Fizyka cząstek elementarnych. Tadeusz Lesiak

Transkrypt

1 Fizyka cząstek elementarnych Tadeusz Lesiak 1

2 WYKŁAD VII Elektrodynamika kwantowa T.Lesiak Fizyka cząstek elementarnych 2

3 Krótka historia oddziaływań elektromagnetycznych r. powstanie mechaniki kwantowej i fundamentów kwantowej teorii pola; idea fotonu kwantu pola elektromagnetycznego r. W rachunkach opisujących procesy elektromagnetyczne pojawiają się pierwsze rozbieżności (wyniki nieskończone dla masy i ładunku elektronu) np. dla rachunków oddziaływań elektronu z polem e.m. (W.Heisenberg, W.Pauli, R.Oppenheimer). Pojawia się idea renormalizacji tj. przedefiniowania parametrów teorii e.m r. powstanie elektrodynamiki kwantowej (QED, Quantum Electrodynamics), teorii renormalizowalnej (wolnej od nieskończoności) poprzez modyfikację pojęć masy i ładunku elektronu, będącej pierwszą kwantową teorią pola ; trzy niezależne podejścia : J.Schwinger, R.Feynman, S.Tomonaga (Nobel 1965); F.Dyson dowodzi iż wszystkie trzy formalizmy są równoważne. QED - teoria cechowania oparta o abelową grupę symetrii U(1) T.Lesiak Fizyka cząstek elementarnych 3

4 Słowo o renormalizacji Istnieje wiele wielkości (własności atomów i cząstek), które można obliczyć w ramach QED i we wszystkich przypadkach otrzymuje się wynik nieskończony. Rozważmy dwie takie wielkości: Przypuśćmy, iż znana jest z doświadczenia SKOŃCZONA wartość dla W 1 expt. Wartość W 2 można przewidzieć teoretycznie: Tak przewidziana wartość W 2 okazuje się przy tym zgodna z doświadczeniem. Wystarczy przy tym zastosować dwie wielkości znane z doświadczenia z dużą dokładnością: ładunek elektryczny i masę elektronu. Ich wartości są skończone, a przewidywania teoretyczne prowadzą do nieskończonych wartości. Jeśli jednak zaakceptować ten fakt i zastosować do obliczeń wszelkich innych wielkości QED wartości eksperymentalne masy i ładunku elektronu dla wszystkich obserwabli QED otrzymuje się wartości skończone i zgodne z doświadczeniem i to z wielką precyzją. W równaniach QED elektron występuje jako fundamentalny, niepodzielny ładunek elektryczny o zerowej rozciągłości pole w jego otoczeniu jest nieskończone. Elektron oddziałuje z wytworzonym przez siebie polem, uzyskując dzięki temu energię własną, która przyjmuje wartość nieskończoną nieskończoności powstają bo elektron jest zawsze otoczony polem. T.Lesiak Fizyka cząstek elementarnych 4

5 Elektrodynamika kwantowa Elektronowi odpowiada pole fizyczne, którego kwantami są elektrony i ich antycząstki tj. pozytony. Kwantem pola elektromagnetycznego jest foton. Podstawową metodą rachunkową QED jest rachunek zaburzeń oparty na technice diagramów Feynmana. Oddziaływania elektronów/pozytonów z fotonami są opisane przez wymianę fotonów (kwantów pola elektromagnetycznego). Każdy wierzchołek diagramu Feynmana oznacza elementarny akt emisji lub absorpcji fotonu. T.Lesiak Fizyka cząstek elementarnych 5

6 Elektrodynamika kwantowa Elementarne procesy oddziaływań elektromagnetycznych: Wymiana leptonu nie powoduje zmiany zapachu leptonu lub kwarka. Elementarny wierzchołek elektron - foton: Uwaga: proces absorpcji lub emisji fotonu przez elektron nie zachodzi dla cząstki swobodnej (ze względu na zachowanie czteropędu). Wkład do amplitudy: Jeśli foton jest wirtualny (stanowi linię wewnętrzną), to przyczynek od jego propagatora (q 2 czteropęd fotonu): T.Lesiak Fizyka cząstek elementarnych 6

