Zadania z wprowadzenia do matematyki wyższej

Logika Zadania z wprowadzenia do matematyki wyższej. Wyznacz zbiory A B, A B, A \ B i B \ A dla: a) A = {x N : x < 5} B = {x Z : 5 x}, b) A = {x R : x 5} B = {x R : 6 x < 0}.. Niech A i B będą dowolnymi niepustymi zbiorami i A B. Wyznacz zbiory: a)a B b)a B c)a d)a \ B e)a B A f)a B g)a B h)b \ A i)a A b)a A c)a d)a \ 3. Dane zbiory A i B zaznacz na osi liczbowej. Znajdź A B, A B, A \ B oraz przedstaw je w postaci przedziału lub sumy rozłącznych przedziałów: A = ( 3; 3) {7} 8; 5), B = ( 5; 0; 5) {7} (0; 0; + ). 4. Wyznacz zbiory A B, A B, A \ B, B \ A, A, B i przedstaw je graficznie, jeśli:. A = {(x, y) R : x + y } i B = {(x, y) R : x + y },. A = {n Z : n + n 56} i B = {x R : x x + 3}. 5. Niech A = {(x, y) R : x + x = y + y}, B = {(x, y) R : x + y }, C = {(x, y) R : x + y }. Zaznacz na płaszczyżnie zbiory A, B, C, A B, A B, A C, A C, B C, B C. 6. Oceń, czy poprawne są następujące rozumowania: Założenie: Jeśli pada deszcz, to jezdnia jest mokra. Jezdnia jest mokra. Wniosek: Pada deszcz. 7. W starożytnym Rzymie lud domagał się od cezarów chleba i igrzysk. Czy cezar powinien być zdziwiony gniewem ludu, gdyby były same igrzyska? Czy gdyby zawołanie ludu brzmiało chleba lub igrzysk, to cezar może uznać, że same igrzyska wystarczą? 8. Oceń, czy równoważne są zdania: a) Każdy uczeń w klasie ma ołówek i pióro. b) Każdy uczeń w klasie ma ołówek i każdy uczeń w klasie ma pióro. a) W klasie jest uczeń, który ma ołówek i pióro. b) W klasie jest uczeń, który ma ołówek i jest uczeń, który ma i pióro. a) Każdy uczeń w klasie ma ołówek lub pióro. b) W klasie każdy uczeń ma ołówek lub każdy ma pióro.

a)w klasie jest uczeń, który ma ołówek lub pióro. b) W klasie jest uczeń, który ma ołówek lub jest uczeń, który ma pióro. 9. Oceń, czy poprawne są uzasadnienia następujących faktów: Fakt: Nie każdy ssak żyje na lądzie. Uzasadnienie: Delfin jest ssakiem i żyje w morzu. Fakt: Nie istnieje liczba nieparzysta podzielna przez 4. Uzasadnienie: Liczby,3,5,7,9,,3,5 nie są podzielne przez 4. 0. Napisz zdania, które są zaprzeczeniem następujących zdań: a)p q b)p q c)p q d) xφ(x) e) xφ(x) f) x(φ(x) Ψ(x)) g) x(φ(x) Ψ(x)). Napisz zdania, które są zaprzeczeniem następujących zdań: a) x yψ(x, y) b) x yψ(x, y) c) x y(ψ(x, y) Φ(x, y)) d) x y(ψ(x, y) Φ(x, y)). Udowodnij, że następujące zdania są fałszywe: a) x R(x + x = ), b) x R(x + x > x > x + ). 3. Czy (i dlaczego) prawdziwe są następujące zdania: a) x R y R(x + y = 0), b) y R x R(x + y = 0), c) x R y R(xy = 0 x + y = 0), d) x R y R(xy = 0 x + y = 0), e) x R y R(xy < 0 x + y = 0). 4. Sprawdź, które z podanych wyrażeń są prawami logicznymi:. p (p q),. (p q) q, 3. ( p q) (p q). 5. Korzystając z praw de Morgana napisz zaprzeczenia zdań:. n N ε>0 q Q (q n < ε),. M>0 x,x R f(x ) f(x ) < M. Praca domowa z logiki:. Wyznacz zbiory A B, A B, A \ B i B \ A dla A = {, 5, 0,, 3, 5, 8, 0} i B = {x Z : x > 3}.. Dane zbiory A i B zaznacz na osi liczbowej. Znajdź A B, A B, A \ B oraz przedstaw je w postaci przedziału lub sumy rozłącznych przedziałów: A = ( ; 5) { } ( ; 3 5; + ), B = ( ; (; 6) 0; + ). 3. Napisz zdania, które są zaprzeczeniem poniższych zdań: a) x(φ(x) Ψ(x)) b) x(φ(x) Ψ(x)) c) x(φ(x) Ψ(x)).

4. Udowodnij, że następujące zdania są fałszywe: a) x R(x + x > 0) b) x R(x + x > x > 0). 5. Sprawdź, które z podanych wyrażeń są prawami logicznymi:. (p q) ( p q),. (p q) ( p q). Wyrażenia algebraiczne. Rozłóż poniższe wyrażenia na czynniki: a)9a b)( + x) (x + ) c)x + y + xy z. Rozłóż poniższe wyrażenia na czynniki: a)a 3 b 3 + ab(a b) b)0, 07a 6 8 5 b3 c)5(p + q) 6 000p 3 q 3 3. Rozłóż poniższe wyrażenia na czynniki: a)a 4 (b c) + b 4 (c a) + c 4 (a b) b)a 8 + a 4 + c)a 4 + 4 d)a (b c)+b (c a)+c (a b) e)(a+b+c)(ab+bc+ca) abc f)(a+b+c) 3 (a 3 +b 3 +c 3 ) 4. Uprość wyrażenie (3 n k ) (3 n + k ) (3 n+ k+ ). 5. Uprość wyrażenie: 3 a 3 ( a + + a + a 6. Uprość wyrażenia: a a a a + ). a) x x x+ + x(x ) x+ b) x x+x + +x +x+x +x +x+x x x+x 7. Uprość wyrażenie: a (a + b)(a + c) (a b)(a c) + b (b + c)(b + a) (b c)(b a) 8. Udowodnij, że x + y + z xy + xz + yz. 9. Udowodnij implikację : Jeżeli a + b = (a + b c), to a + (b c) b + (b c) = a c b c. 0. Obliczyć A = (a+c)(a+d)(b+c)(b+d) (a+b+c+d), jeśli ab = cd.. Obliczyć B = abcd( a + b + c + d ) ab+cd, jeśli a + b = c + d. + c (c + a)(c + b) (c a)(c b).. Udowodnić, że jeśli a + b = (a + b c), to a +(a c) b +(b c) = a c b c 3

3. Oblicz wartość wyrażenia ( dla a = b m +n mn 4. Oblicz sumę : [ (a + b ) + (a b ) (a + b ) (a b ) ), b > 0, n > m > 0. ] + + +... +. + 3 0 + 0 5. Udowodnij, że jeżeli a + b + c = 0, to a 3 + b 3 + c 3 = 3abc. 6. Udowodnić nierówność a 4 + b + c ab ac + bc. Praca domowa z wyrażeń algebraicznych:. Uprość wyrażenie: x 3 + y 3 (x + y)(x y ) + y x + y xy x y.. Uprość wyrażenie: + 3 +x + 3x 3 +x 3x +x + 3x 3 +x 3x 3. Uprość wyrażenia: a) (a+b+c)(bc a )+(a +b +c )(a b)+(a +b +c )(a c) bc a +b(a b)+c(a c), b) a+b ab 4 a+b a 4 b b +c b c ( b c ) a +c a c ( a ). c 4. Obliczyć C = ( a b c + b c a + c b c a b )( a + c a b + a b c ) ( a + b + c )3, jeśli a + b + c = 0. 5. Obliczyć D = (a 3 + b 3 + c 3 )( a + b + c )3, jeśli (a + b + c)(( a + b + c ) =. 6. Udowodnij, że jeżeli a + b + c = 0, to a 3 + a c abc + b c + b 3 = 0. 7. Udowodnić nierówności: a + b + ab + a + b. x 4 + y 4 + z + x(xy x + z + ). 8. Udowodnij, że jeżeli a + b, to a + b. 9. Udowodnij, że jeżeli b = a, to (a + b)(a + b )(a 4 + b 4 )(a 8 + b 8 )...(a 3 + b 3 ) = a 64 b 64. 4

