Fizyka cząstek elementarnych Tadeusz Lesiak 1
WYKŁAD II Rudymenty kwantowej teorii pola T.Lesiak Fizyka cząstek elementarnych 2
Kinematyka relatywistyczna Szczególna Teoria Względności STW) dwa postulaty: 1. równoważność opisu ruchu w różnych inercjalnych układach odniesienia; 2. niezależność prędkości światła od ruchu obserwatora. Transformacja Lorentza odpowiada za przejścia między układami inercjalnymi w STW. Czynnik Lorentza Niezmienniki (invariants) wielkości, które są takie same we wszystkich inercjalnych układach odniesienia; inaczej: są niezmiennicze względem transformacji Lorentza. Najważniejsze niezmienniki: Interwał (odległość w pseudo-euklidesowej przestrzeni Minkowskiego, x =x 0,x,y,z): Kwadrat czterowektora energii-pędu p = (E,p x,p y,p z ) = kwadrat masy cząstki: T.Lesiak Fizyka cząstek elementarnych 3
Kinematyka relatywistyczna Relatywistyczność, niezmienniczość lorentzowska podstawą wszystkich teorii pola HEP. Dwa najważniejsze układy odniesienia: Laboratoryjny (LAB) Środka masy (CM) Przykład potęgi niezmienników Efekty STW manifestują się na co dzień w eksperymentach HEP: relatywistyczny wzrost masy, dylatacja czasu, skrócenie Lorentza etc. T.Lesiak Fizyka cząstek elementarnych 4
Kwantowa teoria pola Kwantowa teoria pola (QFT, Quantum Field Theory) dostarcza opisu obiektów kwantowych poruszających się z relatywistycznymi prędkościami. QFT stanowi syntezę mechaniki kwantowej (quantum mechanics, QM) i szczególnej teorii względności (STW). Koncepcja pola (klasycznego) narodziła się w XIXw. wraz z rozwojem elektromagnetyzmu i została następnie z powodzeniem zastosowana do opisu grawitacji. Pole klasyczne zostało wprowadzone jako medium pośredniczące w oddziaływaniach, uwalniając fizykę od konieczności traktowania oddziaływań jako zachodzących na odległość z nieskończoną prędkością (niezgodność z STW). Zakładając iż przestrzeń między oddziałującymi cząstkami jest wypełniona polem, można każdemu punktowi przypisać funkcję (lub wektor funkcji) zwaną natężeniem pola i opisującą ilościowo jak oddziaływanie przenosi się między cząstkami (ze skończoną prędkością propagacji). Pole fizyczne jest obiektem o nieskończenie wielkiej liczbie stopni swobody. Istnieją pola wektorowe i skalarne. Obecność pola wymaga istnienia jego źródła. T.Lesiak Fizyka cząstek elementarnych 5
Filary mechaniki kwantowej 1. Obserwable fizyczne są operatorami. Np. operator położenia: operator pędu: 2. Zasada nieoznaczoności. Dla operatorów: położenia i pędu Dla parametrów: energii i czasu -funkcja falowa 3. Reguły komutacji operatorów. Np. dla operatorów położenia i pędu: T.Lesiak Fizyka cząstek elementarnych 6
Problem nierelatywistycznej mechaniki kwantowej Zasada nieoznaczoności dla energii i czasu w połączeniu z równaniem prowadzą do wniosku iż: Cząstki i antycząstki mogą być tworzone parami, jeśli tylko dostępna energia jest dostatecznie duża oraz gdy nie zabrania tego zachowanie innych liczb kwantowych. W wysoko energetycznych procesach kwantowych liczba cząstek nie jest ustalona. Z dokładnością do obowiązujących zasad zachowania, mogą się także zmieniać ilości cząstek każdego typu. Brak ustalonej liczby cząstek jest nie do pogodzenia z nierelatywistyczną mechaniką kwantową (NRQM). W NRQM układ kwantowy charakteryzuje funkcja falowa ψ, a jego dynamikę opisuje równanie Schrödingera: (dla ruchu jednowymiarowego w potencjale V = V(x)) Równanie Schrödingera nie dostarcza żadnej możliwości zmiany liczby cząstek i/lub modyfikacji ich typu. T.Lesiak Fizyka cząstek elementarnych 7
