Zadania do wykładu Matematyka bankowa 2

Zadania do wykładu Matematyka bankowa 2 Dorota Klim Department of Nonlinear Analysis, Faculty of Mathematics and Computer Science, University of Łódź, Banacha 22, 90-238 Łódź, Poland E-mail address: klimdr@math.uni.ldz.pl http://math.uni.lodz.pl/ klimdr/

Bibliografia [1] M. Podgórska, J. Klimkowska, Matematyka finansowa, PWN. [2] S. G. Kellison, The Theory of Interest, McGraw-Hill Int. Ed. [3] E. Smaga, Arytmetyka finansowa, PWN. [4] M. Sobczyk, Matematyka finansowa, Placet. [5] M. Szałański, Podstawy matematyki finansowej, Elipsa. [6] M. Capinski, T. Zastawniak, Mathematics for Finance: An Introduction to Financial Engineering, Springer. 1

Wkłady oszczędnościowe Zadanie 1 Jaka jest przyszła wartość wkładów oszczędnościowych prostych, jeśli płatności były dokonywane co kwartał w wysokości: 5 jp, 5, 5 jp, 4 jp, 6 jp? Roczna stopa procentowa wynosi 12% Zadanie 2 Jaka jest przyszła wartość wkładów oszczędnościowych prostych, jeśli płatności były dokonywane przez pół roku na początku każdego miesiąca w wysokości: 30 jp, 35 jp, 40 jp, 35 jp, 25 jp, 30 jp? Roczna stopa procentowa wynosi 9% Zadanie 3 Jaka jest przyszła i teraźniejsza wartość wkładów oszczędnościowych o okresie bazowym 1 miesiąc wnoszonych przez rok a) z dołu, b) z góry, w wysokości 1 jp, jeżeli stopa procentowa okresu bazowego wynosi 4, 5%? Zadanie 4 Jaka jest przyszła i teraźniejsza wartość wkładów oszczędnościowych wnoszonych przez rok na początku każdego miesiąca w wysokości 10 zł, jeżeli nominalna stopa procentowa wynosi 10%? Zadanie 5 Jaka jest przyszła i teraźniejsza wartość wkładów oszczędnościowych wnoszonych przez rok pod koniec każdego miesiąca w wysokości 28 zł, jeżeli stopa procentowa okresu bazowego wynosi 3, 05%? Zadanie 6 Mając ciąg 12 rat stałych o wysokości 250 zł każda wyznaczyć wartość aktualną tego ciągu na moment t = 4. Roczna stopa procentowa wynosi 4%. Zadanie 7 Jakiej wysokości raty wnoszone przez pół roku co miesiąc według stopy miesięcznej 3, 5% pozwolą zgromadzić kapitał w wysokości 5000 zł? Zadanie rozwiązać dla płatności z dołu i z góry. Zadanie 8 Wyznaczyć przyszłą i teraźniejszą wartość wkładów oszczędnościowych wnoszonych przez 5 lat a) pod koniec każdego miesiąca, b) na początku każdego miesiąca, w wysokości 1 jp, jeżeli miesięczna stopa procentowa wynosi 1, 2%. Zadanie 9 Wyznaczyć przyszła wartość wkładów oszczędnościowych wnoszonych przez 3 lata na początku każdego kwartału w wysokości 15 zł, jeżeli nominalna stopa procentowa wynosi 6, 1% a kapitalizacja jest: a) kwartalna, b) miesięczna. 2

