01DRAP - klasyczna definicja prawdopodobieństwa Ω zbiór zdarzeń elementarnych. Gdy Ω < oraz P({ω} = 1 Ω, dla każdego ω Ω (tzn. każde zdarzenie elementarne jest równo prawdopodobne, to P (A = A Ω Przydatne wzory kombinatoryczne: n! = n (n 1... 2 1: : na tyle sposobów możemy ustawić n elementów w rzędzie. tyle jest k elementowych ciągów o wyrazach ze zbioru n elementowego (elementy mogą się powtarzać w ciągu; na tyle sposobów możemy wybrać kolejno ze zwracaniem k elementów ze zbioru n elementowego; na tyle sposobów możemy wybrać kolejno ze zwracaniem k razy jeden element ze zbioru n elementowego; ( = n (n 1... (n k + 1 = n! (n k! : tyle jest k elementowych ciągów o wyrazach ze zbioru n elementowego, w których elementy nie mogą się powtarzać; na tyle sposobów możemy wybrać kolejno bez zwracania k elementów ze zbioru n elementowego; na tyle sposobów możemy wybrać kolejno bez zwracania k razy jeden element ze zbioru n elementowego; na tyle sposobów możemy wybrać kolejno k różnych elementów ze zbioru n elementowego; ( n k = ( n! k! = (n k!k! : tyle jest k elementowych zbiorów o wyrazach ze zbioru n elementowego; na tyle sposobów możemy wybrać jednocześnie/na raz k elementów ze zbioru n elementowego; na tyle sposobów możemy wybrać k elementów ze zbioru n elementowego, jeśli kolejność wyborów nie jest istotna; A Zadania na ćwiczenia W każdym zadaniu podaj, z jakich elementów składa się zbiór Ω. Zadanie A.1. Tworzymy losowo słowo o długości 7 (niekoniecznie mające sens z liter: a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m, n (14 liter. Z jakim prawdopodobieństwem litery w słowie nie bedą się powtarzać? Zadanie A.2. 25 uczniów z klasy IF ustawiliśmy losowo w rzędzie (każdy układ równo prawdopodobny. Jaka jest szansa na to, że Franek G. stoi obok Grzesia T.? Zadanie A.3. Jaka jest szansa na to, że w 20 rzutach symetryczną monetą a. wypadną dokładnie 3 orły? b. w ostatnim rzucie orzeł wypadnie po raz trzeci? c. wypadną co najmniej 3 orły? Zadanie A.4. W woreczku są dwa ołówki: zielony i niebieski. Losujemy 20 razy ze zwracaniem po jednym ołówku. Jaka jest szansa na to, że a. dokładnie 3 razy wylosowaliśmy ołówek zielony? b. w ostatnim losowaniu wylosowaliśmy ołówek zielony po raz trzeci? c. co najmniej 3 razy wylosowalismy ołówek zielony? Zadanie A.5. 20 dzieci z klasy IIIc weszło do sklepu ze słodyczami oferującego 4 rodzaje cukierków (w nieograniczonych ilościach: landrynki, krówki, żelki i toffi. Każdy (losowo wybiera po jednym cukierku. Jaka jest szansa, że a. dokładnie pięcioro dzieci wybrało krówki? 1
