx π 4 π 3 π 5

Wszędzie w mianowniku piszę liczbę : x 0 π 6 π 4 π 3 π 0 0 30 0 45 0 60 0 90 0 sinx cosx 6

Wszędzie w liczniku wstawiam znak pierwiastka: x 0 π 6 sinx cosx π 4 π 3 π 0 0 30 0 45 0 60 0 90 0 7

A ponieważ liczyć umiemy, to wpisujemy kolejno liczny0,1,,3,4dlasinusaiodwrotniedlakosinusa: x 0 π 6 sinx 0 cosx 4 π 4 π 3 π 0 0 30 0 45 0 60 0 90 0 1 3 3 1 4 0 8

Teraz po skróceniu otrzymamy dobrze znaną nam tabelę wartości funkcji trygonometrycznych wybranych kątów: x 0 π 6 0 0 30 0 45 0 60 0 90 0 1 sinx 0 3 1 cosx 1 3 π 4 π 3 π 1 0 9

Zobaczmy jak powstaje wykres funkcji sin x. TU WSTAWIĆ PLIK WIDEO image6 30

I jeszcze inny sposób rysowania wykresu funkcji sin x. TU WSTAWIĆ PLIK WIDEO image 31

Teraz bardziej zrozumiałe będą wykresy funkcji trygonometrycznychsinxicosx. Y 1 Π 3Π Π Π 1 Π Π 3Π Π X Rysunek6:Wykresyfunkcjiy=sinx,y=cosx. Miejsca, w których wykresy funkcji przecinają oś OX sątomiejscazerowefunkcjiy=sinx,y=cosx. Proszę zwrócić uwagę na zaznaczony wektor, który jest skierowanytaksamo,jakdodatnizwrotosiox,ajegodługośćwynosi π.jeżeliprzesuniemyotakiwektor wykresfunkcjiy=cosx,tootrzymamywykresfunkcji y=sinx. Po przedstawieniu wzorów redukcyjnych proszę wrócić dotegorysunkuizastanowićsię,któreznichmożemy zilustrować za jego pomocą? 3

3.4 Definicjeiwykresyfunkcjiy=tgxiy=ctgx Y 6 4 3Π Π Π Π Π 3Π X 4 6 Rysunek7:Wykresfunkcjitgx= sinx, x π (k+1),k Z. cosx 33

Y 6 4 Π Π Π Π 3Π Π X 4 6 Rysunek8:Wykresfunkcjictgx= cosx, x kπk Z. sinx 34

Przykład 3.4. Nie wykonując obliczeń, odpowiedz, która z podanych liczb jest największa, a która najmniejsza: tg76 0 tg 0 tg7,5 0 tg1 0 tg39 0 35

Rozwiązanie. W pierwszej kolejności trzeba sprawdzić, czy wszystkie podane kąty spełniają warunek: 90 0 <α<90 0. Następnieuwzględniając,żefunkcjay=tgαwpodanym przedziale jest funkcją rosnącą, szeregujemy rosnąco dane nam wartości tangensów: tg1 0 tg 0 tg7,5 0 tg39 0 tg76 0 Odpowiedź:Najmniejsząliczbąjesttg1 0, anajwiększą-tg76 0. 36

Ćwiczenia. a) Tangens pewnego kąta ostrego jest równy 1. Jaką miaręmatenkąt? b) Nie wykonując obliczeń, odpowiedz, która z podanych liczbjestwiększaod1? tg37 0 tg46 0 tg80 0 tg1 0 tg89 0 37

c)któryzkątów,αczyβ,jestwiększy,jeśli:tgα= itgβ= 1 3. d)czyztego,żetangenspewnegokątaαjestrazy większyodtangensakątaβwynika,żekątαmamiarę dwa razy większą od miary kąta β? Sporządź odpowiedni rysunek. e) Skonstruuj kąt α wiedząc, że: 1.tgα= 3,.tgα=3, 3.tgα= 3, 4.tgα=0,4. 38