Zadanie 10 Jakiej wysokości wkłady oszczędnościowe kwartalne wnoszone z dołu przez 15 lat pozwolą zgromadzić kapitał w wysokości 150.000 zł, jeżeli stopa okresu bazowego wynosi 5, 67% a odsetki są kapitalizacowane co a) kwartał, b) pół roku? Zadanie 11 Na konto bankowe z wkładem początkowym 600 zł pod koniec każdego miesiąca wpływa stała kwota 80 zł. Jaki powstanie kapitał po 2 latach, jeśli odsetki są kapitalizowane co miesiąc według stopy i = 6, 03%? Zadanie 12 Przez ile miesięcy należy wpłacać kwotę 50 zł, aby wartość zgromadzonego kapitału wraz z odsetkami wyniosła co najmniej 800 zł? Stopa okresu kapitalizacji wynosi 1, 45% i kapitalizacja jest dzienna. Zadanie 13 Przez 5 lat na początku każdego miesiąca wpłacano stałą kwotę 150 zł. Jakiej wysokości kapitał utworzy się, jeżeli po każdym roku z konta wypłacano stałą kwotę 500 zł i bank stosuje miesięczną kapitalizację odsetek przy stopie nominalnej 9%? Zadanie 14 Jakiej wysokości semestralne wypłaty mógłby pobierać student z konta, na którym znajduje się kredyt wysokości 500 zł oprocentowany w modelu oprocentowania składanego kwartalnego przy nominalnej stopie r = 11%? Zadanie 15 Cena mieszkania wynosi 265000 zł, przy czym można je spłacać stałymi ratami miesięcznymi dokonywanymi z dołu przez 3 lata w wysokości 3.500 zł. Jakiej wielkości musi być kapitał własny, jeśli raty są oprocentowane według stopy miesięcznej 2%. Zadanie 16 Jaka jest teraźniejsza wartość samochodu, jeżeli firma na początku zapłaciła 25% wartości samochodu i spłaca go miesięcznymi kwotami wnoszonymi z dołu w wysokości 500 zł przez 10 lat? Zadanie 17 Firma ma zamiar kupić samochód dostawczy. Z rachunków szacunkowych wynika, że dzięki tej inwestycji pod koniec każdego roku przez 5 lat będzie miała zyski w wysokości 70000 zł, zaś po 5 latach samochód będzie można sprzedać za 10000 zł. Jaka jest obecna wartość samochodu, jeśli do obliczeń stosowano i = 20%? Zadanie 18 Jakiej wysokości wpłaty roczne wnoszone pod koniec każdego roku przez 5 lat wygenerują kapitał początkowy w wysokości 120zł, jeśli roczna stopa procentowa wynosi 11%? Zadanie 19 Jak długo należy wpłacać pod koniec każdego miesiąca 10 zł przy nominalnej stopie 5%, aby wartość początkowa wygenerowanego kapitału wyniosła co najmniej 1000 zł? Zadanie 20 Wyznaczyć wartość przyszłą i teraźniejszą inwestycji przynoszącej dochód w postaci co miesięcznych (z dołu) wpływów w wysokości 2000 zł przez 4 lata, które można lokować w banku według stopy i = 5, 2%. 3

Zadanie 21 Wyznaczyć przyszłą i teraźniejszą wartość wkładów oszczędnościowych wnoszonych przez 2 lata a) pod koniec każdego tygodnia, b) na początku każdego tygodnia, w wysokości 100 zł, jeżeli nominalna stopa procentowa wynosi 12% a odsetki są kapitalizowane co miesiąc. Zadanie 22 Wyznaczyć przyszłą wartość wkładów oszczędnościowych wnoszonych przez 3 lata na początku każdego miesiąca w wysokości 15 zł, jeżeli nominalna stopa procentowa wynosi 6, 1% a kapitalizacja jest kwartalna. Zadanie 23 Jakiej wysokości wkłady oszczędnościowe miesięczne wnoszone z dołu przez 5 lat pozwolą zgromadzić kapitał w wysokości 12000 zł, jeżeli stopa okresu bazowego wynosi 5, 67% a odsetki są kapitalizacowane co pół roku? Zadanie 24 Jaka roczna stopa procentowa pozwoliła na zgromadzenie kapitału 700 zł dzięki co miesięcznym wpłatom z góry po 100 zł przez pół roku? Zadanie 25 Jaka jest cena telewizora, który można spłacić dziewięcioma miesięcznymi płatnościami po 157 zł każda oprocentowanymi według stopy 15% w skali roku? Spłata długów krótkoterminowych Zadanie 26 Dług 250 zł należy spłacić w 6 miesięcznych ratach wnoszonych z dołu wysokości: 30 jp, 40 jp, 50 jp, 60 jp, 70 jp, R 6 jp. Wyznaczyć wysokość ostatniej raty oraz dług bieżący po każdej racie, jeśli roczna stopa procentowa wynosi 24% i kapitalizacja jest prosta. Obliczenia wykonać stosując dyskonto matematyczne oraz aktualizację względem momentu t = 0, t = 4 i t = 6. Zadanie 27 Dług 1000 zł ma być spłacony w 3 ratach wysokości R płaconych pod koniec każdego miesiąca. Wyznaczyć wielkość R oraz rozkład raty na część kapitałową i odsetkową przyjmując aktualizację względem t = 2 i t = 3 i dyskonto matematyczne przy rocznej stopie 18%. Zadanie 28 Dług 1000 zł ma być spłacony w 4 miesięcznych ratach kupieckich przy oprocentowaniu 18% w skali roku. Ułożyć plan spłaty długu. Zadanie 29 Jaki dług umarzają 3 raty miesięczne z dołu w wysokości 1000 zł przy rocznej stopie procentowej 12% przy aktualizacji względem t = 0, t = 3. Wyznaczyć część kapitałową i odsetkową raty R. Zadanie 30 Ile wynosi roczna stopa procentowa, jeśli dług 100 zł został spłacony w 5 równych ratach kupieckich wysokości 25 zł wnoszonych z dołu co miesiąc? Zadanie 31 Ułożyć plan spłaty długu 600 zł w 4 ratach miesięcznych w postaci tabeli, jeżeli dług ten jest spłacany w równych ratach kupieckich według stopy 12% w skali roku. 4