7 Rachunek zaburzeń w QED Całkowita amplituda danego procesu = suma (nieskończenie) wielu diagramów Feynmana, uwzględniająca wszelkie możliwe stany pośrednie. W praktyce w sumowaniu uwzględnia się wkłady od diagramów z coraz większą ilością wierzchołków oddziaływania. Rachunek perturbacyjny amplituda stanowi szereg potęgowy w stałej sprzężenia: QED: rozwinięcie perturbacyjne daje bardzo dobre wyniki. Powód: stała sprzężenia jest mała. dobre przybliżenie amplitudy stanowi często już pierwszy człon rozwinięcia przybliżenie Borna (LO). T.Lesiak Fizyka cząstek elementarnych 7

8 Elektrodynamika kwantowa Podstawowe procesy elektromagnetyczne Rozpraszanie Rutherforda: rozpraszanie kulombowskie dwóch elektronów poprzez wymianę pojedynczego wirtualnego fotonu. Obliczmy wkłady do amplitudy: Wierzchołki = iloczyn sprzężeń: Propagator fotonu Różniczkowy przekrój czynny: Przyczynek do rozpraszania kulombowskiego kolejnego rzędu poprzez wymianę dwufotonową. Wkład do przekroju czynnego: T.Lesiak Fizyka cząstek elementarnych 8

9 Elektrodynamika kwantowa Rozpraszanie Bhabhy W najniższym, wiodącym rzędzie rachunku zaburzeń wkład od dwóch diagramów (interferencja dwóch amplitud). Promieniowanie hamowania (bremsstrahlung) Emisja rzeczywistego fotonu przez elektron przyspieszany w polu jądra atomowego o ładunku Ze T.Lesiak Fizyka cząstek elementarnych 9

10 Elektrodynamika kwantowa Kreacja par e + e - w polu jądra atomowego Energia progowa fotonu na produkcję pary w polu jądra atomowego o ładunku Ze Energia własna elektronu Pojedynczy goły elektron emituje, a następnie pochłania wirtualny foton Pojedynczy goły elektron emituje wirtualny foton, który następnie fluktuuje do pary e + e -. Ta ostatnia anihiluje z kolei do wirtualnego fotonu, który zostaje pochłonięty przez elektron T.Lesiak Fizyka cząstek elementarnych 10

11 Elektrodynamika kwantowa Energia własna elektronu c.d. Elektron nieustannie emituje oraz (re)absorbuje wirtualne fotony oraz (pośrednio) pary elektron-pozyton. Te kwantowe fluktuacje prowadzą do mierzalnych efektów tzw. polaryzacji próżni (ekranowanie ładunku elektrycznego, biegnąca stała sprzężenia ) patrz poniżej. Linie elektronowe na diagramach Feynmana odpowiadają gołym elektronom tzn. elektronom bez samooddziaływania (bez chmury wirtualnych cząstek z wykładu 1). Wielkości gołe masa m 0 oraz ładunek q 0 są niemierzalne. Prawdziwe cząstki, których parametry, takie jak masa czy ładunek, mierzymy to cząstki gołe, ubrane w chmurę cząstek wirtualnych powstającą w procesach opisanych przez diagramy energii własnej. Diagramy energii własnej dają wkład do masy i ładunku elektronu, mierzonych eksperymentalnie T.Lesiak Fizyka cząstek elementarnych 11

12 Elektrodynamika kwantowa Energia własna elektronu c.d. Masa i ładunek elektronu stają się nieskończone po uwzględnieniu diagramów energii własnej dostatecznie wysokiego rzędu. Wkłady od diagramów pętlowych mają postać (k-4-pęd wirtualnego elektronu). Ze względu na brak ograniczenia od góry na k, w obliczeniach pojawią się logarytmiczne rozbieżności. Goła masa (m 0 ) i goły ładunek (q 0 ) zawsze występują w obliczeniach z bezwymiarowym czynnikiem I, stanowiącym rozbieżną całkę: Procedura renormalizacji uwalnia QED od problemu nieskończoności poprzez przedefiniowanie masy i ładunku elektrycznego elektronu (zastąpienie wartości gołych tymi mierzalnymi eksperymentalnie, jak pokazano powyżej). T.Lesiak Fizyka cząstek elementarnych 12

