Wykład 4. Elementy kombinatoryki

Transkrypt

1 Wstęp do probabilistyki i statystyki Wykład 4. Elementy kombinatoryki dr inż. Krystyna Schneider, Katedra Elektroniki, AGH kryschna@agh.edu.pl Wstęp do probabilistyki i statystyki. wykład 2 1

2 Liczba obiektów w prostych sytuacjach kombinatorycznych W wielu sytuacjach konieczne jest wyznaczenie liczby elementów rozważanego zbioru. Mogą tu być pomocne proste zasady arytmetyczne: reguła dodawania reguła mnożenia rzut monetą wyciąganie kart z talii rzut kostką 2

3 Reguła dodawania Jeżeli dwa zdarzenia wzajemnie się wykluczają, tzn. nie mogą wystąpić jednocześnie, wtedy możemy stosować regułę dodawania. Twierdzenie dotyczące dodawania. Jeżeli zdarzenie e 1 można zrealizować na n 1 sposobów, a zdarzenie e 2 na n 2 sposobów oraz zdarzenia e 1 i e 2 wzajemnie się wykluczają, to liczba sposobów w jakich realizują się oba zdarzenia wynosi: n 1 + n 2 3

4 Uogólnienie reguły dodawania Jeżeli rozważany zbiór Z jest sumą, rozłącznych parami podzbiorów, Z= A 1 A 2 A m i znamy liczbę elementów każdego podzbioru, to liczba elementów zbioru Z jest sumą liczb elementów wszystkich podzbiorów A 1, A 2,., A m A 1 A 2 = A 1 + A 2 Jest to szczególny przypadek zasady włączeń-wyłączeń ang. Principle of Inclusion-Exclusion, PIE 4

5 Zasada włączeń-wyłączeń, Principle of Inclusion-Exclusion (PIE) Rozważmy dwa zdarzenia, e 1 i e 2, dla których możliwe jest wystąpienie odpowiednio n 1 i n 2 rezultatów. Jednak, tylko jedno zdarzenie może zachodzić a nie oba. W tej sytuacji nie stosuje się reguły dodawania. W języku zdarzeń: od sumy wszystkich możliwych wyników należy odjąć liczbę tych, które są wspólne dla obu zdarzeń. W języku zbiorów: A 1 A 2 = A 1 + A 2 - A 1 A 2 5

6 Reguła mnożenia Jeżeli dwa zdarzenia nie wykluczają się, tzn. mogą zachodzić osobno, wtedy możemy stosować regułę mnożenia. Twierdzenie dotyczące mnożenia. Jeżeli pewne doświadczenie można wykonać w m kolejnych etapach, przy czym w k-tym etapie można uzyskać w k wyników, to liczba wszystkich wyników doświadczenia jest równa iloczynowi w 1 w 2 w m 6

7 Reguła mnożenia Jeśli pewien wybór zależy od skończenie wielu decyzji, przy czym podejmując pierwszą decyzję mamy a możliwości, drugą b możliwości,... ostatnią m możliwości, to wybór ten może być dokonany na a b... m sposobów. 7

8 Przykład Reguła mnożenia czy dodawania? Dziewczyna chce włożyć albo bluzkę czarną albo jedną z dwóch niebieskich oraz spódnicę jedną z trzech czarnych albo jedną z dwóch niebieskich. Na ile sposobów może się ubrać, gdy chce, aby spódnica i bluzka były w tym samym kolorze? 8

9 Przykład Reguła mnożenia czy dodawania? Dziewczyna chce włożyć albo bluzkę czarną albo jedną z dwóch niebieskich oraz spódnicę jedną z trzech czarnych albo jedną z dwóch niebieskich. Na ile sposobów może się ubrać, gdy chce, aby spódnica i bluzka były w tym samym kolorze? = 7 możliwości 9

