Lekcja 5 Temat: Równanie ernoulliego. Równanie ernoulliego. Statyczne konsekwencje równania ernoulliego a) nieruchomy płyn w zbiorniku b) manometr c) pomiar ciśnienia krwi za pomocą kaniuli Zagadnienia uzupełniające: mierniki przepływu Równanie ernoulliego. Na rysunku 15.19 przedstawiono rurę, przez którą jednostajnie przepływa płyn doskonały. Zakładamy, Ŝe w przedziale czasu t z lewej strony (czyli na wejściu do rury) wpływa do niej płyn o objętości V (oznaczonej na rysunku 15.19a na fioletowo), a z prawej (na wyjściu) wypływa z niej płyn o takiej samej objętości (oznaczonej na rysunku 15.19b na zielono). Objętość płynu wypływającego z rury musi być taka sama jak objętość płynu wpływającego do niej, gdyŝ płyn jest nieściśliwy, tzn. ma stałą gęstość ρ. Oznaczmy przez y 1, v 1, i p 1 poziom, prędkość i ciśnienie płynu wchodzącego do rury z lewej strony, a przez y, v, i p odpowiednie wielkości odnoszące się do płynu wychodzącego z rury z prawej strony. WykaŜemy wkrótce, Ŝe z zasady zachowania energii dla tego płynu wynika następujący związek między tymi wielkościami: 1 1 p1 + ρ v1 + ρgy1 = p + ρv + ρgy (15.8) Równanie to moŝemy teŝ zapisać w postaci 1 p + ρv + ρgy = const (równanie ernoulliego) (15.9) Równania (15.8) i (15.9) są równowaŝnymi sobie postaciami równania ernoulliego, nazwanego tak dla upamiętnienia Daniela ernoulliego, który badał przepływy płynów w XVIII wieku 1. Podobnie jak równanie ciągłości (15.4), równanie ernoulliego nie jest nowym prawem fizycznym, lecz sformułowaniem znanych juŝ zasad, zapisanym w postaci wygodnej z punktu widzenia mechaniki płynów. Aby się o tym przekonać, zastosujmy równanie ernoulliego do płynu w spoczynku, podstawiając do równania (15.8) v 1 = v = 0. W wyniku otrzymujemy p = p + ρ g y ( ) 1 1 y czyli równanie (15.7), choć występujące w nim symbole mają nieco inne znaczenie. NajwaŜniejszy wniosek, jaki wynika z równania ernoulliego, otrzymamy, zakładając, Ŝe y jest stałe (moŝemy dla wygody przyjąć, Ŝe y = 0), tak Ŝe płyn nie zmienia w trakcie przepływu swego połoŝenia w pionie. Z równania (15.8) otrzymujemy wtedy
1 1 p1 + ρ v1 = p + ρv (15.30) co oznacza, Ŝe: JeŜeli przy przepływie wzdłuŝ poziomej linii prądu prędkość elementu płynu wzrasta, to ciśnienie płynu maleje i na odwrót. Innymi słowy, w miejscach, w których linie prądu są ułoŝone stosunkowo blisko siebie (tzn. w miejscach, w których prędkość przepływu jest stosunkowo duŝa), ciśnienie płynu jest stosunkowo małe i na odwrót. Związek zmiany prędkości ze zmianą ciśnienia moŝesz zrozumieć, rozpatrując zachowanie się elementu płynu. Gdy element ten zbliŝa się do wąskiego miejsca w rurze, panujące za nim duŝe ciśnienie powoduje przyspieszenie jego ruchu, w związku z czym w wąskim miejscu rury prędkość przepływu jest duŝa. Gdy natomiast element zbliŝa się do szerokiego odcinka rury, panujące przed nim duŝe ciśnienie powoduje zwolnienie jego ruchu, a zatem w szerokim miejscu rury prędkość przepływu jest mała. Równanie ernoulliego stosuje się ściśle jedynie dla płynu doskonałego. Gdy występują siły lepkości, nie wolno nam pominąć zmian energii termicznej płynu. Statyczne konsekwencje równania ernoulliego RozwaŜymy na początek konsekwencje wynikające z równania ernoulliego dla płynów pozostających w stanie spoczynku, kiedy v = 0, a suma P + ρgy jest wielkością stałą. Nieruchomy płyn w zbiorniku. ZałóŜmy, Ŝe płyn w pewnym naczyniu o kształcie przedstawionym na rys. 14.7 znajduje się w stanie spoczynku. Rys. 14.7. Płyn znajdujący się w naczyniu jest w stanie spoczynku. Jak to wyjaśniono w tekście, powierzchnia płynu w kaŝdej części naczynia znajduje się na tej samej wysokości AŜeby wyrazić ciśnienie w punkcie za pomocą ciśnienia panującego na powierzchni płynu i głębokości tego punktu, zapiszemy najpierw ciśnienia w punktach A i. Przyjmujemy, Ŝe dla podstawy naczynia y = 0. Ciśnienie w punkcie A jest równe ciśnieniu atmosferycznemu P atm, natomiast ciśnienie w punkcie oznaczmy jako P. Wówczas P atm + ρgh = P + ρgy, lub teŝ podstawiając h y =d y mamy (14.11) Z równania tego wynika, Ŝe w płynach pozostających w bezruchu ciśnienie na głębokości d jest równe sumie ciśnienia panującego na powierzchni płynu i przyrostu gęstości energii potencjalnej ρgd dla danej głębokości. Równanie (14.11) moŝna takŝe wyrazić w formie twierdzenia dotyczącego siły działającej wewnątrz płynu na głębokości d pod powierzchnią płynu. Siła ta, działająca na jednostkę powierzchni, czyli P, jest sumą dwóch składników: ciśnienia atmosferycznego P atm i ciśnienia wywieranego przez cięŝar płynu znajdującego się ponad punktem, ρgd.
