Równanie Bernoulliego. 2 v1

Transkrypt

1 Wykład z fizyki, Piotr Posmykiewicz 4 Równanie Bernoulliego. RozwaŜmy płyn przepływający przez rurkę, której przekrój poprzeczny i połoŝenie zmienia się jak pokazano na rysunku -0. Zastosujmy twierdzenie o pracy i energii do płynu znajdującego się początkowo punktami i ( Rysunek -0a ). Po pewnym czasie ograniczonymi punktami i ( Rysunek -0b). Niech masa między t płyn przesunie się wzdłuŝ rurki do obszaru m = ρ V jest masą tego płynu. W rezultacie m w ciągu czasu tzostała podniesiona z wysokości y na wysokość y, a jej prędkość zmieniła się z v na v. Zmiana energii potencjalnej płynu wyniesie przy tym: U = mgy K = ( y ) mgy = ρ Vg y a zmiana energii kinetycznej jest równa: ( m) v ( m) v = ρ V( v ) v Płyn z tyłu za masą płynu w rurce ( po lewej stronie zacienionej części (Rysunek -0a) działa na płyn z przodu siłą równą F = pa, gdzie p jest ciśnieniem w punkcie. Siła ta wykonuje pracę: W = F x = pa x = p V W tym samym czasie płyn z przodu (po prawej stronie) działa siłą F = p A w kierunku na lewo na rysunku. Siła ta wykonuje pracę ujemną, poniewaŝ jest przeciwna do kierunku ruchu cieczy: Pole A Rysunek -0 Pole A W = F x = p A x = p V Całkowita praca wykonana przez te siły jest równa: ( p p ) V Wca = p V p V = Twierdzenie o pracy i energii ma postać: W rezultacie: W ca JeŜeli podzielić to przez = U + K ( p p ) V = ρ Vg( y y ) + ρ V ( v ) v V, to otrzymamy:

2 Wykład z fizyki, Piotr Posmykiewicz 43 p p = ρgy ρgy + ρv ρv JeŜeli przenieść wszystkie wyrazy z indeksem na jedną stronę, a wyrazy z indeksem na drugą, to otrzymamy: p + ρ gy + ρv = p + ρgy + ρv -a Wynik powyŝszy moŝna przepisać w postaci: p + gy + ρ v = const ρ -b Równanie Bernoulliego co oznacza, Ŝe suma powyŝszych wielkości ma taką samą wartość w dowolnym punkcie rurki. Równanie -b nazywa się równaniem Bernoulliego dla ustalonego, nielepkigo przepływu i nieściśliwego płynu. Zadanie. DuŜy zbiornik z wodą posiada małą dziurkę w odległości h od powierzchni wody. Znajdź prędkość wylewającej się wody przez otwór korzystając z prawa Bernoulliego. ( Odpowiedź: v = gh ) Na rysunku - woda przepływa przez poziomą rurkę, która posiada zmienne przekroje poprzeczne. PoniewaŜ rurka połoŝona Rysunek - na tej samej wysokości, to y = y w równaniu -b. Wtedy równanie Bernoulliego moŝemy zapisać: p + ρ v = const -3 Równanie Bernoulliego dla stałej wysokości JeŜeli płyn przepływa do części węŝszej ( A małe ) prędkość musi ulec zwiększeniu poniewaŝ Av musi pozostać stałe. Jednak jeŝeli prędkość jest większa, to w związku z tym, Ŝe ciśnienie musi zmaleć. JeŜeli prędkość cieczy wzrasta, to ciśnienie maleje. p Zjawisko Venturiego + ρv musi być stałe, P R Z K Ł A D Wskaźnik Venuriego jest urządzeniem słuŝącym do mierzenia prędkości przepływu płynu. Płyn o gęstości ρ p przechodzi przez część rurki o przekroju A, która jest połączona z rurką o ρ p ρ c Rysunek -

3 Wykład z fizyki, Piotr Posmykiewicz A przekroju 44 (Rysunek -). Obje części rurki połączone są manometrem w postaci U-rurki, który częściowo napełniany jest cieczą o gęstości ρc. PoniewaŜ prędkość przepływu jest większa zwęŝonym obszarze, to ciśnienie w tym miejscu jest mniejsze niŝ w innych częściach rurki. RóŜnica ciśnień mierzona jest poprzez pomiar róŝnicy wysokości słupów cieczy w U-rurce. Znajdź prędkość wysokości h, znanych gęstości ρ p i ρ c Analiza zadania. Ciśnienia v poprzez równanie p i p na podstawie zmierzonej = A / A. w szerokiej i węŝszej części rurki są związane z prędkościami Bernoulliego. RóŜnica p p = ρ c gh. MoŜna wyrazić v. i znanego stosunku przekrojów r v poprzez ciśnień związana jest z wysokością h p + ρ p v = p + ρ p v v = A v = rv A szerszej i węŝszej części rurki.. Zapisz równanie ciągłości dla dwu obszarów i wylicz 3. podstaw otrzymany wynik do i wylicz 4. Oblicz róŝnicę p p v : p p : ( na podstawie róŝnicy słupa cieczy w U-rurce: 5 Porównaj oba wyraŝenia na róŝnicę p p i oblicz v v = ρ c gh ρp r ( ) DuŜa v małe p R ó Małe v duŝe p ) ρ p r v p p = ρ c gh p p = Rysunek -3 i poprzez A i A i v korzystając z równania ciągłości. Zapisz równanie Bernoulliego dla stałej wysokości dla v