13 Biegnąca stała sprzężenia Miarą siły oddziaływania elektromagnetycznego jest bezwymiarowa stała struktury subtelnej Sommerfelda, związana z ładunkiem elektronu (e): Konsekwencja procedury renormalizacji w QED logarytmiczna zależność stałej sprzężenia α od skali energetycznej charakterystycznej dla danego pomiaru. Renormalizacja biegnąca stała sprzężenia Stała sprzężenia staje się biegnąca wskutek obecności wirtualnych par e + -e -, które prowadzą do ekranowania gołego ładunku elektronu. T.Lesiak Fizyka cząstek elementarnych 13

14 Biegnąca stała sprzężenia Ładunek gołego elektronu jest ekranowany przez dodatnie ładunki pozytonów pochodzących z wirtualnych par e + -e -. In krótsza jest długość fali (λ~1/p) fotonu który sonduje elektron tym na mniejszych odległościach jest próbkowany goły ładunek elektronu elektron widzi efektywnie większy ładunek elektronu (wkład od polaryzacji próżni jest mniejszy. Na dużych odległościach (tj. dla małych pędów) efekty ekranowania są znaczące i efektywny ładunek jest mniejszy od gołego ładunku. T.Lesiak Fizyka cząstek elementarnych 14

15 Biegnąca stała sprzężenia Elektromagnetyczna efektywna stała sprzężenia zależy od przekazu pędu (q). Ilościowo, tę zależność można wyliczyć, stosując równanie grupy renormalizacji (RGR). RGR prowadzi do rozwinięcia stałej sprzężenia α w szereg w potęgach zmiennej ln(q 2 /μ 2 ): Funkcja beta, opisująca jak zmienia się stała sprzężenia wraz ze zmianą skali Gdzie: μ - referencyjna energia (tzw. skala renormalizacji), e ładunek elektronu, β funkcja odgrywająca podstawową rolę w RGR ( β 0 -przybliżenie 1-pętlowe). W granicy q 2 0 biegnąca stała sprzężenia odpowiada stałej struktury subtelnej oraz pomiarowi ładunku na dużych odległościach. W granicy q 2 m Z2 biegnąca stała sprzężenia jest o kilka procent większa i odpowiada pomiarowi ładunku na małych odległościach. T.Lesiak Fizyka cząstek elementarnych 15

16 Biegnąca stała sprzężenia Podsumowując: T.Lesiak Fizyka cząstek elementarnych 16

17 Moment magnetyczny elektronu Równanie Diraca stanowi relatywistyczny opis elektronu, jako punktowej cząstki o spinie ½ oraz o momencie magnetycznym: g czynnik gyromagnetyczny; magneton Bohra: ) Wielki sukces teorii Diraca: zgodne z doświadczeniem przewidywanie: ALE: QED przewiduje niewielkie odchylenie od tej wartości: od tej Diagramy Feynmana kolejnych rzędów rachunku zaburzeń względem stałej α, wykorzystywane do obliczenia momentu magnetycznego elektronu. Moment magnetyczny elektronu mierzy się doświadczalnie badając oddziaływanie tej cząstki z zewnętrznym polem magnetycznym. T.Lesiak Fizyka cząstek elementarnych 17

18 Moment magnetyczny e - oraz µ - Obliczenia teoretyczne uwzględniają poprawki radiacyjne wyższych rzędów łącznie z wkładami od znanych ciężkich cząstek (bozonów pośredniczących, bozonu Higgsa ) oraz od cząstek przewidywanych przez rozszerzenia modelu standardowego (np. supersymetria). Ich rezultat podaje się zwykle w postaci zmiennej: Obliczenia teoretyczne: dokładność rzędu 8 x : Błąd doświadczalny rzędu 3 x : Głównym źródłem niepewności teoretycznej jest błąd doświadczalny wyznaczania stałej α. Dla mionu ciekawa i słynna anomalia: e.m. słabe silne Być może ważny sygnał zjawisk spoza modelu standardowego T.Lesiak Fizyka cząstek elementarnych 18

