Program Rozwojowy Poliechniki Warszawskiej, Zadanie 36 Przygoowanie i modernizacja programów sudiów oraz maeriałów dydakycznych na Wydziale Elekrycznym Laboraorium kwizycja, przewarzanie i przesyłanie danych pomiarowych Ćwiczenie naliza widmowa sygnałów Insrukcje do ćwiczenia i dodakowe maeriały zmodernizowano przy wykorzysaniu środków orzymanych w ramach Zadania 36 Programu Rozwojowego Poliechniki Warszawskiej Projek współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.
. Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jes zapoznanie sudenów z zasadami widmowej analizy sygnałów (analizy w dziedzinie częsoliwości), kóra sanowi nowoczesne, coraz powszechniej używane narzędzie merologii. W przypadku użycia oscyloskopu do obserwacji sygnału, sosujemy analizę czasową, chociaż znając paramery podsawy czasu możemy określić długość okresu, a więc również warość częsoliwości dla przebiegów okresowych. Nie możemy jednak określić zw. zawarości harmonicznych dla odkszałconych (różnych od sinusoidy) przebiegów okresowych. W ym celu należy zasosować zw. analizę widmową. Klasyczna meoda wyznaczania widma częsoliwościowego sygnału elekrycznego polega na przepuszczeniu ego sygnału przez zespół wąskopasmowych filrów analogowych o różnych warościach częsoliwości rezonansowych i pomiarze ampliud sygnałów na wyjściach ych filrów. Meoda a jes dosyć uciążliwa i mało dokładna. W osanich laach zosała diameralnie zmieniona dzięki zasosowania echniki cyfrowego przewarzania sygnałów. Obecnie widmo sygnału jes wyznaczane meodą numeryczną z wykorzysaniem mikroprocesora. Urządzeniem umożliwiającym obliczenie i zobrazowanie widma sygnału jes cyfrowy analizaor widma. Podsawowe zadania sawiane sudenom o: Nabycie prakycznych umiejęności w posługiwaniu się podsawowymi pojęciami analizy widmowej, a w szczególności dyskreną ransformaą Fouriera, Opanowanie umiejęności inerpreacji wyników pomiarów eksperymenalnych.. Wprowadzenie eoreyczne Sygnał - o jedno z podsawowych pojęć merologii. Sygnałem jes określony w funkcji czasu przebieg dowolnej wielkości fizycznej x(), np.: napięcia, prądu, naężenia pola elekrycznego, naprężeń przęsła mosu, prędkości obroowej urbiny ip. Po zamianie dowolnego sygnału fizycznego (wielkości fizycznej) na wielkość elekryczną, mamy do czynienia z sygnałem elekrycznym. W merologii są o zwykle sygnały napięciowe lub prądowe. Sygnały opisane analiycznie lub w inny równoważny sposób, np. graficznie, nazywają się sygnałami zdeerminowanymi, ponieważ ich warości są określone z góry dla każdej chwili czasu. Najprosszymi sygnałami zdeerminowanymi są : sygnał harmoniczny: x gdzie jes ampliudą, ω - pulsacją, a ϕ - fazą począkową, sygnał okresowy: gdzie jes okresem, a m - liczbą całkowią dodanią. () = cos( ω + ϕ ), < <, () x () = x( + m), < <, () Zależności () i () opisują sygnały w dziedzinie czasu. Pojęcie analiza widmowa określa badanie własności sygnałów nie w dziedzinie czasowej lecz częsoliwościowej, a sygnał przedsawiony w dziedzinie częsoliwości jes nazywany widmem częsoliwościowym. Przejście z jednej dziedziny do drugiej jes maemaycznie opisane przez całkowe przekszałcenie Fouriera X( ω) = + x()e określane eż mianem ransformay całkowej. Na odworzenie sygnału pozwala ransformaa odwrona: jω d (3) x() = π + X( ω)e jω dω. (4) W obydwu wzorach ω = πf = π/ oznacza pulsację. Jeżeli sygnał x() jes okresowy o można go przedsawić w posaci sumy funkcji rygonomerycznych (szeregu Fouriera): gdzie: x() = a + ak cos(kω ) + bk sin(kω ) k= (5) sr.