Zadanie 32 Dług 250 jp należy spłacić w 6 miesięcznych ratach wnoszonych z dołu wysokości: 30 jp, 40 jp, 50 jp, 60 jp, 70 jp, R 6 jp. Wyznaczyć wysokość ostatniej raty oraz dług bieżący po każdej racie, jeśli roczna stopa procentowa wynosi 24% i kapitalizacja jest prosta. Obliczenia wykonać stosując dyskonto handlowe oraz aktualizację względem momentu t = 0, t = 4 i t = 6. Zadanie 33 Dług 2000 zł należy spłacić w 4 ratach wnoszonych kwartalnie z dołu wysokości: 500 jp, 500 jp, 500 jp, R 4 jp. Ustalić wysokość R 4 przy rocznej stopie r = 18% stosując dyskonto handlowe przy aktualizacji względem t = 0 i t = 4. Zadanie 34 Dług 350 zł należy spłacić w 4 kwartalnych ratach wnoszonych z dołu wysokości: 100 jp, 110 jp, 120 jp, R 4 jp. Wyznaczyć wysokość ostatniej raty oraz dług bieżący po każdej racie, jeśli roczna stopa procentowa wynosi 28% i kapitalizacja jest prosta. Obliczenia wykonać stosując dyskonto handlowe oraz aktualizację względem momentu t = 0 i t = 4. Zadanie 35 Dług 800 zł ma być spłacony w 3 miesięcznych ratach wysokości R wnoszonych z dołu. Wyznaczyć wielkość R oraz rozkład raty na część kapitałową i odsetkową przyjmując aktualizację względem t = 2 i t = 3 i dyskonto handlowe przy rocznej stopie r = 32%. 5

Spłata długów średnio- i długoterminowych Będziemy zakładać, że raty wnoszone są z dołu. Zadanie 36 Dług 300 zł został spłacony sześcioma półrocznymi ratami R 1 = 60 zł, R 2 = 70 zł, R 3 = 80 zł, R 4 = 90 zł, R 5 = 100 zł, R 6 =? zł, przy 24% w skali roku i półrocznej kapitalizacji odsetek oraz przy aktualizacji na moment t = 3. Ile wynosi szósta rata. Czy ten sam ciąg rat umarza ten dług przy aktualizacji na moment t = 6? Zadanie 37 Pożyczkę 3500 zł spłacono równoważnymi jej ratami: 500 zł, 800 zł, 900 zł, 1000 zł, 1000 zł. Stosując retrospektywną i prospektywną zależność długu i rat, przedstawić dług bieżący po spłaceniu trzech rat. Zadanie 38 Plan spłaty długu S przewiduje 5 płatności rocznych wysokości 20 jp, 29 jp, 37 jp, 34 jp, 11 jp. Roczna stopa procentowa wynosi 10% i kapitalizacja jest roczna złożona. Wyznaczyć wysokość długu oraz rozkład każdej raty na ratę kapitałową i odsetkową. Zadanie 39 Zbadać czy płatności R 1 = 280 jp, R 2 = 300 jp, R 3 = 300 jp, R 4 = 150 jp umarzają dług 950 jp przy stopie okresu bazowego 2, 5%. Zadanie 40 Sporządzić plan amortyzacji kredytu w wysokości 9000 jp, oprocentowany według nominalnej stopy r = 36% i rocznej kapitalizacji odsetek. Kredyt ten ma być spłacony w trzech równych ratach rocznych. Zadanie 41 Dług 1200 zł należy spłacić w 6 równych ratach półrocznych. Wyznaczyć dług bieżący po spłaceniu trzech rat oraz część kapitałową i odsetkową trzeciej raty. Stopa okresu bazowego wynosi 35%. Zadanie 42 Dług 1800 jp należy spłacić w 6 równych ratach rocznych. Ułożyć plan spłaty długu, jeśli roczna stopa procentowa wynosi 29% i kapitalizacja jest roczna. Zadanie 43 Sporządzić plan amortyzacji kredytu w wysokości 700 jp, oprocentowany według nominalnej stopy r = 24% i półrocznej kapitalizacji odsetek. Kredyt ten ma być spłacony w 4 równych ratach półrocznych. Zadanie 44 Kredyt 320 jp ma być spłacony w ciągu 6 lat ratami miesięcznymi o równej wysokości. Wyznaczyć wysokość raty, jeśli bank stosuje kapitalizację miesięczną złożoną z dołu przy stopie nominalnej 10, 2%. Zadanie 45 Dług S należy spłacić w 5 ratach o następujących częściach kapitałowych: T 1 = 12 jp, T 2 = 11 jp, T 3 = 10 jp, T 4 = 9 jp, T 5 = 8 jp. Stopa okresu bazowego wynosi 23%. Wyznaczyć S oraz ciąg rat umarzających dług S. 6

