ĆWICZENIE 1 Klasyczny Rachunek Zdań (KRZ): zdania w sensie logicznym, wartości logiczne, spójniki logiczne, zmienne zdaniowe, tabele prawdziwościowe dla spójników logicznych, formuły, wartościowanie zbioru zmiennych zdaniowych, wartość logiczna formuły przy danym wartościowaniu, tautologia, kontrtautologia. Wartości logiczne: Prawda ( 1 ), Fałsz ( 0 ) DEF. Zdanie w sensie logicznym jest to zdanie oznajmujące, które jest prawdziwe lub fałszywe. Np. Olsztyn leży nad Łyną - zdanie prawdziwe, wartość logiczna 1 4 jest większe od 5 - zdanie fałszywe, wartość logiczna 0 DEF. Spójniki logiczne są to wyrażenia służące do budowy zdań złożonych ze zdań prostych. Podstawowe spójniki logiczne: nazwa wyrażenie symbol kontekst negacja nieprawda, że p koniunkcja i p q alternatywa lub p q implikacja jeżeli..., to p q równoważność wtedy i tylko wtedy p q Symbole p, q, r, s (także z indeksami) reprezentują dowolne zdania i nazywamy je zmiennymi zdaniowymi. Własność ekstensjonalności: Wartość logiczna zdania złożonego, zbudowanego za pomocą spójnika logicznego, zależy wyłącznie od rodzaju spójnika logicznego i wartości logicznych zdań prostych Tę zależność opisują tablice prawdziwościowe spójników logicznych: p p 1 0 0 1 Negacja zdania prawdziwego jest zdaniem fałszywym. Negacja zdania fałszywego jest zdaniem prawdziwym. 1
Zdanie p nazywamy argumentem negacji w zdaniu p. p q p q p q p q p q 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 0 1 1 Zdania p, q nazywamy argumentami koniunkcji w zdaniu p q i podobnie dla,,. W zdaniu p q, zdanie p nazywamy poprzednikiem a zdanie q następnikiem implikacji. Poprawnie zbudowane schematy zdań nazywamy formułami KRZ. Wyrażenia są to skończone ciągi symboli (zmiennych zdaniowych i spójników logicznych). DEF. Formułami KRZ nazywamy wyrażenia określone przez następujące warunki indukcyjne: a) każda zmienna zdaniowa jest formułą, b) jeżeli wyrażenia A, B są formułami, to wyrażenia ( A), ( A B), ( A B), ( A B), ( A B) są formułami. Przykład: p, q (a) ( p), ( p q) (b) p p q (b) (( ) ( )) W praktyce opuszczamy niektóre nawiasy: 1) Opuszczamy parę zewnętrznych nawiasów p p q p Np. ( ) ( ) zamiast (( ) ( p q) ) 2) przyjmujemy, że siła wiązania spójników maleje od lewej do prawej Np. p ( p q) zamiast ( p) ( p q) p q q p zamiast ( p q) ( q p). 2
DEF. Niech V będzie pewnym zbiorem zmiennych zdaniowych. Wartościowaniem w : V 0,1. nazywamy dowolną funkcję { } Mniej formalnie: wartościowanie jest to przyporządkowanie wartości logicznych pewnym zmiennym zdaniowym Zamiast w ( p) = 0, w( p) = 1 piszemy p = 0, p = 1. Każde wartościowanie w zbioru V jednoznacznie określa wartość logiczną dowolnej formuły KRZ, której wszystkie zmienne zdaniowe należą do V. Literami A, B, C,... oznaczamy dowolne formuły KRZ. Wartość logiczną formuły A dla wartościowania w oznaczamy przez w(a) i wyznaczamy korzystając z tabel prawdziwościowych. Podobnie, jak dla zmiennych zdaniowych, zamiast w ( A) = 0, w( A) = 1, piszemy A = 0, A = 1. Wyznaczanie wartości logicznej zdania złożonego. Jeżeli nieprawda, że 5 < 4, to jeżeli 5< 4, to 2 < 1 lub 2 < 3. I. Tworzymy schemat logiczny tego zdania p: 5 < 4 q: 2 < 1 r: 2 < 3 p ( p q r) II. Ustalamy wartości logiczne zdań prostych. p = 0, q = 0, r = 1 III. Podstawiamy te wartości za zmienne p, q, r i przeprowadzamy obliczenia zgodnie z tablicami prawdziwościowymi 0 0 0 1 = 1 0 1 = 1 1 = ( ) ( ) 1 Odp. Zdania jest prawdziwe. 3
