Marek Miszczyński KBO UŁ. Wybrane elementy teorii grafów 1 G. Wybrane elementy teorii grafów W matematyce teorię grafów klasyfikuje się jako gałąź topologii. Jest ona jednak ściśle związana z algebrą i teorią macierzy. Grafy są stosowane współcześnie w róŝnych działach nauki i techniki. Za pomocą grafów znakomicie modeluje się i rozwiązuje szeroki wachlarz złoŝonych problemów ekonomicznych, tak w skali mikro- jak i makro zarządzania. Krótki rys historyczny rozwoju teori grafów wygląda następująco: 1736 Leonard Euler (uwaŝany za twórcę teorii grafów) 1847 G.R.Kirchhoff (teoria obwodów elektrycznych) 1857 A.Cayley (chemia: izomery węglowodorów nasyconych) 1859 W.R.Hamilton 1945 i dalsze - intensywny rozwój teorii grafów (N.Deo, F.Harary) i jej zastosowań G.1. Co to jest graf Figura przedstawiona na rysunku G.1. nazywa się grafem 1. WyróŜnione punkty nazywają się wierzchołkami grafu (ang. vertex), zaś linie noszą nazwę krawędzi grafu (ang. edge). Wymagane jest, aby kaŝda krawędź i kaŝdy wierzchołek miały swoją nazwę (etykietę). Rys. G.1. Przykład grafu liniowego Wierzchołki grafu oznaczamy v, v,...,. Zbiór wierzchołków oznaczymy jako { } 1 2 V = v 1, v 2,..., v m i musi to być zbór niepusty (V ). Krawędzie grafu oznaczamy e, e,...,. Zbiór krawędzi oznaczymy jako { } 1 2 E = e 1, e 2,..., e n i moŝe to być zbór pusty. v m e n 1 Ściśle graf liniowy, ale poniewaŝ nie istnieją grafy nieliniowe to mówimy krótko graf.
Marek Miszczyński KBO UŁ. Wybrane elementy teorii grafów 2 Gdy nie zachodzi obawa pomyłki, etykiety wierzchołków i krawędzi mogą być V = 12 m E = 12,,..., n. liczbami naturalnymi, tj. {,,..., } oraz { } Dla oznaczenia grafu G moŝemy zapisać krótko G ( V E) składa się ze zbioru wierzchołków V i zbioru krawędzi E. =,, co oznacza, Ŝe graf G Dowolna krawędź e k utoŝsamia się z nieuporządkowaną parą wierzchołków ( vi v j ),. Wierzchołki v i oraz v j związane z krawędzią e k nazywa się wierzchołkami końcowymi krawędzi e k. O krawędzi e k mówimy, Ŝe jest ona incydentna z wierzchołkami v i oraz v j. G.1.1. Definicja grafu V = i i = 12,,..., m będzie dowolnym zbiorem skończonym i Niech { } niech S oznacza zbiór wszystkich (róŝnych) nieuporządkowanych par (i,j) S = i, j i V j V. Pary (i,j) oraz (j,i) elementów zbioru V, to znaczy ( ) { } oznaczają: ten sam element - dla grafu nieskierowanego lub róŝne elementy - dla grafu skierowanego. G = V, E oraz E S nosi nazwę grafu (nieskierowanego lub Para ( ) skierowanego w zaleŝności od definicji zbioru S). G.1.2. Jak rysować grafy 1. kształt linii jest obojętny; graf musi tylko oddawać połączenia (incydencje) pomiędzy wierzchołkami za pomocą krawędzi 2. przecinanie się krawędzi nie jest wierzchołkiem Na przykład grafy na rysunku G.2. są identyczne (izomorficzne) choć na pierwszy rzut oka wydają się róŝne. Rys. G.2. Przykład grafu narysowanego na dwa sposoby Inny przykład to odwzorowanie za pomocą grafu problemu decyzyjnego postawionego przez L.Eulera tzw. problem mostów królewieckich (rysunek G.3.).