+ a = x()d (6) + a k = x() cos(kω )d (7) lub w bardziej zwarej formie: + bk = x() sin(kω)d (8) gdzie: + n k= jkω x () = c e, (9) + jkω c n = x()e d () W powyższych wzorach ω = π/ = πf sanowi pulsację sygnału okresowego. W przypadku gdy funkcja x() jes nieparzysa, współczynniki a k przyjmują warość zero (całkowana jes za okres funkcja cos(kω )) i podobnie gdy x() jes parzysa, o współczynniki b k są zerowe (całkowana jes za okres funkcja sin(kω )). W abeli przedsawiono rozwinięcie w szereg Fouriera wybranych funkcji okresowych. abela. Rozwinięcie w szereg Fouriera f() f() - / - / 4 () = sin( ω ) + sin(3ω) + sin(5ω ) +... π 3 5 f 8 () = sin( ω ) sin(3ω ) + sin(5ω ) +... π 3 5 f f() f() f () 4 = π π n= cosnω () = + sin ω π π n= cos n 4n f ω Z abeli wynika, że każdy przebieg okresowy można przedsawić w posaci sumy lub różnicy przebiegów sinusoidalnych o częsoliwościach będących wielokronością częsoliwości podsawowej ω. Warości współczynników rozwinięcia w szereg Fouriera pokazują jaka jes zawarość składowej o danej częsoliwości w analizowanym przebiegu. Przedsawienie ych współczynników w funkcji częsoliwości jes graficznym obrazem widma przebiegu okresowego. sr. 3
Na rysunku pokazano przebieg sygnału w dziedzinie czasu (ime domain) i jego obraz w dziedzinie częsoliwości (frequency domain). Widmo sygnału jes prezenowane w posaci prążków o wysokości odpowiadającej ampliudzie poszczególnych składowych sygnału. Rys.. Sygnał w dziedzinie czasu i częsoliwości Poniżej (abela ) zilusrowano jaki wpływ na kszał sygnału i jego widmo ma proces sumowania przebiegów sinusoidalnych o częsoliwościach będących wielokronością częsoliwości podsawowej wyrażonej przez iloczyn nω dla n nieparzysych i ampliudach malejących w sosunku /n. abela Syneza przebiegu prosokąnego x () = sin( ω ) x () = sin( ω ) 3 + sin(3 3 ω ) () 5 = sin( ω ) + sin(3ω ) + sin(5 3 5 x ω ) () 7 = sin( ω ) + sin(3ω ) + 3 x sin(5ω ) + sin(7 5 7 ω ) sr. 4
Na rysunku zamieszczono (w powiększeniu) przykład kolejnego sumowania harmonicznych (,3,5,7,9): x () = sin(ω ) 9 + sin(3ω ) + sin(5ω) + sin(7ω) 3 5 7 + sin( 9ω 9 ( ) Widać wyraźnie jak liczba składowych (nieparzysych harmonicznych) wpływa na kszał przebiegu wynikowego. Rys.. Przykład kolejnego sumowania nieparzysych harmonicznych (,3,5,7,9) naliza sygnału w dziedzinie częsoliwości polega na wyodrębnieniu poszczególnych składowych sygnału i zobrazowaniu ich ampliudy w funkcji częsoliwości. Koncepcję urządzenia realizującego akie operacje przedsawiono na rys. 3. filr przewornik sygnał wejściowy filr przewornik wielokanałowy rejesraor lub muliplekser urządzenie odczyowe filr n przewornik n Rys. 3. Koncepcja przyrządu do analizy sygnału w dziedzinie częsoliwości Pasma przepusowe filrów wejściowych pokrywają przedział częsoliwości od Hz do pewnej częsoliwości f max wyznaczającej zakres przewarzania (rys. 4). Przeworniki w posaci deekorów warości szczyowej sygnału przewarzają ampliudy składowych sygnału na warości sałe rejesrowane w pamięci przyrządu lub zobrazowane bezpośrednio na urządzeniu odczyowym. Pomiar lub rejesracja warości sygnałów odpowiadających poszczególnym harmonicznym wymaga zasosowania dużej liczby filrów o wąskim paśmie przepusowym BW (składowe o częsoliwościach zawierających się w paśmie danego filru są nierozróżnialne). Rozwinięcie koncepcji przedsawionej na rysunku 4 polega na: realizacji filrów na drodze obliczeniowej, zasosowaniu jednego filru o przesrajanym paśmie lub przemianie częsoliwości badanego sygnału w aki sposób, aby kolejne harmoniczne ego sygnału znalazły się w określonym paśmie przepusowym jednego filru. sr. 5
ampliuda filr filr filr n BW - pasmo filru f max częsoliwość Rys. 4. Charakerysyki filrów wejściowych Wyznaczanie widma sygnału w sposób numeryczny wymaga sosunkowo skomplikowanych obliczeń maemaycznych. Na szczęście obliczenia e mogą być wykonywane przy użyciu kompuera. W ym celu należy jednak przejść do dziedziny sygnałów cyfrowych. Sygnał dyskreny orzymuje się po dokonaniu próbkowania sygnału ciągłego. Próbkowanie sygnału polega na pobieraniu warości jego ampliudy w równomiernych odsępach czasu p, zwanych okresem próbkowania. Próbkowanie można inerpreować jako mnożenie sygnału ciągłego x() przez funkcję próbkującą s() w posaci ciągu impulsów Diraca. x () s () p y () Rys. 5. Próbkowanie sygnału Funkcję próbkującą można przedsawić w posaci analiycznej jako: a sygnał wyjściowy w posaci: n= n= s () = δ ( n p ) () n= n= y () = f() δ ( n p ) () przy czym sygnał en jes określony ylko w dyskrenych chwilach czasowych odległych od siebie o p. Przedział czasu p jes nazywany okresem próbkowania, a jego odwroność częsoliwością próbkowania f p =/ p. Próbkowanie sygnału o pierwszy krok przygoowujący sygnał do przeworzenia go do posaci cyfrowej akcepowalnej przez mikrokompuer. Drugi krok sanowi kwanyzacja ampliudy realizowana przez przewornik analogowo-cyfrowy. Polega ona na zasąpieniu ciągłych warości próbek sygnału pewnymi warościami dyskrenymi powsającymi w efekcie dokonania podziału obszaru zmienności sygnału na przedziały kwanowania (rys. 6). sr. 6
