KOMBINATORYKA Dział matematyki zajmujący się badaniem różnych możliwych zestawień i ugrupowań, jakie można tworzyć z dowolnego zbioru skończonego. Zbiory skończone, najczęściej wraz z pewną relacją obiekty kombinatoryczne TRZY TYPY ZAGADNIEŃ: (1) Czy istnieje obiekt o zadanych własnościach? (2) Ile jest obiektów o zadanych własnościach? (3) Czy można znaleźć obiekt optymalny według zadanych kryteriów? Odpowiedź na pytanie (1) tak lub nie, a w ogólności twierdzenie charakteryzujące kryterium. Odpowiedź na pytanie (2) liczba, a w ogólności wzór lub metoda obliczeniowa. Odpowiedź na pytanie (3) podanie struktury optymalizującej, a w ogólności algorytmu znajdującego taką strukturę. Problem przydziału prac Do obsadzenia sześć stanowisk pracy: (m) - murarza (d) - dekarza (s) - stolarza (c) - cieśli (b) - betoniarza (i) - instalatora Pięciu kandydatów: A, B, C, D, E A - uprawnienia ( s, i ) B - uprawnienia ( s, d ) C - uprawnienia ( s, d ) D - uprawnienia ( m, s, c, i ) E - uprawnienia ( b, i ) PYTANIE 1: Czy można tak dopasować kandydatów do stanowisk pracy, aby każdy otrzymał pracę zgodnie ze swoimi uprawnieniami? TAK A -i, B -s, C -d, D -m, E -b stanowisko cieśli nie jest obsadzone Uwaga: przy zmianie uprawnień D (d,i) - odpowiedź NIE Barbara Głut 1
PYTANIE 2: Na ile sposobów można dopasować kandydatów do stanowisk pracy? 4 sposoby (trzy inne - B i C mogą się zamienić, D może być cieślą) Dodatkowo ustalono przydatność kandydatów do stanowisk (skala 1-6), 0 - brak kwalifikacji m s b d c i A 0 4 0 0 0 3 B 0 1 0 3 0 0 C 0 5 0 6 0 0 D 3 5 0 0 4 4 E 0 0 2 0 0 5 PYTANIE 3: Który z dopuszczalnych przydziałów pracy jest najkorzystniejszy (daje największą liczbę punktów)? Przydział A - i (3), B - d (3), C - s (5), D - c (4), E - b (2) suma - 17 punktów Przedmioty w pudełkach Na ile sposobów można rozmieścić trzy przedmioty w dwóch pudełkach? Przypadek 1: pudełka i przedmioty (a, b, c) rozróżnialne abc ab c ac b bc a abc c ab b ac a bc Przypadek 2: przedmioty rozróżnialne, pudełka nie tylko 4 rozmieszczenia odrzucamy 4 z drugiego wiersza, bo to samo Przypadek 3: pudełka rozróżnialne, przedmioty nie o o o o o o o o o o o o Przypadek 4: pudełka nierozróżnialne, przedmioty też dwie możliwości: o o o o o o Barbara Głut 2
rim struktura jest bardziej nieoznaczona, tym mniej rozwiązań (ale trudniej je przeliczyć). rprzed przystąpieniem do przeliczania trzeba ustalić, które obiekty uważamy za różne. rprzeliczanie przez wypisywanie wszystkich możliwości ma sens tylko, gdy mała liczba obiektów. Trzeba znaleźć wzór lub metodę. USTAWIENIA Ile słów można utworzyć z liter A K R używając każdej z nich tylko jeden raz? AKR ARK KAR KRA RAK RKA 3 2 1 = 6 słów Gdybyśmy mieli do dyspozycji 4 litery? 4 3 2 1 = 24 słowa Dla n różnych liter? n (n 1) (n 2)... 2 1 sposobów ustawienia n silnia Definicja: n! = 1 2 3... (n 1) n 0! = 1 Też definicja rekurencyjna: 1! = 1 n! = (n 1)! n Określa liczbę wszystkich ustawień albo uporządkowań, albo PERMUTACJI n przedmiotów. Barbara Głut 3
