Elementy logiki 1
Przykłady zdań w matematyce Zdania prawdziwe: 1 3 + 1 6 = 1 2, 3 6, 2 Q, Jeśli x = 1, to x 2 = 1 (x oznacza daną liczbę rzeczywistą), Jeśli a 2 + b 2 = c 2, to trójkąt o bokach długości a, b, c jest prostokątny (a, b, c oznaczają dane liczby dodatnie), Zdania fałszywe: 2 + 2 = 5, 2 Q, Q Z. 2
Pytanie. Czy prawdziwe jest zdanie: Jeśli trójkąt o bokach długości a, b, c jest prostokątny, to a 2 + b 2 = c 2? (a, b, c dane liczby dodatnie) 3
Zdanie posiadające jedną z dwóch wartości logicznych: prawda lub fałsz, nazywamy zdaniem logicznym. Zdania logiczne oznaczamy literami p, q, r,.... Złożone zdania logiczne są zbudowane z innych zdań logicznych za pomocą spójników logicznych: jednoargumentowego i dwuargumentowych,,,,. 4
Negacja p nie p, nieprawda, że p negacja zdania p Zdanie p jest: prawdziwe, gdy p jest fałszywe, fałszywe, gdy p jest prawdziwe. Przykład: 1 nie jest liczbą pierwszą, dokładniej: nieprawda, że 1 jest liczbą pierwszą. Zdanie p jest negacją zdania p: 1 jest liczbą pierwszą. 5
Koniunkcja p q p i q koniunkcja zdań p i q Zdanie p q jest: prawdziwe, gdy oba zdania p i q są prawdziwe, fałszywe, gdy co najmniej jedno ze zdań p i q jest fałszywe. Przykład: 2 jest liczbą pierwszą i parzystą, dokładniej: 2 jest liczbą pierwszą i 2 jest liczbą parzystą. Jest to koniunkcja p q, gdzie p oznacza zdanie 2 jest liczbą pierwszą, a q oznacza zdanie 2 jest liczbą parzystą. 6
Alternatywa p q p lub q alternatywa zdań p i q Zdanie p q jest: prawdziwe, gdy co najmniej jedno ze zdań p i q jest prawdziwe, fałszywe, gdy oba zdania p i q są fałszywe. Przykład. Wybierzmy pewną liczbę całkowitą x i rozważmy zdanie: x < 1 lub x > 1. Jest to alternatywa p q, gdzie p oznacza zdanie x < 1, a q oznacza zdanie x > 1. W przypadku x = 0 oba zdania są prawdziwe i alterantywa też jest zdaniem prawdziwym. 7
Alternatywa rozłączna p q p albo q alternatywa rozłączna zdań p i q Zdanie p q jest: prawdziwe, gdy jedno ze zdań p, q jest prawdziwe, a drugie fałszywe, fałszywe, gdy oba zdania p i q są jednocześnie prawdziwe lub jednocześnie fałszywe. Przykład. Rozważmy dwie (różne) proste na płaszczyźnie. Mówimy: Dane proste się przecinają albo są równoległe. Jest to alternatywa rozłączna p q, gdzie p oznacza zdanie Dane proste się przecinają, a q oznacza zdanie Dane proste są równoległe. 8
Alternatywy rozłącznej (w zdaniu prawdziwym) używamy, gdy chcemy podkreślić, że oba zdania nie mogą jednocześnie być prawdziwe. Uwaga. Jeśli zdanie p q jest prawdziwe, to zdanie p q też jest prawdziwe, np.: Dane proste się przecinają lub są równoległe. Jeśli zdanie p q jest prawdziwe, to zdanie p q nie musi być prawdziwe, np.: 0 < 1 albo 0 > 1. 9
Równoważność p q p wtedy i tylko wtedy, gdy q, p dokładnie wtedy, gdy q równoważność zdań p i q. Zdanie p q jest: prawdziwe, gdy oba zdania p i q są jednocześnie prawdziwe lub jednocześnie fałszywe, fałszywe, gdy jedno ze zdań p, q jest prawdziwe, a drugie fałszywe. Przykład. Rozważmy czworokąt wypukły ABCD. Zdanie: Czworokąt ABCD jest opisany na okręgu wtedy i tylko wtedy, gdy AB + CD = AD + BC jest równoważnością zdań p: Czworokąt ABCD jest opisany na okręgu i q: AB + CD = AD + BC. 10
