Fizyka statystyczna A sem. zimowy 2016-17 Krzysztof Byczuk Instytut Fizyki Teoretycznej, Wydziaª Fizyki, UW byczuk@fuw.edu.pl www.fuw.edu.pl/byczuk 27-01-2017 Warunki zaliczenia Cz ± praktyczna: 1. Obecno± i aktywno± na wiczeniach - 10p. 2. Kolokwium 21/11/2016, 9:00-13:00 (sala cyklotron A) - 30p. 3. Kolokwium dodatkowe (dla osob majacych usprawiedliwiona nieobecnosc na pierszym kolokwium) 12/12/16, 9:00-13:00 (sala 1.03) - 30p. 4. Egzamin pisemny 03/02/2017, 9:00-13:00 (sala 0.03) - 30p. (wyniki z aktywno±ci, kolokwium i egzaminu pisemnego normujemy do 100) 5. Egzamin ustny 06 i 07/02/2017, 9:00-15:00 (sala 5.12), mo»liwo± poprawy oceny w pierwszym terminie 6. Egzamin pisemny poprawkowy 22/02/2015, 9:00-13:00 (sala 0.06) (wynik z tej cz ±ci normujemy do 100) 7. Egzamin ustny poprawkowy 23 i 24/02/2017, 9:00-14:00 (sala 5.12), mo»liwo± poprawy oceny w drugim terminie Wypadkowa ocena z tej cz ±ci: 5+ za 99-100p., 5 za 90-98p., 4+ za 81-89p., 4 za 72-80p., 3+ za 62-71., 3 za 50-61p., 2 za 0-49p. Przewidujemy dodatkowe kolokwium tylko dla osób, które przynios dokument usprawiedliwiaj cy ich nieobecno± w terminie podstawowym. 1 Tydzie«I, 3-9/10/2016 1.1 Wykªad I. Podstawowe zasady mechaniki statystycznej: &1. Wprowadzenie podstaw zyki statystycznej - cel, defnicja mola w ukladzie SI 2018, liczba Avogadro, dyskretne poziomy w ukladach kwantowych, odleglosc miedzy poziomami w ukladach wielu czastek, opis mikroskopowy klasyczny i kwantowy, opis makroskopowy klasyczny i kwantowy, defninicja mikrostanu i makrostanu, (przyklad: uklad dwupoziomowy (liczba stanow) 1.2 Zadania na wiczenia 1. Model - uklad dwupoziomowy. Wprowadzic model dwupoziomowy, podac jego interpretacje, pokazac przyklady mikrostanow i makrostanow i odpowiednie zmienne je opisujace, wyznaczyc liczbe mikrostanow dla zadanego makrostanu, w granicy duzej liczby czastek znalezc odpowiednie rozklady, wyprowadzic przyblizenie Stirlinga dla N! oraz przypomniec calkowanie funkcji Gaussa i ich iloczynow z wielomianami. 1.3 Zadania domowe (Powtórka ze szkoªy) 1. 1. Ile wynosi prawdopodobie«- stwo wyrzucenia ª cznie sze±ciu lub mniej punktów za pomoc trzech uczciwych kostek do gry? 2. Rzucamy 5 uczciwymi kostkami. Ile wynosi prawdopodobie«stwo wyrzucenia 6-tki: a) tylko jedna kostk, b) przynajmniej jedna kostk, c) tylko dwiema kostkami? 3. Wybieramy przypadkowo liczb mi dzy 0 i 1. Ile wynosi prawdopodobie«stwo,»e dokªadnie 5 spo- ±ród pierwszych dziesi ciu cyfr po przecinku b dzie ze zbioru cyfr mniejszych od 5? 4. Oblicz g sto± sze±ciouorku wolframu (WF 6 ) w temperaturze 300K i pod ci±nieniem 1000 hpa. Masy atomowe wolframu 183,84u i uoru 19u. Gdzie ten gaz znajduje zastosowanie? 2 Tydzie«II,10-16/10/2016 2.1 Wykªad wzor na liczbe stanow w ukladzie dwupoziomowym, rozklada Gaussa w granicy duzej liczby czastek), podstawowy postulat zyki statystycznej, koncepcja zespolu statystycznego, (przyklad: gaz w pudle, rozklad czastek pomiedzy dwiema polowami, oczekiwany czas nietypowej uktuacji), (przyklad: gaz w pudle, rozklad czastek w przestrzeni, metoda mnoznikow Lagrange'a), 2.2 Zadania na wiczenia 1. Obliczyc liczbe poziomow energetycznych dla pojedynczej czastki argonu w pudle d = 2 i d = 3 wymiarowym o bokach dlugosci L = 10cm, stala Plancka h = 6, 6 10 34 Js, masa molowa argonu M = 39, 9g/mol, 1
liczba Avogadro N a = 6, 02 10 23 1/mol. Chodzi o wyznaczenie a) liczby poziomow do energii E ozn. Γ(E), oraz b) liczby poziomow w przedziale [E, E + de] ozn. Ω(E) (innymi slowy gestosc stanow DOS). Przypomnijcie tez prosz jak rozwi zujemy nieskonczona studnie w mechanice kwantowej w d wymiarach. 2. Powietrze w pokoju o wymiarach 3mx3mx3m znajduje si warunkach normalnych (ci±nienie atmosferyczne, T=300K). Oszacowac prawdopodobenstwa, ze w dowolnej chwili w objetosci a) 1cm 3, b) 1A 3 (angstrom) gdziekolwiek w pokoju nie ma powietrza w wyniku statystycznej uktuacji. odp. prawdpodobienstwo exp( N(v/V )), gdzie N-liczba czastek, V -objetosc pokoju pokoju, v- objetosc badanego obszaru. Na wykªadzie b dzie model rozkªadu powietrza jako kulki w komorkach na podstawie przykªadu w Wroblewski, Zakrzewski t.1. Trzeba oszacowa gestosc czastek, tj. ich liczbe. Przyjmiemy model gazu doskonaªego, a rownanie stanu gazu doskonalego znaja wszyscy. 