Definicja: Permutacją bez powtórzeń n elementów nazywamy ciąg składający się z n elementów uporządkowanych i różnych. Liczba możliwych permutacji zbioru n-elementowego: P n = n! Ile jest ustawień k przedmiotów wybranych spośród n różnych przedmiotów? Np.: Ile można utworzyć słów dwuliterowych ze zbioru liter A, B, C, D tak, aby litery nie powtarzały się w słowie? AB BA CA DA AC BC CB DB 12 ustawień AD BD CD DC 1 element na 4 sposoby, 2 element na 3 sposoby 4 3 = 12 Ogólnie, gdy ustawiamy k-elementowy ciąg: 1 element n sposobów 2 element n 1 3 element n 2... k element n k + 1 n! n (n 1) (n 2)... (n k+1) = ( n k)! Barbara Głut 4
Definicja: Wariacją bez powtórzeń k-elementową ze zbioru n-elementowego nazywamy ciąg k elementów wybranych z n elementów, przy czym elementy te są różne między sobą. Ciąg ważna jest kolejność elementów Liczba wariacji bez powtórzeń V k n n! = ( n k)! Ile jest ustawień k przedmiotów wybranych spośród n przedmiotów? Np.: Ile można utworzyć liczb dwucyfrowych z cyfr 1, 2, 3? tworzymy ciągi dwucyfrowe ze zbioru trójelementowego kolejność odgrywa rolę cyfry mogą się powtarzać N 1 1L 2 O 3 N 1 2L 2 O 3 N 1 3L 2 O 3 3 2 Ile można utworzyć liczb pięciocyfrowych z cyfr 1, 2, 3? 11111 11112 11121... 21111 21112 21121... 3 5 31111 31112 31121... Barbara Głut 5
Rzut kostkami Rzucamy dwoma rozróżnialnymi kostkami do gry. (Jedna zielona, druga czerwona) Ile jest możliwych wyników tego doświadczenia? (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6) 6 2 A gdyby rzucać trzema kostkami? 6 2 6 = 6 3 A gdyby kostek było k? 6 k Ustawiamy k elementów wybranych spośród n elementów Pierwszy element ciągu możemy wybrać na n sposobów, drugi też, trzeci...... n n n... n = n k Definicja: Wariacją z powtórzeniami k-elementową ze zbioru n elementów nazywamy ciąg k elementów wybranych spośród n elementów. Elementy ciągu mogą być różne lub mogą nie różnić się między sobą. Liczba wariacji z powtórzeniami W = n k n k Barbara Głut 6
Permutacje z wyróżnioną parą Na ile sposobów można zapisać w jednym rzędzie cyfry 0, 1,..., 9 tak, by cyfry 1 i 2 stały obok siebie? Traktujemy 1 i 2 jak pojedynczy element 9 elementów Permutujemy je na 9! sposobów. Ale: dla cyfr 1 i 2 musimy wybrać kolejność, w jakiej stoją obok siebie 2 możliwości Czyli wszystkich sposobów jest: 2 9! A gdy będzie n elementów, a wśród nich są dwa wyróżnione, które powinny znaleźć się obok siebie? 2 (n 1)! Permutacje koralikowe Szczególny wariant permutacji, gdzie nie jest wyróżniony początek ani koniec np. elementy rozstawione na okręgu n krzeseł wokół okrągłego stołu Ważne, kto siedzi obok kogo, a nie, gdzie kto siedzi Liczba ustawień: n! = ( n 1)! n Barbara Głut 7
Permutacje z powtórzeniami Definicja: Permutacją z powtórzeniami nazywamy ciąg składający się z n elementów, wśród których pewne elementy powtarzają się odpowiednio n 1, n 2,..., n k razy. Np. Wypisać wszystkie 3-elementowe permutacje elementów a i b, w których element a powtarza się dwa razy. aab aba baa A ile jest takich możliwości, gdy permutacje mają być 4-elementowe, a element a powtarza się trzy razy? aaab aaba abaa baaa Pytanie: Jak obliczyć, ile można utworzyć 4-elementowych permutacji z elementów a i b, w których element a powtarza się trzy razy? Istnieje 24 (bo 4!) permutacji z 4 elementów a 1 a 2 a 3 a 4. Załóżmy, że element b=a 1. Pozostałe trzy elementy tworzą 3!