19 Rozpraszanie e + e - µ + µ - Najprostszy, podstawowy proces rozpraszania w QED. Formuła na przekrój czynny dla tego procesu może być wydedukowana z analizy wymiarowej: 1) dwa wierzchołki / 2 2) [ ] = [length] 2 =[energy] -2 / s -1 Całkowity przekrój czynny: Czynnik 4 /3 powstaje wskutek wycałkowania po kątach oraz uśrednienia po stanach spinowych. T.Lesiak Fizyka cząstek elementarnych 19

20 Rozpraszanie e + e - µ + µ - Różniczkowy przekrój czynny: θ -kąt rozproszenia µ - w układzie środka masy liczony względem kierunku padającego elektronu (w LAB). φ kąt azymutalny T.Lesiak Fizyka cząstek elementarnych 20

21 Rozpraszanie elastyczne lepton-proton Rozpraszanie elektron-proton można opisać poprzez wymianę wirtualnego fotonu. Najważniejsza zmienna kinematyczna: kwadrat czteropędu fotonu = =kwadrat zmiany czteropędu elektronu Powróćmy do analogii cząstki wiązki jako sondy próbkującej strukturę wewnętrzną cząstek tarczy: Małe Q 2 niski pęd fotonu; miękki foton: jego długość fali de Broglie a jest duża w stosunku do rozmiaru protonu. Foton sonda nie jest w stanie rozróżnić żadnej wewnętrznej struktury protonu, widzi go jako obiekt punktowy. Średnie Q 2 długość fali porównywalna z rozmiarem protonu; foton zaczyna widzieć proton jako obiekt złożony, ale jeszcze nie rozróżnia szczegółów jego struktury. Duże Q 2 długość fali de Broglie a znacznie mniejsza od rozmiarów protonu; foton może doskonale rozróżniać wewnętrzną strukturę protonu, o ile ona istnieje. T.Lesiak Fizyka cząstek elementarnych 21

22 Rozpraszanie elastyczne lepton-proton Różniczkowy przekrój czynny na elastyczne rozproszenie elektronu na punktowym protonie bez uwzględniania spinu elektronu. Uwzględniając dodatkowo odrzut protonu Uwzględniając dodatkowo spin protonu Uwzględniając dodatkowo spin elektronu wzór Motta T.Lesiak Fizyka cząstek elementarnych 22

23 Rozpraszanie elastyczne lepton-proton Jeśli proton byłby obiektem rozciągłym o rozkładzie gęstości ładunku elektrycznego (x,y,z), to wzór Motta trzeba pomnożyć przez kwadrat modułu czynnika postaci (form factor). Dokładniej: G E (G M ) - elektryczny (magnetyczny) czynnik postaci Czynnik postaci ma prostą interpretację fizyczną jest transformatą Fouriera przestrzennego rozkładu gęstości ładunku Normalizacja: F(q 2 ) jest malejącą funkcją q 2 F(q 2 ) mierzy prawdopodobieństwo tego, że elektron zobaczy proton jako całość podczas rozpraszania; przy wielkich q 2 jest to bardzo mało prawdopodobne. T.Lesiak Fizyka cząstek elementarnych 23

24 Rozpraszanie elastyczne lepton-proton Co dają pomiary? Formuła dipolowa = dobra porametryzacja zależności czynnika postaci od q 2 Odpowiada ona, poprzez transformatę Fouriera eksponencjalnej zależności gęstości ładunku od odległości r. Fizycznie oznacza to, że wraz ze wzrostem q 2, foton- sonda widzi coraz mniej ładunku protonu. BARDZO WAŻNE: dla punktowej cząstki-tarczy F(q 2 ) = const (transformata Fouriera funkcji delta Diraca = funkcja stała) Foton-sonda widzi zawsze cały ładunek protonu. brak zależności od skali T.Lesiak Fizyka cząstek elementarnych 24