Marek Miszczyński KBO UŁ. Wybrane elementy teorii grafów 3 "Królewiec połoŝony po obu brzegach rzeki Pregoły i na dwóch wyspach jest połączony siecią siedmiu mostów. NaleŜy wychodząc z dowolnego brzegu (A lub B) odwiedzić obie wyspy (C i D), niekoniecznie raz, i powrócić do punktu wyjścia przechodząc tylko raz przez kaŝdy z 7 mostów." (L.Euler udowodnił, Ŝe problem ten nie ma rozwiązania). Rys. G.3. "Problem mostów królewieckich" G.2. Grafy - wybrane pojęcia G.2.1. Grafy nieskierowane pętla własna - krawędź grafu, której końce są incydentne (związane) z jednym wierzchołkiem (rys. G.1. - krawędź e 1 ) krawędzie równoległe - krawędzie incydentne do tej samej pary wierzchołków (rys. G.1. - krawędzie e 5 i e 6 ) graf prosty - graf bez pętli własnych i krawędzi równoległych. wierzchołek izolowany - nie posiada Ŝadnej krawędzi incydentnej do niego (rys. G.1. - wierzchołek v 6 ) stopień wierzchołka (d) - liczba krawędzi incydentnych z nim (rys. G.1. - stopień wierzchołka v 4 jest równy 3; d=3) graf zerowy - graf bez krawędzi ( E = ) grafy izomorficzne - grafy pokrywające się. Warunkiem koniecznym jest: 1. taka sama liczba wierzchołków 2. taka sama liczba krawędzi 3. taka liczba wierzchołków o danym stopniu Warunku wystarczającego brak w teorii. Przykład grafów, które nie są izomorficzne, a warunek konieczny jest spełniony pokazuje rysunek G.4.. Oba grafy nie są izomorficzne choć mają: po 6 wierzchołków, po 5 krawędzi, po 3
Marek Miszczyński KBO UŁ. Wybrane elementy teorii grafów 4 wierzchołki o stopniu 1, po 2 wierzchołki o stopniu 2 oraz po 1 wierzchołku o stopniu 3. Rys. G.4. Grafy pozornie izomorficzne - grafy spełniające tylko warunek konieczny izomorfizmu podgraf - graf g = ( V', E' ) jest podgrafem grafu G ( V E) =, jeŝeli V' V, E' E oraz kaŝda krawędź grafu g ma te same wierzchołki końcowe jak w grafie G. droga (łańcuch) - ciąg (skończony) naprzemienny wierzchołków i krawędzi rozpoczynający się i kończący wierzchołkami, taki Ŝe krawędź jest incydentna do wierzchołków poprzedzających i następujących po niej (rys. G.1. - ciąg {v 3, e 3, v 1, e 4, v 2, e 6, v 4, e 6, v 2, e 5, v 1 }) droga otwarta - droga rozpoczynająca się i kończąca róŝnymi wierzchołkami (rys. G.1. - ciąg {v 5, e 7, v 4, e 2, v 3, e 1, v 3, e 2, v 4 }) droga zamknięta - droga rozpoczynająca się i kończąca tym samym wierzchołkiem (rys. G.1. - ciąg {v 5, e 7, v 4, e 2, v 3, e 1, v 3, e 2, v 4, e 7, v 5 }) droga Eulera - droga przechodząca przez kaŝdą krawędź grafu dokładnie jeden raz (patrz: problem mostów królewieckich) graf Eulera - graf G ( V E) =,, w którym wszystkie wierzchołki są stopnia parzystego (graf dla którego istnieje droga Eulera) ścieŝka - (droga ekstremalna) droga otwarta, w której jeden wierzchołek pojawia się tylko jeden raz; moŝna powiedzieć, Ŝe ścieŝka "nie przecina" samej siebie (rys. G.1. - ciąg {v 3, e 3, v 1, e 5, v 2, e 6, v 4 }) obwód - droga zamknięta, w której tylko wierzchołek początkowy moŝe pojawić się dwa razy (rys. G.1. - ciąg {v 3, e 3, v 1, e 5, v 2, e 6, v 4, e 2, v 3 }) obwód Hamiltona - obwód przechodzący przez wszystkie wierzchołki grafu (graf przykładowy z rys. G.1.. nie ma obwodu