3. Typowy czas przejscia do nowego mikrostanu: a) Klasycznie - Srednia droga swobodna (dlugosc drogi miedzy zderzeniami) w jednym molu H 2 w cisnieniu atmosferycznym i temperaturze 300K wynosi l = 2, 7 10 7 m, a srednia predkosc czasteczek wynosi v = 500m/s. Oszacowac liczbe zderzen w czasie 1s. Liczba ta odpowiada jak czesto uklad przechodzi z jednego do drugiego mikrostanu. Odp. tempo zderzen (collision rate) 1/τ = v/l = 2 10 9 1/s, w molu mamy 6, 02 10 23 czasteczek wiec znajdujemy liczbe zderzen 12 10 32 na sekunde. b) Kwantowo - Rozpatrujemy dwa spiny s = 1/2 w stanie + i wlaczamy bardzo slabe oddziaªywanie Heisenberga H = JS 1 + S 2 + hc, J = 0, 00014eV. Oszacowac czas po którym ukªad przejdzie do +. Pozniej rozpatrujemy ukªad N = 10 23 spinow w makrostanie z S tot = 0. Oszacowac co ile ukªad przechodzi z jednego mikrostanu do drugiego mikrostanu realizuj ce makrostan S tot = 0. 2.3 Zadania domowe 1. N pretow o dlugosci a jest polaczonych koniec jednego z poczatkiem nastepnego, a pierwszy i N ty sa zaczepione o rownolegle sciany odlegle o l. l < Na. Znalezc liczbe Ω mozliwych mikrostanow. Oszacowac ln Ω w granicy duzych N. wsk. prety sa nieskonczenie cienkie i ustawione rownolegle do siebie, jesli N ± jest liczba pretow skierowanych w prawo lub w lewo to musi zachodzic l = N + N a, liczbe kombinacji znajdujemy tak samo jak w przypadku spinow. 2. W ukladzie o stalej energii E 0 i liczbie czastek N obliczyc liczbe mozliwych mikrostanow Ω. Przyjmij, ze poziomy energetyczne sa skwantowane E = 1 w jednostkach energii. Czastki sa rozroznialne. Jak zmieniu sie Ω jesli zadna z czastek nie ma energii rownej zero? Wyznaczyc ln Ω w obu przypadkach w granicy duzych N. 3 Tydzie«III, 17-23/10/2016 3.1 Wykªad Obliczanie prawdopodobienstw w zyce statystycznej na podstawie postulatu roznych prawdopodobienstw a priori, defnicje sredniej, monmentow, wariancji, rozkladow prawdopodobienstwa dla zmiennych losowych dyskretnych i ciaglych, defnicja zespolu mikrokanonicznego, defnicja liczby stanowω(u) o energii U, calkowitej liczby stanow Γ(U), denicja gestosci stanow ρ(u), &2. Poduklady w rownowadze termodynamicznej - defnicja oddzialujacych podukladow, liczba stanow ukladu, maksymaalizacja prawdopodobienstwa, defnicja entropii, warunek rownowagi, defnicja temperatury, stala Boltzmanna, prawo wzrostu entropii, zerowa i druga zasada termodynamiki, entropia w teorii informacji. 3.2 Zadania na wiczenia 1. Obliczy caªk dx exp( ax2 ). 2. Obliczy caªki dxxm exp( ax 2 ) 3. Przypomnie funkcje gamma, obliczy obj to± kuli w n-wymiarach. 4. Wyprowadzi wzór Stirlinga dla n! w granicy du-»ych n. 5. Przypomnie funkcje beta i pokaza B(x, y) = Γ(x)Γ(y)/Γ(x + y). 6. Przypomnie dystrybucje Heaviside'a i delta Diraca (dla zyków). (Pominac to co juz bylo wczesniej). 7. Uklad zawiera N = 6 czastek i niech calkowita energia jest stala i wynosi 6E. Podzial energii ukladu miedzy czastki jest dowolny, jednak energia kazdej czastki jest skowanowana i moze wynosic 0, E, 2E, 3E, 4E, 5E, 6E. Znalezc prawdopodobienstwo roznych mikrostanow (za Wroblewski i Zakrzewski, str.629-630). 8. Przypomnienie wspóªrz dnych uogólnionych i liczby stopni swobody z przykªadami (np. kilka zada«domowych). 9. Znale¹ ruch cz stki w przestrzeni fazowej dla a) oscylatora harmonicznego, b) swobodnego spadku, c) cz stki w niesko«czonym pudle potencjaªu. W przestrzeni rzeczywistej ruch jest jednowymiarowy. (cz ± mozna w domu) 3.3 Zadania domowe 1. Okre±l liczb stopni swobody i podaj wspóªrz dne uogólnione dla: a) koralik na obwodzie koªa, którego poªozenie jest ustalone; b) koralik na linii ±rubowej i staªym skoku i promieniu; c) cz stka na powierzchni walca prostego; d) no»yce na pªaszczy¹nie; e) sztywny pr t w d=3; f) sztywny krzy» w d=3; g) prostoliniowa spr»yna w d=3; h) dowolne ciaªo sztywne z jednym punktem unieruchomionym; i) atom wodoru; j) atom litu; k) wahadªo podwójne; l) gaz klasyczny zªo»ony z 10 23 cz stek punktowych. 2. Obliczy liczb stanów energetycznych Ω(E) o energii E pojedynczej cz steczki zamknietej w pu- 2
