Matematyka dyskretna 1. Relacje Definicja 1.1 Relacją dwuargumentową nazywamy podzbiór produktu kartezjańskiego X Y, którego elementami są pary uporządkowane (x, y), takie, że x X i y Y. Uwaga 1.1 Jeśli R jest relacją w zbiorze X X, to mówimy, że R jest relacją w zbiorze X. Rozważmy relację R X X. Relację R nazywamy: zwrotną, gdy: symetryczną, gdy: słabo antysymetryczną, gdy: antyzwrotną, gdy: antysymetryczną, gdy: przechodnią, gdy: spójną, gdy: x,y,z X (x, x) R (x, y) R (y, x) R (x, x) / R ((x, y) R (y, x) R) x = y) (x, y) R (y, x) / R ((x, y) R (y, z) R) (x, z) R) (x, y) R (y, x) R Niech X = {x 1,..., x n } oraz R X X. Wówczas relacji R możemy przyporządkować macierz n n zdefiniowaną w następujący sposób: M R = [r ij ], gdzie r ij = { 0, gdy (xi, x j ) / R 1, gdy (x i, x j ) R Niech R, S będą relacjami w zbiorze X X. Wówczas sumą relacji R, S jest zbiór R S, iloczynem (przekrójem) relacji R, S jest zbiór R S. Dopełnieniem relacji R jest zbiór X \ R. Relacją odwrotną do relacji R określamy zbiór: R 1 = {(x, y) X X: (y, x) R} Uwaga 1.2 Relacja R X X jest symetryczna, wtedy i tylko wtedy, gdy R = R 1. Lemat 1.1 Jeżeli (R t ) t T jest rodziną relacji przechodnich w zbiorze X, to przekrój wszystkich relacji z tej rodziny też jest relacją przechodnią. Definicja 1.2 Przechodnim domknięciem relacji R w zbiorze X nazywamy przekrój wszystkich relacji przechodnich zawierających relację R. Przechodnie domknięcie oznaczamy symbolem R Ponadto zdefiniujmy ciąg relacji: R (1) = R, R (2) = R R, R (n+1) = R R (n).
Lemat 1.2 R = R (n) Dowód: Niech Z = {S X X: S jest przechodnia R S}. Zauważmy, że: Wówczas: (x, y) R (x, y) S (x, y) Z R Z (x, y) R (n) (x, y) R (m) m N A więc istnieją w zbiorze X elementy v 1,..., v m 1 takie, że: (x, v 1 ) R (v 1, v 2 ) R... (v m 1, y) R Ponieważ R jest zawarte w każdej relacji S ze zbioru Z, to: (x, v 1 ) S (v 1, v 2 ) S... (v m 1, y) S Ponieważ każda relacja S jest przechodnia, to: Ostatecznie: Zauważmy, że: (x, y) S (x, y) Z R (n) Z R = R (1) R (n) Pokażemy, że R jest relacją przechodnią. Niech (x, y), (y, z) R. Wówczas: m,p N (x, y) R (m) (y, z) R (p) Więc istnieją w zbiorze X elementy v 1,..., v m 1, u 1,..., u p 1 takie, że: (x, v 1 ) R... (v m 1, y) R (y, u 1 ) R... (u p 1, z) R Niech y = v m. Wtedy powyższa koniunkcja oznacza, że element (x, z) należy do (m + p)-krotnego złożenia relacji R. A więc: (x, z) R (m+p) (x, z) R (n) co oznacza przechodniość relacji R. Skoro R jest relacją przechodnią i zawiera relację R, to R Z oraz Z R, skąd wynika dowodzona równość.