3.5 Jedynkatrygonometryczna Jest to jeden z najbardziej znanych wzorów trygonometrycznych, jest prawdziwy dla dowolnej liczby rzeczywistej. Ten wzór jest często wykorzystywany przy rozwiązywaniu równań, nierówności oraz w celu uproszczenia matematycznych wyrażeń, zawierających funkcje trygonometryczne. sin x+cos x=1 39

Przykład 3.5. W trójkącie prostokątnym jedna z przyprostokątnych ma długość 6, a cosinus kąta przy tej przyprostokątnej wynosi 3 4.Jakądługośćmaprzeciwprostokątna? 40

Rozwiązanie. Sporządźmy rysunek pomocniczy: a b Α 6 Rysunek 9: Rysunek do przykładu 3.5. cosα= 3 4 i cosα= 6 a, stąd 3 4 =6 a a=8. Odpowiedź:a=8 41

3.6 Okresowośćfunkcji Funkcje trygonometryczne są funkcjami okresowymi: sinx=sin(x+kπ), cosx=cos(x+kπ), tgx=tg(x+kπ), ctgx=ctg(x+kπ), gdziek=0,±1,±,±3... 4

3.7 Funkcje wielokrotności kątów Najczęściej w zadaniach wykorzystywane są wzory kąta podwójnego, te wzory należy znać na pamięć, resztę wzorów załączyliśmy poglądowo. Wystarczy je kojarzyć i w razie potrzeby sięgnąć do tablic matematycznych. sin(x)=sinxcosx cos(x)=cos x sin x=1 sin x=cos x 1 tg(x)=tgx/(1 tg x) ctg(x)=(ctgx tgx)/=(ctg x 1)/(ctgx) sin(3x)=3sinx 4sin 3 x cos(3x)=4cos 3 x 3cosx tg(3x)=(3tgx tg 3 x)/(1 3tg x) ctg(3x)=(ctg 3 x 3ctgx)/(3ctg x 1) sin(4x)=8cos 3 xsinx 4cosxsinx cos(4x)=8cos 4 x 8cos x+1 tg(4x)=(4tgx 4tg 3 x)/(1 6tg x+tg 4 x) ctg(4x)=(ctg 4 x 6ctg x+1)/(4ctg 3 x 4ctgx) 43

3.8 Wzoryredukcyjne Zestawienie wzorów redukcyjnych przedstawmy w postaci tabeli. sinx cosx sin( α)= sinα cos( α)=cosα sin(π α)= sinα cos(π α)=cosα sin(π+α)=sinα cos(π+α)=cosα sin(π α)=sinα cos(π α)= cosα sin(π+α)= sinα cos(π+α)= cosα sin( π α)=cosα cos(π α)=sinα sin( π +α)=cosα cos(π +α)= sinα sin( 3π α)= cosα cos(3π α)= sinα sin( 3π +α)= cosα cos(3π +α)=sinα Pierwsze wzory jednocześnie mówią nam o nieparzystościfunkcjisinxiparzystościcosx. 44

tgx ctgx tg( α)= tgα ctg( α)= ctgα tg(π α)= tgα ctg(π α)= ctgα tg(π+α)=tgα ctg(π+α)=ctgα tg( π α)= ctgα ctg(π α)= tgα tg( π +α)=ctgα ctg(π +α)=tgα A teraz przedstawimy podobną tabele ze wzorami redukcyjnymidlafunkcjitgxictgx. Takdużotychwzorów,żeażwgłowiesiękręci...Chyba jednak jest za co nie lubić funkcji trygonometrycznych! Ale proszę się nie martwić, jak już wspominaliśmy - wszystkich wzorów nie trzeba znać na pamięć, ważne jest pamiętać podstawowe, potrafić rozwiązywać proste równania, zawierające funkcje trygonometryczne i poznać podstawowe sposoby postępowania przy rozwiązywaniu zadań z trygonometrii. 45