dle trójwymiarowym. Zbada przypadki klasyczny i kwantowy. To samo dla oscylatora. 4 Tydzie«IV, 24-30/10/2016 4.1 Wykªad II. Zespol kanoniczny - &1. zespol kanoniczny - defnicja zespolu kanonicznego, uklad, rezerwuar, oddzialywanie pomiedzy nimi z wyminana energii; &2. Rozklad Bolztmanna - wyprowadzenie rozkladu Boltzmanna, czynnik Boltzmanna e βɛ, stala β = 1/k B T, stala normalizacyjna Z; &3. Suma statystyczna - stala normalizacyjna w rozkladzie Boltzmanna, suma statystyczna, funkcja rozdzialu (partition function), wzor na energie wewnetrzna jako pochodna po temperaturze z Z(T, V, N), uktuacje energii wewnetrznej, pojemnosc cieplna i cieplo wlasciwe przy stalej objetosci; &4. Cisnienie i praca - zmiana energii ukladu w stanie kwantowym ɛ S przy odwracalnej zmianie objetosci, zmiana energii wewnetrznej, wzor na makroskopowe cisnienie p = ( U/ V ) S, 4.2 Zadania na wiczenia 1. W zespole mikrokanonicznym wyprowadzic wzory na Γ i Ω dla ustalonej energii U, objetosic V i liczby czastek N dla doskonalego gazu klasycznego o masie m. Wyjasnic czynniki h 3N i N! w mierze calki. Obliczyc entropie i rozniczkujac ja znalezc temperature 1/T = ( S/ U) V,N i cisnienie p/t = ( S/ V ) U,N. Pokazac slusznosc zasady ekwipartycji energii oraz rownanie stanu gazu doskonalego. (df cisnienia bedzie na wykladzie IV ale mozna ja podac jako znana z termodynamiki) 2. Energia ukladu N czastek o energiach ±ɛ (uklad dwupoziomowy) jest rowna U. Wyznaczyc entropie i temperature tego ukladu (zespol mikrokanoniczny). Wyjasnic znaczenie "ujemnych temperatur"i zwiazek z ograniczeniem widma energii z gory. 3. Przeanalizowac w szczegolach problem dwoch ukladow spinowych w kontakcie termicznym, str. 37-39, i zad. 5 str 53 z podrecznika Kittel i Kroemer. 4.3 Zadania domowe 1.Rrozwazyc zbior N oscylatorow harmonicznych o czestosciach ω. Energia ukladu wynosi U (zespol mikrokanoniczny). Znalezc Ω(U), entropie i temperature ukladu. 2. 10g miedzi o temperaturze 350K jest w kontakcie z taka sama probka miedzi o temperaturze 290K. Jaka jest koncowa temperatura ukladu po dojscu do stanu rownowagi i ile energii w formie ciepla przeplynelo z jednej probki do drugiej? Ile wynosi calkowita zmiana entropii i o ile wzrosla (czy wzrosla (?), zastanowic sie dlaczego) calkowita liczba dostepnych mikrostanow calego ukladu? Przyjac cieplo wlasciwe miedzi rowne 0, 389J/gK dla rozwazanych temperatur. 5 Tydzie«V, 31/10-6/11/2016 5.1 Wykªad inny wzor na cisnienie p = T ( S/ V ) U ; &5. Cieplo i pierwsza zasada termodynamiki - sformulowanie pierwszej zasady termodynamiki, cieplo i praca, wyrazenie na prace i cieplo w procesach odwracalnych, mikroskopowa interpretacja pracy i ciepla, model czastek w nieskonczonej studni i ilustracja wykonanej pracy i pobranego cielpla, wyprowadzenie wzoru T ds = s ɛ SdP s ; &6. Energia swobodna Helmholtza - denicja energii swobodnej Helmholtza F = U T S, procesy izotermiczne i minimalizacja energii swobodnej, wyrazenia na cisnienie i entropie za pomoca energii swobodnej, interpretacja energii swobodnej, dostepna praca w procesach izotermicznych, zwiazek energii swobodnej z suma statystyczna F = k B ln Z; &7. Gaz doskonaly - przyklad - defnicja modelu gazu doskonalego, suma statystyczna dla pojedynczego atomu, kwantowa koncentracja, dlugosc fali termicznej de Broglie'a, energia wewnetrzna pojedynczego atomu, uogolnienie na przypadek N atomow, czastki rozroznialne i nierozroznialne, wzor na sume statystyczna Z = (V/λ 3 db )N /N!, energia wewnetrzna U = nrt, rownanie stanu Clapeyrona pv = nrt, stala gazowa, 5.2 Zadania na wiczenia... dokonczyc zaleglosci, 1. Z rozkladu Boltzmanna P (ɛ) = e βɛ /Z(T, V, N) wyznaczyc energi wewnetrzna U(T, V, N) = ɛ, jej dyspersje σ 2 (U) = ɛ 2 ɛ 2 = k B T 2 C V. Przypomniec denicje pojemosci cieplnej C x = (δq/dt ) x, przy stalym x i korzystajac z I zasady termodynamiki znalezc wzor na C V = ( U/ T ) V,N. 2. Uklad dwupoziomowy - Wyznaczyc energie i cieplo wlasciwe ukladu N czastek w stanach o energii 0 lub ɛ > 0 (za Kittel i Kroemer, str. 62). 3. Paramagnetyk w rozkladzie kanonicznym - Korzystajac z sumy statystycznej znalezc scisla postac na magnetyzacje M i podanosc magnetyczna χ = dm/db jako funkcje temperatury i pola magnetycznego w ukladzie nieoodzialujacych momentow magnetycznych (spiny 1/2) w polu. Curie. 5.3 Zadania domowe Zbadac granice, omowic prawo 1. uklad moze byc w stanach o energiach 0, ɛ, ɛ, ɛ, 2ɛ. Znalezc energie tego ukladu i cieplo wlasciwe w temperaturze T. 2. Suma statystyczna spelnia zaleznosc ln Z = at α V, a i α sa stalymi. Znalezc cieplo wlasciwe. 3. Uklad N kwantowych oscylatorow jest w kontakcie ze zbiornikiem o temperaturze T. Znalezc energie wewnetrzna i cieplo wlasciwe ukladu oscylatorow. Zbadac granice niskich i wysokich temperatur. 3