Pojęcie pola kwantowego Rozwiązanie powyższego problemu: zastąpienie funkcji falowej pojęciem pola kwantowego. Pole = operator, który może kreować i anihilować cząstki. Jest on określony w każdym punkcie czasoprzestrzeni (x,t) (lub w jej części). Operatory pola muszą spełniać pewne reguły komutacji np: - operator pola - operator pędu pola Uwaga: położenie jest operatorem w NRQM ale pełni rolę parametru (liczby) w QFT. Przyjrzyjmy się najpierw polom klasycznym φ (funkcją zmiennych przestrzennych i czasowej) Przejście pole klasyczne pole kwantowe = zamiana funkcji na operator: T.Lesiak Fizyka cząstek elementarnych 8
Lagranżjan i działanie Mechanika klasyczna Jeden punkt materialny o masie m, opisany przez współrzędną uogólnioną i prędkość: Klasyczna teoria pola Jedno pole, opisane przez jedną współrzędną uogólnioną w każdym punkcie przestrzeni : Lagranżjan (T energia kinetyczna, V energia potencjalna) Gęstość Lagranżjanu Działanie Zasada najmniejszego działania (Hamiltona): Równania ruchu (Lagrange a): Równania pola: T.Lesiak Fizyka cząstek elementarnych 9
Kwantyzacja Kwantyzacja: przejście od pola klasycznego do kwantowego. Pierwsza kwantyzacja (kanoniczna): 1. Położenie i pęd (funkcje współrzędnych) operatory 2. Między tak określonymi operatorami wprowadzone zostają reguły komutacji Kwantowaniu podlegają zmienne dynamiczne takie jak położenie i pęd. Uwaga: czas nie podlega tej procedurze; pozostaje parametrem: W tym podejściu nie istnieje operator czasu : T.Lesiak Fizyka cząstek elementarnych 10
Kwantyzacja Druga kwantyzacja: Kwantowaniu podlegają same pola, a nie zmienne dynamiczne takie jak położenie i pęd. 1. Pola oraz kanonicznie sprzężone do nich pędy (funkcje współrzędnych) operatory. 2. Między tak określonymi operatorami pól oraz sprzężonych do nich pędów wprowadzone zostają kanoniczne reguły komutacji dla tej samej chwili czasu. 3. Operatory pola działają na stany pola, tworząc lub anihilując cząstki. 4. Liczba cząstek nie jest określona; mogę one być tworzone lub anihilowane. 5. Tworzone są pary cząstka-antycząstka; do ich powstania potrzebna jest energia równa co najmniej 2x mc 2 6. Położenie i pęd nie są operatorami, lecz liczbami. T.Lesiak Fizyka cząstek elementarnych 11
Kwantyzacja pola skalarnego Rzeczywiste, swobodne pole skalarne spełnia równanie Kleina-Gordona (RKG): Rozwiązaniem RKG jest pole swobodne: dla h=1 ω k częstość kołowa k wektor falowy Rozwinięcie (transformata) Fouriera dla RKG: Kwantyzacja: promocja pola φ do rangi operatora Dokonuje się ona przez zamianę transformat Fouriera pól φ i φ* na operatory kreacji i anihilacji: T.Lesiak Fizyka cząstek elementarnych 12
Kwantyzacja pola skalarnego Kwantyzacja pędu pola skalarnego (kanonicznie sprzężonego do pola): Gęstość Lagranżjanu dla swobodnego pola skalarnego: Definicja pędu pola: Operator pędu pola powstaje przez różniczkowanie względem składowej czasowej wyrażenia na operator pola z poprzedniego slajdu: Relacje komutacji między operatorami pola i pędu: delta kroneckera delta Diraca Uwaga: komutatory są obliczane dla tej samej chwili czasu: T.Lesiak Fizyka cząstek elementarnych 13
Kwantyzacja a oscylator harmoniczny Hamiltonian oscylatora harmonicznego prostego w nierelatywistycznej QM: Definicja operatorów anihilacji i kreacji dla oscylatora: Można pokazać, iż (korzystając z relacji: ) Definicja operatora liczby cząstek: - stan o liczbie cząstek n Operator kreacji podwyższa ilość cząstek o jeden: Operator anihilacji obniża ilość cząstek o jeden: T.Lesiak Fizyka cząstek elementarnych 14