b. Franek z IIIc (losujący jako ostatni wybrał krówkę jako piąty z dzieci? c. co najmniej jedno dziecko wybrało krówkę? Zadanie A.6. W urnie znajdują się 123 kule ponumerowane liczbami 1, 2,..., 123. Losujemy kolejno ze zwracaniem 15 razy po jednej kuli. Jaka jest szansa, że a. dokładnie sześć wylosowanych liczb było parzystych? b. ostatnia wylosowana kula była szóstą wylosowaną liczbą parzystą? c. co najmniej jedna wylosowana kula miała liczbę parzystą? Zadanie A.7. W urnie znajduje się 201 losów: 100 o wartości 0 zł i 101 o wartości 1 zł. 30 osób losuje - każda po jednym losie - i zatrzymuje los dla siebie. Jaka jest szansa, że a. dokładnie siedem osób miało los o wartości 1 zł? b. Gosia jest jedną z siedmiu osób, które wylosowały los o wartości 1? c. co najmniej dwie osoby miały los o wartości 1? Przeanalizuj to zadanie rozważając losowanie kolejno jak i losowanie jednocześnie. Zadanie A.8. Z urny, w której znajduje się 50 kul białych i 40 kul czarnych losujemy 20 różnych kul. Jaka jest szansa, że a. 5 kul było czarnych? b. wszystkie kule były białe? Zadanie A.9. (PODSUMOWANIE W kartonie znajduje się 40 zdrowych jabłek i 30 zgniłych. Na ile sposobów możemy wybrać i. jednocześnie ii. kolejno bez zwracania iii. kolejno ze zwracaniem 20 jabłek z kartonu a. w ogóle? b. tak, aby dokładnie 11 wybranych jabłek było zgniłych? B Zadania domowe W każdym zadaniu podaj, z jakich elementów składa się zbiór Ω. Zadanie B.1. (zadanie 11 1.5 Rozdano 52 karty czterem graczom, po 13 kart każdemu. Jaka jest szansa, że każdy ma asa? Zadanie B.2. (zad 22 1.5 Leszek i Olek decydują o tym, kto zapłaci za obiad. Leszek wziął dwie krótkie i dwie długie zapałki i kazał koledze wylosować (bez zwracania dwie, mówiąc jeśli wylosujesz krótszą i dłuższą, to płacisz, a w przeciwnym razie ja. Jaka jest szansa, że Olek zapłaci za obiad? Zadanie B.3. Oblicz prawdopodobieństwo, że w 5 osobowej delegacji wybranej losowo z klasy liczącej 15 dziewcząt i 16 chłopców, znajdzie się 3 chłopców. Zadanie B.4. (Zadanie 3 1.5 W urnie są 2 kule białe i 4 czarne. Losujemy 2 kule bez zwracania. Co jest bardziej prawdopodobne, wyciągnięcie a kul tego samego koloru; b różnych kolorów? Zadanie B.5. Z tradycyjnej talii 24 kart wybieramy pięć. Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania następujących układów: jedna para (i nic więcej, dwie pary (i nic więcej, strit, full, poker. 2
Zadanie B.6. Jaka jest szansa, że przy losowym przestawianiu wszystkich 26 liter alfabetu (bez polskich liter utworzymy sekwencję (a abc? (b rachunek? Zadanie B.7. (zadanie 7 1.5 Przy okrągłym stole siadają losowo Ania, Bartek i jeszcze sześć osób. Jaka jest szansa, że Ania i Bartek znajdą się obok siebie. Zadanie B.8. Oblicz prawdopodobieństwo, że losowo wybrany ciąg binarny (składający się z 0 i 1 długości 15 ma dokładnie 10 zer. Zadanie B.9. Rzucamy n razy (n 9 standardową kostką do gry. Jaka jest szansa, że wypadnie dokładnie sześć jedynek, trzy czwórki i poza tym inne wartości? Zadanie B.10. (zadanie 23 1.5 W klasie jest 10 dziewcząt i 10 chłopców, którym przydzielono arbitralnie i losowo miejsca w 10 dwuosobowych ławkach. Jaka jest szansa, że w każdej