Implikacja p q jeśli p, to q, p implikuje q implikacja o poprzedniku p i następniku q Jak określamy wartość logiczną implikacji? 11
Przykład. Zdanie x = 1 x 2 = 1 jest prawdziwe dla każdej liczby rzeczywistej x. Zwróćmy uwagę na wartość logiczną poprzednika oraz następnika tej implikacji dla poszczególnych wartości x. x = 1 x 2 = 1 dla x = 1 prawda prawda dla x = 0 fałsz fałsz dla x = 1 fałsz prawda 12
Prawdziwość implikacji oznacza, że jeśli zdanie p jest prawdziwe, to zdanie q też musi być prawdziwe (a jeśli p nie jest prawdziwe, to q może być jakiekolwiek). Zdanie p q jest: prawdziwe, gdy oba zdania są prawdziwe, gdy oba zdania są fałszywe oraz gdy zdanie p jest fałszywe, a zdanie q jest prawdziwe, fałszywe, gdy zdanie p jest prawdziwe, a zdanie q jest fałszywe. 13
Przy zapisywaniu bardziej skomplikowanych zdań logicznych używamy nawiasów, np.: ( p), (p q) r, (p q) (q r). Zdania (p q) r i p (q r) mają zawsze tę samą wartość logiczną (dlaczego?), więc nawiasy możemy opuścić: p q r. Podobnie otrzymujemy zdanie p q r. 14
Zdanie p 1 p 2... p n jest: prawdziwe, gdy każde ze zdań p 1, p 2,..., p n jest prawdziwe, fałszywe, gdy co najmniej jedno ze zdań p 1, p 2,..., p n jest fałszywe. Zdanie p 1 p 2... p n jest: prawdziwe, gdy co najmniej jedno ze zdań p 1, p 2,..., p n jest prawdziwe, fałszywe, gdy każde ze zdań p 1, p 2,..., p n jest fałszywe. 15
Zdania (p q) r i p (q r) mają tę samą wartość logiczną, ale wartość logiczną zdania p q r określamy inaczej. Zdanie p 1 p 2... p n jest: prawdziwe, gdy wszystkie zdania p 1, p 2,..., p n są jednocześnie prawdziwe lub jednocześnie fałszywe, fałszywe, gdy wśród zdań p 1, p 2,..., p n są zdania prawdziwe i zdania fałszywe. Pytanie. Jak można określić prawdziwość zdania p 1 p 2... p n? 16
Ważna własność spójników logicznych: Wartość logiczna zdania złożonego zależy jedynie od tego, w jaki sposób jest ono zbudowane i jakie wartości logiczne mają zdania składowe. Wartość logiczna zdania złożonego nie zależy od konkretnej postaci (treści) zdań składowych. Dlatego możemy rozważać wyrażenia utworzone poprawnie (za pomocą spójników logicznych i nawiasów) z symboli p, q, r, itp. Symbole te nazywamy zmiennymi zdaniowymi. Gdy w takim wyrażeniu podstawimy za zmienne zdaniowe konkretne zdania logiczne, to otrzymamy złożone zdanie logiczne. Uwaga. Jeśli to nie prowadzi do nieporozumień, to zmienne zdaniowe i wyrażenia z nich utworzone możemy nazywać zdaniami. 17
Wyrażenia logicznie równoważne Wyrażenia nazywamy logicznie równoważnymi, gdy mają równe wartości logiczne dla dowolnego wartościowania logicznego zmiennych zdaniowych. Przykłady: Wyrażenia p i ( p) są logicznie równoważne. Wyrażenia p q, q p, p q i (p q) są logicznie równoważne. 18