Niech M R = [r ij ] oraz M S = [s ij ] będą macierzami relacji R, S w zbiorze skończonym X. Wówczas definiujemy następujące macierze: (a) M R S = [ r ij s ij ] (b) M R S = [ r ij s ij ] (c) M R 1 = [ r ji ] (d) M R = [ r ij ] (e) M R S = [ c ij ] gdzie: c ij = (r i1 s 1j ) (r i2 s 2j )... (r in s nj ). Definicja 1.3 Relacja R jest porządkiem w zbiorze P, gdy jest zwrotna, słabo antysymetryczna i przechodnia. Jeżeli relacja R jest spójna, to mówimy, że porządek R jest liniowy. Zbiór P, w którym określona jest relacja porządkująca R oznaczamy symbolem (P, R) lub (P, ). Definicja 1.4 Niech (P, ) będzie zbiorem uporządkowanym. Przedziałem wyznaczonym przez elementy a, b P nazywamy podzbiór: [a, b] = {x P : a x b} Zauważmy następujące wynikania: [a, b] Ø x [a, b] a x b a b x P (a b) [a, b] = Ø (a b) a, b [a, b] Ponadto definiujemy jeszcze następujące przedziały: (a, b] = [a, b] \ {a} (, b] = {x P : x b} [a, ) = {x P : a x} Definicja 1.5 Niech a, b P i a b. Element a nazywamy poprzednikiem elementu b (element b nazywamy następnikiem elementu a), jeśli [a, b] = 2, czyli gdy [a, b] = {a, b}. Definicja 1.6 Niech (X, ) będzie zbiorem uporządkowanym. Element a X nazywamy maksymalnym jeśli nie poprzedza on żadnego elementu w zbiorze X: (a x a x) Element a X nazywamy największym, jeśli spełniony jest warunek: x a Element a X nazywamy minimalnym, gdy nie poprzedza go żaden element zbioru X: (x a x a) Element a X nazywamy najmniejszym, jeśli spełniony jest warunek: a x
Definicja 1.7 Niech A X, będzie podzbiorem zbioru uporządkowanego (X, ). Element a X nazywamy ograniczeniem górnym zbioru A, jeśli zachodzi warunek: x A x a Element a X nazywamy ograniczeniem dolnym zbioru A, jeśli zachodzi warunek: x A a x Jeśli zbiór wszystkich ograniczeń górnych zbioru A ma element najmniejszy, to nazywamy go kresem górnym zbioru A i oznaczamy sup A. Jeśli zbiór wszystkich ograniczeń dolnych zbioru A ma element największy, to nazywamy go kresem dolnym zbioru A i oznaczamy inf A. Definicja 1.8 Zbiór uporządkowany (P, ) nazywamy kratą, jeśli każdy dwuelementowy podzbiór zbioru P ma kres górny i kres dolny w zbiorze P. Definujemy działania oraz w następujący sposód: a b = c sup{a, b} = c oraz a b = c inf{a, b} = c Uwaga 1.3 Niech (P, ) będzie zbiorem uporządkowanym i niech a, b, c P. Jeśli c jest kresem dolnym zbioru {a, b}, to zachodzi warunek: d P (d a d b) d c Jeśli c jest kresem górnym zbioru {a, b}, to zachodzi warunek: d P (a d b d) c d Twierdzenie 1.1 W zbiorze uporządkowanym (P. ) działania oraz są przemienne, łączne i spełniają warunki pochłaniania, tzn.: (a b) a = a i (a b) b = b Twierdzenie 1.2 Niech (P, ) będzie zbiorem uporządkowanym i niech a, b P. Wówczas: a b ((a b = b) (a b = a)) Twierdzenie 1.3 Każda krata skończona ma element największy i element najmniejszy. Definicja 1.9 Jeśli krata ma element największy i element najmniejszy, to element b nazywamy uzupełnieniem elementu a, jeśli a b = 1 oraz a b = 0
Definicja 1.10 Mówimy, że krata jest rozdzielna jeśli dla każdych elementów a, b, c prawdziwe są równości: (a) a (b c) = (a b) (a c) (b) a (b c) = (a b) (a c) Definicja 1.11 Algebrą Boole a nazywamy kratę rozdzielną zawierającą element największy i element najmniejszy, w której każdy element ma swoje uzupełnienie. Definicja 1.12 Niech (P, 1 ) i (Q, 2 ) będą zbiorami uporządkowanymi. Izomorfizmem zbiorów uporządkowanych nazywamy każde odwzorowanie odwracalne ψ: P Q takie, że: (a 1 b ψ(a) 2 ψ(b)) Definicja 1.13 Niech 1 i 2 będą porządkami w zbiorze P. Mówimy, że 2 jest rozszerzeniem 1, gdy: (a 1 b a 2 b Przykład 1.1 Zwykły porządek w zbiorze liczb naturalnych jest rozszerzeniem porządku wyznaczonego przez relację podzielności. a,b N (a b a b) Definicja 1.14 Niech (P 1, 1 ),..., (P n, n ) będą zbiorami uporządkowanymi. Utwórzmy zbiór P = P 1... P n i zdefiniujmy nowy porządek w zbiorze P. Niech (a 1,..., a n ), (b 1,..., b n ) P, wówczas: (a 1,..., a n ) (b 1,..., b n ) a 1 1 b 1... a n n b n Tak określony porządek nazywamy produktowym. Definicja 1.15 Niech (P 1, 1 ),..., (P n, n ) będą zbiorami liniowo uporządkowanymi. Niech P = P 1... P n. Niech (a 1,..., a n ), (b 1,..., b n ) P. Określmy następujący porządek: (a 1,..., a n ) (b 1,..., b n ) { (a1,..., a n ) = (b 1,..., b n ) a i b i, gdzie: i = min{t: a t b t } Tak zdefiniowany porządek nazywamy leksykograficznym. Copyright c Grzegorz Gierlasiński