3.9 Funkcje sumy i różnicy kątów sin(x±y)=sinx cosy±cosx siny, cos(x±y)=cosx cosy sinx siny, tg(x±y)= tgx±tgy 1 tgx tgy, ctg(x±y)= ctgx ctgy 1 ctgy±ctgx. 46

4 Zadania do tematu W tym rozdziale zamieścimy zadania rozwiązane i do samodzielnej pracy. Na początku, jak zwykle, zadania będą łatwe, a w miarę zdobycia doświadczenia pojawią się trudniejsze. Jeżeli będziecie mieli jakiekolwiek problemy ze zrozumieniem któregoś, warto do niego wrócić po jakimś czasie i spróbować rozwiązać samodzielnie. Ateraz-dodzieła! 47

Przykład 4.1. Określić, jaki znak ma: a)sin179 0 ;b)cos80 0 ;c)tg145 0 ;d)ctg88 0 ; e)cos410 0 ;f)tg500 0 ;g)sin( 75 0 );h)cos( 116 0 ). 48

Rozwiązanie. a)kąt179 0 znajdujesięwiićwiartce,ponieważjeston większyodkąta90 0 imniejszyod180 0.Wiadomo,żesinusykątów,leżącychwIIćwiartce,sąwiększeod0. Odpowiedź:sin179 0 >0; 49

c)kąt145 0 znajdujesięwiićwiartce,ponieważjest onwiększyodkąta90 0 imniejszyod180 0.Wiadomo,że tangensy kątów, leżących w II ćwiartce, są mniejsze od 0. Odpowiedź:tg145 0 <0; 50

e) Funkcja cos α jest funkcją okresową: Stąd cos(α+k360 0 )=cosα,k Z. cos410 0 =cos(50 0 +360 0 )=cos50 0. Kąt50 0 znajdujesięwićwiartce,ponieważjestonwiększyodkąta0 0 imniejszyod90 0.Wiadomo,żecosinusy kątów,leżącychwićwiartce,sąwiększeod0. Odpowiedź:cos410 0 >0; 51

f) Rozwiązując ten przykład, proszę przypomnieć sobie,ilewynosiokresfunkcjitgα. Resztę przykładów proszę rozwiązać samodzielnie. 5

Przykład 4.. Obliczyć: a)sin390 0 ;b)cos40 0 ;c)tg540 0 ;d)ctg450 0. 53

Rozwiązanie. a) Uwzględniając okresowość funkcji sin α, odejmijmy od argumentupełnyobrót,czyli360 0 : sin390 0 =sin(390 0 360 0 )=sin30 0 = 1. Odpowiedź:sin390 0 = 1. Z resztą zadań poradzicie sobie bez problemu, ale jeszcze raz przypominamy: sprawdźcie okresowość funkcji tg α, ctg α. 54

Przykład 4.3. Wyznaczyć: a)sin( 30 0 );b)cos( 60 0 );c)tg( 45 0 );d)ctg( 30 0 ). 55

Rozwiązanie. a) Funkcja sin α jest funkcją nieparzystą, czyli sin( α)= sinα. Stąd: sin( 30 0 )= sin30 0 = 1. Odpowiedź:sin( 30 0 )= 1. Resztę zadań proszę rozwiązać samodzielnie. 56

Przykład 4.4. Obliczyć: a)sin( 70 0 );b)cos( 405 0 );c)cos( 780 0 );d)ctg( 1110 0 ). 57

Rozwiązanie. W tym zadaniu trzeba jednocześnie uwzględnić okresowość i parzystość/nieparzystość funkcji trygonometrycznych. Dla przykładu a) wygląda to następująco: sin( 70 0 )= sin70 0 = sin( 360 0 +0 0 )= sin0 0 =0. Odpowiedź:sin( 70 0 )=0. Z resztą zadań na pewno poradzicie sobie samodzielnie. 58