Kwantyzacja a oscylator harmoniczny Istnieje stan o najniższej (zerowej liczbie cząstek) stan podstawowy, inaczej stan próżni 0>. Stan n> można otrzymać z próżni poprzez kolejne działanie operatora kreacji: Interpretacja: NRQM: n> to stan pojedynczej cząstki o energii ; operatory kreacji (anihilacji) podnoszą (obniżają) poziomy energii cząstki. QFT: n> to stan pola zawierający n cząstek; operator kreacji dodaje pojedynczy kwant (cząstkę) do pola;. operator anihilacji niszczy jeden kwant (cząstkę) z pola Istnieją osobne operatory kreacji i anihilacji dla cząstek i antycząstek. Ważna uwaga: poziomy energetyczne oscylatora są równoodległe. T.Lesiak Fizyka cząstek elementarnych 15
Kwantyzacja pola skalarnego Co łączy oscylatory i pola skalarne? Fourierowskie rozwinięcie klasycznego pola skalarnego: jest RÓWNOWAŻNE rozwinięciu pola na nieskończoną sumę niezależnych oscylatorów harmonicznych. Każdy taki oscylator posiada częstość k oraz amplitudę φ (φ*) Kwantowanie pola kwantowanie każdego z tych oscylatorów: Kwantowy oscylator o częstości k, znajdujący się w n-tym stanie wzbudzonym o energii k może być interpretowany jako zbiór n nierozróżnialnych cząstek, kwantów, wzbudzeń pola. Dokładniej każde pole kwantowe może być zapisane jako liniowa kombinacja operatorów kreacji opisujących powstawanie cząstek o masie mi oraz 4-pędzie k oraz operatorów anihilacji, opisujących znikanie powyższych cząstek. Liczba kwantów (wzbudzeń) pola może być dowolna cząstki wirtualne powstają i zanikają. T.Lesiak Fizyka cząstek elementarnych 16
Cząstki wirtualne i realne Próżnia klasyczna: z definicji brak materii, pustka. Próżnia kwantowa: zgodnie z zasadą nieoznaczoności mogą tworzyć się pary wirtualnych cząstek i antycząstek. Ich obecność powoduje mierzalne efekty: przesunięcie Lamba, efekt Casimira Dlatego cząstki można podzielić na RZECZYWISTE (mogące się swobodnie propagować, nawet na makroskopowych odległościach) oraz WIRTUALNE istniejące inaczej tylko w krótkich chwilach dozwolonych przez zasadę nieoznaczoności. Cząstka rzeczywista nigdy nie jest izolowana; jest zawsze otoczona przez chmurę wirtualnych cząstek. Fotony (max. zasięg) W,Z (10-18 m) gluony (10-15 m) piony (10-15 m) T.Lesiak Fizyka cząstek elementarnych 17
Macierz rozpraszania S i f Każdy proces kwantowy można traktować jako przejście od stanu początkowego: do końcowego: S macierz rozpraszania (scattering) Macierz S jest unitarna zachowuje prawdopodobieństwo: I - macierz jednostkowa W przestrzeni pędu macierz S if dla przejścia i f jest proporcjonalna do amplitudy M if danego procesu: Funkcja delta Diraca zachowanie czteropędu w procesie. Amplitudę M if można obliczyć w kolejnych przybliżeniach (perturbacyjnie), stosując metodę diagramów Feynmana następne slajdy. T.Lesiak Fizyka cząstek elementarnych 18
Co mierzy fizyka cząstek elementarnych? Przekrój czynny (cross section [barn=10-24 cm 2 ]): miara prawdopodobieństwa danej reakcji. Także efektywna powierzchnia cząstki tarczy oddziałującej z cząstkami padającymi. Także szybkość danej reakcji na cząstkę tarczy na jednostkę strumienia cząstek padających. Klasyczna analogia z łucznikiem strzelającym do tarczy. Przekrój czynny zależy zarówno od struktury tarczy jak i od cech cząstki-pocisku. Z grubsza ~1 / v - proporcjonalny do czasu jaki cząstka spędza w otoczeniu tarczy tj. odwrotnie proporcjonalny do jej prędkości. Przekrój czynny różniczkowy (differential) prawdopodobieństwo reakcji względem jakiejś zmiennej kinematycznej np. kąta rozpraszania. Jednostka przekroju czynnego: 1 barn (b) Przekrój czynny całkowity (total) wycałkowany po wszystkich zmiennych kinematycznych. Związek przekroju czynnego z amplitudą M = M if zwaną odtąd elementem macierzowym, podaje złota reguła Fermiego T.Lesiak Fizyka cząstek elementarnych 19