poniewaŝ wierzchołek v 6 jest izolowany) ścieŝka Hamiltona - obwód Hamiltona z usuniętą krawędzią graf spójny - graf jest spójny jeŝeli między kaŝdą parą wierzchołków istnieje przynajmniej jedna ścieŝka drzewo - graf spójny bez obwodów przekrój - kaŝdy zbiór krawędzi grafu spójnego, którego usunięcie powoduje, Ŝe graf staje się niespójny. Graf z rys. G.1.. nie jest spójny ze względu na izolowany wierzchołek v 6. Usunięcie wierzchołka v 6 prowadzi do grafu spójnego. W takim
Marek Miszczyński KBO UŁ. Wybrane elementy teorii grafów 5 nowym grafie przekrojem jest np. zbiór krawędzi {e 3, e 6 }. Usunięcie krawędzi e 3 oraz e 6 powoduje powstanie niespójności. Inne przekroje to: {e 2, e 6 } oraz {e 2, e 4, e 5 }. G.2.2. Macierzowy zapis grafu nieskierowanego macierz incydencji - grafu G ( V E) = gdzie macierz A mxn [ ] =, o m wierzchołkach i n krawędziach to = 1 jeŝeli krawędź e j jest incydentna z wierzchołkiem v i = 0 w przeciwnym wypadku Własności macierzy incydencji: 1. liczba jedynek w kaŝdej kolumnie = 2 2. liczba jedynek w wierszu = stopień wierzchołka 3. wiersz z zerami to wiersz wierzchołka izolowanego 4. krawędzie równoległe mają identyczne kolumny 5. jeŝeli graf G jest niespójny to moŝna podzielić macierz A na niezaleŝne bloki diagonalne (po odpowiednim uporządkowaniu wierszy i kolumn) 6. rz A=m-1 macierz przyległości - grafu G ( V E) macierz kwadratowa stopnia m A m [ ] =, o m wierzchołkach i n krawędziach to = gdzie = 1 jeŝeli wierzchołki v i oraz v j łączy krawędź = 0 w przeciwnym wypadku Własności macierzy przyległości: 1. liczba jedynek w wierszu (kolumnie) = stopień wierzchołka 2. wiersz (kolumna) z samymi zerami = wierzchołek izolowany 3. a ii 0 ozacza pętlę własną wierzchołka v i
Marek Miszczyński KBO UŁ. Wybrane elementy teorii grafów 6 Przykład Rys. G.5. Graf nieskierowany do ilustracji zapisu macierzowego Macierze incydencji i przyległości grafu z rysunku G.5. są następujące A 6x 9 = 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 A 6x 6 = 0 1 1 0 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 G.2.3. Grafy skierowane i sieci graf skierowany (zorientowany) - graf G ( V E) =,, w którym za pomocą odwzorowania Ψ przekształcić moŝna kaŝdą krawędź e k, związaną z wierzchołkami v i oraz v j, w uporządkowaną parę wierzchołków (v i,v j ). O wierzchołku v i mówimy, Ŝe krawędź e k jest incydentna z wierzchołka v i, natomiast o wierzchołku v j mówimy, Ŝe krawędź e k jest incydentna do wierzchołka v j. krawędź skierowana (łuk) - krawędź w grafie skierowanym wierzchołek początkowy krawędzi (źródło krawędzi) - wierzchołek dla którego krawędź e k = (v i,v j ) jest incydentna z wierzchołka (v i ) wierzchołek końcowy krawędzi (odpływ krawędzi) - wierzchołek dla którego krawędź e k = (v i,v j ) jest incydentna do wierzchołka (v j ) stopień wejściowy wierzchołka ( d v j wierzchołka v j stopień wyjściowy wierzchołka ( d v j wierzchołka v j + ) - liczba krawędzi incydentnych do ) - liczba krawędzi incydentnych z
