Wst ep do matematyki aktuarialnej Micha l Jasiczak Wyk lad 2 Tablice trwania życia 1
Cele (na dzisiaj): Zrozumieć w jaki sposób można wyznaczyć przysz ly czas życia osoby w wieku x. Zrozumieć parametry znajdujace sie w TTŻ opisujace przysz ly czase życia osoby w wieku x. Cel dalekosi eżny: Wyznaczyć sk ladk e netto w typowym ubezpieczeniu na życie. 2
Przewidywanie jest bardzo trudne, w szczególności jeżeli dotyczy przysz lości. N. Bohr 3
Nat eżenie zgonów x-latka w momencie czasu t Na mocy definicji µ [x]+t = f x(t) 1 F x (t) P (T x t + δ T x > t) = F x(t + δ) F x (t), 1 F x (t) zatem lim δ 0 P (T x t + δ T x > t) δ = µ [x]+t. Wiemy już: [ t ] tp x = exp µ [x]+τ dτ. 0 4
(Pre)historia Analityczne prawa trwania życia: Prawo de Moivre a: T 0 ma rozk lad jednostajny na przedziale [0, ω], ω > 0, Prawo Gompertza: µ t = Bc t, gdzie B > 0, c > 1, tp x = exp [ B log c (ct+x c x ) ]. Prawo Makehama: µ t = A + Bc t, B > 0, A B i c > 1 [ tp x = exp At B ] log c (ct+x c x ), Prawo Weibulla: µ t = kt n, dla t 0 gdzie k > 0, n > 0, [ tp x = exp k )] ((t + x) n+1 x n+1. n + 1 5
Argument heurystyczny Obserwować od narodzin odpowiednio duża grupe ludzi, powiedzmy o liczebności l, w podobnym wieku i notować moment ich śmierci. Powiedzmy l t, to liczba żyjacych osobników w momencie t > 0. Oszacowanie prawdopodobieństwa, że dowolna osoba przeżyje czas t > 0 l t l. 6
Problemy 1. Co to znaczy odpowiednio duża? 2. Co to znaczy w podobnym wieku? 3. Co to znaczy grupa ludzi? 4. Jak dok ladnie notować moment śmierci? 5. Dlaczego u lamek l t l ma być dobrym oszacowaniem nieznanego prawdopodobieństwa? 7
W ten sposób w najlepszym razie oszacujemy P (T x > t) dla t należacych do pewnego skończonego zbioru i pewnego ustalonego x. Czy to wystarcza? W przypadku portfela 100000 takich samych ubezpieczeń o sumie 100000 PLN każdy b l ad mnożymy przez 10 10! 8
Kohorta - zbiór osób wyodr ebnionych na podstawie wspólnie przeżytego zdarzenia demograficznego lub spo lecznego w ściśle określonym miejscu i czasie. Generacja - to kohorta, w której kryterium wyodr ebnienia jest wspólny czas i miejsca urodzenia. 9
Niech [N] bedzie N-elementowa populacja osób w wieku x. Niech dla dowolnego t R X n,t = 1, n ta osoba żyje w momencie t, 0, n ta osoba nie żyje w momencie t. Wówczas l t = N n=1 X n,t. Twierdzenie 1 (Ko lmogorow) Niech X n : Ω R bedzie ciagiem niezależnych zmiennych losowych o jednakowym rozk ladzie i takim, że E X 1 <. Wówczas P { ω : 1 lim n n n k=1 } X k = EX 1 = 1. 10
Jeżeli X n,t maja taki sam rozk lad i sa niezależne, to dla każdego t P { Zatem ω : P lim N 1 N lim N N n=1 l N,t } X n,t = EX 1,t = 1. N = EX 1,t = 1, gdzie l N,t liczba osób z populacji N-osobowej żyjacych w momencie t. Zauważmy, że EX 1,t = 1 P (T x t) + 0 P (T x < t) = P (T x t). gdzie T x to przysz ly czas życia osoby w wieku x (Za lożenia!). 11
Zatem, jeżeli dla pewnego t R (i) X n,t maja taki sam rozk lad, (ii) EX 1,t <, (iii) X n,t sa niezależne, to P lim N l N,t N = P (T x t) = 1. Innymi s lowy, dla odpowiednio dużych populacji, w których spe lnione sa za lożenia (i) oraz (iii) iloraz l N,t N jest oszacowaniem prawdopodobieństwa P (T x t). 12
Dyskusja za lożeń Czy można zak ladać, że X n,t maja taki sam rozk lad dla każdego n i ustalonego t? Czy można zak ladać, że { X n,t }n jest zbiorem niezależnych zmiennych losowych? Zmienne losowe X, Y sa niezależne, na mocy definicji, jeżeli dla dowolnego A L(R) P ({ω : X(ω) A, Y (ω) A}) = P ({ω : X(ω) A})P ({ω : Y (ω) A}). 13