Podzielność liczb, kongruencje. Udowodnij, że jeśli A)a b oraz b c to a c B)a b oraz c d to ac bc C)c 0 to a b wtedy i tylko wtedy gdy ac bc D)a b to a n b n. Udowodnij, że suma dwóch liczb jednakowej parzystości jest liczbą parzystą oraz suma lliczby parzystej i nieparzystej jest liczbą nieparzystą. 3. Udowodnij, że iloczyn trzech kolejnych liczb całkowitych jest podzielny przez 6. 4. Udowodnij, że dla każdej liczby całkowitej a, liczba a 3 a jest podzielna przez 3. 5. Ile jest liczb całkowitych dodatnich mniejszych od 000, takich, że 3 a i 5 a. 6. Udowodnij, że liczb pierwszych jest nieskończenie wiele. 7. Rozłóż na czynniki pierwsze 4498. 8. Znajdź N W D(5, 836). 9. Znajdź N W D(364, 585). 0. Znajdź NW D(4!, 4 8 ).. Znajdź NW W (75, 70).. Znajdź NW W (504, 6). 3. Znajdź NW W (, 8 8 ). 4. Niech a = 4 3 7 5 9, b = 6 3 5 5, c = 0 3 3 7. Obliczyć NW D(a, b, c) oraz NW W (a, b, c). 5. Która liczba jest większa: 8 8 0 czy 6 9? 6. Znajdź liczby naturalne a i b takie, że NW W (a, b) = 46 a NW D(a, b) = 4. 7. Udowodnij, że NWD(a, b) NWW(a, b) = a b. 8. Udowodnij, że jeśli n jest liczbą nieparzystą to liczba 7 n + jest podzielna przez 8. 9. Udowodnij, że iloczyn pięciu kolejnych liczb całkowitych jest podzielny przez 0. 0. Udowodnij, że dla dowolnej liczby naturalnej n liczba n 5 n dzieli się przez 30.. Jakie reszty może dawać sześcian liczby całkowitej przy dzieleniu przez 7?. Dowieść, że liczba naturalna o sumie cyfr równej 47 nie może być ani kwadratem, ani sześcianem liczby całkowitej. 3. Wykaż,że liczba 005005005987654 nie jest kwadratem liczby naturalnej. 4. W liczbie 300000?? wpisz w miejsce obu znaków zapytania takie cyfry (mogą być różne), aby otrzymać liczbę podzielną przez 7. Podaj wszystkie rozwiązania. 5

5. Podać trzy ostatnie cyfry liczby 3! 6. Udowodnij, że jeżeli x + 7 jest liczbą pierwszą, to x jest liczbą złożoną. 7. Określ dwie ostatnie cyfry liczby 999. 8. Udowodnij, że jeżeli p jest liczbą pierwszą większą od 3, to p dzieli się przez 4. 9. Udowodnij, że jeżeli p jest iloczynem pierwszych n liczb pierwszych, to ani p ani p + nie jest kwadratem liczby naturalnej. 30. Udowodnij, że liczba 0 6 jest podzielna przez 3. 3. Udowodnij, że liczba 0 8 + jest podzielna przez 7. 3. Udowodnij, że dla każdej liczby naturalnej n zachodzi 3 n. 33. Udowodnij, że suma kwadratów trzech liczb całkowitych nie może dać przy dzieleniu przez 8 reszty 7. 34. Czy suma cyfr liczby, która jest kwadratem liczby naturalnej może być równa 34534? 35. Liczby p i p + są liczbami pierwszymi. Udowodnij, że liczba 4p + jest złożona. 36. Rozwiąż następujące kongruencje: a) 3x 4( mod 7), b) x 37( mod ), 37. Udowodnij, że liczba 53 53 33 33 jest podzielna przez 0. 38. Wykaż, że jeżeli n jest liczbą całkowitą nieujemną, to liczba n+ + 3 n+ jest podzielna przez 7. Praca domowa z podzielności liczb i kongruencji:. Znajdź N W D(4, 558).. Znajdź NW W (4, 64). 3. Niech a = 4 3 7 6 9, b = 6 3 4 5, c = 0 3 3 0. Obliczyć NW D(a, b, c) oraz NW W (a, b, c). 4. Udowodnij, że jeśli n jest liczbą naturalną to liczba 7 n jest podzielna przez 6. 5. Udowodnij, że jeśli n jest liczbą nieparzystą to liczba n + jest podzielna przez 3. 6. Udowodnij, że kwadrat liczby niepodzielnej przez 3 daje przy dzieleniu przez 3 resztę. 7. Jakie reszty może dawać sześcian liczby całkowitej przy dzieleniu przez 9? 8. Wyznaczyć wszystkie liczby naturalne n >, dla których liczba n jest pierwsza. 9. Wyznaczyć wszystkie liczby pierwsze p, dla których liczba 3p+ jest pierwsza. 6

0. W liczbie 3?000000?5 wpisz w miejsce obu znaków zapytania taką samą cyfrę tak, aby otrzymać liczbę podzielną przez 75. Podaj wszystkie rozwiązania.. Określ dwie ostatnie cyfry liczby 06.. Udowodnij, że liczba 0 9 + jest podzielna przez 9. 3. Wyznacz dwie ostatnie cyfry liczby 99 99 5 5. 4. Udowodnij, że jeśli 3 n to 3 n 4 + n +. 5. Rozwiąż kongruencję: 0x 5( mod 35). Liczby wymierne i rzeczywiste. Przedstaw: w systemie dwójkowym liczbą 5 oraz w systemie dziesiętnym liczbę (0).. Zamień na ułamek dziesiętny 7. 3. Zamień 0,(67) na ułamek zwykły. 4. Załóży, że a i b są liczbami niewymiernymi. Czy niewymierne są również a+b, ab, a/b? 5. Czy istnieją liczby niewymierne a i b takie, że a b jest liczbą wymierną? 6. Wykaż, że jeżeli a, b, a + b są liczbami wymiernymi, to a, b też są liczbami wymiernymi. 7. Udowodnij, że nie jest liczbą wymierną. 8. Udowodnij, że + 3 nie jest liczbą wymierną. 9. Liczby a + b, b + c i c + a są wymierne. Czy możemy stąd wnioskować, że liczby a, b, c są wymierne? 0. Uporządkować następujące liczby w kolejności rosnącej: (5 37) 008, (6 37) 009, (7 73) 0, (9 73) 03.. Obliczyć podając wynik w postaci ułąmka zwykłego: a) 0, (4) + 3 3, 374(9), b) (0, (9) +, (09)), (), c) (0, (037)) 0,(3).. Oblicz wartość wyrażenia dla a = / i b = / 3. 3. Oblicz: 4 3 54 3 3 3 5 3 5 3 3 0 3 0 3 5 4 5 [a 3/ b(ab ) / (a ) /3 ] 3 7