Marek Miszczyński KBO UŁ. Wybrane elementy teorii grafów 7 wierzchołek izolowany - wierzchołek, dla którego stopień wejściowy i stopień wyjściowy są równe zero łuki równoległe (krawędzie skierowane równoległe) - krawędzie grafu skierowanego odwzorowane za pomocą tej samej uporządkowanej pary wierzchołków sieć - graf skierowany (zorientowany), bez pętli własnych i łuków równoległych (tj. graf prosty), bez wierzchołków izolowanych oraz obwodów skierowanych, w którym z kaŝdym łukiem e k związana jest pewna nieujemna liczba zródło sieci - wierzchołek (v j ) o zerowym stopniu wejściowym ( d v j odpływ sieci - wierzchołek (v j ) o zerowym stopniu wyjściowym ( d v j sieć zredukowana - sieć o jednym źródle i jednym odpływie + = 0 ) = 0 ) Pojęcia dróg, ścieŝek, itd. są analogiczne jak w grafie nieskierowanym. Definiując te pojęcia naleŝy pamiętać, Ŝe krawędzie grafu są skierowane, tj. para (v i,v j ) odpowiada zupełnie innej krawędzi niŝ para (v j,v i ) G.2.4. Macierzowy zapis grafu skierowanego G = V, E o m wierzchołkach i n macierz incydencji - grafu skierowanego ( ) krawędziach (łukach) to macierz A mxn [ ] = gdzie = 1 jeŝeli krawędź e j jest incydentna z wierzchołka v i = 1 jeŝeli krawędź e j jest incydentna do wierzchołka v i = 0 w pozostałych przypadkach Własności macierzy incydencji grafu skierowanego: 1. stopień wejściowy wierzchołka jest równy liczbie "-1" w wierszu 2. stopień wyjściowy wierzchołka jest równy liczbie "1" w wierszu 3. liczba jedynek w kaŝdej kolumnie = 2 4. liczba jedynek w wierszu = stopień wierzchołka 5. wiersz z zerami to wiersz wierzchołka izolowanego 6. krawędzie równoległe mają identyczne kolumny 7. jeŝeli graf G jest niespójny to moŝna podzielić macierz A na niezaleŝne bloki diagonalne (po odpowiednim uporządkowaniu wierszy i kolumn) 8. suma elementów w kolumnie jest równa zero 9. rz A=m-1
Marek Miszczyński KBO UŁ. Wybrane elementy teorii grafów 8 macierz przyległości - grafu G ( V E) macierz kwadratowa stopnia m A m [ ] =, o m wierzchołkach i n krawędziach to = gdzie = 1 jeŝeli wierzchołki v i oraz v j łączy łuk (v i, v j ) = 0 w przeciwnym wypadku Własności macierzy przyległości: 1. liczba "1" w wierszu = stopień wyjściowy wierzchołka 2. liczba "1" w kolumnie = stopień wejściowy wierzchołka 3. wiersz z samymi zerami = wierzchołek typu odpływ 4. kolumna z samymi zerami = wierzchołek typu źródło 5. wiersz (kolumna) z samymi zerami = wierzchołek izolowany 6. a ii 0 ozacza pętlę własną wierzchołka v i 7. jeŝeli numeracja wierzchołków sieci jest taka, Ŝe dla kaŝdego łuku (v i,v j ) numer wierzchołka v i < v j i jednocześnie macierz przyległości jest macierzą trójkątną dolną, to graf skierowany nie posiada obwodów skierowanych Przykład Rys. G.6. Graf skierowany do ilustracji zapisu macierzowego Macierze incydencji i przyległości grafu z rysunku G.6. są następujące 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 A 6x 9 = 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 A 6x 6 = G.2.5. Numerowanie wierzchołków grafu skierowanego 0 1 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 Opisane dalej postępowanie realizuje numerację wierzchołków grafu skierowanego według zasady narastania numerów, tj. dla kaŝdego łuku (v i,v j ) numer wierzchołka v i <v j.opisane postępowanie wykrywa jednocześnie ewentualne obwody skierowane w grafie.