Zadanie 46 Dług 6000 zł należy spłacić w 24 kwartalnych ratach annuitetowych. Wyznaczyć: 1. część kapitałową dwudziestej raty, 2. dług bieżący po spłaceniu piętnastu rat. Stopa okresu bazowego wynosi 15%. Zadanie 47 Kredyt jest spłacany pięcioma miesięcznymi ratami annuitetowymi. Obliczyć brakujące elementy spłaty długu, jeśli T 1 = 145, 0695, T 3 = 147, 9853, I 3 = 4, 4841. Zadanie 48 Kredyt jest spłacany w półrocznych ratach annuitetowych, przy czym nominalna stopa procentowa wynosi 12%. Wiedząc, że T 3 = 32, 2164 zł oraz N = 6, obliczyć 1. wartość kredytu w momencie 0, 2. wysokość raty, 3. dług bieżący po zapłaceniu II raty, 4. wartość odsetek w IV racie. Zadanie 49 Udowodnić wzór (33). Zadanie 50 Dług 1500 zł należy spłacić 4 ratami o częściach kapitałowych stanowiących: 1. ciąg arytmetyczny rosnący, 2. ciąg stały, przy stopie okresowej 14%. Wyniki przedstawić w tabeli. Zadanie 51 Dług 18567 zł należy spłacić sześcioma ratami malejącymi półrocznymi. Ułożyć plan spłaty długu, jeśli nominalna stopa procentowa wynosi 28%. Zadanie 52 Obliczyć sumę odsetek naliczonych od długu 400 zł spłaconego 12 ratami annuitetowymi przy stopie 16%. Czy odsetki byłyby większe, gdyby dług ten zamiast ratami annuitetowymi był spłacony ratami malejącymi? Zadanie 53 Dług 2000 zł ma być spłacony 24 ratami malejącymi. Wyznaczyć a) wysokość szóstej raty, b) dług bieżący po spłaceniu trzech rat, c) trzecią ratę odsetek, jeśli stopa okresu bazowego wynosi 7%. 7