6 Tydzie«VI, 7-13/11/2016 6.1 Wykªad wzor Sackurai-Tetrode na entropie gazu doskonalego, porownanie wzorow na energie wewnetrzna, swobodna i entropie bez czynnika N!, omowienie paradoksu Gibbssa, entropia mieszania; &8. Rozklad Maxwella predkosci - wyprowadzenie w zespole kanonicznym rozkladu prawdopodobienstwa dla predkosci czastek w gazie doskonalym, rozklad Maxwella, P (v) = 4π(m/2πk B T ) 3/2 v 2 exp( βmv 2 /2), wielkosci charakteryzujace rozklad Maxwella: predkosc typowa, srednia, kwadratowa. 6.2 Zadania na wiczenia 1. Z fundamentalne relacji dla energii swobodnej Helmholtza df = SdT pdv wyprowadzic odpowiednia relacje Maxwella. 2. Znalezc energie swobodna dla a) ukladu dwupoziomoego (spiny), b) kwantowych oscylatorow harmonicznych. Wyznaczyc entropie i podac ich wykresy w funkcji temperatury. 3. Znalezc sume statystyczna Z(T, N) i pozostalem wielkosci termodynamiczne (U, S, F, C) dla gazu molekul mogacych wirowac. Zaniedbac translacyjne stopnie swobody, ale uwzglednic energie ruchu obrotowego, ktora jest skwantowana ɛ l = ɛ 0 l(l + 1) i 2l + 1 krotnie zdegenerowana (kwantowy rotator). Przedyskutowac graniczne przypadki oraz oszacowac otrzymane wielkosci przyjmujac typowa energie H 0 = L 2 /2I dla rzeczywistych ukladow, np. I = 0, 46 dla H 2, I = 2, 4 dla HCl, I = 115 dla Cl 2, lub I = 745 dla I 2, w jednostkach 10 47 kg m 2. 6.3 Zadania domowe 1. Znalezc sume statystyczna Z oraz zbadac wielkosci termodynamiczne dla przypadku molekul dwuatomowych ktore moga wirowac i moga drgac (zmieniac swoj rozmiar) co daje wklady do energii w postaci ɛ nl = hω 0 (n + 1/2) + ɛ 0 l(l + 1). Jak zmienia sie cieplo wlasciwe w funkcji temperatury dla Cl 2 gdzie ω 0 = 10 14 s 1 i I = 115 10 47 kg m 2. Okreslic typowe skale temperatury. 2. W zyce ciala stalego przemieszczenie sie atomu z wezla sieci krystalicznej do obszaru miedzywezlowego nazywamy defektem Frenkla. Zakladajac, ze energia potrzebna na powstanie defektu Frenkla wynosi w i ze w krysztale mamy N atomow, ktore moga przemiescic sie do D mozliwych pozycjji medzywezlowych, np. D znalezc srdnia liczbe defektow w temperaturze T. Odp. n ND exp( βw/2) gdy n N, D. Wsk. Wyznaczyc na ile sposobow mozna wybrac n atomow z sieci i n miejsc z dostepnych D oraz zminimalizowac energie swobodna. 3. W zyce ciala stalego przemieszczenie sie atomu z wezla sieci krystalicznej do prozni nazywamy defektem Schottky'ego. Zakladajac, ze energia potrzebna na powstanie defektu Schottky'ego wynosi w i ze w krysztale mamy N atomow znalezc srdnia liczbe defektow w temperaturze T. Odp. n N exp( βw/2) gdy n N. Wsk. Wyznaczyc na ile sposobow mozna wybrac n atomow z sieci oraz zminimalizowac energie swobodna. 7 Tydzie«VII, 14-20/11/2016 7.1 Wykªad III. Rozklad Plancka - zastosowania: &1. Rozklad (funkcja) Plancka - analiza statystyczna pojedynczego modu drgajacego, kwantowanie energii, suma statystyczna, srednia liczba wzbudzen modu, funkcja Plancka, energia wewnetrzna, cieplo wlasciwe, granice wysokich i niskich temperatur; &2. Promieniowanie ciala doskonale czarnego - opis wneki rezonansowej w rownowadze termicznej, rownania Maxwella i ich rozwiazania dla szesciennej wneki, polaryzacja i stopnie swobody, wyznaczenie energii wewnetrznej dla promieniowania elektromagnetycznego, cieplo wlasciwe, stala Stefana-Boltzmanna, entropia, energia swobodna, cisnienie, rownanie stanu, 7.2 Zadania na wiczenia Gz doskonaly: 1. Wyprowadzic wzory na Z, U, F, S, p dla nieraltywistycznego gazu doskonalego ɛ p = p 2 /2m. To bylo na wykladzie dla wymiaru d = 3 wiec prosze zobaczyc co wymaga powtorzenia, a co studenci juz potraa zrobic samodzielnie i pominac. Mozna to samo zrobic w dowolnej liczbie wymiarow d. Rozklad Maxwella: 1. Znalezc predkosc typowa, srednia i kwadratowa dla rozkladu Maxwella. 2. Wyprowadzic wzory na rownanie stanu gazu doskonalego pv = nrt i na energie wewnetrzna pv = 2U/3 korzystajac z rozkladu Maxwella. Trzeba wyznaczyc mikroskopowo cisnienie i je usrednic, t.j. p = 2Nm v 2 3V. 3. W naczyniu z idealnym gazem zrobiono niewielki otwór o przekroju S. Znale¹ liczb cz stek padaj cych na dysk o promieniu R w odlegªo±ci h na jednostk czasu. 7.3 Zadania domowe gaz doskonaly: 1. Obliczyc energie swobodna i entropie dla 1m 3 helu w temperaturze 1227C pod cisnieniem 100P a. (odp. 2460J i 1, 7J/K) 2. Obliczyc zmiany energii swobodnej i entropi dla 50cm 3 helu przy rozprezaniu adiabatycznym do objetosci 100cm 3, jezeli temperatura poczatkowa wynosila 1500K, a cisnienie 100P a. Powtorzyc to samo przy rozprezaniu izotermicznym. (odp. 0, 0455J, 0 oraz 0, 00345J, 2, 3 10 6 J/K) 3. Wyporowadzic wzory na Z, U, F, S, p w d wymiarach dla doskonalego gazu ultra-relatywistycznego z dyspersja ɛ = cp. Rozklad Maxwella: 4