Inny przykład. Zdanie (p q) jest fałszywe tylko w przypadku, gdy zdanie p q jest prawdziwe, czyli gdy oba zdania p i q są prawdziwe. Zdanie p q jest fałszywe tylko w przypadku, gdy oba zdania p, q są fałszywe, czyli gdy oba zdania p i q są prawdziwe. Zatem zdania są logicznie równoważne. (p q) i p q Analogicznie, zdania są logicznie równoważne. (p q) i p q 19
Tautologie Tautologią nazywamy wyrażenie, które ma wartość logiczną prawda dla dowolnego wartościowania zdań prostych. Przykłady tautologii: p p, p p (prawo wyłączonego środka), (p p) (prawo sprzeczności), ( p p) p (prawo Claviusa), 20
(p q) p, p (p q), p (p q), ((p q) (q p)) (p q), (p (q r)) ((p q) (p r)). 21
Wyrażenie postaci P Q jest tautologią dokładnie wtedy, gdy wyrażenia P i Q są logicznie równoważne. Przykłady. Prawo podwójnego przeczenia: p ( p). Prawa de Morgana: (p q) ( p q), (p q) ( p q). 22
Metoda dowodu nie wprost jest oparta na tautologii (p q) ( q p). Metoda dowodu przez sprzeczność jest oparta na tautologii (p q) (p q). 23
Metoda zero-jedynkowa Wartość logiczną fałsz oznaczamy symbolem 0, a wartość logiczną prawda symbolem 1. Jeśli zdanie p jest fałszywe, to piszemy v(p) = 0, a jeśli jest prawdziwe, to piszemy v(p) = 1. Wartości logiczne zdań złożonych określiliśmy następująco: v(p) v( p) 0 1 1 0 v(p) v(q) v(p q) v(p q) v(p q) v(p q) 0 0 0 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 24
Przykład. Wartość logiczną zdania złożonego ((p q) (q p)) (p q) dla poszczególnych wartościowań zdań prostych możemy obliczyć następująco: v(p) v(q) v(p q) v(q p) v(p q) 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 v((p q) (q p)) v(((p q) (q p)) (p q)) 1 0 0 1 0 1 1 1 25
Szybszy sposób polega na tym, że nie wypisujemy poszczególnych zdań składowych w oddzielnych kolumnach (np. p q, q p i p q); piszemy tylko całe zdanie złożone, a wartości logiczne poszczególnych zdań składowych wypisujemy pod tymi zdaniami (dokładniej: pod ich spójnikami logicznymi). Gdy wypiszemy np. wartości logiczne zdań p q i q p, to wartości logiczne zdania (p q) (q p) wypisujemy pod spójnikiem. v(p) v(q) ((p q) (q p)) (p q) 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 0 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 26
Przykład. Zdania są logicznie równoważne. (p q) r i (p r) (q r) v(p) v(q) v(r) (p q) r (p r) (q r) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 27
Przykład. Zdanie (p q) (q p) jest tautologią. v(p) v(q) (p q) (q p) 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 28
Formy zdaniowe Forma zdaniowa ϕ(x) określona w zbiorze X to wyrażenie, które jest zdaniem, jeśli za x wstawimy dowolny element zbioru X. Zbiór X nazywamy zakresem formy zdaniowej ϕ(x). 29
Przykłady. ϕ(x) = x 2 < 1, gdzie x R, ϕ(x) jest zdaniem: prawdziwym dla x ( 1, 1), fałszywym dla x (, 1] [1, + ); ϕ(x) = x 2 0, gdzie x R, ϕ(x) jest zdaniem prawdziwym dla wszystkich x R; 30
ϕ(n) = n 6 (n dzieli 6), gdzie n N 1, ϕ(n) jest zdaniem: prawdziwym dla n = 1, 2, 3, 6 fałszywym dla pozostałych n; ϕ(n) = n = n + 1, gdzie n Z, ϕ(n) jest zdaniem fałszywym dla każdego n Z. 31