Przykład 4.5. Określić znak iloczynów: a)sin130 0 cos( 15 0 ) tg( 100 0 ); b)sin8 cos0, tg( 6,). 59

Rozwiązanie. Po wcześniej rozwiązanych przykładach nie powinniście mieć najmniejszych problemów z tymi zadaniami. Przypuszczamy, że z zadaniem a) w tym przykładzie poradziliście bez problemu. Zadanie b) mogło przysporzyć niektórym osobom trudności ze względu na to, że argumenty funkcji trygonometrycznych nie są wyrażone w stopniach, a są zapisane w radianach! Aby rozwiązać zadanie,trzebaprzypomnieć,że360 0 =π,aπ 3,14. 60

Rozwiążmy ten przykład. Określmy znak każdego wyrażenia w iloczynie, uwzględniając przy tym okresowość i parzystość/nieparzystość funkcji: sin8 sin( 3,14+1,7) sin1,7. Znak sin 1, 7 jest dodatni, ponieważ kąt 1,7 radianów leży w II ćwiartce: 1,57<1,7<3,14,(90 0 = π 1,57). cos0,teżmaznakdodatni,bokąt0,radianówleżyw Ićwiartce: 0<0,<1,57. Uwzględniając nieparzystość tangensa: tg( 6,)= tg6,. Kąt 6, radianów należy do IV ćwiartki: 4,71<6,<6,8,(70 0 = 3π 4,71), tangenswivćwiartcemaznakujemny,stądtg( 6,) ma znak dodatni. Ze względu na to, że wszystkie trzy czynniki danego iloczynu mają znak dodatni, iloczyn też będzie miał znak dodatni. 61

Odpowiedź:sin8 cos0, tg( 6,)>0. Proszę zwrócić szczególną uwagę na powyższe zadanie ze względu na częste problemy z określeniem kątów w radianach, a jak widzicie, nie taki diabeł straszny, jak go malują... Mamy nadzieję, że dotychczasowe zadania były na tyle proste, że nie zniechęciły was do dalszej pracy. Przejdźmy do kolejnych. 6

Przykład 4.6. Sprawdzić,czydladanegokątaαwartościsinαicosα mogą jednocześnie przyjmować wartości: a)sinα=0,4;cosα= 0,7; b)sinα= 0,1;cosα=0,3. 63

Rozwiązanie. To proste zadanie należy rozwiązać, korzystając ze wzoru: sin α+cos α=1. 64

Przykład 4.7. Obliczyćwartościwyrażeńdlaα= π 4 : a)3sin ( α+ π ) ( ) 4 cos 3α π 4 ; b)sin ( α+ 3π ) cos(α+π) tg( α). 65

Rozwiązanie. a)podstawmyα= π 4 wdanewyrażenie.skorzystajmyze wzorów redukcyjnych dla sinusa, a dla cosinusa po prostu obliczmy wartość argumentu: 3sin ( ) π 4 +π cos 4 3cos ( ) π cos 4 ( ) π ( 3 π ) 4 π 4 = 3. = Odpowiedź:a) 3. 66

Przykład 4.8. Obliczyć wartości trzech pozostałych funkcji trygonometrycznych, jeżeli dane jest: a)kątznajdujesięwiićwiartceijegocosα= 4 5 ; b)kątznajdujesięwiiićwiartceijegotgα= 1 5. 67

Rozwiązanie. a)wiićwiartcesinuskątajestdodatni.stądwyznaczamy wartość sinusa, korzystając ze wzoru na jedynkę trygonometryczną, stawiąc przed pierwiastkiem kwadratowym znak + : sinα= 1 cos α= 1 16 5 =3 5. Wartość tangensa wyznaczymy z definicji: tgα= sinα cosα =3 5 : 4 = 3 5 4. Kotangens jest odwrotnością tangensa: ctgα= 1 tgα = 4 3. Odpowiedź:a)sinα= 3 5,tgα= 3 4,ctgα= 4 3. 68