1. Kula o promieniu R porusza sie z pr dko±ci u w silnie rozrzedzonym idealnym gazie o temperaturze T i g sto±ci n. Jaki jest opór dziaªaj cy na kul? 2. Rozrzedzony gaz znajduje sie w naczyniu pod cisnieniem p. Znalezc predkosci wyplywu gazu do prozni przez niewielki otwor o powierzchni S. 8 Tydzie«VIII, 21-27/11/2016 8.1 Wykªad defnicja gestosci widmowej, prawo rozkladu Plancka, granica podczerwona i ultraoletowa, prawo Wiena i Rayleigha-Jeansa, katastrofa w nadolecie i problemy zyki klasycznej, srednia liczba wzbudzen we wnece, prommieniowanie z otworu we wnece, prawo Stefana- Boltzmanna, emisja i absorpcja, prawo Kirchoa; &3. Cieplo wlasciwe cial stalych, fonony - model ciala stalego (krysztalu), przyblizenie harmoniczne, mody normalne, rys historyczny na temat ciepla wlasciwego cial stalych, teoria Einsteina ciepla wlasciwego krysztalu - zalety i wady, 8.2 Zadania na wiczenia 1. Znalezc sume statystyczna, energie swobodna, entropie, cisnienie, cieplo wlasciwe i rownanie dla promieniowania elektromagnetycznego w rownowadze termodynamicznej w szesciennej wnece o objetosci V. 2. Mozna podac wzory na calki zawierajace funkcje Plancka (Bosego-Einsteina) i ew. naszkicowac sposob ich obliczania (dodatkowe). 8.3 Zadania domowe 1. Oszacowac temperature powierzchni Ziemi traktujac ja jako cialo doskonale czarne, ktore calkowicie emituje promienowanie otrzymane ze Slonca. Przyjmijmy, ze temperatura Ziemi jest stala przez cala dobe. Temeratura powierzchni Slonca 5800K, odleglosc do Slonca 1,5 10 13 cm, promien Slonca 7 10 10 cm. 2. Przestrzen miedzygalaktyczna wypelniona jest wodorem, 1 atom na metr szescienny, i promieniowaniem reliktowym (elektromagnetycznym) o temperaturze 2,9K. Ile wynosi stosunek ciepla wlasciwego materii do ciepla wlasciwego promieniowania w kosmosie? 3. Temperatura wnetrza Slonca wynosi 10 7 K, a cisnienie gazu 10 11 atm. Znalezc stosunek tego cisnienia do cisnienia promieniowania. Jaki wplyw ma promieniowanie na warunki rownowagi Slonca? 4. Znalezc dwuwymiarowe odpowiedniki prawa Plancka i prawa Stefana-Boltzmanna. 9 Tydzie«IX, 28/11-04/12/2016 9.1 Wykªad teoria Debye'a ciepla wlasciwego krysztalow, mod Goldstone'a (akustyczny), liniowa relacja dyspersji, temperatura i czestosc Debye'a, wyznaczenie ciepla wlasciwego, fofony, kwaziczastki. IV. Zespol kanoniczny: &1. Potencjal chemiczny - uklady wymieniajace energie i czastki, warunki rownowagi termodynamicznej, temperatura, potencjal chemiczny µ = ( F (T, V, N)/ N) T,V - analogie i roznice, kierunek przeplywu materii, potencjal chemicznydla ukladow wieloskladnikowych i wielofazowych, przyklad: potencjal chemiczny dla klasycznego gazu doskonalego, dyskusja wyniku i rola czynnika N!. 9.2 Zadania na wiczenia 1. Rozwiazac klasyczny model jednowymiarowego krzysztalu z oddzialywaniami kwadratowymi pomiedzy atomami i periodycznymi warunkami brzegowymi. Wyznaczyc mode wlasne, relacje dyspersji, liczby falowe. Co sie zmieni przy otwartych warunkach brzegowych. Wyznaczyc sume statystyczna, energie wewnetrzna i cieplo wlasciwe. 2. Skwantowac model klasyczny z zadania pierwszego i wyznaczyc sume statystyczna, energie wewnetrzna i cieplo wlasciwe w przyblizeniu Debeye'a. Zwrocic uwage na granice klasyczna sumy statystycznej (czynnik h). 9.3 Zadania domowe 1. Rozwiazac modele klasyczny i kwantowy krysztalu jednowymiarowego (jak na cwiczeniach) i wyznaczyc termodynamike ukladu zakladajac, ze komorka elementarna krysztalu sklada sie z dwoch atomow o masach m A i m B. Ile jest i jak przybiegaja relacje dyspersji (mody optyczne i akustyczne). 2. W modelu krysztalu z cwiczen (jednoatomowy) wyznaczyc uktuacje polozenia x 2 i wokol polozenia rownowagi. Czy wynik jest skonczony? Czy krysztaly w jednym wymiarze moga istniec? Uogolnic na przypadek wielowymiarowy (trudne, dla chetnych). [Np. arxiv:physics/0609177, Spontaneous Symmetry Breaking in Quantum Mechanics, Jasper van Wezel, Jeroen van den Brink, Journal-ref: Am. J. Phys., 75, 635-638 (2007) ] 10 Tydzie«X, 05-11/12/2016 10.1 Wykªad wewnetrzny potencjal chemiczny a zewnetrzny potencjal elektryczny, magnetyczny czy grawitacyjny, analogie, potencjal elektrochemiczny. &2. Potencjal chemiczny a entropia - zwiazki termodynamiczne - wyprowadzenie zwi zku µ/t = ( S/ N) U,V, podanie innych zwiazkow termodynamicznych, pierwsza zasada termodynamiki w ukladzie otwartym. &3. Duzy zespol kanoniczny i rozklad Gibbsa - denicja duzego zespolu kanonicznego, wyprowadzenie rozkladu Gibbsa, duza suma statystyczna Ξ(T, V, µ), srednia liczba czastek, energia wewnetrzna i entropia w duzym zespole kanonicznym, aktywnosc. &4. Duzy potencjal termodynamiczny - duzy potencjal termodynamiczny Φ(T, V, µ), denicje w termodynamice Φ = U T S µn i w - zyce statystycznej Φ = k B T ln Ξ, pokazanie ich rowo- 5