ławce będzie siedziała dziewczynka i chłopiec? Zadanie B.11. Wybieramy losowo liczbę ze zbioru {1,..., 1800}. Oblicz prawdopodobieństwo, że wybrana liczba (a dzieli się przez 4 lub 5? (b nie dzieli się ani przez 6 ani przez 9? Zadanie B.12. Do n różnych urn wrzucamy losowo k różnych kulek. Jakie jest prawdopodobieństwo, że (a w każdej urnie będzie co najwyżej jedna kulka (zakładamy tutaj, że k n? (b w pierwszej urnie będą co najwyżej 2 kule? (c w ostatniej urnie będą co najmniej 2 kule? Zadanie B.13. Rzucamy n razy kostką. Liczymy, ile jest możliwych wyników, w których jedynka wypada przynajmniej 2 razy. Czy poniższa odpowiedź jest poprawna? Odpowiedź: ( n 2 6 n 2. Zadanie B.14. Dzielimy talię 52 kart na dwie równe części. Oblicz prawdopodobieństwo, że: a. w obu częściach będą po 2 asy, b. w jednej części będą 3 asy. Zadanie B.15. Oblicz prawdopodobieństwo wypadnięcia k orłów w n rzutach symetryczną monetą. Zadanie B.16. Rzucamy 5 razy kostką. Oblicz prawdopodobieństwo, że uzyskamy dokładnie dwie różne wartości (np. 2,4,2,2,4. Zadanie B.17. Z cyfr 1, 2,..., 9 losujemy kolejno 10 ze zwracaniem i zapisujemy w otrzymanej kolejności. Oblicz prawdopodobieństwo, że największa z wylosowanych cyfr jest równa 7. Zadanie B.18. Tasujemy talię kart i otrzymujemy permutację, która ma takie samo prawdopodobieństwo jak dowolna inna permutacja ze zbioru wszystkich permutacji. Oblicz prawdopodobieństwa następujących zdarzeń. a Wśród pierwszych dwóch kart jest przynajmniej jeden as. b Wśród pierwszych pięciu kart jest przynajmniej jeden as. c Pierwsze dwie karty stanowią parę o tej samej wartości (wartości to: A, K, D, W, 10, 9,..., 2. d Pierwszych pięć kart to kiery. e Wśród pierwszych pięciu kart są dwie figury tej samej wartości i trzy blotki tej samej wartości. (Figury: A, K, D, W ; blotki: 10, 9, 8,..., 2. Zadanie B.19. W kapeluszu jest 36 różnych losów o wartości wygranej odpowiednio: 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3,..., 9, 9, 9, 9. Losujemy kolejno, bez zwracania 6 z nich. Oblicz prawdopodobieństwo, że : a pierwsze trzy losy mają wartość 1; b wylosowaliśmy 3 losy o jednej wartości i 3 o drugiej (np. 2, 3, 3, 2, 3, 2; c w sumie wylosowaliśmy dokładnie dwie różne wartości wygranych (np. 1, 5, 5, 5, 5, 1; d nie wylosowaliśmy żadnego losu o wartości 1; e wylosowaliśmy co najmniej jeden los o wartości 1; f każdy wylosowany los ma inną wartość. Jak zmienią się wyniki w przypadku zmiany doświadczenia na losowanie ze zwracaniem? 3