Przykład 4.9. Obliczyć wartość wyrażenia: a) cosα+ctgα ctgα,cosα= 1 3,π<α<3π ; b) sin α 4cos α sin α+3cos α,tgα=3 4. 69

Rozwiązanie. Pewnie bez problemu rozwiązaliście przykład a). Przykładowi b) poświęcimy trochę więcej uwagi. Najłatwiejszym sposobem rozwiązania tego zadania jest podzielenielicznikaimianownikadanegoułamkaprzezcos α, w wyniku czego w wyrażeniu pojawią się tangensy: tg 9 α 4 tg α+3 = 16 4 18 16 +3=9 64 18+48 = 55 66 5 6. Ten sposób warto dobrze zapamiętać, ponieważ jest on często wykorzystywany przy rozwiązywaniu równań trygonometrycznych. Odpowiedź:b) 55 66 5 6. 70

Przykład 4.10. Uprościć wyrażenia: a)cos 4 α(1+tg α)+sin α; b) tg α sin α ctg α cos α ; c) 1 cos α cosα sinα. 71

Rozwiązanie. Rozwiążmy przykład a). Dokonajmy prostych przekształceń: 1+tg α= 1 cos α. Podstawiając do przekształcanego wyrażenia, otrzymujemy: cos 4 α 1 cos α +sin α=cos α+sin α=1. Odpowiedź: a)1; b)tg 6 α; c) (cosα+sinα). 7

Przykład 4.11. Obliczyć: a)cos79 0 cos34 0 +sin79 0 sin34 0 ; b) sin1700 +cos40 0 cos130 0 ; c)4sin5 0 sin35 0 sin85 0 ; d)ctg70 0 ctg50 0 ctg10 0. 73

Rozwiązanie. a) Dane wyrażenie jest prawą stroną wzoru na różnicę kosinusów dwóch kątów: cos79 0 cos34 0 +sin79 0 sin34 0 = =cos(79 0 34 0 )=cos45 0 =. c) Po wielokrotnym zastosowaniu wzorów na przedstawienie iloczynu funkcji trygonometrycznych w postaci sumy oraz wzorów redukcyjnych, otrzymujemy: 4sin5 0 sin35 0 sin85 0 = =4 1 (cos100 cos60 0 ) sin85 0 = =cos10 0 sin85 0 sin85 0 = =sin(85 0 10 0 )+sin(85 0 +10 0 ) sin85 0 = =sin75 0 +sin95 0 sin85 0 = =sin75 0 =cos15 0 =cos(45 0 30 0 )= =cos45 0 cos30 0 +sin45 0 sin30 0 = 3 = + 1 6+ =. 4 Odpowiedź: a) ; b) 3; c) 6+ 4 ; d) 3. 74

Przykład 4.1. Udowodnić tożsamość: a) 1+tgα 1 tgα =tg ( π 4 +α) ; b) sin(α+β) cosαcosβ =tgα+tgβ; c)sinα+sinβ+sinγ=4cos α cosβ cosγ, α+β+γ=π; α,β,γ>0. 75

Rozwiązanie. Mamy nadzieję, że nie przestraszyliście się czasownika udowodnić w treści zadania. Ogólna uwaga, dotycząca rozwiązywania takiego typu zadań, jest następująca: przed rozpoczęciem zadania przeanalizujcie, przekształcenie której ze stron tożsamości do postaci drugiej jest łatwiejsze! Czasami korzystniejsze jest przekształcenie prawej strony i sprowadzenie jej do wyrażenia, znajdującego się po lewej stronie. Wspólnie rozwiążemy tylko trudniejsze zadanie c). 76

c) Zacznijmy od przekształcenia sumy dwóch pierwszych sinusów po lewej stronie: sinα+sinβ=sin α+β =sin π γ ( π cos α β cos α β cos α β sin γ = (po zastosowaniu wzorów redukcyjnych mamy) ) =cos γ cosα β. = = Do przekształcenia sin γ zastosujemy wzory na sinus podwójnego argumentu: sinγ=sin γ cosγ ; sinα+sinβ+sinγ=cos γ cos α β +sin γ. Rozpatrzmy osobno wyrażenie w nawiasach i przekształćmy go do postaci iloczynowej. Zacznijmy od zastosowania wzorów redukcyjnych, przekształcając sinus w kosinus: cos α β +sin γ = 77