waznosci dla rozniczki, ze zwiazkow na dφ pokazanie pierwszej zasady termodynamiki, 10.2 Zadania na wiczenia 1. Pokazac, ze w modelu Debye'a z liniowa relacja dyspersji cieplo wlasciwe krysztalu w wysokich temperaturach dazy do 3k B N. Znalezc pierwsza(e) poprawki temperaturowe a n /T n. 2. Przyklad ze strony 125, Kittel (Zmiana cisnienia baromertycznego z wysokoscia). 3. Przyklad ze strony 127, Kittel (Potencjal chemiczny dla mobilnych czastek magnetycznych w polu magnetycznym). 4. Przyklad ze strony 129, Kittel (Ogniwa elektryczne). Przy braku czasu koniecznie prosze zrobic przyklad 4, a z przykladow 2 i 3 jeden do wyboru (ten pominiety do domu). 10.3 Zadania domowe 1. Rozwazyc dielektryczny krysztal o temperaturze Debye'a 100K i zawierajacy 10 22 atomow na cm 3. Oszacowac temperature w ktorej wklad fotonow do ciepla wlasciwego bylby taki jak wklad fononowy w temperaturze 1K. 2. Pokazac, ze w krysztale Debye'a wzgledna ukuacja energii wynosi (ɛ ɛ ) 2 / ɛ 2 (0, 07/N)(θ/T ) 3. 3. Predkosc drgan podluznych dzwieku w plynnym helu 4 w 0, 6K wynosi 2, 383 10 4 cm/s. W plynie nie ma fal poprzecznych. Gestosc helu wynosi 0, 145g/cm 3. Znalezc temperature Debye'a oraz cieplo wlasciwe na gram w ramach tej teorii. Porownac wynik z cieplem wyznaczonych doswiadczalnie C V = 0, 0204 T 3 J/gK. (Zachowanie T 3 eksperymentalnego ciepla wlasciwego ponizej 0, 6K w plynnym helu 4 sugeruje, ze dominujacymi wzbudzeniami w tej cieczy sa fonony.) 11 Tydzie«XI, 12-18/12/2016 11.1 Wykªad Podsumowanie zespolow statystycznych w tabeli, sens transformacja Legendre'a, podsumowanie funkcji stanow uzywanych w termodynamice, ich zmienne niezalezne i warunki kiedy i dlaczego je stosujemy, nazwy: S(U, V, N) entropia, U(S, V, N) energia wewnetrzna, F (T, V, N) energia swobodna Helmholtza, H(T, p, N) entalpia, G(T, p, N) energia swobodna Gibbsa, Φ(T, V, µ) wielki potencjal termodynamiczny, (przyklad: klasyczny gaz doskonaly w duzym zespole kanonicznym, funkcje termodynamiczne). V. Doskonale gazy kwantowe: &1. Funkcja falowa ukladow wielu czastek - przypomnienie problemu jednej czastki w pudle w d=3, periodyczne warunki brzegowe i warunki kwantyzacji wektora falowego, dwie identyczne czastki w mechanice kwantowej zasada nierozroznialnosci czastek, konsekwencje nierozroznialnosci na gestosc prawdopodobienstwa i na symetrie funkcj falowych przy zamianie czastek, ogolne zasady podzialu na bozony i fermiony o symetrycznych funkcjach falowych i antysymetrycznych, zwiazek symetrycznosci funkcji falowej ze spinem czastek, zasada Pauliego i obsadzenie stanow kwantowych w przypadku bozonow i fermionow. 11.2 Zadania na wiczenia 1. Na wykladzie zdefniniowalismy temperature 1/T = ( S/ U) V,N, cisnienie p = ( U/ V ) S,N, i potencjal chemiczny µ = ( F/ N) T,V. Sa one odpowienio zadane jako pochodne roznych funkcji stanu S(U, V, N), U(S, V, N), i F (T, V, N). Znalezc pozostale cztery wyrazenia na T, p, i µ korzystajac z pozostalych reprentacji (funkcji stanu). W reprezentacji F (T, V, N) temperatura jest zmienna niezalezna. (Czesc mozna zlecic jako zadanie domowe w zaleznosci od dostepnego czasu). 2. Rozwiazac klasyczny nierelatywistyczny gaz doskonaly w trzech wymiarach w duzym zespole kanonicznym i wyznaczyc wszystkie funkcji termodynamiczne Φ, N, p, µ, S, U oraz rownanie stanu. Uzywalismy α = exp(βµ) na aktywnosc. 