C Zadania dla chętnych Zadanie C.1. (Zad 13 1.5 W Toto-Lotku losuje się 6 liczb z 49. Jaka jest szansa, że żadne dwie nie będą kolejnymi? Zadanie C.2. W wyborach startuje dwóch kandydatów. Do urny wrzucono 100 głosów na pierwszego i 100 głosów na drugiego kandydata. Losowo wybieramy z urny próbkę 99 głosów (losowo oznacza, że z jednakowym prawdopodobieństwem otrzymujemy każdy możliwy podzbiór 99-elementowy. Oblicz prawdopodobieństwo, że większość w próbce stanowią głosy oddane na pierwszego kandydata. UWAGA: nie chodzi o wynik w postaci sumy. Zadanie C.3. Czy prawdopodobieństwo, że rzucając 100 razy symetryczną monetą, wyrzucimy więcej orłów niż reszek, wynosi 1/2? Zadanie C.4. Ulicą spaceruje n (n > 3 zadbanych psów, które pcheł oczywiście nie posiadają. Tą samą ulicą spaceruje t głodnych pcheł (t > 4. W pewnym momencie każda z nich wskakuje na losowo wybranego psa (to oznacza, że będziemy zakładać, że każdy możliwy rozkład tych t pcheł na n psach jest jednakowo prawdopodobny; zakładamy również, że zarówno psy jak i pchły są rozróżnialne. Jakie jest prawdopodobieżstwo, że : a na pierwszym psie wylądują dokładnie 3 pchły? b na ostatniego psa wskoczy przynajmniej jedna pchła? c pierwszy lub drugi pies pozostanie szczęśliwie bez pcheł? d zarówno na pierwszym, jak i na drugim psie znajdzie się przynajmniej jedna pchła? Zadanie C.5. Z cyfr 1, 2,..., 9 losujemy kolejno 5 ze zwracaniem i zapisujemy w otrzymanej kolejności. Oblicz prawdopodobieństwo, że a. otrzymana liczba 5-cyfrowa jest podzielna przez 3. b. iloczyn cyfr jest podzielny przez 10. Zadanie C.6. Oblicz prawdopodobieństwo, że wybierając kolejno, z powtórzeniami trzy liczby x, y, z spośród 0, 1,..., 10, otrzymamy rozwiązanie równania x + y + z = 10. Zadanie C.7. Rzucamy dziesięcioma sześciennymi kostkami do gry. Następnie rzucamy ponownie tymi kostkami, na których nie wypadła ani jedynka, ani dwójka. W trzeciej rundzie rzucamy tymi kostkami, na których do tej pory nie wypadła ani jedynka, ani dwójka. W czwartej rundzie rzucamy tymi kostkami, na których do tej pory nie wypadła ani jedynka, ani dwójka, i tak dalej. Oblicz prawdopodobieństwo, że po siedmiu rundach na każdej z kostek będzie jedynka lub dwójka. Zadanie C.8. Talia składa się z 16 figur i 36 blotek. Dobrze potasowane karty rozdajemy 4 graczom, każdemu po 13. Która z poniższych liczb jest równa prawdopodobieństwu, że każdy z graczy otrzyma dokładnie 4 figury i 9 blotek. a ( 14 4/ 4 16 b ( 16 4/ 4 13 c ( ( 13 9 5 ( 4 4( 4 / 52 ( 36 ( 20 16 16 16 d (16 15 14 13/16 4 e ( 13 4 4 4
Odpowiedzi do niektórych zadań B.3 (15 2 ( 16 3 ( 31 B.4 a 7/15 b 8/15 B.5 6(4 2( 5 34 3 B.6 (a 24! 26! (b 19! 26! B.8 (15 10 2 15 B.9 (n 6( n 6 3 4 n 9 6 n, (6 2( 4 2 2 16 B.11 (a 2/5 (b 7/9, 2 45 6(4 (zakładamy, że poker też jest stritem, 35( 4 2, 2 4 B.12 (a ( B.13 NIE 24 26 B.14 (a (4 2( 48 B.15 ( 2 n (b (n 1k +k(n 1 k 1 +( k 2(n 2 k 2 (b (4 1( 48 25+( 4 3( 48 23 26 25 26 = 2(4 1( 48 (c 1 (n 1k +k(n 1 k 1 B.16 (6 2(2 5 2 6 5 B.17 710 6 10 9 10 B.18 a 1 (48250! b 1 (48547! c 13 (42 50! d (135 47! e 4 (4 2 9 ( 4 3 5! 47! = 4 9 (5 2 (4 2 (4 3 47! B.19 a (43(333 b 2( (9 4 3( 4 36! c (9 2(8 6 d (326 e 1 (326 f (9646 ze zwracaniem: a 1 9 b 2( (9 6 3 3 9 c (9 2(2 6 2 d 86 e 1 86 f (96 6 5