10 Zastosowanie reguł dodawania i mnożenia Zamek jest strzeżony przez dwie wieże, jedna z nich jest zamknięta kodem dwucyfrowym nieparzystym, druga kodem dwucyfrowym parzystym. Wystarczy złamać kod na jednej wieży, aby wejść. Na ile sposobów możemy wejść do zamku? Mamy tutaj jednocześnie regułę mnożenia i dodawania. Najpierw mnożenia, wieża z kodem parzystym składa się z 2 cyfr. Możliwe dziesiątki: 2,4,6,8 Możliwe jedności: 0,2,4,6,8 Zatem z reguły mnożenia kombinacji jest 5 4=20 Tak samo w wieży nieparzystej. Możliwe dziesiątki: 1,3,5,7,9 Możliwe jedności: 1,3,5,7,9 Z reguły mnożenia kombinacji jest 5 5=25 Z racji, że mamy albo (ta wieża albo tamta) sumujemy nasze wyliczone kombinacje: 25+20=45 10

11 Wariacje Wariacją k elementową ze zbioru n elementowego nazywamy każdy ciąg (uporządkowanie) k elementowy utworzony z elementów tego zbioru. Ilość (ciągów) wariacji zależy od tego czy elementy ciągu mogą się powtarzać czy nie. Istotny jest zatem sposób losowania: bez zwracania = bez powtórzeń; ze zwracaniem = z powtórzeniami Wstęp do probabilistyki i statystyki. wykład 2 11

12 Wariacje bez powtórzeń Przykład: Rozważmy 3-elementowy zbiór Z={a,b,c} i wypiszmy wszystkie wariacje 2-wyrazowe bez powtórzeń: (a,b) (b,a) (a,c) (c,a) (b,c) (c,b) Obliczyć liczbę tych ciągów 3x2=6 Ogólnie: V ( k ) n = k 1 i 0 ( n i) n( n 1)( n 2)...( n k 1) Wstęp do probabilistyki i statystyki. wykład 2 12

13 Liczba wariacji bez powtórzeń Liczbę wariacji k elementowych bez powtórzeń ze zbioru n elementowego można obliczyć ze wzoru: ( ) V k n = ( n n! k)! Gdy k=n, tzn. ciąg n elementowy ze zbioru n elementowego (permutacja bez powtórzeń) Przykład: (abc) (acb) (bac) (bca) (cab) (cba) Wstęp do probabilistyki i statystyki. wykład 2 13

14 Wariacje bez powtórzeń Julian Tuwim przeglądając stare roczniki Kuriera Świątecznego odnalazł wiersz pt. Wariacje Rodego na temat arcygenialny oczekujący utalentowanego Maestra Gdy pies z pieczenią przez okno fika, Bocian nad wodą żabę połyka. Julian Tuwim, Cicer cum caule czyli groch z kapustą, Czytelnik, Warszawa Wstęp do probabilistyki i statystyki. wykład 2 14

15 Wariacje bez powtórzeń Julian Tuwim przeglądając stare roczniki Kuriera Świątecznego odnalazł wiersz pt. Wariacje Rodego na temat arcygenialny oczekujący utalentowanego Maestra Gdy pies z pieczenią przez okno fika, Bocian nad wodą żabę połyka. Wariacja 1: Gdy pies z bocianem przez pieczeń fika, Żaba nad oknem wodę połyka. Wariacja 2: Gdy pieczeń z wodą przez żabę fika, Pies nad bocianem okno połyka. Wstęp do probabilistyki i statystyki. wykład 2 15

16 Wariacje bez powtórzeń Gdy... z... przez... fika,... nad połyka. zbiór wyrazów: bocian, żuraw, pies, okno, pieczeń, rzeka, woda, żaba, kamień, nóż Ile można utworzyć wariacji wiersza? Wstęp do probabilistyki i statystyki. wykład 2 16

17 Wariacje bez powtórzeń Gdy... z... przez... fika,... nad połyka. zbiór wyrazów: bocian, żuraw, pies, okno, pieczeń, rzeka, woda, żaba, kamień, nóż Wstęp do probabilistyki i statystyki. wykład 2 17