8 3 6 5 3 8 0 3 (8/7) 3 (3/) (3/) 4. Usuń niewymierność z mianownika liczb: a) 3 4 c) 5 4 3 5. Uprość wyrażenie 5 + 6 + 6. b) + 3 5 5 d) + 3 3 + 3 9 6. Sprawdź, czy liczby: a) 6 4 + 6 + 4, b) 9 4 5 + 9 + 4 5 są liczbami wymiernymi. Oblicz je. 7. Wykaż, że dla dowolnej liczby naturalnej n liczba n jest liczbą naturalną lub niewymierną. 8. Czy pierwiastek trzeciego stopnia z liczby niewymiernej może być liczbą wymierną? Praca domowa z liczb wymiernych i niewymiernych:. Przedstaw: w systemie dwójkowym liczbą 55 oraz w systemie dziesiętnym liczbę (00).. Zamień na ułamek dziesiętny 7. 3. Zamień 0,(37) na ułamek zwykły. 4. Udowodnij, że 3 nie jest liczbą wymierną. 5. Liczby a + b, b + c i c + a są niewymierne. Czy możemy stąd wnioskować, że liczba a + b + c niewymierna? 6. Liczby a + b, b + c, c + d i d + a są wymierne. Czy możemy stąd wnioskować, że liczby a, b, c, d są wymierne? 7. Liczby a + b, b + c, c + d, d + e i e + a są wymierne. Czy możemy stąd wnioskować, że liczby a, b, c, d, e są wymierne? 3 8. Sprawdź, czy liczb: 3 0 4 + 0 + 4 jest liczbą wymierną. Oblicz ją. 9. Wykaż, że dla dowolnej liczby naturalnej n > 0 liczba n(n + ) jest liczbą niewymierną. 8

Indukcja matematyczna. Udowodnij przez indukcję następujące równości: a) + +... + n = n(n+) n b) i = n(n+)(n+) 6 c) e) f) i= n i= i(i + ) = n(n+)(n+) 3 n i i = + (n ) n+ i= n ( 4 (i ) ) = +n n i=. Udowodnij przez indukcję: a)7 3 n + 6 b) 4n + 5 c)7 n+ + 3 n+ 3. Udowodnij przez indukcję: d) 6n+ + 9 n+ e)6 0 n 4 a)3 n 3 + n b)6 n 3 + n 4. Udowodnij indukcyjnie nierówność Bernoulliego: ( + x) n + nx dla n N i x. 5. Udowodnij przez indukcję następujące nierówności: a) b) n i= n i= i n dla n > 7 i n 6. Udowodnij, że każdą liczbę naturalną n większą lub równą można przedstawić w postaci iloczynu liczb pierwszych. 7. Udowodnij, że obszary wyznaczone przez dowolną ilość prostych na płaszczyźnie można pokolorować co najwyżej dwoma kolorami tak, by żadne dwa obszary o tym samym kolorze nie miały wspólnego boku. 8. Udowodnij, że dla każdego n N n5 5 + n3 3 + 7n 5 9. Ile przekątnych ma n-kąt wypukły? jest liczbą naturalną. 0. Udowodnij, że n kwadratów można poprzecinać wzdłuż prostych w ten sposób, aby ze wszystkich otrzymanych kawałków można było ułożyć jeden kwadrat. Praca domowa z indukcji matematycznej:. Udowodnij przez indukcję następujące równości: a) b) n i= n i= i(i+) = n n+ (i )(i+) = n n+ 9

c) n ( (i+) ) = n+ n+ i=. Udowodnij przez indukcję: a)3 n + b)3 0 n + 4 n c)33 n+ + n 3. Udowodnij przez indukcję: a)6 n 3 + 3n + n b)30 n 5 n 4. Udowodnij przez indukcję n i= i n. 5. Na ile obszarów dzieli płaszczyznę n prostych, z których każde dwie się przecinają i żadne trzy nie przecinają się w jednym punkcie? Podstawowe własności funkcji. Na rysunku przedstawiono wykres funkcji f(x). Na podstawie wykresu podaj: a) dziedzinę i zbiór wartości funkcji f, b) wartość najmniejszą i największą funkcji f, c) zbiór wszystkich miejsc zerowych funkcji f, d) zbiór wszystkich argumentów, dla których funkcja f przyjmuje wartości dodatnie.. Wyznacz naturalną dziedzinę funkcji: x 5 7 x x 3 5 x a)f(x) = b)f(x) = x 6 x 4 x + x c)f(x) = d)f(x) = log 5x + 3 x + 3 3 x. 3. Podaj zbiór wartości funkcji f(x) = x na przedziale: a) [, 4), b) [, ), c) ( 3, ). 4. Na podstawie wykresu funkcji f(x) = x 4x + 5 narysuj wykres funkcji : a. f(x) +, b. f(x + ) 3, c. f(x) 3 +, d. f(x ). 5. Niech f(x) = x 4x + 5. Narysuj wykres funkcji g(x), jeśli a)g(x) = f(x) b)g(x) = f(x) + 4 c)g(x) = f(x + ) 3 d)g(x) = f(x) 3 + e)g(x) = f(x ) f)g(x) = f(x+) 3 6. Niech [ f(x) = x + ] x Naszkicuj wykres funkcji f oraz wykresy następujących funkcji: f(x), f( x ), f(x), f(x+ ), f(x), f( x 4 ), f(x ), f(x)+x. 4 7. Narysuj wykres funkcji f(x) = { x +, dla x, znajdź przeciwobrazy x +, dla x > zbiorów [, 3], (, 0], [, 0) i obrazy zbiorów [0, ], (, 3), R. Wyznacz liczbę rozwiązań równania f(x) = x + m w zależności od parametru m R. 0

8. Zbadaj, czy funkcja f(x) jest różnowartościowa dla a)f(x) = ax + b gdzie a 0, b)f(x) = 5 x + c)f(x) = x 3. 9. Wykaż, ze funkcja f(x) = 3 x jest rosnąca w zbiorze (, 0) i rosnąca w zbiorze (0, ), ale nie jest monotoniczna w zbiorze liczb rzeczywistych. 0. Wykaż, ze funkcja f(x) = x jest malejąca w zbiorze (, 0) i malejąca w zbiorze (0, ), ale nie jest monotoniczna w zbiorze liczb rzeczywistych.. Znaleźć funkcję odwrotną do funkcji f(x), x X, jeśli: a) X = {,, 3, 4, 5}, f() =, f() = 4, f(3) =, f(4) = 5, f(5) = 3 b) X = [, = ), f(x) = x c) X = (, ], f(x) = x +x. Niech f(x) = x+3 3x. Określ naturalną dziedzinę funkcji f. Wykaż, że jest to funkcja odwracalna i wyznacz funkcję odwrotną g(y) = f (y). Wyznacz dziedzinę funkcji g. 3. Zbadaj monotoniczność funkcji f(x) = x 3 + 6x +. 4. Zbadaj okresowość funkcji a. f(x) = A sin(ax) + B cos(ax), b. f(x) = sin x + sin x, c. f(x) = sin x. d. f(x) = sin(x ), e. f(x) = sin x + sin( x). 5. Udowodnij, że suma dwóch funkcji o okresach współmiernych i równych dziedzinach jest funkcją okresową. 6. Czy złożenie funkcji okresowej z dowolną funkcją jest funkcją okresową? Rozważ dwa przypadki kolejności złożenia. 7. Zbadaj parzystość funkcji: a)f(x) = x b)f(x) = x sgn(x) c)f(x) = π x π d)f(x) = log(x+ x + ). 8. Zbadaj nieparzystość funkcji: a)f(x) = x 3 + x b)f(x) = x c)f(x) = sgn(x) 9. Wykaż, że jeżeli f : R R, to istnieją funkcje g : R R, h : R R takie, że g jest funkcją parzystą, h jest funkcją nieparzystą oraz f(x) = g(x) + h(x). Praca domowa z podstawowych własności funkcji:. Na rysunku przedstawiono wykres funkcji f(x). Na podstawie wykresu podaj: a) dziedzinę i zbiór wartości funkcji f, b) wartość najmniejszą i największą funkcji f, c) zbiór wszystkich miejsc zerowych funkcji f, d) zbiór wszystkich argumentów, dla których funkcja f przyjmuje wartości dodatnie.. Naszkicuj wykres funkcji f zdefiniowanej wzorem:

a) f(x) = x, b) f(x) = x, c) f(x) = x, d) f(x) = x, e) f(x) = x, f) f(x) =. x 3. Wyznacz naturalną dziedzinę funkcji: a)f(x) = x x b)f(x) = 4. Podaj zbiór wartości funkcji f(x) = x 8 na przedziale: a) (0, ), b) (, 4], c) (, 3 ]. log 3 ( 3x x + ). 5. Zbadaj, czy funkcja f(x) = 3+x x+4 jest różnowartościowa. 6. Wykaż, ze funkcja f(x) = x jest rosnąca w zbiorze (, ) i rosnąca w zbiorze (, ), ale nie jest monotoniczna w zbiorze liczb rzeczywistych. 7. Wykaż, ze funkcja f(x) = 5 x jest malejąca w zbiorze (, ) i malejąca w zbiorze (, ), ale nie jest monotoniczna w zbiorze liczb rzeczywistych. 8. Znaleźć funkcję odwrotną do funkcji f(x), x X, jeśli: a) X = {, 4, 6, 8}, f() =, f(4) = 6, f(6) = 8, f(8) = 4 b) X = [, = ), f(x) = (x ) c) X = (, ], f(x) = x x +4 9. Zbadaj monotoniczność funkcji f(x) = x 3 + 3x 5. 0. Zbadaj okresowość funkcji. Zbadaj parzystość funkcji: a. f(x) = sin x, b. f(x) = sin x. a)f(x) = x + x+ x b)f(x) = sin(cos x) c)f(x) = log + sin x sin x.. Zbadaj nieparzystość funkcji: f(x) = x x +.

Funkcja liniowa. Napisz wzór funkcji liniowej, której wykres przechodzi przez punkty A = (3, 4) i B = ( 3, ).. Napisz wzór funkcji liniowej, której wykres przechodzi przez punkty A = ( 3, ) i B = (4, 6). 3. Napisz wzór funkcji liniowej, której wykres jest prostą równoległą do prostej będącej wykresem funkcji liniowej y = 6x + i przechodzi przez punkt A = ( 3, ). 4. Napisz wzór funkcji liniowej, której wykres jest prostą równoległą do prostej będącej wykresem funkcji liniowej y = x + 3 przechodzi przez punkt A = (, 4). 5. Napisz wzór funkcji liniowej, której wykres jest prostą prostopadłą do prostej będącej wykresem funkcji liniowej y = x + przechodzi przez punkt A = (4, ). 6. Napisz wzór funkcji liniowej, której wykres jest prostą prostopadłą do prostej będącej wykresem funkcji liniowej y = x + 5 przechodzi przez punkt A = (, ). 7. Napisz wzór funkcji liniowej f, jeżeli wiesz, że a)f(4) = 3 i f(x) > 0 x ( 5 ; + ) 8. Mamy dane funkcje liniowe b)f() = 5 i f(x) < 0 x (, 3 ) f(x) = (5m 5)x + m + 8 i g(x) = 5 x + 3m + a) Dla jakich wartości parametru m wykresy funkcji f(x) i g(x) są prostopadłe? b) Dla jakich wartości parametru m funkcja f(x) jest malejąca? 9. Rozwiąż podane równania i nierówności : a. (m + )x + 4 < (3 m)x. c. b. ax a x 3 x + 3. 4 m x m n x n m + n = mn m n. d. ax > 3. e. ax + 3 > x + a. 0. Oblicz 4 + 3 5 3

. Rozwiąż równanie x 7 = 5.. Rozwiąż równanie: x + x + 3 = 4. 3. Rozwiąż równanie: 4. Rozwiąż nierówność: x 3 3. x + x = 0. 5. Naszkicuj wykres funkcji f(x) = x x+4 i rozwiąż graficznie nierówność f(x) 0. 6. Wyznacz zbiór punktów na osi liczbowej, o następującej własności: suma odległości od punktów - i 3 jest większa od 5. 7. * Oblicz liczbę rozwiązań równania: x + + + = 3. 8. Rozwiąż równania a) Praca domowa z funkcji liniowej: [ ] x + 7 6 = 3x, 4 b) [ 3x ] = 5x + 6. 4. Napisz wzór funkcji liniowej, której wykres przechodzi przez punkty A = ( 3, ) i B = (4, 6).. Napisz wzór funkcji liniowej, której wykres jest prostą równoległą do prostej będącej wykresem funkcji liniowej y = x + 3 przechodzi przez punkt A = (, 4). 3. Napisz wzór funkcji liniowej, której wykres jest prostą prostopadłą do prostej będącej wykresem funkcji liniowej y = x + 5 przechodzi przez punkt A = (, ). 4. Mamy dane funkcje liniowe f(x) = (4m 6)x + m 7 i g(x) = 4 x + 4m a) Dla jakich wartości parametru m wykresy funkcji f(x) i g(x) są prostopadłe? b) Dla jakich wartości parametru m funkcja f(x) jest rosnąca? 5. Rozwiąż równanie: x 5 + x + = 5. 6. Rozwiąż nierówność: x 3. 7. Wyznacz zbiór punktów na osi liczbowej, o następującej własności: suma odległości od punktów - i jest mniejsza od 4. 4

8. Rozwiąż równanie [x + 3] = 3x 4. 9. Naszkicuj wykres funkcji f(x) = x x+3 i rozwiąż graficznie nierówność f(x) 0. Funkcja kwadratowa. Napisz wzór funkcji kwadratowej f, do której wykresu należą punkty A = (0, ), B = (, 3), C = (, ). Przedstaw w postaci iloczynowej i w postaci kanonicznej x 6x + 4 3. Znajdź miejsca zerowe i współrzędne wierzchołka paraboli y = f(x) Naszkicuj wykres funkcji y = f(x). Wyznacz przedziały monotoniczności funkcji f(x) i zbiór wartości. a)f(x) = 3x 7x + 0 b)f(x) = 4x + 5x + 6 4. Rozwiąż równania, wprowadzając pomocniczą niewiadomą a)x 4 + 7x 8 = 0 b)x 4 + 7x 8 = 0 c)x 4 + 5x 4 = 0 5. Rozwiąż nierówności: a) 5x + 4x + 0 b) 6x + 4x + 0. 6. Rozwiąż nierówności: a) x 6 7 x < 0 b)x 4 5 x 0 7. Oblicz najmniejszą i największą wartość funkcji f(x) = x +x w przedziale 3; 0. 8. Oblicz najmniejszą i największą wartość funkcji f(x) = x x 3 w przedziale 0; 4. 9. Rozwiąż równania: a) x + x + = b)x = x c) x 4 = 0. Rozwiąż nierówności: a) x + 5 > x b)x 6 x + 8 > 0 c) x x. Wyznacz liczbę miejsc zerowych funkcji w zależności od parametru m. f(x) = mx + mx. Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie x + (m + )x + m + = 0 ma dwa różne pierwiastki takie, że liczba leży pomiędzy nimi. 3. Liczbę 6 przedstaw w postaci sumy czterech liczb takich, że druga jest o większa od od pierwszej, trzecia jest o mniejsza od pierwszej tak, aby suma kwadratów tych liczb była najmniejsza. 5

4. Wyznacz liczbę rozwiązań równania w zależności od parametru k. (k + )x 4kx + 4k = 0 5. Dla jakich wartości parametru m równanie ma dwa różne pierwiastki dodatnie? x (m 3)x + m = 0 6. Dla jakich wartości parametru k równanie ma dwa różne pierwiastki ujemne? x + (k 3)x + k + 5 = 0 7. Dla jakich wartości parametru a równanie ma dwa pierwiastki różnych znaków? 8. Mamy równanie (a )x + (a 3)x + 5a 6 = 0 (m 5)x 4mx + m = 0. Dla jakich m równanie ma dokładnie jedno rozwiązanie? Oblicz ten pierwiastek. 9. Dla jakich m najmniejsza wartość funkcji jest liczbą dodatnią? f(x) = (3m 5)x (m )x + (3m 5) 4 0. Niech x, x będą pierwiastkami równania x bx + c = 0. Udowodnij, że x + x = b c.. Niech x, x będą pierwiastkami równania x ax + b = 0. Udowodnij, że jeśli x, x są pierwiastkami równania x cx + d = 0 to d = b oraz c b.. Dla jakiego m R równania (R ) x + mx + m + 7 = 0 oraz (R ) x + mx + m + 3 = 0 mają wspólny pierwiastek? 3. Dla jakich wartości m R dwa różne pierwiastki równania są większe od 3? 4. Pokaż, że pierwiastki x, x równania spełniają warunek : 3 5 x + x. x mx + m 7 = 0 x + 007x 007 = 0 5. Dla jakiego naturalnego k pierwiastki równania kx ( k)x + k = są wymierne? 6