=cos α β+π+γ 4 cos α β π+γ 4 = =cos α cosβ. Podstawiając otrzymane wyrażenie w miejsce nawiasu, otrzymamy pożądany wynik. 78

5 Równaniatrygonometryczne Niestety, ten temat też nie należy do lubianych przez uczniów. Problemy w rozwiązywaniu równań trygonometrycznych wynikają z braku konkretnego schematu, który możemy zastosować do wszystkich równań. Sukces w dużej mierze zależy od znajomości wzorów trygonometrycznych, poznaniu często stosowanych przekształceń, ale i tak najważniejsze jest doświadczenie. Zacznijmy więc od rozwiązywania najłatwiejszych przykładów. Mimo łatwości trzeba dobrze zrozumieć, w jaki sposób wyznaczamy rozwiązania równań trygonometrycznych różnego typu, tym bardziej że program matematyki w liceum nie obejmuje odwrotnych funkcji trygonometrycznych: arccosx,arcsinx,arctgx,arcctgx, które są bardzo pomocne w zapisywaniu rozwiązań równań trygonometrycznych. Ale cóż będziemy szukali innych sposobów. Ze względu na to, że w czasie rozwiązywania równań trygonometrycznych dążymy do sprowadzenia tych równań do najprostszej postaci, trzeba dobrze wiedzieć, jakie są rozwiązania najprostszych równań. Aby ułatwić zrozumienie, zamieścimy odpowiednie rysunki. 79

5.1 Ogólne rozwiązanie równania sin x = a Zacznijmy od rozwiązania równania sinx=a, a 1. y sin x 1 y a Π x 0 Π x 0 Π Π x 1 Rysunek 10: Wizualizacja pierwiastków równania sin x = a. Równanie ma nieskończenie wiele rozwiązań(co wynika z okresowości funkcji), zapisujemy je w taki sposób: x 1 =x 0 +kπ, x =π x 0 +kπ, lub łącząc obydwa wzory w jeden: x=( 1) k x 0 +kπ,k=0,±1,±... 80

Przykład 5.1. Rozwiązaćrównaniesinx= 1. 81

Rozwiązanie. Na tym przykładzie przedstawimy jeszcze jeden sposób wizualizacji rozwiązań równań typu sin x = a. Wykorzystamy do tego koło trygonometryczne. Sinus przyjmuje wartościujemnedlakątów,leżącychwiiiiivćwiartkach. 1.0 0.5 1.0 0.5 0.5 1.0 7Π 6 0.5 Π 6 1.0 Rysunek 11: Wizualizacja przykładu 5.1. Z wykresu odczytujemy wartości kątów i nie zapominamyododaniudonichkrotnościokresówπ-inaczej zgubimy nieskończenie wiele rozwiązań. Zapisujemy rozwiązania: 8

x 1 = π 6 +kπ, x =π+ π 6 +kπ, lub łącząc obydwa wzory w jeden: x=( 1) k+1 x 0 +kπ,k=0,±1,±... 83

5. Ogólne rozwiązanie równania cos x = a Teraz rozwiążmy równanie: cosx=a, a 1. cos x 3 1 y a x 0 x 0 4 6 x 1 3 Rysunek 1: Wizualizacja pierwiastków równania cos x = a. Równanie ma nieskończenie wiele rozwiązań(wynika to z okresowości funkcji), zapisujemy je w taki sposób: x=±x 0 +kπ,k=0,±1,±... 84