18 Wariacje z powtórzeniami Przykład: Rozważmy 3-elementowy zbiór Z={a,b,c} i wypiszmy wszystkie wariacje 2-wyrazowe z powtórzeniami: (a,a) (b,a) (c,a) (a,b) (b,b) (c,b) (a,c) (b,c) (c,c) Obliczyć liczbę tych ciągów 3x3=3 2 = 9 Wstęp do probabilistyki i statystyki. wykład 2 18

19 Liczba wariacji z powtórzeniami Liczbę wariacji k elementowych z powtórzeniami ze zbioru n elementowego można obliczyć ze wzoru: k W ( ) n = n k Wstęp do probabilistyki i statystyki. wykład 2 19

20 Liczba wariacji z powtórzeniami Liczbę wariacji k elementowych z powtórzeniami ze zbioru n elementowego można obliczyć ze wzoru: k W ( ) n = n k Zadanie: Wiele urządzeń elektronicznych wymaga od użytkownika wprowadzenia osobistego kodu złożonego z czterech cyfr. Oblicz, ile jest możliwych kodów. Rozwiązanie: Każdy kod to czteroelementowa wariacja z powtórzeniami ze zbioru dziesięciu cyfr {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} W (4) = Wstęp do probabilistyki i statystyki. wykład 2 20

21 Wariacje z powtórzeniami Gdy... z... przez... fika,... nad połyka. zbiór wyrazów: bocian, żuraw, pies, okno, pieczeń, rzeka, woda, żaba, kamień, nóż Ile można utworzyć wariacji z powtórzeniami wiersza? Wstęp do probabilistyki i statystyki. wykład 2 21

22 Permutacje Czternaście osób jadało codziennie obiady przy jednym stole. Wszyscy zajmowali zawsze te same miejsca. Pewnego dnia jeden z gości zaproponował, by miejsca zajmować za każdym razem inaczej, aż do wyczerpania wszystkich możliwych rozmieszczeń. Po obiedzie starszy pan, nauczyciel matematyki, zaprosił chłopaka na kawę. Więc pan chciałby przesadzać czternaście osób, co dzień w innej kolejności, aż do wyczerpania wszystkich możliwych kombinacji, czy tak? -Tak jest, proszę pana. - I co pan sądzi, jak długo będzie trwało, aż pan te wszystkie możliwe kombinacje wyczerpie? - No nie wiem... może nawet parę tygodni... ale musi być sprawiedliwość. - Owszem, musi być odrzekł fundator kawy i zaczął coś obliczać ołówkiem na marmurze stolika. Po paru minutach powiedział: - Ale będzie to, panie drogi, trwało niech pan słucha: dwieście trzydzieści osiem milionów, osiemset czterdzieści cztery tysiące sześćset trzydzieści trzy lata. Osłupiałem, myśląc, że mam do czynienia z wariatem Julian Tuwim Cicer cum caule czyli groch z kapustą, Czytelnik, Warszawa

23 Permutacje Permutacją bez powtórzeń zbioru złożonego z n różnych elementów nazywamy każdy ciąg złożony ze wszystkich wyrazów tego zbioru. Wszystkich możliwych permutacji zbioru n-elementowego jest P n = n! Przykład: Zbiór {a, b, c, d} (abcd) (acbd) (bacd) (bcad) (cabd) (cbad) (dabc) (dacb) (dbac) (dbca) (dcab) (dcba) (adbc) (adcb) (bdac) (bdca) (cdab) (cdba) (abdc) (acdb) (badc) (bcda) (cadb) (cbda) Liczba możliwych ustawień ciągu 4-wyrazowego wynosi Wstęp do probabilistyki i statystyki. wykład 2 4!= =24

24 Permutacje Gdy... z... przez... fika,... nad połyka. zbiór wyrazów: bocian, pies, okno, pieczeń, woda, żaba Wstęp do probabilistyki i statystyki. wykład 2 24