Wnioski Korzystajac z Tablic Trwania Życia możemy przyjać, że P (T 0 t) = l t l, P (T 0 < t) = 1 l t l = l l t l dla t N. Hipoteza Jednorodnej Populacji P (T x > t) = P (T 0 > x + t T 0 > x) = P (T 0 > x + t). P (T 0 > x) Zatem dla t, x N tp x = l x+t l l xl = l x+t l x tq x = l x l x+t l x. 14
Obci ety przysz ly czas życia x-latka K x = T x Zatem dla dowolnego k N mamy P (K x = k) = P (k T x < k + 1) := k 1 q x = P (k < T x k + 1). Nowe oznaczenie aktuarialne: s t q x = P (s < T x s + t). 15
Hipoteza agregacji P (K x k) = P (K 0 x + k K 0 x). 16
Hipotezy interpolacyjne Pytanie: W jaki sposób wyznaczyć t p x wtedy, gdy t / N, t = n+u, n N 0, 0 u < 1? Hipoteza jednostajności (HU) n+up x = (1 u) n p x +u n+1 p x, 0 u < 1. Hipoteza przedzia lami sta lego nat eżenia zgonów (HCFM) µ [x]+n+u = µ [x]+n, 0 u < 1. Hipoteza Balducciego (1 u) q [x]+n+u = (1 u)q [x]+n. Nowe oznaczenie aktuarialne: tp [x]+s = P (T x > s + t T x > s) oraz t q [x]+s = P (T x s + t T x > s). 17
Obserwacja 1 Jeżeli prawdziwa jest hipoteza HCFM, to n+up x = n p x (p [x]+n ) n. Dowód: Z ćwiczeń n+up x = exp = exp [ [ n+u 0 n = n p x exp ] µ [x]+τ dτ n+u µ [x]+τ dτ 0 n [ n+u n µ [x]+τ dτ ]. ] µ [x]+τ dτ Z za lożenia µ [x]+τ = µ [x]+n, jeżeli n τ < n + 1. Zatem n+up x = n p x exp [ u µ [x]+n ] Zauważmy jednak, że: = n p x (exp ( µ [x]+n ) ) u. exp( µ [x]+n ) = p [x]+n. 18
[ exp( µ [x]+n ) = exp n [ n+1 = exp µ [x]+τ dτ + 0 Zatem exp( µ [x]+n ) = [ exp exp n+1 n+1 [ ] µ [x]+τ dτ n 0 µ [x]+τ dτ ] 0 µ [x]+τ dτ n 0 µ [x]+τ dτ ] ]. = P (T x > n + 1) P (T x > n) = P (T x > n + 1 T x > n) = p [x]+n. 19
Potencjalny problem Zgodność HJP z hipotezami interpolacyjnymi. Dwie metody wyznaczenia n+u p x, gdzie n N, 0 u < 1, jeżeli znane sa wartości n p x dla n N Najpierw interpolujemy t p 0 nastepnie, korzystajac z HJP wyznaczamy t p x, tzn. tp x = t+x p 0 xp 0. Najpierw korzystajac z HJP (lub HA) wyznaczamy n p x, gdy n, x N, a później korzystajac z hipotez interpolacyjnych uzupe lniamy pozosta le wartości t p x. 20
Definicja 1 Regu l a interpolacyjna nazywamy dowolna funkcja f : [0, 1) R R [0, 1], która stosujemy do wyznaczenia nieznanych wartości n+u p x, tzn. n+up x = f(u, n p x, n+1 p x ). Obserwacja 2 Jeżeli regu la interpolacyjna jest jednorodna, tzn. f(u, α s, α t) = αf(u, s, t), dla dowolnych u [0, 1), t, s R oraz α > 0, to jest zgodna z HJP. 21
Dowód: Pierwsza metoda: Najpierw wyznaczamy tp 0, dla t = n + u, gdzie n N 0, 0 u < 1 n+up 0 = f(u, n p 0, n+1 p 0 ), a nast epnie n+u p x na mocy HJP n+up x = x+n+u p 0 xp 0 = f(u, n+xp 0, n+x+1 p 0 ) xp 0 Druga metoda: Wyznaczamy n p x zgodnia z HA a nast epnie np x = n+x p 0 xp 0, n+up x = f(u, n p x, n+1 p x ) ( = f u, n+x p 0, n+x+1 ) p 0 xp 0 xp 0 = f(u, n+xp 0, n+x+1 p 0 ), xp 0 ostatnia równość wynika z za lożonej jednorodności f. 22
Obserwacja 3 Każda z wymienionych regu l interpolacyjnych jest zgodna z HJP. Dowód: Dla HU oczywiste Dla HCFM n+up x = (1 u) n p x + u n+1 p x. n+up x = n p x (p [x]+n ) u = n p x ( P (Tx > n + 1 T x > n) ) u = n p x n+1 p x np x u Zatem dla HCFM mamy i oczywiście f(u, s, t) = s. ( ) t u f(u, αs, αt) = αf(u, s, t). s 23
Wreszcie dla HB czyli p [x]+n n+up x = n p x u + (1 u)p [x]+n n+1p x np = n p x x u + (1 u) n+1 p x, np x f(u, s, t) = s u + (1 u) s t. t s 24
Nowe oznaczenia aktuarialne: e x = EK x e x = ET x Obserwacja 4 Prawdziwa jest nastepuj aca zależność e x = 0 t p x dt. Dowód: Niech M bedzie odpowiednio duża liczba e x = ET x = tf x(t)dt = = t tp x M 0 + M 0 t p x dt M 0 tf x(t)dt = 0 t p x dt, ponieważ d ) (tp x = d dt dt (1 F x(t)) = f x (t). 25