Rys. 6. Kwanyzacja sygnału Kwanowanie powoduje zawsze pewną uraę informacji, ponieważ nieskończenie wielu warościom sygnału analogowego z przedziału ±½ q odpowiada ylko jedna warość cyfrowa. Przedział kwanowania zależy od liczby biów przewornika i jes określony przez iloraz pełnej skali przewarzania U FS i liczby sanów wyjściowych przewornika. Wszyskie sygnały dyskrene, kóre nie zosały poddane procesowi kwanyzacji pozosają sygnałami analogowymi. Jeżeli sygnał jes określony ylko w dyskrenych punkach n na osi czasu o całkę Fouriera z zależności (3) zasąpi suma: jθ + n= jθ X (e ) = x( )e (3) gdzie θ oznacza zw. pulsację unormowaną względem częsoliwości próbkowania: n θ =ω p =ω/f p =πf/f p. Z zależności (3) wynika, że widmo X(e jθ ) jes funkcją okresową o okresie π. Można je więc rozwinąć w szereg Fouriera o współczynnikach: π jθ jnθ x n = θ < < + π X(e )e d - n (4) π kóre nie określają nic innego jak warości kolejnych próbek sygnału, zn.: x n =x( n ). Zaem próbkowanie sygnału powoduje powielenie widma. Z rysunku 7 widać co sanie się, jeżeli częsoliwość próbkowania będzie mniejsza od połowy najwyższej harmonicznej zawarej w sygnale f max. Powielone widma nałożą się na siebie i uzyskamy błędny obraz widma sygnału. Zjawisko o nosi nazwę aliasingu (sosuje się zazwyczaj nazwę angielską, kórej polskim odpowiednikiem może być uożsamianie ). Skuecznym sposobem uniknięcia aliasingu jes zasosowanie filru dolnoprzepusowego ograniczającego pasmo sygnału analogowego. Ponado fak, że widmo jes okresowe i symeryczne względem częsoliwości próbkowania powoduje, że większość analizaorów widma jako podsawowy zakres jego zobrazowania przyjmuje częsoliwości od do f p /, udosępniając możliwość zawężania pasma. Rysunek 7 sanowi ilusrację podsawowego wierdzenia o próbkowaniu (w. Shannona). Warość częsoliwości próbkowania musi być dwukronie większa od warości maksymalnej częsoliwości zawarej w widmie ego sygnału Częsoliwość f p = f max nazywa się częsoliwością Nyquisa. sr. 7
widmo ciągłe sygnału o ograniczonym paśmie f max f widmo sygnału po spróbkowaniu f max f p f p f p f f p f max f p Rys. 7. Widmo sygnału o ograniczonym paśmie, powielenie widma sygnału w wyniku jego próbkowania oraz skuki zby niskiej częsoliwości próbkowania Jeżeli próbkowaniu podlegał sygnał okresowy o widmo ego sygnału będzie sanowił zbiór współczynników X(k), rozwinięcia jednego okresu ego sygnału w szereg Fouriera: f p f x(n) = N N k= X(k)e jπkn / N gdzie każdy ze współczynników X(k) określony jes jako: < n < + (5) N n= jπkn / N X (k) = x(n)e < k < +, (6) a πk/n jes odpowiednikiem unormowanej pulsacji θ. Para zależności (5), (6) sanowi zapis odpowiednio prosej i odwronej dyskrenej ransformay Fouriera (DF, ODF) W prakyce pomiarowej powsaje problem braku korelacji między czasem akwizycji (czasem pobierania próbek) a okresem badanego sygnału. Zależność (6) umożliwia dokładne wyznaczenie widma (zn. dokładne określenie położenia prążka na osi częsoliwości) ylko w przypadku, jeżeli próbki zosały pobrane z jednego okresu przebiegu badanego (rys.8a) lub całkowiej wielokroności okresu. W rzeczywisości skończony czas obserwacji sygnału powoduje, że próbki mogą sanowić fragmen sygnału aki jak na rysunku 8b. Pobrany zbiór próbek jes rakowany jak jeden okres przebiegu, zaem obliczone widmo odpowiada sygnałowi o kszałcie jak na rysunku 8c. W efekcie w widmie znajdą się składowe, kóre nie wysępują w oryginalnym sygnale. Zjawisko akie nazywa się przeciekiem widma. Posać sygnału (aką jak na rysunku 8b) orzymuje się po przepuszczeniu sygnału dyskrenego przez zw. prosokąne okno czasowe w(n) zdefiniowane nasępująco: dla n =,,,...,N w (n) = (7) dla pozosalych sr. 8