25 Permutacje z powtórzeniami Permutacje z powtórzeniami: Niech A oznacza zbiór złożony z k elementów A={a 1, a 2,a 3...a k }. Permutacją n-elementową, w której elementy a 1, a 2,a 3...a k powtarzają się odpowiednio n 1, n 2,n 3...n k razy, n 1, n 2,n 3...n k = n, jest każdy n-wyrazowy ciąg, w którym elementy a 1, a 2,a 3...a k powtarzają się podaną liczbę razy. Liczba takich permutacji z powtórzeniami wynosi Na przykład przestawiając litery w, a, n, n, a można otrzymać różnych napisów: wanna wnnaa nanaw awnan nwnaa anwan aawnn nanwa anawn aannw waann annaw naanw awnna nwana nawna nnwaa nnawa naawn nnaaw wnana ananw awann nwaan anwna nawan annwa aanwn annaw naanw 25

26 Permutacje z powtórzeniami Gdy... z... przez... fika,... nad połyka. zbiór wyrazów: okno, woda, żaba Gdy żaba z wodą przez żabę fika, Woda nad oknem żabę połyka. Gdy Woda z wodą przez żabę fika, Okno nad żabą żabę połyka. Wstęp do probabilistyki i statystyki. wykład 2 26

27 Permutacje z powtórzeniami Gdy... z... przez... fika,... nad połyka. zbiór wyrazów: okno, woda, żaba Gdy żaba z wodą przez żabę fika, Woda nad oknem żabę połyka Wstęp do probabilistyki i statystyki. wykład 2 27

28 Kombinacje Kombinacją k wyrazową ze zbioru n elementowego nazywamy każdy k wyrazowy podzbiór (brak uporządkowania) utworzony z elementów tego zbioru. Ilość (podzbiorów) kombinacji zależy od tego czy elementy podzbioru mogą się powtarzać czy nie. Istotny jest zatem sposób losowania: bez zwracania = bez powtórzeń; ze zwracaniem = z powtórzeniami Wstęp do probabilistyki i statystyki. wykład 2 28

29 Kombinacje bez powtórzeń Przykład: Rozważmy 3-elementowy zbiór Z={a,b,c} i wypiszmy wszystkie kombinacje 2-wyrazowe bez powtórzeń: Wstęp do probabilistyki i statystyki. wykład 2 29

30 Kombinacje bez powtórzeń Przykład: Rozważmy 3-elementowy zbiór Z={a,b,c} i wypiszmy wszystkie kombinacje 2-wyrazowe bez powtórzeń: {a,b} {a,c} {b,c} Obliczyć liczbę tych podzbiorów 6/2 = 3 Ogólnie: C ( k ) n = ( k Vn k! ) Wstęp do probabilistyki i statystyki. wykład 2 30

31 Liczba kombinacji bez powtórzeń Liczbę kombinacji k wyrazowych bez powtórzeń ze zbioru n elementowego można obliczyć ze wzoru: ( ) C k n = k n!!( n k)! Czyli: C ( k ) n n k Wstęp do probabilistyki i statystyki. wykład 2 31

32 Kombinacje z powtórzeniami Przykład: Rozważmy 3-elementowy zbiór Z={a,b,c} i wypiszmy wszystkie kombinacje 2-wyrazowe z powtórzeniami: {a,a} {a,b} {a,c} {b,b} {b,c} {c,c} Obliczyć liczbę tych podzbiorów 6 Ogólnie liczba kombinacji z powtórzeniami: ( k ) c n n k 1 k Wstęp do probabilistyki i statystyki. wykład 2 32

33 Podsumowanie metod obliczania liczby możliwych zdarzeń Elementy kombinatoryki Wariacje (ciągi) - istotna jest kolejność z powtórzeniami Kombinacje (podzbiory) kolejność nie jest istotna z powtórzeniami bez powtórzeń bez powtórzeń Wstęp do probabilistyki i statystyki. wykład 2 33

34 Kombinatoryka Wstęp do probabilistyki i statystyki. wykład 2 34