STATYSTYKA OPISOWA WYKŁAD 3,4 5
Szereg rozdzelczy przedzałowy (dae pogrupowae) (stosujemy w przypadku dużej lczby epowtarzających sę daych) Przedzał (w ; w + ) Środek x& Lczebość Lczebość skumulowaa s (w ; w 2 ) x& s = (w 2 ; w 3 ) x& 2 2 s 2 = + 2............ (w r ; w r+ ) x& r r s r = razem --- --- 6
X badaa cecha, lczba daych statystyczych, r lczba przedzałów (klas), (w ; w + ) przedzały (klasy), x& środk przedzałów (klas), lczba daych ależących do przedzału (w ; w + ), s lczebośc skumulowae (s = + 2 +...+ ). b długość klasy 7
Lczbę klas r moża ustalć oretacyje wg astępującej tabel: Lczba daych Lczba klas r 30 60 6 8 60 00 7 0 00 200 9 2 200 500 7 > 500 6 25 8
Będzemy przyjmować, że klasy są jedakowej długośc. 9
Długość klas b b = rozstęp = r x max r x m (wyk dzelea zawsze ależy zaokrąglć w górę do klasy dokładośc daych statystyczych). 20
Jeśl stosujemy przedzały otwarte to lewy koec perwszej klasy w wyzaczamy ze wzoru w = x m α - klasa dokładośc daych. Koleje końce klas wyzaczamy dodając do poprzedego końca długość klasy b tz. w = 2 w + b, w3 = w2 + b, td. α 2 2
Średa (arytmetycza) x = r o = x 22
23 Domata ( ) ( ) b w d d d d d d d d + + = + w d lewy koec klasy zawerającej domatę, d umer klasy zawerającej domatę, d lczebość klasy zawerającej domatę, b długość klas,
Uwaga Wzoru e moża stosować gdy klasa ajlczejsza jest perwsza lub ostata. 24
Medaa m e b = wm + sm 2 w m lewy koec klasy zawerającej medaę m umer klasy zawerającej medaę m lczebość klasy zawerającej medaę s m- lczebość skumulowaa klasy m m 25
Kwartyle perwszy kwartyl: q drug kwartyl: trzec kwartyl: q b = wq + s q 4 q q 2 = m e b = wq + 3 s 3 q 4 3 3 ozaczea aalogcze jak przy medae. q 3 26
Uogóleam meday kwartyl są decyle (podzał a 0 rówych częśc) percetyle (podzał a 00 rówych częśc). 27
Waracja s r 2 o = = x 2 x 28
Współczyk asymetr a = r = o x x 3 s 3 29
lub x d a = s (wskaźk asymetr) 30
q3 2me + q a2 = lub 2q (pozycyjy wskaźk asymetr) q 3 q gdze q = 2 (odchylee ćwartkowe) 3
lub a 3 = d 9 2me + d d d (decylowy wskaźk asymetr) gdze d perwszy decyl d 9 dzewąty decyl 9 32
Pozycyje odpowedk współczyka zmeośc: v = p q m obszaru typowych wartośc: [ m q, m q] e e e + 33
Współczyk skupea (kurtoza) k = r = o x x 4 s 4 34
k = q lub 2( d d ) 3 9 q (pozycyjy wskaźk skupea) gdze d perwszy decyl d 9 dzewąty decyl q perwszy kwartyl q 3 trzec kwartyl 35
POMIAR KONCENTRACJI Krzywa Loreza. Współczyk Gego. Najperw wykreślamy tzw. krzywą Loreza. W tym celu a os pozomej odkładamy skumulowae częstośc w = (wskaźk struktury) a a os poowej skumulowae udzały wartośc z = r = x& x& (są to udzały tego przedzału w wartośc globalej). Welkośc te wyzaczają cąg puktów, które łączymy łamaą przedłużamy ją do początku układu współrzędych, otrzymaa łamaa to krzywa Loreza. 36