Marek Miszczyński KBO UŁ. Wybrane elementy teorii grafów 9 Krok 1 Przyjmij k=1 Krok 2 Znajdź niezaetykietowany wierzchołek o zerowym stopniu wejściowym i przypisz mu etykietę k. JeŜeli taki wierzchołek nie istnieje to idź do kroku 4. Krok 3 Ustaw k=k+1 i przejdź do kroku 2. Krok 4 JeŜeli wszystkie wierzchołki są zaetykietowane to koniec postępowania; jeŝeli nie to idź do kroku 5. Krok 5 JeŜeli stopień wyjściowy kaŝdego zaetykietowanego juŝ wierzchołka nie jest równy zero to usuń wszystkie łuki incydentne z kaŝdego zaetykietowanego wierzchołka i przejdź do kroku 2. JeŜeli są niezaetykietowane wierzchołki i jednocześnie stopień wyjściowy kaŝdego zaetykietowanego wierzchołka jest równy zeru to w sieci istnieje cykl (obwód skierowany) - koniec postępowania. Przykład Rys. G.7. Graf do ilustracji algorytmu numerującego wierzchołki Tabela G.1. Numeracja wierzchołków grafu z rysunku G.7. nadany numer stopień wierzchołka w kolejnych iteracjach e 1 e 2 e 3 e 4 e 5 e 6 e 7 e 8 e 9 wierzchołka I II III IV V VI α 0 0 0-1 -1 0 1 1 0 4 2 2 1 0 x x β 0-1 -1 0 1 1 0 0 0 3 2 1 0 x x x γ 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 x x x x x δ 0 0 0 0 0 0 0-1 -1 6 2 2 2 2 1 0 Σ -1 0 1 1 0 0 0 0 0 2 1 0 x x x x ω 0 0 0 0 0-1 -1 0 1 3 2 2 2 1 0 x Kolejne iteracje numerowania wierzchołków grafu z rysunku G.7. były następujące. 1. W iteracji I zerowy stopień wejściowy miał wierzchołek γ. Otrzymał on nr 1 i wykreślono kolumny e 1 i e 2. 2. W iteracji II zerowy stopień wejściowy miał wierzchołek Σ. Otrzymał on nr 2 i wykreślono kolumny e 3 i e 4. 3. W iteracji III zerowy stopień wejściowy miał wierzchołek β. Otrzymał on nr 3 i wykreślono kolumny e 5 i e 6.
Marek Miszczyński KBO UŁ. Wybrane elementy teorii grafów 10 4. W iteracji IV zerowy stopień wejściowy miał wierzchołek α. Otrzymał on nr 4 i wykreślono kolumny e 7 i e 8. 5. W iteracji V zerowy stopień wejściowy miał wierzchołek δ. Otrzymał on nr 5 i wykreślono kolumnę e 9. 6. Wierzchołek δ dostał automatycznie nr 6 po wykreśleniu wszystkich kolumn macierzy incydencji A. Literatura [1] Narshing DEO, "Teoria grafów oraz jej zastosowanie w technice i informatyce", PWN, Warszawa, 1980, Seria: Biblioteka Naukowa InŜyniera [2] Robert S.GARFINKEL, George L.NEMHAUSER, "Programowanie całkowitoliczbowe", PWN, Warszawa, 1978, Seria: Biblioteka Naukowa InŜyniera Spis treści dodatku G G. Wybrane elementy teorii grafów... 1 G.1. Co to jest graf... 1 G.1.1. Definicja grafu... 2 G.1.2. Jak rysować grafy... 2 G.2. Grafy - wybrane pojęcia... 3 G.2.1. Grafy nieskierowane... 3 G.2.2. Macierzowy zapis grafu nieskierowanego... 5 G.2.3. Grafy skierowane i sieci... 6 G.2.4. Macierzowy zapis grafu skierowanego... 7 G.2.5. Numerowanie wierzchołków grafu skierowanego... 8 Literatura... 10 Spis treści dodatku G... 10