Rys. 8. Efek powielenia sygnału wysępujący, gdy próbki pobrane zosały z przypadkowego fragmenu przebiegu W celu zminimalizowania zjawiska przecieku sosuje się specjalne okna czasowe o krawędziach łagodnych (na wzór krzywej Gaussa) w porównaniu z oknem prosokąnym. Wprowadzenie akiego okna wpływa jedynie na warość ampliudy, nie zmienia naomias warości częsoliwości badanego przebiegu, a zapewnia o, że próbkowanie zaczyna się i kończy w zerowych warościach sygnału badanego (rys.9). Rys. 9. Zasosowanie okna czasowego; a) oryginalny przebieg, b) okno czasowe, c) przebieg po zasosowaniu okna czasowego. Zależności opisujące prosą i odwroną Dyskreną ransformaę Fouriera są dość skomplikowane i jak się okazuje wymagają dużego nakładu czasu do wyznaczenia jej w sposób numeryczny. W związku z ym przez szereg la prowadzone były badania nad opracowanie szybkiego algorymu numerycznego. Uwieńczeniem ich jes algorym zw. Szybkiej ransformay Fouriera (SF, lub bardziej powszechnie używany skró zaczerpnięy z jęz. angielskiego: FF - Fas Fourier ransform). lgorym en wydanie skraca czas niezbędny na obliczenia numeryczne. Wszyskie obecnie budowane cyfrowe analizaory widma wykorzysują do obliczeń różne odmiany pierwonej wersji algorymu FF. Srukurę akiego analizaora przedsawiono na rysunku. urządzenie odczyowe sygnał wejściowy wzm. filr DP ukł. próbkujący przewornik a/c procesor FF fs - częsoliwość próbkowania Rys.. Srukura analizaora widma z procesorem FF Podsawowe znaczenie dla prawidłowej analizy ma relacja między pasmem badanego sygnału a częsoliwością próbkowania f s. Zadaniem filru dolnoprzepusowego (zw. filru anyaliasingowego) na wejściu układu jes ograniczenie pasma sygnału do warości umożliwiającej spełnienie wierdzenia o próbkowaniu. Problemem przy analizie widmowej jes rozdzielczość w dziedzinie częsoliwości. Jeżeli zbiór danych do analizy składa się z N sr. 9
próbek sygnału, a częsoliwość próbkowania wynosiła f s, o analizaor wyznaczy warości ampliud harmonicznych o częsoliwościach, f s /N, f s /N id., co wcale nie musi odpowiadać rzeczywisym warościom częsoliwości harmonicznych (o jes analogiczny problem jak z pasmem filrów na rys. 4). W powyższym przypadku odsęp na osi częsoliwości wyniesie f s /N, z czego wynika, że aby poprawić rozdzielczość czyli dokładność zobrazowania widma należy zwiększyć liczbę próbek lub zmniejszyć częsoliwość próbkowania. Wzros liczby próbek zwiększa nakłady obliczeniowe, wydłuża czas obliczeń i wymusza przechowywanie większej liczby danych. Z kolei zmniejszenie częsoliwości próbkowania może spowodować powsanie aliasingu. Z każdą zmianą częsoliwości próbkowania powinna ulegać zmianie charakerysyka filru wejściowego. W prakyce filr ma niezmienną charakerysykę, a analizaor próbkuje z maksymalną częsoliwością. Proces zmniejszania częsoliwości próbkowania jes realizowany meodą decymacji ciągu próbek wejściowych, zn. wybierania do analizy co n-ej próbki, a zerowaniu pozosałych. aka echnika poprawia rozdzielczość, ale przy ograniczeniu pasma sygnałów wejściowych. Rozwiązaniem umożliwiającym poprawę rozdzielczości w dowolnym paśmie jes ransformacja (przesunięcie) pasma badanego sygnału meodą mieszania ego sygnału z sygnałem z lokalnego generaora (przewarzanie heerodynowe). Mieszanie sygnałów jes fizycznie realizowane przez układ mnożący. Jeżeli na wejścia układu mnożącego zosaną podane sygnały o częsoliwościach f i f, o na wyjściu pojawi się sygnał zawierający składowe o częsoliwościach f + f i f - f. Składową sumacyjną eliminuje się za pomocą filru dolnoprzepusowego i dalszemu przewarzaniu podlega składowa różnicowa. Wynik przewarzania lub pomiaru musi być przeskalowany na pasmo odpowiadające rzeczywisej częsoliwości badanego sygnału. nalizaory FF pozwalają na badanie sygnałów w paśmie do kilkuse khz. echnika ransformacji pasma sanowi podsawę działania analizaorów działających w paśmie częsoliwości radiowych. Srukurę akiego analizaora przedsawiono na rys.. filr częsoliwości pośredniej deekor sygnał wejściowy wzm. filr DP mieszacz (ukł. mnożący) przewornik a/c generaor (syneza częsoliwości) procesor serujący urządzenie odczyowe Rys.. nalizaor z przesrajaniem częsoliwości Idea działania układu mnożącego zosała wyżej przedsawiona. Zasosowany w układzie filr częsoliwości pośredniej ma sałą charakerysykę naomias zmianie ulega częsoliwość generaora lokalnego. W układach analogowych en generaor jes generaorem VCO serowanym napięciem narasającym liniowo, naomias w układach cyfrowych generaor działa na zasadzie bezpośredniej synezy częsoliwości (próbki sygnału zapisane w pamięci i wyprowadzane pod konrolą procesora). Widmo częsoliwościowe sygnałów rzeczywisych wyznaczane z użyciem ypowych analizaorów widma jes zwykle zobrazowane za pomocą linii ciągłej, kóra sanowiącej obwiednię widma prążkowego. ę formę zobrazowania prezenuje rys. Na rysunku a pokazano ampliudy harmonicznych w jednoskach rzeczywisej warości mierzonej (napięcia) przy zasosowaniu skali liniowej. W akiej skali rudno zobrazować duże różnice w poziomie harmonicznych. Zazwyczaj oś pionową na wykresach widma opisuje się w decybelach (rys.b). Decybele są jednoską miary logarymicznej sosunku dwóch wielkości. Zazwyczaj decybele są sosowane w odniesieniu do mocy sygnałów i wówczas: lub w odniesieniu do warości skuecznych napięcia i wówczas: P [db] = log ( 8) P U [db] = log ( 9) U sr.