Zadanie 54 Ułożyć plan spłaty długu 1300 zł spłaconego 4 półrocznymi ratami malejącymi, jeśli odsetki mają być uiszczone w racie drugiej. Stopa okresu bazowgo wynosi 7%. Zadanie 55 Ułożyć plan spłaty długu 1300 zł spłaconego 4 półrocznymi ratami annuitetowymi, jeśli odsetki mają być uiszczone w racie trzeciej. Stopa okresu bazowgo wynosi 7%. Zadanie 56 Ułożyć plan spłaty długu 1000 zł 36-cioma miesięcznymi ratami annuitetowymi i malejącymi. Stopa okresu bazowego wynosi 5%. Zadanie 57 Dług 1400 zł ma być spłacony w całości w szóstej ostatniej racie, zaś odsetki od długu mają być spłacane kwartalnie według stopy 4%. Ułożyć plan spłaty długu. Zadanie 58 Dług 440 zł należy spłacić w 4 rocznych ratach annuitetowych, ale dopiero po 3 latach karencji. Roczna stopa procentowa wynosi 8%. Ułożyć plan spłaty długu, jeżeli karencja obejmuje a) części kapitałowe. b) raty. Zadanie 59 Dłużnik ma do spłacenia następujące płatności: - 5 spłat rocznych o wysokości 400 jp każda, przy rocznej stopie 24%, - 8 spłat półrocznych o wysokości 100 jp każda, przy stopie półrocznej 12%, - 13 spłat miesięcznych o wysokości 100 jp każda, przy stopie miesięcznej 4%. Wyznaczyć łączną obecną wartość zadłużenia oraz zamienić te trzy długi na jeden dług skonsolidowany, spłacany przez 2 lata w równych płatnościach kwartalnych, przy stopie nominalnej 16% i kapitalizacji złożonej kwartalnej. Wyznaczyć wysokość rat umarzających dług skonsolidowany. Zadanie 60 1100 jp należy spłacić w 4 równych półrocznych ratach. Nominalna stopa procentowa wynosi 12% i kapitalizacja jest półroczna. Ułożyć plan spłaty długu z uwzględnieniem opłaty dodatkowej 2, 5% naliczonej a) według długu. b) według długu bieżącego. Zadanie 61 4300 zł spłacić w 6 ratach malejących według stopy 9% i prowizji 4% naliczonej a) według długu. b) według długu bieżącego. 8

Zadanie 62 120 jp należy spłacić w 6 ratach rocznych o stałej części kapitałowej przy czym odsetki mają być spłacone jednorazowo w racie a) pierwszej. b) ostatniej. Ułożyć plan spłaty długu, jeśli kapitalizacja jest roczna i roczna stopa procentowa wynosi 12%. Zadanie 63 Ułożyć plan spłaty długu 200 jp spłaconego jednorazowo za dwa lata, gdy odsetki były spłacane co pół roku według oprocentowania półrocznego przy nominalnej stopie 6%. Zadanie 64 Według umowy kredytowej dłużnik ma spłacić 250 jp w 6 równych ratach rocznych przy rocznej stopie 20% i kapitalizacji rocznej. Po spłaceniu 4 rat dłużnik zwraca się z prośbą o obniżenie stopy procentowej do 15%. Wierzyciel wyraził zgodę na zmianę stopy, przy czym jako opłaty karnej zażądał dziesiątej części wartości dotychczasowej płatności. Należy: a) ułożyć plan spłaty długu z uwzględnieniem konwersji, b) ocenić opłacalność przeprowadzonej konwersji, c) wyznaczyć opłatę karną, przy której konwersja będzie opłacalna dla dłużnika, Zadanie 65 Dług 100 jp ma być spłacony w 5 półrocznymi płatnościami o stałej części kapitałowej. Ułożyć plan spłaty długu, jeśli kapitalizacja jest półroczna przy stopie nominalnej 18% oraz dłużnik musi wnieść opłatę dodatkową w wysokości 5% długu bieżącego. Zadanie 66 Ułożyć plan spłaty długu wysokości 400 jp spłacony 6 rocznymi ratami przy stopie r = 28% w modelu kapitalizacji rocznej, jeśli a) raty stałe. b) raty malejące. Zadanie 67 Wyznaczyć rzeczywistą stopę kredytu 80 jp spłacanego w 2 ratach półrocznych wysokości 50 jp i 62, 5 jp przy kapitalizacji półrocznej. Zadanie 68 Który z banków oferuje lepsze warunki oprocentowania kredytu, jeśli pierwszy bank oferuje raty kwartalne przy stopie 18% a drugi bank oferuje raty półroczne przy nominalnej stopie 33%? 9

