TEORIA GIER W EKONOMII WYKŁAD 6: GRY DWUOSOBOWE KOOPERACYJNE O SUMIE DOWOLNEJ dr Robert Kowalczyk Katedra Analizy Nieliniowej Wydział Matematyki i Informatyki UŁ
Gry dwuosobowe z kooperacją Przedstawimy jak rozwiązywać gry dwuosobowe o sumie dowolnej, gdzie dopuszczamy możliwość kooperacji, za pomocą tzw. schematu arbitrażowego Nasha. Zakładamy dalej, że: każda z wiadomości (decyzji) podjęta przez każdego z graczy przed grą jest przekazywana bez zmiany drugiemu graczowi, wszystkie umowy (obietnice) są wiążące i wymuszane przez reguły gry, wartościowanie wyników nie zmienia się podczas gry.
Jak rozgrywać grę z kooperacją? Rozważmy grę dwuosobową postaci. W tej grze można by rozdzielić wypłatę pomiędzy dwóch graczy dając każdemu z nich po połowie, tzn: obydwaj gracze grają strategię B i dostają po (10+5)/2=7,5 jednostki użyteczności. Problemy są dwa: jednostki użyteczności nie muszą transferowalne pomiedzy graczami (dla każdego z nich 10 czy 5 może oznaczać zupełnie coś innego), któryś z graczy (w naszym przypadku gracz II) wyjdzie lepiej grając strategię A i zmuszając gracza I (bo tak dla niego jest wtedy korzystnie) aby zagrał swoją strategię B. W rezultacie gracz I dostaje 4 jednostki użyteczności, a gracz drugi 8 jednostek użyteczności. A B A (2,6) (10,5) B (4,8) (0,0)
Schemat arbitrażowy Nasha warunki wstępne John Nash zaproponował sprawiedliwe rozwiązanie problemu, które musi: być optymalne w sensie Pareto (żaden z graczy nie chce dostać mniej niż mógłby dostać grając konkretną strategię mieszaną lub czystą), wypłaty obu graczy mają być nie niższe niż ich poziomy bezpieczeństwa; często wystarczy umowa między graczamy, że jeśli nie dojdą do porozumienia to zaakceptują rozwiązanie odgórnie narzucone, tzw. punkt status quo (w skrócie SQ). Zbiór wyników czystych lub mieszanych spełniających oba postulaty nazywa się zbiorem negocjacyjnym lub obszarem negocjacji gry. Zbiór ten jest częścią boku tzw. wieloboku wypłat.
Jak rozgrywać grę z kooperacją? Wracając do gry z początku wykładu obliczamy poziomy bezpieczeństwa dla każdego z graczy i zaznaczamy dane na wykresie. Dla gracza I: A B A (2,6) (10,5) B (4,8) (0,0) 2p+4(1-p)=10p+0(1-p) skąd p=1/3, a stąd poziom bezpieczeństwa gracza I, to: 10/3. Dla gracza II jego gra ma punkt siodłowy (szukamy liczby która jest najmniejsza w kolumnie i jednocześnie największa w wierszu odwracamy sytuację w stosunku do gracza I). Taką liczbą jest 6, tzn. poziom bezpieczeństwa gracza II, to: AA BA (10/3,6) zbiór negocjacyjny AB 6. BB
Aksjomaty Nasha) John Nash zaproponował przyjąć następujące aksomaty przy rozwiązywaniu gry kooperacyjnej: 1. racjonalność, tzn. rozwiąznie gry powinno należeć do zbioru negocjacyjnego, 2. niezależność od przekształceń liniowych, tzn. jeżeli użyteczności graczy I i II zostaną przekształcone przez dowolną rosnącą funkcję liniową, to również rozwiązanie powinno podlegać takiemu przekształceniu, 3. symetria, tzn. jeśli wielobok możliwych wyników wypłat jest symetryczny względem prostej o równaniu y=x+a przechodzącej przez punkt SQ, to punkt rozwiązania powinien leżeć na tej prostej, 4. niezależność od alternatyw niezwiązanych, tzn. Jeżeli dla wieloboku wypłat P i punkcie SQ rozwiązaniem gry będzie punkt N, to jeśli zmniejszymy wielokąt wypłat do Q (z pewnych powodów możemy anulować nieosiągalne rozwiązania) i nie zmienimy punktu SQ, to rozwiązanie gry nie powinno się zmienić, tzn. ciagle powinen być to punkt N.
Twierdzenie Nasha Twierdzenie Nasha Niech Γ będzie grą dwuosobowa niekoopercyjną i niech SQ=(x 0,y 0 ) będzie pewnym punktem należącym do wieloboku wypłat W (punktem status quo). Istnieje dokładnie jeden schemat arbitrażowy Nasha (jedno rozwiązanie gry) spełniający aksjomaty Nasha 1-4, tzn. istnieje dokładnie jeden punkt (x max,y max ) należący jednocześnie do wieloboku wypłat W i zbioru [x 0, )x [y 0, ), który maksymalizuje wielkość: (x-x 0 )(y-y 0 ). Innymi słowy (x max -x 0 )(y max -y 0 )=max{(x-x 0 )(y-y 0 ): (x,y)εw, x x 0, y y 0 }.
Przykład Rozwiążemy grę z początkowej części wykładu. A B Wyznaczając prostą przechodzącą przez punkty: (4,8) i (10,5) dostajemy: y=-1/2x+10. A (2,6) (10,5) B (4,8) (0,0) Szukamy zatem maksimum wyrażenia: (x-10/3)(y-6) na zbiorze negocjacyjnym (zielony odcinek na rysunku obok). Nietrudno zauważyć, że musimy zatem znaleźć maksimum funkcji AA BA (10/3,6) zbiór negocjacyjny AB (x-10/3)(-1/2x+10-6)=(x-10/3)(-1/2x+4) na przedziale [10/3,8]. Po krótkich rachunkach dostajemy zatem x max =5 i 2/3 oraz y max =7 i 1/6. BB
DZIĘKUJĘ ZA UWAGĘ dr Robert Kowalczyk Wydział Matematyki i Informatyki UŁ