a) b) Rys.. Przebieg sygnału odkszałconegoo i jego widmo w formie obwiedni prążków w skali liniowej (a) i logarymicznej (b) W przypadku analizy widmowej wielkością odniesienia (U ) może być ampliuda podsawowej harmonicznej (jako U będą wysępowały wówczas ampliudy wyższych harmonicznych). nalizaory widma obliczając, na podsawie zależności (9), sosunek dwóch warości napięcia sosują czasami sałą warość napięcia odniesienia równą V sk. Wszyskie harmoniczne sąą wedy wyrażone w jednoskach dbv. W rezulacie orzymuje się obraz widma, na kórym lepiej widoczne są wyższe harmoniczne (rys.b) Podsumowanie rozważań eoreycznych: Wprowadzenie sygnału do pamięci kompuera wymaga uprzednio procesu próbkowania (w czasie) i kwanyzacji (w ampliudzie), czyli przeworzenia analogowo-cyfrowego; Wyznaczanie widma sygnału w sposób numeryczny jes dokonywane z wykorzysanie Dyskrenej ransformay Fouriera (algorym FF); Sygnał odworzony z DF należy rakować jako okresowy, wynikający z powielenia fragmenu (bloku) sygnału wzięego do analizy; W celu zmniejszenia zniekszałceń sygnału zakłada się nań zw. okna czasowe o łagodnych krawędziach, łagodzące osre cięcia sandardowego okna prosokąnego. 3. Zasosowania analizy widmowej. Najszersze zasosowanie analiza widmowa znajduje w dziedzinie sygnałów akusycznych. Szczególne miejsce znajdują u badania audiomeryczne prowadzące do określenia częsoliwościowych charakerysyk słuchu. Mieszczą się uaj również pomiary hałasu, a akże akusyki pomieszczeń. Bardzo ważną dziedzinę zasosowań sanowi przewarzanie sygnału mowy. Z sygnałami akusycznymi są blisko związane badania geofizyczne obejmujące obserwację zjawisk nauralnych (rzęsienia ziemi, wybuchy wulkanów) oraz zjawisk szucznych związanych z poszukiwaniem surowców, głównie ropy i gazu ziemnego. Kolejny, bardzo szeroki obszar zasosowań, o diagnosyka urządzeń echnicznych. Obejmuje ona badania sanu maszyn, urządzeń i konsrukcji w celu oceny ich jakości, sopnia sprawności lub zużycia. Ważnym paramerem są uaj drgania mechaniczne (wibracje). naliza widmowa wibracji pozwala w porę wykryć sany niesprawności oraz wyeliminować zużye elemeny. ypowym przykładem są uaj drgania łopaek urbiny w elekrowni. nalizy widmowe sosowane są również w diagnosyce medycznej. Organizm ludzki jes obiekem generującym wiele sygnałów elekrycznych kóre są wykorzysywane w procesie diagnozowania. Do najbardziej znanych należą elekrokardiogram (EKG) oraz elekroencyfalogram (EEG). Kolejna dziedzina o elekomunikacja oraz elemeria, gdzie częso wysępująą sygnały bardzo złożone (modulacja ampliudy, modulacja częsoliwości, modulacje impulsowe). Osanio coraz szersze zasosowanie analizy widmowe znajdują również w dziedzinie rozpoznawania obrazów. W przypadku analizy przebiegu sinusoidalnego z generaora, na podsawie obserwacji jego widma można oszacować zw. zawarość harmonicznych sygnału sinusoidalnego świadczącą o niedoskonałości generaora. sr.