6. Znaleźć trójmian kwadratowy, wiedząc, że suma jego pierwiastków wynosi 8, suma ich odwrotności wynosi 3, a wartość w zerze wynosi 4. 7. Wykaż, że jeżeli zachodzi związek mp = (n + q), to przynajmniej jedno z równań x + px + q = 0, x + mx + n = 0 ma rozwiązanie. Praca domowa z funkcji kwadratowej:. Napisz wzór funkcji kwadratowej f, do której wykresu należą punkty A = (0, ), B = (, ), C = (, 3).. Przedstaw w postaci iloczynowej i w postaci kanonicznej: 3x 7x + 4. 3. Znajdź miejsca zerowe i współrzędne wierzchołka paraboli y = f(x) Naszkicuj wykres funkcji y = f(x). Wyznacz przedziały monotoniczności funkcji f(x) i zbiór wartości. f(x) = x + 7x 5. 4. Rozwiąż równania, wprowadzając pomocniczą niewiadomą a) x 4 + 6x 7 = 0 b)x 4 + 7x 8 = 0 c)x 4 + 4x = 0 5. Rozwiąż nierówność: x + 3x 5 0. 6. Rozwiąż nierówność: 7 x 3+x. 7. Oblicz najmniejszą i największą wartość funkcji f(x) = x +x 6 w przedziale 3; 3. 8. Oblicz najmniejszą i największą wartość funkcji f(x) = x +5x+6 w przedziale ; 3. 9. Rozwiąż równania: a) x + x = x b)x + 3 = x c) x 3x + = 0. Rozwiąż nierówności: a) x + 4 > x b)x x + > 0 c) x x 4. Wyznacz liczbę miejsc zerowych funkcji w zależności od parametru m. f(x) = mx + mx. Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie x + (m )x + m = 0 ma dwa różne pierwiastki takie, że liczba 3 leży pomiędzy nimi. 3. Liczbę przedstaw w postaci sumy czterech liczb takich, że pierwsza jest o większa od od drugiej, czwarta jest o mniejsza od drugiej tak, aby suma kwadratów tych liczb była najmniejsza. 4. Wyznacz liczbę rozwiązań równania w zależności od parametru k. kx kx = 0 7

5. Dla jakich wartości parametru a równanie ma dwa różne rozwiązania dodatnie? 6. Mamy równanie (a )x (a + )x + (a + ) = 0 (m 5)x 4mx + m = 0. Dla jakich m równanie ma dwa różne rozwiązania dodatnie? 7. Udowodnij, że równanie (x a)(x b) + (x a)(x c) + (x b)(x c) = 0 ma dla dowolnych różnych a, b, c dwa różne pierwiastki rzeczywiste. 8. Rozwiązać równanie x + x sin(xy) + = 0. Wielomiany. Następujące wielomiany rozłożyć na czynniki nierozkładalne: a) (x + x + )(x + x + ) b) (x + 4x + 8) + 3x((x + 4x + 8) + x c) 8x 3 36x + 54x 7.. Wykonać dzielenie z resztą wielomianu P (x) przez wielomian Q(x): a) P (x) = x 4 3x 3 + 4x 5x + 6, Q(x) = x 3x + b) P (x) = x 3 3x x, Q(x) = 3x x + c) P (x) = x 4 x 3 + 4x 6x + 8, Q(x) = x d) P (x) = x 5 5x 3 8x, Q(x) = x + 3 3. Wykazać, że x 0 jest pierwiastkiem wielomianu W (x) dla: a) W (x) = x 4 3x 3 + 4x 3, x 0 = b) W (x) = x 3 + 3x x, x 0 = 4. Wykazać, że x 0 jest podwójnym pierwiastkiem wielomianu W (x) dla: a) W (x) = x 3 5x + 7x 3, x 0 = 5. Wykazać, że x 0 jest potrójnym pierwiastkiem wielomianu W (x) dla: a) W (x) = x 5 7x 3 + x 6x +, x 0 = b) W (x) = x 5 + 4x 4 + 3x 3 + 5x + X + 7, x 0 = 6. Nie wykonując dzielenia, oblicz resztę z dzielenia wielomianu W przez wielomian V : a) W (x) = x 3 + 5x 7x + 9, V (x) = x b) W (x) = x 5 + 3x 3 x + x, V (x) = x + 7. Nie wykonując dzielenia, wykaż, że W jest podzielny przez V : a) W (x) = x 3 + x 3x + 0, V (x) = x 3x + b) W (x) = x 3 + 0x x 0, V (x) = x 8. Które z wielomianów x 30, x 30 +, x 60, x 60 + są podzielne przez wielomian: 8

a) x 5 +, b) x 5, a) x 6 +, a) x 6, 9. Oblicz resztę R z dzielenia wielomianu W przez (x )(x ), jeżeli wiesz, że W () =, W () = 0. 0. Oblicz resztę R z dzielenia wielomianu W przez x 4, jeżeli wiesz, że W ( ) = 0, W () = 3.. Reszta z dzielenia wielomianu W przez (x + 4) jest równa 4, a przez (x ) jest równa -. Oblicz resztę z dzielenia wielomianu W przez x + x 8.. Reszta z dzielenia wielomianu W przez (x + 3) jest równa 0, a przez (x + ) jest równa 4. Oblicz resztę z dzielenia wielomianu W przez x + 5x + 6. 3. Oblicz resztę z dzielenia wielomianu x 9876543 + x + x + 3 przez x. 4. Rozwiązać równania: a) x 3 + x 4x = 0 b) 3x 5 9x 4 + 9x 3 + 7x 84x + 0 = 0 c) x 4 + 4x 3 7x 3x 6 = 0 5. Rozwiązać nierówności: a) (x )(x )(x 3) > 0 b) (x 9)(x 5x + 4) < 0 c) x 3 + x 3x + 0 0 d) x 4 + x 3 x < 0 e) x 6 x 5 x 4 3x 3 x + x + 0 f) x 3 x x 7 + x 6 < 0 6. Wyznaczyć wszystkie wartości parametru m, dla których równanie x 3 3x x 3m = 0 ma trzy rozwiązania takie, że jedno z nich jest średnią arytmetyczną dwóch pozostałych. 7. Znajdź wartości parametru a, dla których równanie ax 4 x + ma cztery pierwiastki. 8. Znajdź sumę współczynników wielomianu (4x x ) 0. 9. Czy istnieje wielomian W (x) o współczynnikach całkowitych taki, że W (7) = 4 i W () = 9? 0. Znaleźć wszystkie wielomiany W (x) takie, że (x 3)W (x) = xw (x ).. Wielomian x 6 + ax 3 + bx + cx + d ma wszystkie pierwiastki rzeczywiste. Udowodnij, że wtedy a = b = c = d = 0.. Wyznacz wielomian o współczynnikach całkowitych, którego jednym z pierwiastków jest liczba: a.3 + 3, b. 3 +. 9