Złota reguła Fermiego i f Normalizacja stanów kwantowych Fermi golden rule Kwadrat elementu macierzowego (dynamika) Dwa istotne składniki (faktoryzacja): d N M if dq DYNAMIKA: element macierzowy, amplituda M if dla procesu i f; może być wyliczony stosując metodę diagramów Feynmana ( poniżej) 2 Przestrzeń fazowa (gęstość stanów kwantowych; liczba stanów dostępnych dla cząstek stanu końcowego w jednostkowym przedziale np. energii-pędu E f, p f etc.) KINEMATYKA: dostępna w reakcji przestrzeń fazowa: zależy od mas, energii i pędów cząstek biorących udział w reakcji; odzwierciedla fakt, że jeden proces zdarza się z powodów kinematycznych częściej od drugiego; mierzy jak wiele jest miejsca, przestrzeni w danym stanie końcowym. Wyprowadzenie reguły Fermi ego dowolny podręcznik teorii pola. T.Lesiak Fizyka cząstek elementarnych 20
Diagramy Feynmana - elementarz Doskonała graficzna wizualizacja procesów wszelakich oddziaływań ale nie tylko, także Potężna metoda rachunkowa pozwalająca na wyliczanie elementów macierzowych w kolejnych rzędach rachunku zaburzeń poniżej. Analogia z analizą obwodów elektrycznych (prawa Kirchhoffa) pokazuje jak dana cząstka oddziałuje z innymi; nie wdaje się w szczegóły np. wartości czteropędów. Najprostsze diagramy Feynmana składają się jedynie z jednej lub więcej linii zewnętrznych, reprezentujących cząstki stanu początkowego lub końcowego, połączonych wierzchołkiem np. proces rozpadu cząstki A na dwie inne B i C: Dwa sposoby wyboru współrzędnej czasowej. Druga oś = współrzędne przestrzenne. T.Lesiak Fizyka cząstek elementarnych 21
Diagramy Feynmana - elementarz Cząstka natychmiastowo przemieszczająca się z jednego punktu do drugiego Nachylenie linii odpowiada ruchowi cząstki (brak ilościowego związku nachylenia z prędkością). Cząstka w spoczynku Cząstka poruszająca się w przód w czasie i przestrzeni T.Lesiak Fizyka cząstek elementarnych 22
Diagramy Feynmana - elementarz Diagramy rozpraszania, zawierające co najmniej jedną linię wewnętrzną, reprezentującą oddziaływanie cząstek stanu początkowego i końcowego. Diagram anihilacji/formacji Cząstki A i B zderzają się i anihilują do czystej energii; z niej formuje się rezonans X, który rozpada się do cząstek C i D W każdym wierzchołku jest zachowany ładunek elektryczny i inne liczby kwantowe, zachowane w danym oddziaływaniu Diagram wymiany Cząstka A rozprasza się na cząstce B z poprzez wymianę bozonu X; w wyniku tego A staje się B, a C przechodzi w D Nie wiemy czy to A wysłała X, zaabsorbowany następnie przez B, czy też było to dokładnie odwrotnie T.Lesiak Fizyka cząstek elementarnych 23
Diagramy Feynmana - elementarz Konwencje graficzne: Antycząstka = cząstka poruszająca się wstecz w czasie Każda linia na diagramie Feynmana reprezentuje (anty-)cząstkę obdarzoną pewnym 4-pędem. Każdy wierzchołek (miejsce spotkania cząstek) odpowiada oddziaływaniu. Przykład: diagram wymiany cząstki B między cząstką A i jej antycząstką A : 4-pędy cząstek stanu początkowego i końcowego są oznaczane jako p i (i=1,2,3.). 4-pęd cząstki wymienianej jest oznaczany jako q. T.Lesiak Fizyka cząstek elementarnych 24
Diagramy Feynmana cząstki rzeczywiste i wirtualne Cząstka rzeczywista przychodząca lub wychodząca na powłoce masy (on the mass shell) Cząstka wirtualna jej propagacja jest ograniczona dwoma wierzchołkami - poza powłoką masy (off the mass shell) T.Lesiak Fizyka cząstek elementarnych 25
Diagramy Feynmana cząstki wirtualne Masa cząstki wirtualnej jest różna od jej masy spoczynkowej dwa przykłady W układzie środka masy pary e + e - : q 2 kwadrat czteropędu fotonu: E ( p) zmiana energii (pędu) elektronu Rozpraszanie elastyczne E = 0 Wtedy: rzeczywista urojona T.Lesiak Fizyka cząstek elementarnych 26