4. uonomiczny analizaor widma sygnałów Oscyloskop cyfrowy HP-5463B z modułem HP54659B umożliwia wykonywanie działań maemaycznych na próbkach sygnału zapisanych w pamięci oscyloskopu. Działania mogą być wykonywane na próbkach dwóch sygnałów i wówczas są o operacje: - sumowania, - odejmowania, - mnożenia lub próbkach pojedynczego sygnału i wówczas są o operacje: - całkowania, - różniczkowania, - Szybkiej ransformay Fouriera (FF). Menu działań maemaycznych jes uakywniane za pomocą przycisku +/- i jes pokazane na rysunku 3. Funcion Funcion Off On Menu Off On Menu Mask es Rys. 3. Menu działań maemaycznych Działania są podzielone na dwie grupy: - Funcion, - Funcion. Funcion działania: sumowanie, odejmowanie, mnożenie. Opcja ON/OFF włącza lub wyłącza działanie maemayczne, a akywując przycisk Menu można wybrać, kóre z działań ma być wykonane. Funcion - działania: całkowanie, różniczkowanie, Szybka ransformaa Fouriera (FF). ak jak w Funcion, w Funcion opcja ON/OFF włącza lub wyłącza działanie funkcji, a przycisk Menu udosępnia wybór funkcji do wykonania. W ym menu dosępne są również nasępujące opcje: - Operand - (,, F) - dokonanie wyboru, na kórym sygnale ma być przeprowadzone działanie funkcji maemaycznej: a) - sygnał na pierwszym kanale oscyloskopu, b) - sygnał na drugim kanale oscyloskopu, c) F - wybór sygnału, kóry jes wynikiem działania maemaycznego z pierwszej grupy: Funcion. - Operaion - jaka operacja (funkcja) maemayczna ma być wykonana. Do wyboru jes dosępne: a) całkowanie - d, b) różniczkowanie - dv/d, c) FF. Przy korzysaniu z funkcji FF należy zwrócić uwagę na warość częsoliwości próbkowania sygnału względem częsoliwości sygnału. Chodzi u o spełnienie w. o próbkowaniu (zachowanie warunku Nyquisa). Oscyloskop HP-5463B wykorzysuje do analizy sygnału sałą liczbę próbek (czyli długość rekordu równa jes ). o powoduje, że przy różnym czasie rejesracji przebiegu (zależnym od nasawy podsawy czasu) zmienia się efekywna częsoliwość próbkowania. efekywna częsoliwość próbkowania = / (nasawa podsawy czasu * liczba działek na ekranie) liczba działek =, zaem przy ms/dz f p =khz; przy µs/dz f p =MHz ip. warunek prawidłowej analizy : max. częsoliwość badanego sygnału f s < f p / Uwaga: efekywna częsoliwość próbkowania jes znacznie większa od rzeczywisej częsoliwości pobierania próbek co jes konsekwencją zasosowania w oscyloskopie cyfrowym echniki próbkowania pseudoprzypadkowego. by włączyć analizę FF należy za pomocą przycisku Funcion / Menu --> Operaion wybrać opcję FF i uakywnić ją usawiając Funcion na ON. - Unis/div warość db na jedną działkę ekranu (decybeli na działkę), - Ref Levl warość poziomu odniesienia (górna krawędź ekranu) określona w dbv. Oznacza o, że jeżeli do wejścia oscyloskopu doprowadzimy sygnał sinusoidalny o warości Vsk (Vrms) i usawimy warość Ref Levl na sr.
"", o prążek odpowiadający podsawowej harmonicznej będzie sięgać do poziomu odniesienia (górnej krawędzi ekranu). Operand Operaion F FF Unis/div Ref Levl FF Previous. db -. dbv Menu Menu Cen Freq.kHz Freq Span 44.kHz Move Hz uocale Window Previous o lef FF Hanning Menu Rys. 4. Menu Funcion i FF Menu - FF Menu - usawienia doyczące analizy widma: a) Cen Freq - warość częsoliwości w środku ekranu, b) Freq Span szerokość okna w dziedzinie częsoliwości, Funkcja a udosępnia wybór czerech szerokości okna dla danej częsoliwości próbkowania usyuowanych wokół częsoliwości środkowej (Cenr Freq) przy czym najszersze okno jes mniejsze od f p /, kolejne od f p /4 id. c) Move Hz - usawienie zerowej częsoliwości na ekranie (po środku lub z lewej srony ekranu), d) uoscale FF - auomayczne usawienia oscyloskopu (przyrząd sam dobiera warunki analizy sygnału), e) Window - wybór okien czasowych, Okna e mają różny kszał i porafią np.: uwypuklić lub ograniczyć zakłócenia w sygnale, uwydanić harmoniczne lub uwypuklić prążek główny. Najczęściej sosowane i najbardziej uniwersalne okno o okno Hanninga. Daje ono wyraźny obraz prążka głównego i prążków harmonicznych. Ponado prążki e na ekranie mają szpilkoway kszał o osro zakończonych wierzchołkach. Inne okno, o nazwie "Flaop" daje obraz szerokich prążków o płaskim wierzchołku. - Previous Menu - powró do poprzedniego menu. Na rysunku 5 przedsawiono rzeczywisy obraz ekranu oscyloskopu z akywną funkcją FF. Rys. 5. Obraz widma sygnału na ekranie oscyloskopu mpliuda podsawowej harmonicznej (rys. 5), opisana przez położenie kursora