Elementy logiki Zdania proste i złożone. Jaka jest wartość logiczna następujących zdań: (a) jest dzielnikiem 7 lub suma kątów wewnętrznych w trójkącie jest równa 80. (b) Jeśli sin 0 =, to 5 < 5. (c) Równanie x + bx + c = 0 ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste wtedy i tylko wtedy, gdy funkcja f(x) = x + bx + c nie jest stałego znaku na prostej rzeczywistej. (d) Nieprawda, że ( 4 lub > 4). (e) Nieprawda, że (5 = 5 i 5 5). (f) Jeżeli reszta z dzielenia liczby naturalnej a przez jest równa i reszta z dzielenia liczby naturalnej b jest równa, to reszta z dzielenia liczby a + b przez jest równa 3. (g) Jeżeli reszta z dzielenia liczby naturalnej a przez jest równa i reszta z dzielenia liczby naturalnej b jest równa, to reszta z dzielenia liczby a b przez jest równa 0.. Zbudować tabelki logiczne wyznaczające wartości logiczne następujących zdań złożonych w zależności od wartości logicznej zdań składowych. (a) (p q) (p q) (b) (p q) (q p) (c) [(p q) (q p)] (p q) 3. Zdanie q jest prawdziwe. Czy dla każdego zdania p prawdziwe jest zdanie (a) p (p q) (b) ((p q) p) p
4. Wyznaczyć zbiór wszystkich wartości rzeczywistych parametru a, dla których zdanie (q r) p jest prawdziwe, jeśli p = istnieje liczba rzeczywista x (0, ) taka, że x + x < 0; q = suma pierwiastków równania x + ax a = 0 jest mniejsza od r = równanie sin x = a + ma co najwyżej jedno rozwiązanie w przedziale (0 ; π). 3a 5. Wyznaczyć zbiór wszystkich wartości parametru rzeczywistego a, dla których prawdziwe jest zdanie: Jeżeli równanie x 5x + 6 = a ma trzy rozwiązania, to istnieje liczba rzeczywista y taka, że y =. 6. Sprawdzić, że następujące zdania złożone są tautologiami rachunku zdań. (a) [ ( p)] p (b) p ( p) (c) [p ( p)] (d) [( q) ( p)] (p q) (e) [(p q)] [ p q] (f) [ (p q)] [( p) ( q)] (g) [ (p q)] [( p) ( q)] (prawo podwójnego przeczenia) (prawo wyłączonego środka) (prawo sprzeczności) (prawo transpozycji) (prawo de Morgana dla alternatywy) (prawo de Morgana dla koniunkcji) 7. Sprawdzić, że następujące schematy określają reguły wnioskowania. (a) p, p q (reguła odrywania) q ( q) [p ( p)] (b) (dowód przez sprowadzenie do niedorzeczności) q p q, ( p) ( q) (c) p q Funkcje zdaniowe i kwantyfikatory 8. Określić zbiory argumentów, dla których prawdziwe są następujące funkcje zdaniowe. Zilustrować odpowiedź rysunkiem. (a) x 4, dla x R;
(b) x + y, dla (x, y) R R 9. Podać wartość logiczną następujących zdań, zapisać zaprzeczenia tych zdań zmieniając odpowiednio kwantyfikatory i funkcje zdaniowe. (a) x R : x > 0 (b) α [0, ] : sin α = (c) x R : sgn x = x (d) n N : 7 n 7 n (e) n N : 9 n 9 n (f) x R : ([x] 0 x [x] > 0). 0. Określić zbiory argumentów x R, dla których prawdziwe są funkcje zdaniowe. (a) y R : x + y (b) y [, +] : x + y. Podać wartość logiczną następujących zdań, zapisać zaprzeczenia tych zdań zmieniając odpowiednio kwantyfikatory i funkcje zdaniowe. (a) x R, y R : x + y = 5 (b) y R, x R : x + y = 5 (c) x R, y R : x y 3 = cos x (d) x R, y R : (x y) (x y)(x + y) y xy (e) ε > 0, k N, n k : n < ε. Napisać zaprzeczenie następującego wyrażenia zmieniając odpowiednio kwantyfikatory i funkcję zdaniową. ε > 0, k N, n k : a n g < ε 3. Podać przykład funkcji zdaniowych Φ(x), Ψ(x), x R, dla których zdanie (a) [ x : (Φ(x) Ψ(x))] [( x : Φ(x)) (( x : Ψ(x))] (b) [ x : (Φ(x) Ψ(x))] [( x : Φ(x)) ( x : Ψ(x))]. jest fałszywe. Dwumian Newtona 3
4. Wyznaczyć siódmy wyraz rozwinięcia dwumianu ( 3 x 6 x ) 30. 5. Wyznaczyć wszystkie wyrazy rozwinięcia dwumianu ( 4 x + 4 x) 8, w których x występuje w potędze naturalnej. 6. Wyznaczyć wszystkie wyrazy rozwinięcia dwumianu ( 5 9 3 ) 5, które są liczbami naturalnymi. ( ) ( ) ( ) n n n 7. Wykazać, że + + + = n dla każdej liczby naturalnej n. 0 n 8. Wykazać, że ciąg liczbowy (a n ) o wyrazie ogólnym a n = jest stały. 9. Wykazać, że ( ) ( ) n n + = k k + 0 + + ( ) n + dla każdego n N i k {0,,..., n }. k + n Indukcja matematyczna 0. Stosując metodę indukcji matematycznej udowodnić: n (a) (k ) = n k= n (b) k = n k= 6 (n + 3n + ) (c) 3 (n 3 + n) (d) 9 4 n + 5n + 35 (e) 3 5 n+ + 6 n+ (f) + + 3 + + n n (g) 3 4... n < n n + n (h) > n (dla n ) k k= (i) a > 0, b > 0, n N : (a + b) n < n (a n + b n ). Wskazówka: ( a > 0, b > 0, n N) (a b) (a n b n ) 0 4
(j) x (, ), n N : ( + x) n + nx (nierówność Bernoulliego). Wykazać, że dla każdej liczby naturalnej n i dowolnych liczb rzeczywistych a, a,..., a n prawdziwa jest nierówność a + a +... + a n a + a +... + a n. Wykazać, że dla każdej liczby naturalnej n liczba wszystkich podzbiorów zbioru n elementowego jest równa n. 3. Korzystając z zasady indukcji matematycznej wykazać, że liczba przekątnych w wielokącie n(n 3) wypukłym o n bokach, n 3, jest równa. 4. Wyznaczyć zbiór wszystkich liczb naturalnych n, dla których ułamek 0n + 4 n 7 jest 3 liczba naturalną. 5. Wykazać metodą indukcji matematycznej, że ciąg (a n ) określony zależnościami: a = 4, a n+ = + a n, n, jest rosnący i ograniczony z góry. 4 6. Niech (a n ) będzie ciągiem określonym zależnościami: a 0 =, a = 3, a n+ = 3a n a n, n. Korzystając z zasady indukcji wykazać, że a n = n +, n N. 7. Niech (a n ) będzie ciągiem określonym zależnościami: a = a =, a n = a n +a n, n 3 (ciąg Fibonacciego). Korzystając z zasady indukcji matematycznej wykazać, że [( ) n ( ) n ] 5 + 5 5 a n =, n N 5 (Wsk. w dowodzie kroku indukcyjnego wykorzystać fakt, że liczby + 5 pierwiastkami równania x = x + ). i 5 są 5