Odcek o końcach (0, 0) (, ) przedstawa lę rówomerego rozkładu. krzywa Loreza la rozkładu krzywa Loreza la rozkładu P 0 P 2 0 0 P P 0 Słaba kocetracja kocetracja Sla Współczyk Gego defujemy jako stosuek pola P do 0,5 (pole trójkąta pod lą rówomerego rozkładu) co jest rówe podwojoemu polu P, tz. 37
K G bo = P 0,5 = 2P 2 = 2 P + 2 P2 = gdze P 2 jest polem obszaru pod krzywą Loreza, jest to suma pól trapezów, które łatwo oblczyć. Zauważmy, że 2*Pole trapezu = P = (suma podstaw)*wysokość = S S w ( ) z z + * + (perwszy trapez jest trójkątem). 2 K G [0,] 38
Przykład x& w Sw x& z = r x& = x& S ( Sz Sz ) w z + * + 50 0,5 0,5 50 0,009 0,009 0,004504505 2 25 0,25 0,75 50 0,009 0,08 0,006756757 0 0 0, 0,85 00 0,08 0,036 0,005405405 35 0 0, 0,95 350 0,063 0,099 0,035354 000 5 0,05 5000 0,9009 0,054954955 00 5550 0,0853535 W ostatej kolume są wylczoe podwojoe pola trapezów pod krzywą Loreza, zatem P 2 = 0,0853535. Stąd K G = 2P2 0,085 = 0,95, 39
co śwadczy o bardzo dużej kocetracj (ajwyższą wartość osągają elcze elemety próby. krzywa Loreza la rozkładu rówomerego 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0, 0 0 0,5 40
Przykład x& w Sw x& z = r x & = x & S ( Sz Sz )* w z + + 5 5 0,05 0,05 25 0,0 0,0 0,0005 5 20 0,2 0,25 300 0,2 0,3 0,028 25 50 0,5 0,75 250 0,5 0,63 0,38 35 20 0,2 0,95 700 0,28 0,9 0,308 45 5 0,05 225 0,09 0,0955 00 2500 0,82 W ostatej kolume są wylczoe podwojoe pola trapezów pod krzywą Loreza, zatem P 2 = 0,82 Stąd K G = 2P2 0,82 = 0,88, co śwadczy o słabej kocetracj. 4
krzywa Loreza la rozkładu rówomereg 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 42
Przykład Dwa zakłady A B wykoują te sam detal. Średa dzea wydajość pracy a jedego pracowka w obu zakładach jest taka sama wyos x A = x B = 40 szt. Wadomo też, że m 45, d = 49 m 36, d = 34 e A = A e B = B Chcemy porówać wydajość w obu zakładach. 43
Rozwązae Wydajość w zakładze A ma rozkład o asymetr ujemej (bo x A d A < 0 ) zatem poad połowa pracowków ma wydajość powyżej średej 40 szt. Wydajość w zakładze B ma rozkład o asymetr dodatej ( bo x B d B > 0) zatem mej ż połowa pracowków ma wydajość powyżej średej 40 szt. 44
Wosek Chocaż średa wydajość w obu zakładach jest taka sama to bardzej korzysty rozkład wydajośc jest w zakładze A. 45
Charakterystyk połączoych populacj. Nekedy obserwujemy wartośc badaej cechy lczymy charakterystyk w populacj podzeloej a podzbory a astępe chcemy wyzaczyć wartośc tych charakterystyk w całej populacj. 46
Przyjmjmy, że populacja jest podzeloa a k podzborów o lczebośc rówych odpowedo N =, 2,..., k; tz. k = N = N. 47
48 Jeśl x są średm w poszczególych podzborach to średa dla całej populacj jest rówa k k k x N N x N N x N N x N N x = = + + + = 2 2... Jest to tzw. średa ważoa.