Przykład 5.. Wyznaczyćpierwiastkirównań:cosx= 1; cosx=1. Uwaga:Zaznaczmyże 1i1sątoodpowiednionajmniejsza i największa wartość, którą może osiągać funkcjay=cosx,więctreśćzadaniamogłabyćtaka: Wyznaczkątydlaktórychfunkcjay=cosxprzyjmuje wartości najmniejsze(największe). 85

Rozwiązanie. To zadanie też poprzedzimy przygotowaniem odpowiedniego rysunku. Tym razem na jednym połączymy obydwa sposoby wizualizacji funkcji trygonometrycznych - schemat kołowy i wykres kotangensa. 86

Na wykresie kołowym szukamy takich punktów, dla którychwspółrzędnax= 1ix=1.Sątopunkty wspólneokręguopromieniur=1zosiąox.punktowi zaznaczonemu na okręgu kolorem czarnym odpowiadająkątyx=kπ,k =0,±1,±...isątorozwiązaniarównaniacosx=1.Czerwonypunktnaokręgu obrazujerozwiązaniarównaniacosx= 1,sątokąty x=π+kπ,k=0,±1,±... y 3 1 Π 0 Π Π 4 6 x 1 3 Rysunek13:Wizualizacjapierwiastkówrównań:cosx=1,cosx= 1. Odpowiedź:cosx=1,x=kπ,k=0,±1,±..., cosx= 1,x=π+kπ,k=0,±1,±... 87

5.3 Ogólne rozwiązanie równania tg x = a Teraz rozwiążmy równanie: tg x = a. Proszę zwrócić uwagęnabrakograniczeńdlawartościparametrua-może to być dowolna liczba rzeczywista. 6 y tg x 4 y a 3Π Π Π x 0 Π Π x 3Π 4 6 Rysunek 14: Wizualizacja rozwiązania równania tg x = a. Odczytanie z wykresu i zapisanie rozwiązań tego podstawowego równania jest bardzo proste: x=x 0 +kπ,gdzie π <x 0< π,k=0,±1,±... Uwaga. Proszę nie zapominać, że okres funkcji y=tgx równasię kπ. 88

Przykład 5.3. Rozwiązaćrównanietgx=1. 89

Rozwiązanie. Rozwiązując to równanie możemy odczytać z tablic tangensówwartośćkąta,dlaktóregotgx=1idodaćokres πn, jeżeli nie mamy przy sobie tablic, możemy szukać rozwiązanie w taki sposób. Wiadomo,żetgx = sinx cosx.ponieważtgx = 1,to sinx cosx =1,atozkoleimamiejsce,jeżelisinx=cosx. Wiadomo,żeostatniarównośćzachodzidlax= π 4 (pamiętamy,abywybrać π <x<π ). Odpowiedż: x= π 4 +kπ,k=0,±1,±... 90

5.4 Ogólne rozwiązanie równania ctg x = a Teraz rozwiążmy równanie: ctg x = a. Proszę zwrócić uwagę na brak ograniczeń dla wartości parametru a- może to być dowolna liczba rzeczywista. 6 y ctg x 4 y a x 3Π Π Π x 0 Π Π 3Π 4 6 Rysunek 15: Wizualizacja rozwiązania równania ctg x = a. Odczytanie z wykresu i zapisanie rozwiązań tego podstawowego równania jest bardzo proste: x=x 0 +kπ,gdzie0<x 0 <π,k=0,±1,±... 91

Przykład 5.4. Wyznaczyćpierwiastkirównaniactgx= 3. 9

Rozwiązanie. Rozwiązanie tego równania jest bardzo proste- wystarczy w tablicach matematycznych odszukać miarę kąta, cotangensktóregorównasię 3izapisaćwynik,niezapominając uwzględnić w odpowiedzi okresowość cotangensa. Od razu podamy Odpowiedź: x= π 6 +kπ,k=0,±1,±... 93