3. Na powierzchnii bedacej w kontakcie z gazem doskonalym o temperaturze T i potencjale chemicznym µ zachodzi adsorbcja (wiazanie substancji gazowej na powierzchni stalej lub cieklej). Obliczyc wspolczynnik pokrycia tej powierzchni θ (t.j stosunek liczby zaadsorbowanych czasteczek gazu do liczby dostepnych miejsc na powierzchni A). Znalezc zaleznosc od cisnienia. Energia pojedynczej zaadsorbowanej molekuly wynosi ɛ. (Mozna tez uzyc analogicznego przykladu ze strony 140 Kittel i Herbert, do wyboru) 11.3 Zadania domowe 1. Znalezc wariancje liczby czastek σn 2 = N 2 N 2 w wielkim zespole kanonicznym i pokazac, ze wzgledna uktuacja liczby czastek zachowuje sie jak σ N / N 1/ N. 2. W przypadku zatrucia sie tlenkiem wegla czasteczki CO zastepuja czasteczki O 2 zaadsorbowane na czasteczkach hemoglobiny we krwi. Rozwazmy model hemoglobiny gdzie N dostepnych miejsce moze byc obsadzone przez tlen lub tlenek wegla i odpowiednio dla O 2 ma energie ɛ A, a dla CO ma energie ɛ B. Koncentracje gazow sa takie, ze aktywnosci w 37C wynosza α(o 2 ) = 10 5 i α(co) = 10 7. a) W ukladzie w ktorym nie ma CO wyznaczyc ɛ A zakladajac, ze 90% dostepnych miejsc jest zajete przez O 2. b) Teraz w ukladzie gdzie jest tez CO wyznaczyc ɛ B zakladajac, ze tylko 10% dostepnych stanow jest zajeta przez O 2. Podac wyniki w ev i w J. (Pomijamy mozliwe efekty spinowe) 3. Atomy wodoru sa domieszkami w krysztale. Niech kazdy atom wodoru moze byc w stanie podstawowym (jeden elektron o spinie σ na powloce 1s i energii /2), w stanie dodatnio zjonizowanym (brak elektronow, energia δ/2), ujemnie zjonizowanym (dwa elektrony na powloce 1s o energii δ/2), lub w stanie wzbudzonym (jeden elektron na powloce o energii /2). Znalezc: a) prawdopodobienstwo, ze dana domieszka 6
jest w stanie podstawowym, b) ze dana domieszka jest dodatnio zjonizowana, oraz c) jakie musza zachodzic warunki aby srednia liczba elektronow na domieszkach wynosila jeden. Przyjac temperatutre ukladu T. 12 Tydzie«XII, 19-22/12/2016 12.1 Wykªad &2. Funkcja Fermiego-Diraca i Bosego-Einsteina - wyznaczenie sumy statystycznej w duzym zespole kanonicznym dla nieoodzialujacych fermionow i bozonow, wielki potencjal termodynamiczny, wzor na srednia liczbe czastek, wzor na srednie obsadzenie danego stanu ɛ i, postac funkcji FD i BE oraz ich omowienie; &3. Poprawki kwantowe do klasycznych gazow doskonalych - wysokotemperaturowe rozwiniecie potencjalu termodynamiczego dla bozonow i fermionow dla czastek z paraboliczba relacja dyspersji w d=3, rozwiazanie rownania na aktywnosc, wyznaczenie rownania stanu, dyskusja zaleznosci cisnienia od temperatury dla bozonow i fermionow, znak pierwszej poprawki kwantowej; &4. Fermiony w zerowej temperaturze - stan podstawowy fermionow (T = 0) w pudle o objetosci V w d=3, denicje energii, pedu, wektora, dlugosci, temperatury Fermiego, zwiazek tych wielkosci z gestoscia czastek, energia wewnetrzna i cisnienie fermionow w stanie podstawowym. 12.2 Zadania na wiczenia zadania na funkcje stanu, mozna przypomniec transformacje Legendre'a i rozne funkcje stanu 1. Cykl Carnot dla klasycznego gazu doskonalego (str. 237-240 z Kittel) 2. Nagle rozprezanie klasycznego gazu doskonalego (str. 243 z Kittel) 3. Elektroliza i energia swobodna Gibbsa (str. 247-248, Kittel) 4. Praca chemiczna i mechaniczna dla gazu doskonalego (str. 251-252, Kittel) 5. Porownanie F i G (str. 265-266, Kittel) 6. Zastosowanie G do reakcji chemicznych (str. 266-271, Kittel) (1 i 2 mozna przeniesc do zadan domowych, sa powtorzeniem z Fizyka IV, mi bardziej zalezy na 3-6) 12.3 Zadania domowe niezrealizowany material z cwiczen 13 Tydzie«XIII, 8-14/01/2017 13.1 Wykªad &5. Fermiony w niskich temperaturach; cieplo wlasciwe - srednia po zespole i jej zapisanie za pomoca gestosci stanow ρ(ɛ) = k δ(ɛ ɛ k), gestosc stanow w d=3, cieplo wlasciwe dla elektronow w eksperymencie, niskotemperaturowe rozwiniecie dla energii wewnetrznej i wyznaczenie cialpa wlasciwego fermionow, dyskusja i porownanie wyznaczonych mas efektywnych w doswiadczeniach z cieklym helem 3, metalami prostymi, ciezkimi fermionami; 13.2 Zadania na wiczenia 1. Dla doskonalgo gazu ultrarelatywistycznego z relacja dyspersji ɛ k = cp w d = 3 znalezc pierwsza poprawke kwantowa dla bozonow i fermionow do rozwiazan klasycznych dla cisnienia, dlugosc termiczna fali dana jest przez λ db = hc/k B T. 2. Dla fermionow w d = 3 w T = 0 znalezc p F, k F, ɛ F, T F, U, p jako funkcje gestosci czastek n. 3. Model izolowanych domieszek w polprzewodnikach: wyobrazmy sobie N niezaleznych domieszek (atomow) z dostepnym jednym poziomem o energii ɛ 0, ktore moze byc pusty, obsadzony przez jeden elektron ze spinem w gore lub w dol, lub przez dwa elektrony o przeciwnych spinach. W tym ostatnim przypadku nalezy uwzgldenic energie oddzialywania pomiedzy elektronami, ktora dana jest przez stala I. Matematycznie, energia ukladu zalezy od konguracji elektronow i dla pojedynczego atomu dana jest przez E(n, n ) = ɛ 0 (n + n ) + In n, gdzie n σ = 0, 1. Znalezc wielka sume statystyczna, wzor na srednia liczbe elektronow na domieszcze w funkcji potencjalu chemicznego i temperatury, srednie obsadzenie pojedynczego atomu, ktore wykreslic i omowic. Mozna tez podac wzory na scisliwosc κ = n/ µ i cieplo wlasciwe C = U/ T. Jak wyniki zaleza od znaku I. 13.3 Zadania domowe 1. Znalezc poprawki kwantowe dla bozonow i fermionow w granicy wysokich temperattur dla czastek z paraboliczna relacja dyspersji w liczbie wymiarow d. Jak te poprawki zmieniaja sie z wymiarem przestrzeni? 