3. Wielomian o współczynnikach wymiernych stopnia dla wszystkich argumentów całkowitych przyjmuje wartości całkowite. Czy musi mieć współczynniki całkowite? (To samo dla wielomianu stopnia 3.) 4. Czy istnieje wielomian W (x) o współczynnikach całkowitych taki, że W (3) = 3 i W ( 3) =? 5. Wielomian W (x) o całkowitych współczynnikach przyjmuje dla 4 różnych wartości całkowitych wartość 7. Udowodnij, że dla żadnej wartości całkowitej nie przyjmuje wartości 4. Praca domowa z wielomianów:. Następujące wielomiany rozłożyć na czynniki nierozkładalne: a) x 3 6x x + 30 b) x 4 + 4x 3 + x 4x + c) x 4 +.. Wykonać dzielenie z resztą wielomianu P (x) przez wielomian Q(x): a) P (X) = x 5 4x 4 x x + 5, Q(x) = x 9 b) P (X) = x 5 + x 3 + x x +, Q(x) = x 3 x + 3. Wykazać, że x 0 = jest pierwiastkiem wielomianu W (x)x 4 x 3 +x +x 3. 4. Wykazać, że x 0 = jest podwójnym pierwiastkiem wielomianu W (x)x 3 + 7x + x + 5. 5. Wykazać, że x 0 = jest potrójnym pierwiastkiem wielomianu W (x) = x 5 6x 4 7x 3 + 06x 8x + 5. 6. Nie wykonując dzielenia, oblicz resztę z dzielenia wielomianu W (x) = x 4 + 3x 3 7x + 0 przez wielomian V (x) = x + : 7. Nie wykonując dzielenia, wykaż, że W (x) = x 4 +x 3 7x x+6 jest podzielny przez V (x) = x x. 8. Oblicz resztę R z dzielenia wielomianu W przez x x, jeżeli wiesz, że W ( ) =, W () = 3. 9. Reszta z dzielenia wielomianu W przez (x + ) jest równa, a przez (x 3) jest równa 6. Oblicz resztę z dzielenia wielomianu W przez x x 6. 0. Rozwiązać równanie x 4 + 4x 3 7x 3x 6 = 0.. Rozwiązać nierówności: a) x 4 + x 3 x < 0 b) x 3 x x 7 + x 6 < 0. Wyznaczyć wszystkie wartości parametru m, dla których równanie 3x 3 +(m 9)x 8x = 0 ma trzy rozwiązania takie, że jedno z nich jest średnią arytmetyczną dwóch pozostałych. 3. Wyznacz wielomian o współczynnikach całkowitych, którego jednym z pierwiastków jest liczba: 3 7. 0

4. Wielomian stopnia dwa o współczynnikach całkowitych przyjmuje dla każdej liczby całkowitej wartość całkowitą podzielną przez 5. Czy jego współczynniki muszą być podzielne przez 5? 5. Określ wyraz wolny wielomianu W (x) = ((...((x ) )...) ). Ciągi. Cztery różne liczby tworzą ciąg geometryczny. Znajdź iloraz tego ciągu wiedząc, że suma drugiego i czwartego wyrazu jest 3 razy większa od sumy pierwszego i trzeciego wyrazu ciągu.. Trzy liczby tworzą ciąg geometryczny. Jeśli pierwszą liczbę pozostawimy bez zmiany, do drugiej dodamy, a od trzeciej odejmiemy to otrzymamy kolejne wyrazy ciągu arytmetycznego o sumie równej. Znajdź te liczby. 3. Znajdź iloraz ciągu geometrycznego nieskończonego, w którym a =, zaś suma wyrazów jest 3 razy mniejsza od sumy kwadratów tych wyrazów. 4. Trzy liczby tworzą ciąg arytmetyczny. Jeśli od pierwszej liczby odejmiemy, do drugiej dodamy, a do trzeciej 7 - to otrzymamy kolejne wyrazy ciągu geometrycznego. Znajdź te liczby. 5. Dla których liczb naturalnych n 3 istnieje ciąg arytmetyczny n wyrazowy o sumie n i jednym z wyrazów równym n? 6. Znajdź sumę wszystkich liczb dwucyfrowych dających przy dzieleniu przez 7 resztę 4. 7. Znajdź sumę wszystkich liczb dwucyfrowych dających przy dzieleniu przez 5 resztę lub 3. 8. Zamień ułamek okresowy 0, (7) na zwykły. 9. Zamień ułamek okresowy 0, 3(3) na zwykły. 0. Rozwiąż równanie + 5 + 8 +... + x = 57 w którym lewa strona jest sumą kolejnych wyrazów ciągu arytmetycznego.. Rozwiąż równanie przyjmując, że lewa strona jest sumą pewnej liczby kolejnych wyrazów ciągu arytmetycznego + 7 + 3 +... + x = 76. Rozwiąż równanie przyjmując, że lewa strona jest sumą pewnej liczby kolejnych wyrazów ciągu arytmetycznego + 5 + 9 +... + x = 87 3. Rozwiąż równanie x + + x +... = 5x + 3, 4 w którym lewa strona jest sumą nieskończonego zbieżnego szeregu geometrycznego.

4. Rozwiąż równanie x + 4 x 8 x 3 +... = 6 x + 5, w którym lewa strona jest sumą nieskończonego zbieżnego szeregu geometrycznego. 5. Rozwiąż równanie x 3 + (x 3)x 5 + (x 3)x 5 +... = 5(x ), w którym lewa strona jest sumą nieskończonego zbieżnego szeregu geometrycznego. 6. Wykazać, że jeśli a, b, c, d tworzą ciag geometryczny, to (i) (a + b + c)(a b + c) = a + b + c, (ii) (a + b + c )(b + c + d ) = (ab + bc + cd). 7. Wykazać, że w każdym ciągu geometrycznym {b n } prawdziwe są równości:. (b + b + b 3 )(b 7 + b 8 + b 9 ) = (b 4 + b 5 + b 6 ) ;. b + b 4 + b 6 +... + b m = q +q S m; 8. Obliczyć sumy:. (x + x ) + (x + x ) +... + (x n + x ) ; n. (a + b) + (a + ab + b ) +... + (a n + a n b +... + ab n + b n ); 3. + + +... +... }{{} ; n 9. Zbadaj monotoniczność ciągu (a n ). Znajdź ograniczenia tego ciągu. a)a n = 3n + 4n d)a n = 3 n n + 6 b)a n = 7 n n e)a n = n 7 3n 5 c)a n = 4n + 7 6n 0. Wykaż, że podane ciągi są ograniczone i zbadaj ich monotoniczność: a)a n = n + 3n 5 n b)a n = ( )n n + 9 c)a n = 3 5 n. Zbadać monotoniczność i ograniczoność ciągu.a n = 3 n + 3 n;. a n = an n!, a ; 3. a n = n+a n+b, b 0; 4. a n = n a, a > ; 5. a n n = + q + q +... + q n, 0 q < ; 6. a n = n +n+7 n +n+8 ; 7. a n = log log (3n 8n + 9).. Ciąg (a n ) jest określony rekurencyjnie: a =, a n+ = a n + dla n N. Udowodnij, korzystając z indukcji matematycznej, że a n = n.