=6 permutacji. Jeśli a 2 = a 3 = a 4 = a, te 6 permutacji da jedną permutację baaa. Element b może też wystąpić na drugim, trzecim i czwartym miejscu. Czyli liczba 4-elementowych permutacji o powtarzającym się trzykrotnie elemencie a jest 3!=6 razy mniejsza od liczby 4-elementowych permutacji bez powtórzeń. Ogólnie: Liczba permutacji n-elementowych o powtarzających się elementach odpowiednio n 1, n 2,..., n k razy n, n,..., n n! 1 2 k Pn = n! n!... n! 1 2 k Barbara Głut 8
LICZBY WYBORÓW Gdy chcemy określić tylko liczbę możliwych wyborów lub kombinacji k przedmiotów, nie interesuje nas k silnia różnych sposobów ich ustawienia. Zatem, liczbę wyborów otrzymujemy przez podzielenie liczby ustawień przez k! Np. 3-elementowy zbiór { a, b, c }. Z niego wybieramy 2-elementowe wariacje bez powtórzeń. Liczba ustawień jest równa: 3! = 6 1! ( a, b) ( a, c ) ( b, a ) ( c, a ) ( b, c ) ( c, b ) Gdy interesuje nas jedynie liczba możliwych wyborów zbiorów 2-elementowych z trzech elementów: { a, b } { a, c } { b, c } 3! = 3 1! 2! Definicja: Kombinacją bez powtórzeń k-elementową ze zbioru n elementów nazywamy zbiór składający się z k różnych elementów wybranych spośród n różnych elementów. Obojętne jest, w jakim porządku elementy tego zbioru są rozmieszczone. Liczba k-elementowychk kombinacji bez powtórzeń ze zbioru n elementów: C k n n n! = = k k!( n k)! symbol Newtona: n k Barbara Głut 9
Znów rzucamy dwoma kostkami, ale kostki są nierozróżnialne! Wynik doświadczenia: nieuporządkowana para { i, j }, i, j =1, 2,..., 6 Ile możliwych różnych wyników? {1,1} {1,2} {1,3} {1,4} {1,5} {1,6} {2,2} {2,3} {2,4} {2,5} {2,6} {3,3} {3,4} {3,5} {3,6} {4,4} {4,5} {4,6} {5,5} {5,6} {6,6} Na ile sposobów można pomalować k jednakowych kul, mając do dyspozycji n kolorów? n = k = 3 kolory: czerwony (c), niebieski (n), zielony (z) { z z z } { z z c } { z c c } { c c c } { z z n } { z n n } { n n n } { n n c } { n c c } { c n z } Wyniki doświadczeń zbiory (kolejność elementów nieistotna) Ale: elementy mogą występować kilka razy, czyli mogą się powtarzać. Definicja: Kombinacją z powtórzeniami k-elementową ze zbioru n-elementowego nazywamy zbiór składający się z k elementów różnych lub nie różniących się między sobą, wybranych spośród n różnych elementów. Obojętne jest, w jakim porządku elementy tego zbioru są rozmieszczone Liczba kombinacji z powtórzeniami: C k n n + k 1 n + k 1 = = k n 1 Barbara Głut 10
SCHEMATY LOSOWANIA k elementów z n-elementowego zbioru Przed przystąpieniem do losowania należy odpowiedzieć na 2 pytania? I Czy istotna jest kolejność wylosowanych elementów? II Czy wylosowane elementy mogą się powtarzać? I TAK II TAK Wariacje z powtórzeniami I TAK II NIE Wariacje bez powtórzeń I NIE II NIE Kombinacje bez powtórzeń I NIE II TAK Kombinacje z powtórzeniami ZASADA WŁĄCZANIA I WYŁĄCZANIA PRAWO SUMY: A i B zbiory skończone A (1) jeśli A B = (zbiory rozłączne), to A B = A + B (2) ogólnie: A B = A + B A B A B B Dla trzech zbiorów: A B C = A + B + C + A B A C B C + A B C A C B Barbara Głut 11