25 Rozpraszanie nieelastyczne lepton-proton Rozpraszanie elastyczne - do jego opisu wystarcza jedna zmienna kinematyczna Q 2 Pełny wzór na przekrój czynny na rozpraszanie elastyczne: Rozpraszanie nieelastyczne potrzeba dwóch zmiennych kinematycznych: Q 2 oraz Przekrój czynny na rozpraszanie nieelastyczne na obiektach rozciągłych modyfikuje się przez wprowadzenie dwóch funkcji struktury (structure functions) W 1 (,Q 2 ) i W 2 (, Q 2 ) nieelastycznych odpowiedników czynnika postaci. Dwie funkcje struktury uwzględniają dwa stany polaryzacji fotonu Ważna zmienna = masa powstałego układu hadronowego(w) miara nieelastyczności zderzenia: T.Lesiak Fizyka cząstek elementarnych 25

26 Rozpraszanie nieelastyczne lepton-proton Stanford, USA, 1969 r., eksperyment SLAC-MIT; rozpraszenie nieelastyczne wiązki elektronów o energii 7-18 GeV na tarczy wodorowej. Podejście inkluzywne rejestracji podlegają jedynie rozproszone elektrony (i to pod kątem ). W miarę wzrostu nieelastyczności zderzenia (zmiennej W) zależność przekroju czynnego od q 2 staje się coraz bardziej płaska; w dodatku funkcja struktury W 2 przestaje zależeć od q 2 zaczynają być widoczne punktowe składniki protonu partony. Strzelając pociskiem sondą w punktowe obiekty widać to samo, niezależnie od długości fali T.Lesiak Fizyka cząstek elementarnych 26

27 Model kwarków-partonów Autorzy: R.Feynman, S.Bjorken. Nukleon jest złożony ze swobodnych, punktowych kwarków o spinie ½ Głęboko nieelastyczne rozpraszanie elektronu na nukleonie jest niekoherentną sumą elastycznych rozproszeń na kwarkach. Funkcje struktury mają prostą i głęboką interpretację fizyczną: Wprowadźmy dwie nowe bezwymiarowe zmienne: Uwaga: dla rozpraszania elastycznego (jest tylko jedna zmienna kinematyczna T.Lesiak Fizyka cząstek elementarnych 27

28 Model kwarków-partonów Zamiast funkcji struktury W 1 i W 2, wygodnie jest wprowadzić nieco inne F 1 i F 2 Głęboko nieealastyczne rozpraszanie elektron-nukleon elastyczne rozpraszanie elektron-kwark f i (x) rozkład prawdopodobieństwa, że kwark o zapachu i niesie ułamek pędu nukleonu x - jest on wewnętrzną cechą nukleonu, Relacja Callana-Grossa dla cząstek o spinie 1/2 T.Lesiak Fizyka cząstek elementarnych 28

29 Model kwarków-partonów Obserwacja doświadczalna: Funkcje struktury F 1 i F 2 zależą jedynie od x (zmiennej bezwymiarowej), nie zależą od Q 2 skalowanie (scaling) Bjorkena Jeśli przekrój czynny zależy wyłącznie od zmiennych bezwymiarowych to zjawisko dotyczy obiektów punktowych brak w nim skali o wymiarze długości. Kwarki różnicują się na: Walencyjne (valence) nadające liczby kwantowe Morskie (sea) tworzące pary wirtualnych qq T.Lesiak Fizyka cząstek elementarnych 29

30 Model kwarków-partonów Przykład funkcja struktury protonu: Widać też z bilansu pędu gluony powinno być: A wychodzi około 50% -drugą połowę niosą gluony. Partony = kwarki i gluony T.Lesiak Fizyka cząstek elementarnych 30

31 Model kwarków-partonów T.Lesiak Fizyka cząstek elementarnych 31

32 Łamanie skalowania Bjorkena Małe Q 2 Duże Q 2 Funkcja struktury F 2 MALEJE z Q 2 dla dużych, ustalonych wartości x gdyż w tym obszarze dominują kwarki walencyjne. Funkcja struktury F 2 ROŚNIE z Q 2 dla małych, ustalonych wartości x gdyż w tym obszarze dominują gluony (kreujące miękkie pary kwark-antykwark). T.Lesiak Fizyka cząstek elementarnych 32

33 Backup T.Lesiak Fizyka cząstek elementarnych 33