Policzmy obecnie wartość wyraŝenia P + ρgy dla punktów i D. PoniewaŜ jednak y = y D, zatem P + ρ g y = PD + ρ g y P = P D Wewnątrz płynu pozostającego w stanie spoczynku ciśnienie w punktach leŝących na tej samej głębokości jest jednakowe. W szczególności dla punktów A i E leŝących na powierzchni ciśnienie jest jednakowe, poniewaŝ jest to ciśnienie atmosferyczne, zatem punkty te leŝą na tej samej wysokości. Stąd wynika wniosek, Ŝe powierzchnia płynu znajdującego się w stanie równowagi w otwartych naczyniach połączonych dowolnego kształtu będzie się znajdowała na identycznej wysokości. Manometr Manometr otwarty jest przyrządem do pomiaru ciśnienia. W jego skład wchodzi rurka w kształcę litery U wypełniona cieczą, na przykład rtęcią lub w przypadku niskich ciśnień wodą czy naftą. Jeden koniec rurki pozostaje otwarty, do drugiego dołącza się zbiornik z gazem, którego ciśnienie chcemy zmierzyć (rys. 14.8). Manometr ten moŝe być takŝe wykorzystywany do pomiaru ciśnienia cieczy, D Rys. 14.8. Manometr otwarty pod warunkiem jednak, Ŝe ciecz mierzona i ciecz manometru nie będą się mieszać. Zapiszemy wyraŝenie P + ρgy dla obu ramion rurki mierząc wysokości od podstawy rurki. Dla lewego ramienia jest ono równe P+ρgy 1, a dla prawego P atm + ρgy. Porównując te wyraŝenia otrzymujemy P + ρ g y1 = Patm + ρ g y czyli P = Patm + ρ g ( y1 y ) = Patm + ρ g h (14.1) Zatem ciśnienie P gazu w zbiorniku moŝemy znaleźć mierząc róŝnicę h poziomów cieczy w dwóch ramionach rurki manometru. W sfigmomanometrze, przyrządzie do pomiaru ciśnienia krwi, mierzymy ciśnienie powietrza w rękawie okręconym wokół ramienia. Ciśnienie P, występujące w równ. (14.1), jest ciśnieniem bezwzględnym. RóŜnica między tym ciśnieniem a ciśnieniem atmosferycznym, P-P atm, jest ciśnieniem manometrycznym i jest dokładnie równa ρgh. Pomiar ciśnienia krwi za pomocą kaniuli. W wielu przypadkach badania zwierząt pod narkozą stosuje się bezpośredni pomiar ciśnienia krwi przez wprowadzenie do tętnicy lub Ŝyły kaniuli specjalnej cienkiej, szklanej lub plastykowej rurki zawierającej roztwór soli fizjologicznej i środka przeciwdziałającego krzepnięciu krwi. Roztwór soli fizjologicznej styka się z cieczą manometru. Poziom zetknięcia się cieczy manometru i roztworu soli fizjologicznej powinien być dokładnie na wysokości poziomu wbicia kaniuli lub naleŝy przy odczycie ciśnienia wziąć pod uwagę poprawkę wynika-
jącą z róŝnicy poziomów (rys. 14.9). Obliczając wyraŝenie P+ρgy w odpowiednich punktach (zob. problem 14-4) znajdujemy, Ŝe ciśnienie krwi P jest wyraŝone następującym równaniem: P = P atm + ρgh ρ gh s ' Rys. 14.9. Pomiar ciśnienia krwi za pomocą kaniuli W manometrach słuŝących do pomiaru ciśnienia tętniczego najczęściej stosuje się rtęć jako płyn wypełniający manometr. JednakŜe w przypadku pomiaru ciśnienia w Ŝyłach, w których ciśnienie jest stosunkowo niskie, zastosowanie rtęci dałoby małą dokładność pomiaru, poniewaŝ wielkości h byłyby niewielkie i dlatego w manometrze uŝywa się wówczas roztworu soli fizjologicznej. W badaniach i doświadczeniach fizjologicznych często są wykorzystywane elektromanometry, w których ciecz wypełniająca manometr zamiast zmieniać swój poziom w rurce ciśnie na membranę powodując jej wygięcie proporcjonalne do mierzonego ciśnienia. Wielkość wygięcia membrany jest przetwarzana w sygnał elektryczny odpowiedniej wielkości, który porusza piórko