Przykład Spośród 100 studentów - 50 uczy się angielskiego, 40 - francuskiego, w tym 20 obu języków. Ilu studentów nie uczy się ani angielskiego, ani francuskiego? A - angielski, F - francuski 100 ( A + F A F ) = = 100 (50 + 40 20) = 30 Przykład 30 - osobowa grupa: A - 20 uczy się angielskiego, B - 14 uczy się francuskiego, C - 10 uczy się niemieckiego. Jeśli żadna osoba nie uczy się wszystkich trzech języków, a 8 osób nie uczy się żadnego, to ilu uczy się francuskiego i niemieckiego? 30 8 = 22 osoby uczą się wymienionych języków A B C = 22 A B C = 0 22 = 20 + 14 + 10 A B A C B C + 0 A B + A C + B C = 22 co pokrywa zbiór osób uczących się języków Każda osoba uczy się dwóch języków, jeśli uczy się języka A = A B + A C = 20 B C = 2 Barbara Głut 12
Zasada włączeń i wyłączeń: Aby określić liczbę elementów zbioru A 1 A 2... A n należy znaleźć liczby elementów wszystkich możliwych przecięć zbiorów spośród {A 1, A 2,..., A n }, dodać do siebie wyniki uzyskane dla przecięć nieparzystej liczby zbiorów, a następnie odjąć wyniki uzyskane dla przecięć parzystej liczby zbiorów. Należy włączyć, czyli dodać do siebie liczebności poszczególnych zbiorów, następnie wyłączyć - czyli odjąć liczności wszystkich przecięć po dwa zbiory, potem znów włączyć liczności przecięć po trzy zbiory itd. Zasada nadaje się do sytuacji, w których: chcemy jedynie znać wielkość zbioru A 1 A 2... A n, liczby wielokrotnych przecięć daje się łatwo obliczyć. Wzór Sylwestra: Dla dowolnych zbiorów A 1, A 2,..., A n gdzie: n n k 1 ( n) U A i = ( 1) Sk i= 1 k= 1 I ( n) S k = Ai k I [ n] i I [n] k rodzina k-elementowych podzbiorów zbioru { 1, 2,..., n} Niech N r - liczba elementów zbioru X, które należą do dokładnie r spośród zbiorów A 1, A 2,..., A n ; A i X, i = 1,...,n n k r k ( n) Nr = { x X : { i : x Ai } = r} = ( 1) S r k k= r Barbara Głut 13
Skończony zbiór obiektów, które mogą (ale nie muszą) posiadać własności 1,2,..., n. Niech N(i 1,..., i r ) - liczba obiektów mających co najmniej r własności. Wówczas liczba obiektów w zadanym zbiorze posiadających co najmniej jedną z własności wynosi: N(1) + N(2) +... + N(n) N(1, 2) N(1, 3)... N(n 1, n) + N(1, 2, 3) + N(1, 2, 4) +... + N(n 2, n 1, n)...... + ( 1 ) n-1 N(1, 2,..., n) Przykład: Nieporządkiem nazywamy permutację bez punktów stałych. Na przykład 2 3 4 5 1 jest, a 2 3 5 4 1 nie jest nieporządkiem ( 4 pojawiła się na czwartym miejscu - punkt stały). Ile jest takich permutacji zbioru {1, 2,..., n}, które są nieporządkiem? Dla dowolnej permutacji - własność i oznacza, że punkt i jest punktem stałym. Liczba nieporządków = liczba permutacji nie posiadających żadnej z tych własności n! N(1) N(2)... N(n) + N(1, 2) + N(1, 3) +... + N(n 1, n) N(1, 2, 3) N(1, 2, 4)... N(n 2, n 1, n)... + ( 1 ) n N(1, 2,..., n) n n n 1 n n n n! ( n 1)! + ( n 2)! K+ ( 1) 1! + ( 1) 0! 1 2 n 1 n n 1 1 1 n 1 k 1 n! ( + K+ ( 1) ) = n! ( 1) 2! 3! 4! n! k! k= 2 Barbara Głut 14