Renta kapitałowa Zadanie 69 Obliczyć czynnik dyskontowania renty s 36 0,2% dla renty zwykłej płatnej z dołu o płatnościach 100 zł. Zadanie 70 Wyznaczyć wysokość raty dla renty o wartości początkowej 1200 zł i czynniku oprocentowania renty a 24 0,5%. Zadanie 71 Rachunek oprocentowany jest według stopy nominalnej 12% przy miesięcznej kapitalizacji odsetek. Saldo rachunku na dzień 1 stycznia br. wynosi 20 tys. zł. Jaką stałą kwotę można pobierać z rachunku co miesiąc w nieskończoność poczynając od końca stycznia br.? Zadanie 72 Jaką kwotę należy zdeponować dziś na rachunku oprocentowanym według stopy nominalnej 6% przy kapitalizacji kwartalnej, aby po trzech latach móc pobierać po 200 zł na koniec każdego kwartału przez cztery lata? Zadanie 73 Saldo rachunku wynosi 35 tys. zł. a) Jeśli efektywna stopa wynosi 4%, jaką maksymalną rentę wieczystą można pobierac z rachunku na koniec kolejnych lat? b) Przy jakiej minimalnej efektywnej stopie procentowej można z rachunku pobierać rentę wieczystą w wysokości 800 zł na koniec kolejnych lat? Zadanie 74 Wartość początkowa renty o 20 ratach tworzących ciąg arytmetyczny, w którym d = 50, wynosi 8300. Jeśli i = 4%, to ile wynosi pierwsza rata? Zadanie 75 Obliczyć wartość końcową renty, w której R 1 = 100, R j+1 = 100 2j, j = 1,..., 49, jeśli i = 2%. Zadanie 76 Wartość początkowa renty o 10 ratach wynosi 1000 zł. Jeśli i = 1%, a raty: a) rosną o 2%, b) maleją o 2%, to ile wynosi pierwsza rata? Zadanie 77 Wyznaczyć wielkość funduszu będącego kapitałem rentowym utworzonym z wkładów wysokości 200 jp wnoszonych co miesiąc z dołu przez 10 lat według stopy nominalnej 6% w modelu kapitalizacji złożonej miesięcznej. a) Jaką maksymalną rentę wieczystą miesięczną z dołu można pobierać z tego funduszu? b) Przez jaki czas można pobierać z tego funduszu rentę miesięczną wysokości 250 jp? Zadanie 78 Ustalić wysokość kapitału rentowego, pozwalającego na co miesięczne wypłaty renty arytmetycznej z dołu o pierwszym wyrazie 10 jp i różnicy 2 jp przez 10 lat w modelu oprocentowania składanego rocznego przy stopie 12%. 10

Zadanie 79 Wyznacz wysokość pierwszej wypłaty renty geometrycznej o ilorazie 1, 1 wypłacanej pod koniec każdego kwartału przez 5 lat z funduszu o kapitale początkowym 100 jp w modelu kapitalizacji złożonej miesięcznej przy stopie nominalnej 5%. Zadanie 80 Jaki kapitał pozwoli na wypłacanie renty w wysokości 20 jp pod koniec każdego półrocza przez 10 lat w modelu kapitalizacji złożonej a) półrocznej, b) miesięcznej, c) rocznej, według stopy 10% w skali roku? Zadanie 81 Jakiej wielkości wypłaty można dokonywać pod koniec każdego miesiąca przez 5 lat z kapitału 200 jp według rocznej stopy 10% przy miesięcznej kapitalizacji odsetek? Zadanie 82 Wyznaczyć wielkośc renty wieczystej wypłacanej co miesiąc z dołu z funduszu 300 jp przy stopie nominalnej 9% i kapitalizacji rocznej. Zadanie 83 Wyznaczyć wielkość pierwszej wypłaty renty arytmetycznej o różnicy 5 jp wypłacanej na początku każdego miesiąca przez 3 lata z funduszu o kapitale początkowym 250 jp w modelu kapitalizacji złożonej miesięcznej przy stopie nominalnej 15%. Zadanie 84 Ustalić wysokość kapitału rentowego, pozwalającego na co roczne wypłaty renty geometrycznej z dołu o pierwszym wyrazie 30 jp i różnicy 5 jp przez 10 lat w modelu kapitalizacji złożonej rocznej przy stopie r = 12%. Zadanie 85 Zapisać za pomocą symboli a n i oraz s n i następujące wielkości: a) Kwota, jaką należy regularnie wpłacać na rachunek na koniec kolejnych n okresów, aby w momencie ostatniej wpłaty zgromadzić 1 zł. a) Kwota, jaką należy regularnie wpłacać na rachunek na początek kolejnych n okresów, aby na koniec pierwszego okresu od ostatniej wpłaty zgromadzić 1 zł. a) Kwota, jaką można regularnie wypłacać z rachunku na koniec kolejnych n okresów, aż do wyczerpania, jeśli saldo początkowe rachunku wynosi 1 zł. a) Kwota, jaką można regularnie wypłacać z rachunku na początek kolejnych n okresów, aż do wyczerpania, jeśli saldo początkowe rachunku wynosi 1 zł. 11