Diagramy Feynmana ilościowo Obliczenie amplitudy pojedynczego diagramu 1. Wykorzystanie zachowania 4-pędu w każdym wierzchołku poprzez wypisanie odpowiedniej funkcji delta Diraca np. 2. Wypisanie stałej sprzężenia dla każdego wierzchołka np. dla elektromagnetyzmu stała ta wynosi: 3. Wypisanie propagatora dla każdej linii wewnętrznej: Propagator to funkcja opisująca przekaz (propagację) 4-pędu między cząstkami. Propagator dla cząstki skalarnej (o 4-pędzie q i masie m): Propagator dla cząstki o spinie 1/2: Propagator dla fotonu (w tzw. cechowaniu Feynmana): k 4-pęd fotonu g μν tensor metryczny T.Lesiak Fizyka cząstek elementarnych 27
Diagramy Feynmana ilościowo Obliczenie amplitudy pojedynczego diagramu 4. Wycałkowanie po wszystkich 4-pędach linii wewnętrznych typowy czynnik całkowania dla jednej takiej linii o 4-pędzie q: Amplituda pojedynczego diagramu Feynmana jest iloczynem ściśle określonych czynników, z których każdy pojedynczy jest związany z jedną linią lub wierzchołkiem diagramu. Przykład B bozon skalarny o masie m B Ad 1. Ad 2. Ad 3. Ad 4. Razem: Zachowanie 4-pędu T.Lesiak Fizyka cząstek elementarnych 28
Diagramy Feynmana ilościowo Obliczenie całkowitej amplitudy danego procesu (wiele diagramów): Narysuj wszystkie możliwe diagramy Feynmana dla zadanej konfiguracji cząstek początkowych i końcowych. Oblicz amplitudę dla każdego diagramu (M a ). Dodaj amplitudy obliczone dla indywidualnych diagramów : Weź moduł z sumarycznej amplitudy i podnieś go do kwadratu. Zastosuj złotą regułę Fermi ego przekrój czynny (prawdopodobieństwo procesu). T.Lesiak Fizyka cząstek elementarnych 29
Diagramy Feynmana ilościowo Obliczenie całkowitej amplitudy danego procesu (wiele diagramów) W praktyce tj. dla małych stałych sprzężenia obliczenia wykonuje się w sposób przybliżony, stosując rachunek zaburzeń: n rząd diagramu = ilość jego wierzchołków np. dla n=4 α =g - stała sprzężenia. Amplituda każdego diagramu n-tego rzędu jest proporcjonalna do α n. Rozważmy przypadek gdy stała sprzężenia jest mała ( np. α 1/137 dla dla elektromagnetyzmu). Jedynie diagramy o najmniejszej liczbie wierzchołków wnoszą znaczący wkład do całkowitej amplitudy. Wystarczy uwzględnić co najwyżej kilka pierwszych rzędów aby uzyskać dokładność rzędu 10-10. T.Lesiak Fizyka cząstek elementarnych 30
Diagramy Feynmana ilościowo ALE: ilość diagramów danego rzędu bardzo szybko rośnie z wartością tego ostatniego. Przykład: diagramy z sześcioma fotonami Przykład: poprawki rzędu α 3 dla anomalnego momentu magnetycznego elektronu. T.Lesiak Fizyka cząstek elementarnych 31
Częstość rozpadu,czas życia Częstość rozpadu (jego szerokość, decay width ) jest proporcjonalna do kwadratu modułu amplitudy. Czas życia ( particle lifetime ) cząstki średni czas, po którym nietrwałą cząstka ulegnie rozpadowi - jest proporcjonalny do odwrotności kwadratu modułu amplitudy. N 0 liczba cząstek nietrwałych w chwili początkowej N(t) liczba cząstek nietrwałych po czasie t Wartości częstości rozpadu (podawane w jednostkach energii np. MeV) i czasu życia są charakterystyczne dla rodzaju oddziaływania odpowiedzialnego za dany rozpad. Długość rozpadu ( decay length ) cząstki średnia odległość jaką przebywa cząstka przed rozpadem. Sposób (mod) rozpadu ( decay mode ) cząstki stan końcowy do jakiego rozpadła się cząstka (na ogół jest ich wiele). Stosunek rozgałęzień ( branching ratio, BR) udział danego stanu końcowego (procentowy) w rozpadach cząstki. T.Lesiak Fizyka cząstek elementarnych 32