Przykład 5.5. Rozwiązać równania, sprowadzając je do równania kwadratowego względem wybranej funkcji trygonometrycznej: a)1 sin 4 x 5 3 cos4 x=0. b)cosx sin x =1. c)8cos 4 x cos4x=1. 94

Rozwiązanie. a) Stosując wzory: sin x= 1 (1 cosx), cos x= 1 (1+cosx), i wzory skróconego mnożenia,otrzymamy równanie kwadratowe względem cos x: 4 (1 cosx+cos x) 5 3 (1+cosx+cos x)=0, po uproszczeniu: cos x+cosx 1=0. Po rozwiązaniu równania kwadratowego otrzymujemy: 1)cosx= 1, x=± π 3 +πk x 1=± π 6 +πk; )cosx= 1, x=π+πk x = π +πk. Odpowiedź:x 1 =± π 6 +πk; x = π +πk, k=0,±1,±... 95

b) Stosując wzór: cosx=1 sin x, i podstawiając go do równania, otrzymamy równanie kwadratowewzględemsin x. Dalsze obliczenia są bardzo łatwe, proszę wykonać je samodzielnie. Odpowiedź:x 1 =kπ, x =( 1) k+1 3π +kπ,k=0,±1,±... 96

c) W tym przykładzie stosując wzory: cos x= 1 (1+cosx), cos4x=cos x 1, i podstawiając je do równania, otrzymamy: (1+cosx+cos x) cos x+1=1, cosx= 1, x=± π 3 +kπ. Odpowiedź:x=± π 3 +kπ,k=0,±1,±... 97

Ćwiczenie. Rozwiązać równania, sprowadzając je do równania kwadratowego względem wybranej funkcji trygonometrycznej: a)sin 4x 3 +cos4x 3 =5 8. b)1+sinx=sinx+cosx. c)8cos 4 x=3+5cos4x. 98

Odpowiedź: a)x=± π +3π k,k=0,±1,±... b)1)x= π 4 +kπ,)x= π +kπ, c)x=kπ,n=0,±1,±... 99

6 Zakończenie Mamy nadzieję, że po uważnej lekturze i samodzielnej pracy udało się rozwiązać ostatnie w tej prezentacji zadania. Trochę wykraczają one za ramki programu podstawowego, ale zamieściliśmy ich z premedytacją może spodobają Wam się przekształcenia wzorów trygonometrycznych i główkowanie nad poszukiwaniem rozwiązań, bez wątpienia jest to interesująca łamigłówka. Jeżeli odpowiedź jest twierdząca, to zapraszamy do lektury drugiej części prezentacji, która jest przeznaczona dla osób, które wybrały poziom rozszerzony, bądź po prostu zainteresowali się tym tematem. A więc do kolejnego spotkania! 100

Literatura [1] J. Anusiak, Matematyka. Podręcznik dla liceum ogólnokształcącego i technikum, klasa I, WSiP, Warszawa 1990. [] M. Antek, P. Grabowski, Matematyka 1. Podręcznik dla liceum ogólnokształcącego, liceum profilowanego i technikum. Kształcenie ogólne w zakresie podstawowym, Nowa Era, Warszawa 006. [3] M. Karpiński, M. Dobrowolska, M. Braun, J. Lech, Matematyka I. Podręcznik do liceum i technikum, zakres podstawowy z rozszerzeniem, Gdańskie Wydawnictwo Oświatowe, Gdańsk 008. [4] M. Sadowski, Algebra w zadaniach, HARMONIA, Gdańsk 000. [5] H. Pawłowski, Matematyka 1. Podręcznik zakres rozszerzony, OPERON, Gdynia 005. [6] H. Pawłowski, Matematyka. Zbiór zadań, zakres podstawowy i rozszerzony, OPERON, Gdynia 005. 101