2 Jeśl s są waracjam w poszczególych podzborach to waracja dla całej populacj jest rówa s 2 N k k 2 = s + = N = N N ( x x) 2 Perwszy składk to tzw. waracja wewątrzgrupowa, drug składk to tzw. waracja mędzygrupowa. 49
DODATEK-RODZAJE ŚREDNICH Jedą z welkośc charakteryzujących dae lczbowe jest wartość średa. Rodzaje średch: Arytmetycza Geometrycza Harmocza Potęgowa 50
Wybór średej zależy od rodzaju badaych welkośc potrzeb aalzy daych. Najczęścej stosowaą średą jest średa arytmetycza. 5
Średą arytmetyczą lczb rzeczywstych x, x 2, x 3,..., x azywamy lczbę: x = ( x + x + + x ) = 2... x = 52
Przykład. Pęcu studetów otrzymało a egzame z matematyk ocey: 3, 2, 5, 2, 3. Ile wyos średa ocea tych studetów? (odp. 3) Jeżel wśród daych występują wartośc powtarzające sę: x występuje razy, =, 2,,r + 2 +... + k = = k = to 53
x = ( x + 2x 2 +... + k xk ) = x = k = k = x Te sposób lczea średej arytmetyczej azywamy średą arytmetyczą ważoą. 54
Przykład. Dwudzestu pęcu studetów otrzymało a egzame z matematyk ocey: dzesęć oce 3, dzesęć oce 2, pęć oce 5. Ile wyos średa ocea tych studetów? x = 25 75 ( 0 2 + 0 3 + 5 5) = = 3 25 55
Średą geometryczą lczb rzeczywstych dodatch x, x 2, x 3,..., x azywamy perwastek tego stopa z ch loczyu, tz. x g = x x2... x = = x Średa geometrycza zajduje ajczęścej zastosowae przecętego tempa zma w czase, p. do uśredaa deksów gełdowych. 56
Przykład. Rocza stopa procetowa w czterech kolejych latach wyosła: 0%, 20%, 5%, 5%. Jaka była średa stopa w tym okrese? x g 4 = 4 0, 0,2 0,05 0,5 = 0,0005 0,07,07% Zauważmy, że średa arytmetycza tych daych wyos 2,5% 57
Średą harmoczą lczb x, x 2, x 3,..., x różych od zera azywamy odwrotość średej arytmetyczej odwrotośc lczb, tz. x h = = + +... x x x x 2 = Średą harmoczą stosuje sę przy uśredau welkośc względych, p. przy oblczau przecętej prędkośc lub średej gęstośc zaludea. 58
Przykład. Pa Kowalsk codzee dojeżdża do pracy samochodem z prędkoścą 40km/h. Pewego da zaspał wyjechał późej ż zwykle. W połowe trasy zoretował sę, że e zdąży zwększył prędkość o 20km/h, dzęk czemu e spóźł sę do pracy. Z jaką średą prędkoścą jechał tego da pa Kowalsk? x h = 40 2 + 60 59 = 240 5 = 48 Zauważmy, że średa arytmetycza tych daych wyos 50km/h
Średą potęgową rzędu k lczb rzeczywstych dodatch x, x 2, x 3,..., x azywamy lczbę. x p( k) = k x k + x k 2 +... + x k = k = x k Uwaga: Dla k = jest to średa arytmetycza, Dla k = - jest to średa harmocza, Dla k = 2 jest to średa kwadratowa, 60
Przykład. Mamy 3 pojemk sześcee o krawędzach odpowedo, 2 3. Chcemy zaleźć taką krawędź sześceego pojemka, aby trzy pojemk o tej krawędz zastąpły dotychczas używae, to zaczy, aby łącza objętość poprzedch owych była taka sama. x p 3 3 3 + 2 + 3 3 3 ( 3) = = 2 2,29 3 Zauważmy, że średa arytmetycza tych daych wyos 2. 6
Twerdzee Dla dowolych lczb rzeczywstych dodatch x, x 2, x 3,..., x zachodzą erówośc x h przy czym rówość zachodz wtedy tylko wtedy, gdy x = x 2 = x 3 =... = x. x g x 62