3. Wykazać, iż ciąg a n = 3 ( ) n + 5 n spełnia równanie rekurencyjne a = 7, a = 3, a n+ = a n+ + a n. 4. Ciąg (a n ) jest określony rekurencyjnie: a =, a n+ = a n + n dla n N. Udowodnij, korzystając z indukcji matematycznej, że a n = n. 5. Załóżmy, że F =, F = oraz F n+ = F n + F n+. Udowodnij, że wyrazem ogólnym jest: F n = [( + 5 ) n ( 5 ) n ]. 5 Praca domowa z ciągów:. Trzy liczby, których suma równa się 93, tworzą ciąg geometryczny. Znajdź te liczby wiedząc, że są one pierwszym, drugim i siódmym wyrazem ciągu arytmetycznego.. Trzy liczby tworzą ciąg arytmetyczny. Jeżeli do pierwszej liczby dodamy 3 a pozostałe pozostawimy bez zmian, to otrzymamy trzy kolejne wyrazy ciągu geometrycznego, których suma wynosi. Znajdź wyrazy ciągu arytmetycznego. 3. Z pięciu liczb pierwsze trzy tworzą ciąg geometryczny, zaś cztery ostatnie ciąg arytmetyczny. Suma czterech ostatnich wynosi 0, a iloczyn drugiej i piątej wynosi 6. Znajdź te liczby. 4. Znajdź sumę wszystkich liczb mniejszych od 300 dających przy dzieleniu przez 4 resztę. 5. Zamień ułamek okresowy 0, 67(4) na zwykły. 6. Rozwiąż równanie przyjmując, że lewa strona jest sumą pewnej liczby kolejnych wyrazów ciągu arytmetycznego + 6 + +... + x = 86 7. Rozwiąż równanie przyjmując, że lewa strona jest sumą pewnej liczby kolejnych wyrazów ciągu arytmetycznego + 7 + 3 +... + x = 5 8. Rozwiąż równanie x + x + x +... = (8x 5), w którym lewa strona jest sumą nieskończonego szeregu geometrycznego. 9. Rozwiąż równanie x x ( x) 4( x) + x + x 3 +... = x 3, w którym lewa strona jest sumą nieskończonego zbieżnego szeregu geometrycznego. 3

0. Wykazać, że jeśli a, b, c, d tworzą ciag geometryczny, to (a c) + (b c) + (b d) = (a d).. Wykazać, że w każdym ciągu geometrycznym {b n } prawdziwe są równości:. b + b +... + b m = Sm b b m ;. S n (S 3n S n ) = (S n S n ).. Obliczyć sumę: 7 + 77 + 777 +... + }{{} 7...7. n 3. Zbadaj monotoniczność ciągu (a n ). Znajdź ograniczenia tego ciągu. a)a n = 3 n n + 6 4. Ciąg (a n ) jest określony rekurencyjnie: b)a n = n 7 3n 5 a =, a n+ = a n + n + dla n N. Udowodnij, korzystając z indukcji matematycznej, że a n = n. 5. Ciąg (a n ) jest określony rekurencyjnie: a = 3, a n+ = a n + (n + )(n + 3) dla n N. Udowodnij, korzystając z indukcji matematycznej, że a n = Funkcje trygonometryczne. Udowodnij poniższe tożsamości trygonometryczne: a) cos x sin x cos x = tg x ctg x, b) sin x sin x sin x + sin x = x tg, c) sin 6 x + cos 6 x + 3 sin x cos x =. Udowodnij poniższe tożsamości trygonometryczne: a) sin (3π α) cos (5π + α) = 4 4 sin(5 π 8α) n n+. b) (sin 4α tg( 7π + 4α)) + tg(5π + α) = ctg α c) cos α + sin α + cos 3α + sin 3α = cos α sin( π 4 + α) d) tg α + tg β tg(α + β) + tg α tg β tg(α β) + tg α = cos α e) sin 4x + ctg( 3 π x) cos 4x = 0 4 f) sin 9x + sin 0x + sin x + sin x = 4 cos x 3. Rozwiąż poniższe równania: sin x cos x 3 a) sin x = 0 b) sin x = c) cos 3x = d) tg x = e) sin x + cos x + = 0 f) cos x = cos x 3 4 g) tg x + ctg x = 4 sin x h) sin x cos x = 0 i) sin x+sin x cos x+3 cos x = 3 j) sin 3x+sin 7x = 0 4

4. Rozwiąż poniższe równania: a) tg x = + cos 4x b) sin x + sin π = sin(x + π ) c) +tg x ctg x +ctg x tg x = 0 d) sin 7x+sin 9x = (cos ( π 4 x) cos ( π 4 +x)) e) ctg x sin x = sin x f) 4 ctg x + ctg x + sin x + = 0 5. Rozwiąż poniższe nierówności w przedziale x < 0; π > a) sin x 3 b) sin x cos x < c) sin x 4 sin x + 3 0. 6. Rozwiąż poniższe nierówności w przedziale x < 0; π > a) sin x + sin(π 8x) > cos 3x b) cos x 5 sin x 3 0 c) sin 3x > 3 cos 3x d) sin 3x + sin x 4 sin 3 x e) sin x cos x < f) 7. Rozwiąż poniższe nierówności trygonometryczne: a) 8. Udowodnić: cos x + cos x cos x Jeśli x ( 0, π ) to cos x + cos x cos x sin x > b) sin 3 x cos x cos 3 x sin x < 4 c) sin x + cos x <. i) sin x cos x <, ii) sin x + cos x <, iii) tg x + ctg x >. Jeśli x, y ( 0, π ) to sin(x + y) < min{sin x + sin y, cos x + cos y}. Jeśli x, y, z, x + y + z ( 0, π ) to sin(x + y + z) < sin x + sin y + sin z. a) cos π 5 cos π 5 = 4, b) cos π 7 cos π 7 cos 4π 7 = 8. Jeżeli cos x + cos y = oraz sinx + siny = a, to a 3. 9. Wyznaczyć sin(x + y) i cos(x + y) jeśli sin x + sin y = a, cos x + cos y = b. 0. Oblicz sumę S = sin x + sin x +... + sin nx. Praca domowa z funkcji trygonometrycznych:. Udowodnij poniższe tożsamości trygonometryczne: a) (sin x) + (tg x) = ctg x b) tg x + ctg x + tg 3x + ctg 3x = 8 cos x sin 6x sin( π c) + 3α) sin(3α π) = ctg(5 4 π + 3 α) d) sin α( + tg α tg α) + + sin α sin α = tg α + tg ( π 4 + α ) 5

. Rozwiąż poniższe równania: a) cos x+cos 3x+cos 4x = 0 b) sin x sin 7x = sin 3x sin 5x c) sin 4 x+cos 4 x = 5 8 3. Rozwiąż poniższe równania: a) sin x 4 sin x sin x + 4 sin x 4 + = tg x b) sin x sin 6x cos x cos 6x = sin 3x cos 8x c) sin x cos x cos x cos 8x = sin x 4 4. Rozwiąż poniższe nierówności w przedziale x < 0; π > a) + tg x ctg x + ctg x + tg x > 0 b) tg 3t tg t 4 sin t = 0 c) sin( π +x) ctg 3x+sin(π+x) cos 5x 0 d) cos t sin t = 8 3 5. Rozwiąż nierówność trygonometryczne: sin x sin x. 6. Oblicz sumę S = cos x + cos x +... + cos nx. Funkcje wykładnicze i logarytmiczne. Uporządkuj rosnąco liczby:, 3, 0,, 4,,,4. Naszkicuj wykres funkcji: f(x) = x f(x) = x +5 f(x) = 3 x+4 f(x) = x +7 f(x) = x f(x) = x f(x) = x 3 f(x) = x 3. Rozwiąż równania: a) x+3 = 4 x b)(0, 5) x 4 = 6 5x 4 c)( 3) 3x 5 = (0, 5) x 7 d)(0, (3)) x 7 = 7 3x 7 e)( 7 4) 3x+8 = (4+ 7) x+9 f)6 3x 7 = 5 36 x 4. Rozwiąż poniższe nierówności: g)(0, 5) x = 04 x+5 h)9 x+ 3(79) x+ = 0 a)8 x < 4 x b)( )x+ ( ) x c) 5 8 3x > 4 x d) x < (0, 5) 3x e)8( 8) x 3 > ( ) x+ 8 5. Znajdź wszystkie wartości parametru m, dla których równanie nie ma rozwiązań rzeczywistych. 9 x + m 3 x m + = 0 6. Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie ma dokładnie jedno rozwiązanie. 6 x + 4 x + m = 0 6