V, wynosi dbv co odpowiada w jednoskach napięcia warości V sk. Rzeczywisa warość ampliudy jes większa razy (współczynnik szczyu k = U max / U sk dla przebiegu sinusoidalnego). Poziom kolejnej harmonicznej jes opisany przez położenie kursora V i wynosi -39.69dBV. Warość harmonicznej w jednoskach napięcia można wyznaczyć z zależności: -39.69[dBV] = log U/V sk a zaem U = V sk * -39.69 / 39.69 / = V sk / ak obliczona warość U wyraża poziom harmonicznej w jednoskach napięcia, ale w odniesieniu do warości skuecznej. naliza widmowa służy przede wszyskim do określania względnych różnic w poziomach harmonicznych. Różnica pomiędzy pierwszą i drugą harmoniczną wynosi V = 39.69dB co w skali linowej odpowiada warości sr. 3
39.69 / = 96.49 (yle razy pierwsza harmoniczna jes większa od drugiej). Oznacza o, że druga harmoniczna sanowi około % pierwszej. Z ego obliczenia widać jaki jes sens zasosowania decybeli (w skali liniowej obraz drugiej harmonicznej będzie prawie razy mniejszy niż pierwszej). 5. Realizacja ćwiczenia Część prakyczna ćwiczenia polega na przeprowadzeniu analizy widmowej wybranych sygnałów pomiarowych za pomocą dosępnych analizaorów. Zakres pomiarów realizowanych w ćwiczeniu jes określany przez prowadzącego. 5.. Zadania podsawowe auonomiczny analizaor widma 6.. Funkcje i właściwości analizaora widma - sygnał sinusoidalny Na wejście oscyloskopu podaj z generaora sygnał sinusoidalny o warości skuecznej V i częsoliwości khz. Skonroluj paramery sygnału korzysając z funkcji pomiarów auomaycznych oscyloskopu. Włącz analizę FF; usaw częsoliwość próbkowania (ime/div) na ksa/s, skalę Uni/div na db, poziom odniesienia na (Ref levl), okno Hanninga, wyłącz przebieg czasowy ( -> Off). Włącz kursory i zmierz częsoliwość wykorzysując kursor f. Sprawdź jaka jes zależność pomiędzy Freq Span a częsoliwością próbkowania i jak można regulować Cen Freq oraz Freq Span; wykorzysaj i sprawdź działanie funkcji: Move f o Cener, Find Peaks, Move Hz o Lef Dla określonej częsoliwości próbkowania zwiększ częsoliwość sygnału. Co się sanie jeżeli przekroczysz f p /? Co widzisz na analizaorze? Sprawdź jaki wpływ na kszał prążka mają inne okna. Jakie może być przeznaczenie poszczególnych okien? Usaw okno płaskie (Flaop); zwiększ ampliudę sygnału ak, aby prążek sięgnął górnej krawędzi ekranu. Oblicz jaka jes eraz warość ampliudy w jednoskach napięcia? Włącz przebieg czasowy i zmierz ampliudę sygnału. Określ orienacyjnie kursorami (przy wyłączonym przebiegu czasowym) poziom szumu; sprawdź jaki jes odsęp w decybelach pomiędzy podsawową harmoniczną a szumem; przelicz ą warość na skalę liniową. Powórz doświadczenie ze zwiększaniem częsoliwości sygnału (przy danej częsoliwości próbkowania), ale przy włączonym przebiegu czasowym; spróbuj zaobserwować jak zmienia się obraz przebiegu i jaką może przybrać posać? 6.. naliza sygnałów niesinusoidalnych Na wejście oscyloskopu podaj z generaora sygnał prosokąny o ampliudzie V i częsoliwości khz Skonroluj paramery sygnału korzysając z funkcji pomiarów auomaycznych oscyloskopu. Włącz analizę FF; wyłącz przebieg czasowy ( -> Off). Usaw poziom odniesienia (Ref levl), i rozdzielczość Uni/div na aką warość, aby obraz zmieścił się na ekranie; włącz okno Hanninga Usaw częsoliwość próbkowania (ime/div) na aką warość, aby widzieć kilka pierwszych harmonicznych; zmieniaj płynnie częsoliwość sygnału i zaobserwuj jak zmienia się obraz widma; zwróć uwagę jak przemieszczają się prążki wyższych harmonicznych. Włącz kursory i zmierz częsoliwość harmonicznych. Włącz okno płaskie; korzysając z kursorów zmierz różnice w poziomach poszczególnych harmonicznych i porównaj z obliczeniami eoreycznymi (o można zrobić w sprawozdaniu korzysając z Malaba); przy pomiarze poziomu harmonicznych zwiększ rozdzielczość (Uni/div = db). Jaka powinna być ampliuda sygnału prosokąnego, aby prążek odpowiadający pierwszej harmonicznej przy Ref levl = sięgał górnej krawędzi ekranu? (zmierz i oblicz!) Powórz doświadczenia z przebiegiem rójkąnym. sr. 4