2. Dla fermionow w d wymiarach w T = 0 znalezc p F, k F, ɛ F, T F, U, p jako funkcje gestosci czastek n. 3. W modelu izolowanych domieszek mozna uwzglednic wplyw zewnetrznego pola magnetycznego, ktore modykuje energie atomow w nastepujacy sposob E(n, n ) = ɛ 0 (n +n ) gµ B H(n n )/2+In n. Wyznaczyc wielkosci te same co w zadaniu 3 na cwiczeniach i dodatkowo magnetyzacje M oraz podatnosc magnetyczna χ = M/ H. 14 Tydzie«XIV, 15-21/01/2017 14.1 Wykªad &6. Kwaziczastki Landaua 1 - koncepcja kwaziczastek Landaua, elementy teorii cieczy Fermiego Landaua, rozwiniecie energii jako funkcja (funkcjonal) δn kσ = n kσ n 0 kσ w nistkich temperaturach, amplitida oddzialywania miedzy kwaziczastkami, nieoddzialujaca relacja dyspersji, zrenormalizowana relacja dyspersji, masa 1 Material nieobowiazkowy 7
efektywna kwaziczastek, wybrane przewidywania doswiadczalne w ramch teorii cieczy Fermiego; &7. Kondensacja Bosego-Einsteina (BEC) - zjawisko kondensacji BEC, potencjal chemiczny w niskich temperaturach, obsadzenie poziomow energetycznych w funkcji temperatury, gestosc bozonow w kondensacie i poza konensatem, wyznaczenie temperatury krytycznej, wykladniki krytyczne dla liczby bozonow w kondensacie, interpretacja zjawiska BEC, wlasnosci bozonow w kondensacie, spojnosc kwantowa kondensatu, makroskopowa funkcja falowa, analogia do lasera, obserwacja BEC w gazie zimnych atomow; 14.2 Zadania na wiczenia 1. Znalezc gestosci stanow w d = 1, 2 i 3 (lub ogolnie w d) dla relacji dyspersji ɛ k = h 2 k 2 /2m i ɛ k = c hk. (czesc mozna zrobic jako zadanie domowe) 2. Wyprowadzic wzory na rozwiniecia niskotemeraturowe Somerfelda dla calek zawierajacych funkcje Fermiego-Diraca i inna dowolna funkcje o poprawnych wlasnosciach. 3. Wyznaczyc potencjal chemiczny, energie wewnetrzna, cieplo wlasciwe, scisliwosc objetosciowa i podatnosc magnetyczna Pauliego dla elektronow o gestosci stanow ρ(ɛ) podajac pierwsze poprawki temperaturowe do wyniku dla stanu podstawowego. cieplo wlasciwe ponizej i powyzej T BEC jesli wystarczy czasu. 15.3 Zadania domowe 1. Wyznaczyc temperature kondensacji gazu bozonow z paraboliczna relacja dysersji w d wymiarach. Omowic szczegolnie przypadek d=1 i 2. Czy wtedy zachodzi kondesacja? 2. Zbadac zachowanie boznow o relacji dyspersji ɛ k = ck s w d wymiarach. Jaki jest warunek pomiedzy s i d aby zachodzila kondensacja w skonczonych temperaturach. 14.3 Zadania domowe 1. Wyznaczyc potencjal chemiczny, energie wewnetrzna, cieplo wlasciwe, scisliwosc objetosciowa i podatnosc magnetyczna Pauliego dla elektronow o gestosci stanow ρ(ɛ) odpowiadajacej nierelatywistycznym fermionom swobodnym w d = 1, 2 i 3 (lub ogolnie w d) w niskich temperaturach. Podac liczbowe wartosci wspolczynnikow dla elektronow w miedzi i dla atomow Helu 3. 15 Tydzie«XV, 22-28/01/2017 15.1 Wykªad &8. Nadplynnosc HeII 2 - polecam lm na www. alfredleitner.com, diagram fazowy 4 He, cieplo wlasciwe, bezlepki przeplyw, nieskonczona przewodniosc cieplna, efekt termomechaniczny, efekt fontannowy, efekt mechanotermiczny, eksperyment Andronikashvilliego, model dwuplynowy Tiszy-Landaua, predkosc kondensatu i bezwirowy przeplyw, kwaziczastki i nadplynnosc, kryterium Landaua. 15.2 Zadania na wiczenia w ostatnim tygodniu prosze w pierwszej kolejnosci o dokonczenie poprzednich zadan jesli cos pozostalo. 1. Wyznaczyc cisnienie gazu bozonow w funkcji temperatury ponizej BEC. Porownac ze wzorem dla gazu klasycznego. Mozna to zadanie rozwinac na entropie i 2 Material nieobowiazkowy 8
Literatura Ch. Kittel, H. Kroemer, Thermal Physics. K. Huang, Statistical mechanics. F. Schwabl, Statistical mechanics. R.H. Swendsen, An introduction to statistical mechanics and thermodynamics. F. Reif, Fizyka statystyczna. F. Mandl, Statistical physics. H.B. Callen, Thermodynamics. A. Fronczak, Zadania i problemy z rozwiazaniami z termodynamiki i zyki statystycznej. 9