Uwaga. Forma zdaniowa określona w zbiorze X pozwala każdemu elementowi tego zbioru przyporządkować zdanie. Możemy więc ją nazwać funkcją zdaniową. Pytanie. Co jest dziedziną, a co zbiorem wartości tej funkcji? 32
Kwantyfikatory Jeśli ϕ(x) jest formą zdaniową określoną w zbiorze X, to możemy rozważyć następujące dwa zdania. 1. Zdanie Dla każdego x X (zachodzi) ϕ(x), które zapisujemy symbolicznie x X ϕ(x). 33
2. Zdanie Istnieje x X takie, że ϕ(x), które zapisujemy x X ϕ(x). Zdanie x X ϕ(x) jest prawdziwe dokładnie wtedy, gdy ϕ(x) jest zdaniem prawdziwym dla co najmniej jednego x X. 34
Przykłady: x R x 2 < 1 zdanie fałszywe, x R x 2 < 1 zdanie prawdziwe, x R x 2 0 zdanie prawdziwe, x R x 2 0 zdanie prawdziwe, 35
n N1 n 6 zdanie fałszywe, n N1 n 6 zdanie prawdziwe, n Z n = n + 1 zdanie fałszywe, n Z n = n + 1 zdanie fałszywe. 36
Zauważmy, że: jeśli ϕ(x) jest zdaniem prawdziwym dla wszystkich x X, to zdania x X ϕ(x) i x X ϕ(x) są prawdziwe, jeśli ϕ(x) jest zdaniem fałszywym dla wszystkich x X, to zdania x X ϕ(x) i x X ϕ(x) są fałszywe, jeśli ϕ(x) jest zdaniem prawdziwym dla pewnych elementów zbioru X, a fałszywym dla innych elementów tego zbioru, to zdanie x X ϕ(x) jest fałszywe, a zdanie x X ϕ(x) jest prawdziwe. 37
Symbol nazywamy kwantyfikatorem ogólnym, a symbol nazywamy kwantyfikatorem szczegółowym. for All Exists Jeśli zakres formy zdaniowej (zbiór X) jest jasno określony, to zamiast x X ϕ(x) i x X ϕ(x) możemy pisać: x ϕ(x), x ϕ(x). 38
W matematyce elementarnej popularne są polskie symbole kwantyfikatorów: kwantyfikator ogólny (zamiast ), kwantyfikator szczegółowy (zamiast ). Kwantyfikatory te są uogólnieniami spójników logicznych, gdyż w przypadku zbioru skończonego X mamy: x {x 1,...,x n } x {x 1,...,x n } ϕ(x) ϕ(x 1 ) ϕ(x n ), ϕ(x) ϕ(x 1 ) ϕ(x n ). 39
Formy zdaniowe wielu zmiennych Możemy rozważać formy zdaniowe większej liczby zmiennych, np. ϕ(x, y, z), gdzie x X, y Y, z Z lub ϕ(x, y), gdzie x, y X. Przykłady: x < y, gdzie x, y N; x y = 0, gdzie x Z, y R; A k, gdzie A zbiór punktów, k zbiór prostych; Punkt A leży między punktami B i C. 40
Rozważmy formę zdaniową ϕ(x, y) zmiennych x, y X. Zdanie x X y X ϕ(x, y) oznacza, że dla każdego x X zachodzi to, że dla każdego y X zachodzi ϕ(x, y). Prościej: dla dowolnych x, y X zachodzi ϕ(x, y), co zapisujemy używając jednego symbolu kwantyfikatora: x,y X ϕ(x, y). 41
Zdanie x X y X ϕ(x, y) oznacza, że istnieje x X, dla którego istnieje y X taki, że zachodzi ϕ(x, y). Prościej: istnieją x, y X takie, że ϕ(x, y), co też zapisujemy używając jednego symbolu kwantyfikatora: x,y X ϕ(x, y). 42
Niech teraz ϕ(x 1,..., x n ) będzie formą zdaniową zmiennych x 1,..., x n, gdzie x 1 X 1,..., x n X n. Zdanie Dla dowolnych x 1 X 1,..., x n X n (zachodzi) ϕ(x 1,..., x n ) zapisujemy x1 X 1,...,x n X n ϕ(x 1,..., x n ). Zdanie Istnieją x 1 X 1,..., x n X n takie, że ϕ(x 1,..., x n ), zapisujemy x1 X 1,...,x n X n ϕ(x 1,..., x n ). 43