7. Wyznacz wartość sumy x + x, jeśli 4 x + 4 x = 3. 8. Uporządkuj od najmniejszej do największej liczby: a = log 7 5, b = log 5, c = log 7, d = log 7 5, e = log 5 9. Oblicz wartość wyrażenia: a) 5 log 6 5 + 49 log 8 7 b) 36 log 6 5 + 0 log 3 log 9 36 c) (7 log 3 + 5 log 5 49 )(8 log 4 9 8 log 4 9 ) log 3 + 5 6 5 5 log 5 3 0. Czy podane liczby tworzą (w podanej kolejności) ciąg arytmetyczny trójwyrazowy: a) log 7 4, log 7 6, log 7 9, b) log 7 5 log 7 0, log 7 4?. Dowieść, że liczba log 3 jest niewymierna.. Wyznacz dziedzinę poniższych funkcji: a)f(x) = log 3x+ (x ) b)f(x) = 4 log 9 x (x + 7x 8) 3. Naszkicuj wykres funkcji f(x) dla : a)f(x) = log 3 (x ) b)f(x) = log 3 x c)f(x) = log 3 (x + ) 4. Podaj wzór określający funkcję odwrotną do funkcji f(x) dla: a)f(x) = log x b)f(x) = log (x+) c)f(x) = log 0,5 (4x) d)f(x) = log 0 x 5. Rozwiąż poniższe równania: a) log (x+) = 3 b) log (x+)+log (x+4) = 6 c) log (x+)+log x = d) log (x+3)+log x (x ) = log 5 e)(log 5 x) + log 5 5x = 0 f)x log x = 0 6. Rozwiąż poniższe nierówności: 5 a) log (x 3) < b) log π 0x > log π 8 c) log 3 (x ) < log 3 (x ) d) log 0,5 3x + x + < 3 e) log 5(x ) < log 5 ( 3 x ) f)3 log 3 x log 4 x > 7. Wykaż, że jeżeli a > 0, b > 0 oraz a + b = 7ab, to log a + b 3 = (log a + log b) 8. Zakładając, że log = a oraz log 7 = b oblicz log 56. 7

Praca domowa z funkcji wykładniczych i logarytmicznych:. Uporządkuj rosnąco liczby: 5 3, (0, ), ( 5 ), 5 3 3, 5 5 5. Rozwiąż poniższe równania i nierówności: a) 3 3 x + x ( 3 ) + x+x (+ x) = 8 b)3 5 x 5 x = 0, c)8 x 3x+3 x + > 0 d)5 x + x 5 x + x+ = 0 3. Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie nie ma rozwiąń rzeczywistych. 4. Oblicz wartość wyrażenia: 9 x + 3 x + m = 0 a) 4 +log 7 b) log 3 log 5 9, c) log 6 + log 36 9 4 8 log 5 9 + 3 d) log (log ) e) 409 3 log 3 6 (( log 7) 5 7 5 log 5 6 ) 5. Czy podane liczby tworzą (w podanej kolejności) ciąg arytmetyczny trójwyrazowy: a) log 7, log 7 3, log 7 5, b) log 7 log 7 4, log 7 6? 6. Dowieść, że liczba log 8 jest niewymierna. 7. Czy liczba log ( + ) jest wymierna czy niewymierna? 8. Wyznacz dziedzinę funkcji: f(x) = log 3 x + log3 4 x. 9. Rozwiąż poniższe równania i nierówności: a) log 3 (3 x 8) = x b)7 log x 5 log x+ = 3 5 log x log x 3 7 log x c) log x 7 3 log 7 x < d) log(6x 5) e) log 4 x + log(6 x) = f) log x log 4 = log(5 x ) g) log (9 x ) 3 x > h) log 4x+ 7 + log 9x 7 = 0. 0. Udowodnij, że dla dowolnych dodatnich liczb rzeczywistych a, b i c takich, że a, b, c oraz a b zachodzi poniższa równość log a c log b c log a c + log b c = log ab c. 8

Kombinatoryka. W grupie 35 osób 0 zna angielski, - francuski, 6 - niemiecki. Oblicz ile osób nie włada żadnym spośród tych trzech języków wiedząc, że język angielski i francuski naraz zna 6 osób, angielski i niemiecki 7 osób, francuski i niemiecki 5 osób, zaś osoby znają wszystkie trzy języki.. W grupie 50 studentów 30 uczy się języka francuskiego, 0 - niemieckiego, 5 - angielskiego. studentów uczy się jednocześnie francuskiego i angielskiego, 3 - niemieckiego i angielskiego, - niemieckiego i francuskiego, a - wszystkich trzech języków. Oblicz prawdopodobieństwo, że wybrany losowo student z grupy: a) uczy się dokładnie dwóch języków, b) uczy się co najmniej dwóch języków. 3. Dane są zbiory A = {,, 3, 4, 5} i B = {0,, 4, 6, 8} Oblicz ile jest a) wszystkich funkcji ze zbioru A w B, b)wszystkich funkcji rosnących ze zbioru A w B, c) wszystkich funkcji różnowartościowych ze zbioru A w B. 4. Dany jest zbiór A = {,, 3, 4, 5, 6, 7}. Podaj liczbę wszystkich a)permutacji zbioru A, b) dwuwyrazowych wariacji z powtórzeniami ze zbioru A, c) trójelementowych kombinacji d) czterowyrazowych wariacji bez powtórzeń. 5. Ile jest liczb trzycyfrowych, w których zapisie nie występuje 0? 6. Ile jest liczb a) 5-cyfrowych, b) parzystych 5-cyfrowych, c)5-cyfrowych zawierających dokładnie jedną trójkę, d) 5-cyfrowych takich, że niezależnie od kierunku czytania przedstawiają tę samą liczbę? 7. Ile jest liczb nieparzystych, trzycyfrowych, większych od 33? 8. Na ile sposobów można ustawić w kolejce 6 osób? 9. Na ile sposobów można ustawić w kolejce 5 dziewcząt i 6 chłopców przy założeniu, że dziewczęta stoją przed chłopcami? 0. Na podłużnej ławie ma usiąść rzędem 6 kobiet i 6 mężczyzn, na przemian. Na ile sposobów mogą to zrobić?. Na ile sposobów można posadzić 0 chłopców i 7 dziewcząt na jednej podłużnej ławce, w ten sposób, aby żadne dwie dziewczyny nie siedziały obok siebie?. Mały Jaś ma pięć par butów. Wkładając buty kieruje się dwiema zasadami: a) nigdy nie wkłada lewego buta na lewą noge, ani prawego na prawą; b) nigdy nie wkłada dwóch butów z tej samej pary. Na ile sposobów może włożyć buty na obie nogi? 3. Na ile sposobów możemy utworzyć niepusty podzbiór, mając do dyspozycji pięć identycznych jabłek i osiem identycznych brzoskwiń? 4. Na ile sposobów można na zwykłej szachownicy ustawić 8 czarnych wież tak, aby żadne dwie się nie biły? 5. Na ile sposobów można ustawić dwa króle na szachownicy o wymarach m na n tak, aby nie stały na sąsiednich polach? 6. Na ile sposobów można podzielić 0 przedmiotów pomiędzy dwie osoby tak, aby każda dostała co najmniej jeden? 7. Znajdź liczbę przekątnych w sześciokącie wypukłym. 9

8. Na ile sposobów można wybrać z talii 5 kart 6 tak, aby były wśród nich: a) asy, króle i damy, b) 3 piki i 3 kiery? 9. Na ile sposobów można wybrać kolejno dwie karty z talii 5 kart tak, aby: a) pierwszą kartą był as, a drugą nie była dama, b) pierwsza karta byłą kolokru karo, a druga nie była damą? 0. Iloma sposobami można zbiór n elementowy podzielić na dwa zbiory?. Urna zawiara jedną kulę oznaczoną numerem, dwie kule oznaczone numerem,..., n kul oznaczonych numerem n. Na ile sposobów można wyciągnąć z tej urny, bez zwracania, dwie kule oznaczone takim samym numerem?. Udowodnić, że dla n, k N i k n zachodzi ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n n n n n a) + +... + = n b)k = n 0 n k k 3. Udowodnić, że dla n, k N i k n zachodzi a) n ( ) n k = n n b) k k= n ( ) n k(k ) = n(n ) n k k= 30