4 Wykład z fizyki, Piotr Posmykiewicz 45 wnanie Bernoulliego moŝna wykorzystać do jakościowego opisu siły nośnej skrzydła samolotowego lub opisu toru lotu podkręconej piłki. Skrzydło samolotu jest tak zaprojektowane, Ŝe powietrze porusza się szybciej na górnej jego części niŝ na dolnej, a to powoduje mniejsze ciśnienie na górnej powierzchni niŝ pod spodem skrzydła. W rezultacie ta róŝnica ciśnień daje siłę nośną samolotu. Rysunek -3a przedstawia widok z góry ruchu piłki. Podczas gdy piłka się obraca, pociąga jednocześnie za sobą cząsteczki powietrza. Rysunek -3b wykonany jest z punktu widzenia piłki znajdującej się w spoczynku ( ale kręcącej się), z powietrzem pędzącym względem piłki. Ruch powietrza spowodowany obrotem piłki dodaje się do prędkości powietrza poruszającego się nad piłką i odejmuje od ruchu powietrza pod piłką. Tak więc, prędkość powietrza u góry jest większa niŝ na dole, a to powoduje, Ŝe ciśnienie nad piłką jest mniejsze niŝ na dole. W rezultacie piłka zakręca do góry. Pomimo tego, Ŝe równanie Bernoulliego jest bardzo przydatne do opisu szeregu zjawisk związanych z przepływem płynu, to taki opis jest często całkowicie nieadekwatny do wyników eksperymentalnych. Głównym powodem tych rozbieŝności jest fakt, Ŝe gazy na przykład powietrze są tylko w bardzo małym stopniu nieściśliwe, a z drugiej strony ciecze takie jak na przykład woda posiadają lepkość, która powoduje naruszenie zasady zachowania energii mechanicznej. Oprócz tego, często trudno jest utrzymać przepływ stacjonarny i warstwowy, który moŝe łatwo przerodzić się w przepływ turbulentny ( wirowy); mogący znacznie wpłynąć na wynik pomiarów. Przepływ lepki. Zgodnie z równaniem Bernoulliego, jeŝeli płyn płynie w sposób ustalony przez długą, poziomą rurkę o stałym przekroju poprzecznym, to ciśnienie wzdłuŝ całej rurki powinno być stałe. W praktyce, jednak, obserwujemy, Ŝe ciśnienie spada w miarę jak posuwamy się w kierunku przepływu. Spójrzmy na to zagadnienie z innej strony: róŝnica ciśnień jest konieczna, aby przesuwać płyn wzdłuŝ poziomej rurki. Ta róŝnica ciśnień jest konieczna, z powodu siły oporu, która jest wywierana przez ściankę rurki na warstwę płynu przylegającego do rurki i z powodu siły oporu wywieranej przez kaŝdą warstwę płynu na warstwę sąsiednią poruszającą się z inną prędkością. Te siły oporu nazywają się siłami lepkości. W rezultacie występowania sił lepkości prędkość płynu nie jest stała wzdłuŝ średnicy rurki. Jest ona największa w środku rurki, a najmniejsza na brzegu rurki; jeŝeli ciecz zwilŝa rurkę, to jej prędkość w miejscu kontaktu ze ścianką rurki wynosi zero ( Rysunek -4 ).Niech p będzie ciśnieniem w punkcie, a p ciśnieniem w punkcie, p p wzdłuŝ kierunku przepływu w odległości L. Spadek ciśnienia jest proporcjonalny do szybkości przepływu objętości: p = p p = I R Rysunek 3-4 p = V -4 Rysunek -5