urządzenia rejestrującego w sposób ciągły wartość mierzonego ciśnienia. Mierniki przepływu Zastosujemy teraz równanie ernoulliego w pełnej postaci do dwóch mierników przepływu. Po wprowadzeniu pewnych niewielkich modyfikacji mierniki te mogą być wykorzystane zarówno do pomiaru przepływu krwi w naczyniach krwionośnych, jak i do pomiaru prędkości samolotów lub pomiaru jakiejkolwiek innej prędkości przepływu. Rurka Venturiego. W rurce Venturiego (zwęŝce Venturiego) przekrój poprzeczny przewodu jest róŝny w róŝnych punktach. W miejscach przewęŝeń rurki ciecz przepływa z większą prędkością, zatem zgodnie z równaniem ernoulliego ciśnienie maleje. Spadek ciśnienia jest miarą prędkości przepływu płynu. Ciśnienie to moŝna zmierzyć za pomocą pionowych rurek manometrycznych wmontowanych w poziomą rurkę podstawową (rys. 14.10a) lub teŝ za pomocą czujników elektrycznych. Zanim zastosujemy równanie ernoulliego, musimy wyjaśnić problem moŝliwości jego zastosowania z uwagi na fakt, iŝ płyn w rurkach pionowych pozostaje w spoczynku, podczas gdy płyn w rurce poziomej jest w ruchu. Ze względu na to, Ŝe punkty D i C (rys. 14.10b) nie leŝą w tej samej rurce prądu, nie moŝemy do napisania zaleŝności pomiędzy ciśnieniami w punktach C i D zastosować prawa ernoulliego. JednakŜe zauwaŝmy, Ŝe gdyby te ciśnienia nie były sobie równe, to płyn przepływałby między punktami, a zatem poziom wody w rurce pionowej nie byłby ustalony. PoniewaŜ rozpatrujemy stan stacjonarny,
zatem P C = P D, czyli ciśnienie u podstawy rurki pionowej jest równe ciśnieniu panującemu w przepływającej strudze. a) b) Rys. 14.10. (a) Rurka Venturiego. (b) Powiększenie obszaru rurki, w którym pierwsza pionowa rurka manometryczna łączy się z przewodem przepływowym Zgodnie z równaniem ernoulliego wyraŝenie P + ρgy + 1/ρv ma stałą wartość w kaŝdym punkcie strugi. Stosując równanie ernoulliego do punktów strugi leŝących na takiej samej wysokości pod ujściem rurek pionowych, otrzymamy Z równania ciągłości A 1 v x = A v wynika, Ŝe Po podstawieniu tego wyraŝenia na v do poprzedniego równania otrzymamy Zatem na podstawie pomiaru róŝnicy ciśnień P 1 -P i znajomości powierzchni przekrojów poprzecznych rurki poziomej A 1, A moŝemy policzyć v 1 ; w analogiczny sposób moŝna obliczyć v. Rurka Prandtla. Na rys. 14.11 przedstawiono rurkę Prandtla umieszczoną w strumieniu poruszającego się płynu. Zakłócenie przebiegu strumienia jest niewielkie największe zakłócenie występuje w punkcie A, gdzie prędkość płynu jest równa zeru. Dla punktu moŝna przyjąć, Ŝe prędkość przepływu płynu jest juŝ równa prędkości strumienia niezakłóconego v. Pomijając niewielką róŝnicę wysokości między punktami A i, otrzymujemy z równania ernoulliego 1 PA P = ρ v gdzie ρ jest gęstością przepływającego płynu. JeŜeli gęstość płynu zawartego w rurce manometru jest równa ρ m, to z porównania ciśnień P C = P D otrzymujemy
Rys. 14.11. Rurka Prandtla umieszczona w strumieniu płynu o stałej prędkości przepływu. Prawe ramię rurki w kształcie litery U jest połączone z komorą przy otworku. Lewe ramię jest połączone z komorą przy otworku A, gdzie prędkość przepływu jest równa zeru czyli P A P = ( ρ ρ )gh m Porównując dwa wyraŝenia na P A -P mamy: 1 ρv = ( ρ m ρ )gh Zatem odczyt manometru jest bezpośrednią miarą prędkości przepływu płynu. Tak jak w przypadku rurki Venturiego, zamiast manometru moŝna wykorzystać elektromanometr.