Częstość rozpadu,czas życia Przykład: Mezon K 0 S w 99.9% przypadków rozpada się na jeden z dwu następujących sposobów: Każdy z tych dwóch modów rozpadu posiada własną amplitudę (element macierzowy). Znając ją można wyznaczyć częściową szerokość na dany rozpad (partial decay width): Częstość rozpadu czyli inaczej jego całkowita szerokość: Stosunek rozgałęzień czyli procentowy udział rozpadów do danego stanu końcowego: T.Lesiak Fizyka cząstek elementarnych 33
Masa niezmiennicza Przykład: Rozważmy rozpad: Masę cząstki, która uległa rozpadowi (w tym przypadku K 0 S) można zrekonstruować, znając 4-pędy produktów rozpadu: Podnosząc do kwadratu obie strony: Zrekonstruowana masa niezmiennicza cząstki K 0 S Jakie jest pochodzenie zdarzeń tła pod maksimum cząstki K 0 S? T.Lesiak Fizyka cząstek elementarnych 34
Rezonanse Przekrój czynny np. jako funkcja energii w układzie środka masy, wykazuje specjalne zachowanie w otoczeniu rezonansu krótkożyciowego stanu związanego. Energia rezonansowa wyróżniona wartość energii zderzenia, przy której pocisk i tarcza oddziałują w specjalny sposób formują krótko-życiowy stan związany, który następnie się rozpada. Nas najbardziej interesują rezonanse, które formują się i rozpadają poprzez oddziaływania silne; ich czas życia» 10-22 10-23 s -czas w jakim światło pokonuje odległość rzędu 1fm (rozmiar nukleonu). absolutnie brak szans na rejestrację toru lotu takiego rezonansu Parametryzacja rezonansu: wzór Breita-Wignera (BW): Brak korelacji Rezonans e + e - Wartość średnia rozkładu BW = masa M -szerokość rezonansu; = 1/, -czas życia rezonansu T.Lesiak Fizyka cząstek elementarnych 35
Metoda całek po trajektoriach Eksperyment z dwiema szczelinami doskonała ilustracja zjawisk mechaniki kwantowej T.Lesiak Fizyka cząstek elementarnych 36
Metoda całek po trajektoriach Cząstka (elektron, foton, człowiek ) jest emitowana ze źródła A w chwili czasu t 1 oraz, w chwili t 2 jest ona obserwowana w detektorze w punkcie B. Pomiędzy punktami A i B znajduje się ekran z dwiema szczelinami. Zgodnie z mechaniką kwantową, prawdopodobieństwo P (liczba rzeczywista) znalezienia cząstki w punkcie B może być obliczone jako kwadrat modułu sumy dwóch zespolonych amplitud a 1 i a 2, po jednej dla każdej możliwej drogi jaką może obrać cząstka między A i B : Złożenie (superpozycja) tych dwóch zespolonych przyczynków daje na ekranie obraz interferencyjny (analogicznie jak dla innych fal). T.Lesiak Fizyka cząstek elementarnych 37
Metoda całek po trajektoriach Dodajmy drugi ekran, także z dwiema szczelinami. Obecnie cząstka może podążać czterema drogami: Kontynuujmy dodawanie ekranów i szczelin: Wówczas: T.Lesiak Fizyka cząstek elementarnych 38
Metoda całek po trajektoriach Przejście do granicy nieskończonej liczby szczelin i ekranów jest równoważne pustej przestrzeni. Nadal jednak należy dopuścić (wziąć do rachunku) wszystkie możliwe trajektorie; jedynie trzy przedstawiono na rysunku. Przyczynek od pojedynczej trajektorii: (S działanie związane z daną trajektorią). Metoda całek po trajektoriach stanowi podejście wariacyjne Prosty, jednowymiarowy przykład: Praca domowa: sprawdź w podręczniku do mechaniki kwantowej jak ta formuła prowadzi do równania Schrödingera. Nieskończona suma = całka po trajektoriach Metoda całek po trajektoriach równanie falowe Schrödingera. T.Lesiak Fizyka cząstek elementarnych 39
Backup T.Lesiak Fizyka cząstek elementarnych 40
Backup T.Lesiak Fizyka cząstek elementarnych 41
Diagramy Feynmana - ilościowo Dla najprostszej siły tj. elektromagnetyzmu jest sześć elementarnych wierzchołków Elektron emituje foton Pozyton emituje foton Elektron absorbuje foton Pozyton absorbuje foton Foton tworzy parę e + e - Para e + e - anihiluje do fotonu T.Lesiak symetrie i model kwarków 42