5 Wykład z fizyki, Piotr Posmykiewicz 46 Gdzie I V = va jest szybkością przepływu objętości, a stała proporcjonalności R jest oporem przepływu i zaleŝy od długości L rurki, jej promienia i lepkości płynu. Aby zdefiniować współczynnik lepkości płynu, rozpatrzmy płyn zawarty między dwiema równoległymi płytami, z których kaŝda ma powierzchnię A i które oddalone są od siebie o z, jak jest to przedstawione na rysunku -5. Górna płytka jest ciągnięta ze stałą prędkością v przez siłę F r, podczas gdy dolna płytka znajduje się w spoczynku. Siła F r potrzebna jest do ciągnięcia górnej płytki, poniewaŝ płyn sąsiadujący z płytką wywiera siłę oporu lepkości, która to siła jest przeciwnie skierowana do kierunku ruchu płytki. Prędkość płynu między płytkami jest, w istocie, równa v przy górnej płytce i równa zeru przy dolnej płytce; zmieniając się liniowo wraz z odległością między płytkami. Okazuje się, Ŝe siła F r jest wprost proporcjonalna do v i A, a odwrotnie proporcjonalna do odległości między płytkami współczynnikiem lepkości η : z. Stała proporcjonalności nazywa się F va η z = -5 Wzór Newtona Wzór ten nosi nazwę wzoru Newtona. W układzie SI jednostką współczynnika lepkości jest Ns/m. starą jednostką jest puaz: Pa s = 0 puazów PoniŜsza tabela przedstawia współczynniki lepkości dla paru płynów w róŝnych temperaturach. Ogólnie współczynnik lepkości maleje wraz ze wzrostem temperatury. Właśnie dlatego, w chłodnym klimacie do smarowania silników samochodowych zimą uŝywa się rzadszych olei niŝ latem. Prawo Poiseuille a Opór przepływu R w równaniu -4 dla stacjonarnego przepływu przez rurę o przekroju kołowym o promieniu r moŝna pokazać, Ŝe jest równy Współczynnik lepkości dla róŝnych płynów Płyn t, 0 C η, mpa s Woda 0,8 0, ,65 Krew 37 4,0 Olej silnikowy (SAE 0 ) Gliceryna Powietrze 0 0,08

6 Wykład z fizyki, Piotr Posmykiewicz 47 R 8ηL π r = I 4 V -6 Łącząc równanie -4 z równaniem -6 otrzymamy spadek ciśnienia na długości L rury o promieniu r : 8ηL p = I 4 V -7 πr Prawo Poiseuille a Równanie -7 jest znane jako prawo Poiseuille a. Zwróćmy uwagę na odwrotną zaleŝność między r 4, a spadkiem ciśnienia. JeŜeli promień rurki zmniejsza się o połowę, to spadek ciśnienia dla danej prędkości przepływu wzrasta 6 razy! Lub inaczej ciśnienie musi być 6 razy większe, aby pompa pompowała ciecz przez rurkę z początkową szybkością przepływu objętości. W ten sposób, jeŝeli średnica Ŝył, lub aort ulegnie z jakiś powodów zwęŝeniu, to albo szybkość przepływu objętości krwi bardzo zmaleje, albo serce musi pracować znacznie cięŝej, aby utrzymać pierwotną szybkość przepływu. Prawo Poiseuille a ma zastosowanie tylko do przepływu warstwowego ( laminarnego ) płynu o stałym współczynniku lepkości. W niektórych płynach lepkość cieczy zmienia się wraz z prędkością naruszając prawo Poiseuille a. Na przykład krew jest złoŝoną cieczą składających się ze stałych cząsteczek o róŝnych kształtach, zanurzonych w cieczy. Czerwone komórki krwi mają kształt dysków i rzadko mają jakąś określoną orientację jeŝeli prędkość krwi jest mała, jednak przy duŝej prędkości krwi starają się tak ustawić aby ułatwić przepływ krwi. W rezultacie lepkość krwi maleje wraz ze wzrostem szybkości przepływu i prawa Poiseuille a nie moŝna ściśle stosować. Tym niemniej prawa Poiseuille a jest dobrym przybliŝeniem, jeŝeli chcemy jakościowo zrozumieć przepływ krwi. Przepływ turbulentny: Liczba Reynoldsa Kiedy prędkość przepływu płynu staje się rzeczywiście duŝa, wtedy przepływ laminarny załamuje się, a tworzy się przepływ turbulentny ( wirowy ). Krytyczna prędkość, powyŝej której przepływ przez rurę staje się turbulentny zaleŝy od gęstości i lepkości, a takŝe od promienia rury. Przepływ płynu moŝe być scharakteryzowany przez bezwymiarową liczbę zwaną liczbą Reynoldsa N R, którą definiujemy następująco: rρv N R = -8 η gdzie v jest średnią prędkością płynu. Doświadczenia pokazują, Ŝe przepływ będzie laminarny, jeŝeli liczba Reynoldsa jest mniejsza niŝ 000, jeŝeli liczba Reynoldsa jest większa niŝ 3000, to przepływ jest turbulentny. Między tymi wartościami przepływ jest niestabilny i moŝe zmieniać się z jednego typu w drugi.