6..3 Rozdzielczość analizy widmowej Na wejścia oscyloskopu podaj z generaorów sygnały sinusoidalne o ampliudzie V i częsoliwości khz i khz. Skonroluj paramery sygnałów korzysając z funkcji pomiarów auomaycznych oscyloskopu. Wykonaj sumowanie sygnałów (Funcion ). Włącz analizę FF; wybierz Operand F; wyłącz przebiegi czasowe ( -> Off, ( -> Off). Usaw poziom odniesienia (Ref levl), i rozdzielczość Uni/div na aką warość, aby obraz zmieścił się na ekranie; włącz okno Hanninga Zaobserwuj widmo sygnału będącego sumą dwóch przebiegów sinusoidalnych; sprawdź kursorami częsoliwość harmonicznych. Zmień częsoliwość jednego z przebiegów ak, aby zmniejszyć różnicę częsoliwości harmonicznych; wykorzysując Freq Span i Cen Freq sprawdź przy jakiej różnicy częsoliwości możesz jeszcze rozróżnić prążki. Jak poprawić rozdzielczość w dziedzinie częsoliwości? Przeprowadź podobne doświadczenia dla iloczynu dwóch sygnałów. Jakie harmoniczne wysępują w przebiegu wyjściowym? 5.. Wirualny analizaor widma 6.. Wsępne usalenie paramerów pracy analizaora i generaora Wybrać kanał (CHx), do kórego jes doprowadzony sygnał z generaora. Usawić czułość na V / Div. Usawić liczbę próbek sygnału (Number Samples), wynoszącą. Usawić częsoliwość próbkowania (Sampling Frequency), wynoszącą KHz. Wybrać okno prosokąne. Usawić częsoliwość generowanego sygnału (sin) na warość 5Hz. Usawić ampliudę generowanego sygnału na warość 4. Vpp. Uakywnić pracę analizaora (Sar cquisiion). 6.. Inerpreacja wyników Dla podanego na wejście sygnału sinusoidalnego o usawionych w poprzednim punkcie paramerach ampliudowo-częsoliwościowych zinerpreować uzyskane widmo w skali liniowej oraz w skali logarymicznej (przełącznik Scale). W celu uławienia obserwacji przebiegów czasowych oraz ich widm można posłużyć się kursorami i skojarzonymi z nimi opcjami powiększenia. Powórzyć o samo badanie dla sygnałów: prosokąnego bipolarnego o współczynniku wypełnienia wynoszącym 5% oraz rójkąnego symerycznego. Pozosając przy skali logarymicznej ponownie podać na wejście analizaora sygnał sinusoidalny o częsoliwości np. 53Hz. Wyjaśnić obserwowane zjawisko w dziedzinie częsoliwości. Pozosając przy ym samym sygnale i jego paramerach wybrać okno czasowe inne niż prosokąne np. okno Hanninga i zinerpreować uzyskane wyniki. Określić wpływ pozosałych okien na kszał widma. Wybrać zakres częsoliwości na osi poziomej widma rozciągający się w zakresie od zera do częsoliwości próbkowania (FreqSpan=fp). Przy usalonej częsoliwości próbkowania (fsamp) oraz liczbie próbek (NumberSamples) zwiększać częsoliwość sygnału badanego (sygnał sinusoidalny) powyżej częsoliwości wynoszącej fsamp/. Zinerpreować obserwowane zjawisko. Usawić liczbę próbek na warość wynoszącą 4. Zaobserwować warość współczynnika zawarości harmonicznych dla sygnałów sinusoidalnego prosokąnego i rójkąnego. Skonfronować uzyskane wyniki z warościami eoreycznymi (definicja HD). Zaobserwować zmiany współczynnika HD w zależności od liczby harmonicznych branych pod uwagę. Z dokładnością do kórej harmonicznej można obliczyć współczynnik HD przy usalonych paramerach pracy analizaora oraz sygnału badanego. sr. 5
5.3. Zadania dodakowe analizaor auonomiczny i wirualny. Porównaj zawarość harmonicznych (poziom zniekszałceń) sygnałów sinusoidalnych o ych samych paramerach generowanych przez dwa ypy generaorów: sandardowy KZ46 oraz o małych zniekszałceniach (Ulra Low Disorion Gen.) KZ8. Oszacuj zawarość harmonicznych w sygnale pochodzącym z generaora KZ46. Badania przeprowadź dla różnych warości częsoliwości. Zawarość harmonicznych okresowego sygnału odkszałconego definiuje się jako: + h3 + h4 +...h n hn h = h + ( ) gdzie: h k = Um k /Um, oznacza zawarość k-ej harmonicznej (sosunek ampliudy k-ej harmonicznej do ampliudy składowej podsawowej). Przeprowadź analizę przebiegów wyjściowych z : ransformaora sieciowego prosownika jednopołówkowego, prosownika dwupołówkowego. Sygnały wysępujące na wyjściu prosowników, jako sygnały okresowe (o ampliudzie i pulsacji ω ) dają się w prosy sposób rozłożyć na szereg Fouriera. Dla prosownika dwupołówkowego orzymuje się (zapis zespolony i rygonomeryczny): + jnω x() = e π n= 4n 4 x() = π π W przypadku prosownika jednopołówkowego: x() = j4 e x() = + π e j4 sinω π n= π cos nω + jω jω jnω n= n= e 4n cosnω 4n () () 3. Dokonaj analizy widmowej przebiegu napięcia na obciążeniu (żarówka) yrysorowego regulaora mocy. Badania przeprowadź dla różnych warości ej mocy. 6. Lieraura uzupełniająca []. Lyons R. G.: :Wprowadzenie do cyfrowego przewarzania sygnałów, WKŁ, Warszawa, 999. []. Marven C., Ewers G.: Zary cyfrowego przewarzania sygnałów, WKŁ, Warszawa, 999. [3]. Borodziewicz W.,Jaszczak K.: Cyfrowe przewarzanie sygnałów, WN, Warszawa, 987. [4]. Piorowski J.: Pomiarowe zasosowania analizy sygnałów, PWN, Warszawa, 99 sr. 6