Tablica prawdziwościowa formuły. Niech { p, p2,, } 1 K p n będzie zbiorem zmiennych zdaniowych występujących w formule A. n Istnieje 2 różnych wartościowań tego zbioru. Dla formuły A wyznaczamy jej wartość logiczną dla każdego z tych wartościowań tworząc tabelę prowdziwościową formuły A Przykład: A = p q p r V = p, q, r { } Liczba wartościowań = 2 3 = 8 p q r p q p q p r p q p r 1 1 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 DEF. Tautologią KRZ nazywamy formułę KRZ, która przyjmuje wartość logiczną 1 dla każdego wartościowania zmiennych występujących w tej formule. Tautologie KRZ są schematami zdań logicznie prawdziwych, tzn. prawdziwych na mocy samej logiki, niezależnie od rzeczywistej wartości logicznej zdań składowych. DEF. Kontrtautologią KRZ nazywamy formułę KRZ, która przyjmuje wartość logiczną 0 dla każdego wartościowania zmiennych występujących w tej formule. TW. O podstawianiu w tautologiach Jeżeli A jest tautologią KRZ, a formuła A powstaje z A przez podstawienie za wszystkie wystąpienia pewnej zmiennej zdaniowej dowolnej formuły, to formuła A jest tautologią. 4
Przykład. 1 Olsztyn leży nad Łyną lub nieprawda, że Olsztyn leży nad Łyną. zdanie logicznie prawdziwe schemat: p p p = 0 p p = 0 0 = 0 1 = 1 p = 1 p p = 1 1 = 1 0 = 1 Przykład. 2 A = p p q. Wykażemy, że A jest tautologią. Niech ( ) Sposób 1. Wprost. Tworzymy tabelę prawdziwościową formuły A. A = V =, p ( p q) { p q} Liczba wartościowań = 2 2 = 4 p q p q p p q 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1 Dla każdego wartościowania zmiennych p i q formuła A jest prawdziwa, zatem jest tautologią. Sposób 2. Nie wprost. Zakładamy, że formuła A nie jest tautologią. Wtedy istnieje wartościowanie, dla którego A = 0. Szukamy tego wartościowania. 1) p ( p q) = 0 Implikacja jest fałszywa tylko w przypadku, gdy poprzednik jest prawdziwy, a następnik fałszywy. 2) p = 1 i p q = 0 Alternatywa jest fałszywa, gdy oba zdania składowe są fałszywe 5
3) p = 0 i q = 0 Otrzymaliśmy sprzeczność: p = 1 i p = 0. Oznacza to, że nie istnieje wartościowanie, przy którym A = 0. Zatem A jest tautologią. Schematycznie: p p 1) 0 2) 1 0 3) 0 0 sprzeczność q 6
Prawo wyłączonego środka p p (tertium non datur) Ważne tautologie KRZ Prawo sprzeczności ( p p ) Prawo podwójnej negacji p Prawo transpozycji ( p q) ( q p) Prawo sylogizmu warunkowego ( p q) ( q r) ( p r) p Prawa algebraiczne. Prawa łączności (( p q) r) ( p ( q r)) (( p q) r) ( p ( q r)) (( p q) r) ( p ( q r)) Prawa przemienności ( p q) ( q p) ( p q) ( q p) ( p q) ( q p) Prawa rozdzielczości ( p ( q r)) (( p q) ( p r)) Prawa idempotentności ( p p) p ( p ( q r)) (( p q) ( p r)) ( p p) p Prawa de Morgana ( p q) ( p q ) Prawa definiowania ( p q) ( p q ) ( p q) ( p q) ( p q) ( p q) ( q p) ( p q) ( p q) ( p q) Prawa z ustalonym argumentem p 1 p 1 1 p 0 0 p p p ( 1 p) p ( p 1) 1 0 ( 0 p ) 1 ( p 0 ) p 7
Ćwiczenie 1: wiadomości i umiejętności 1. Po ćwiczeniu 1 student powinien znać definicje pojęć podanych w nagłówku ćwiczenia 2. Student powinien posiadać następujące umiejętności: zapisywać konkretne zdania języka naturalnego za pomocą symboliki logicznej KRZ oraz odczytywać zdania zapisane z użyciem tej symboliki; sprawdzać, czy dane wyrażenie zapisane w języku KRZ, tzn. z użyciem zmiennych zdaniowych i spójników zdaniowych jest poprawną formułą KRZ; wyznaczać wartość logiczną formuły dla danego wartościowania zmiennych zdaniowych występujących w tej formule; wyznaczać wartości logiczne konkretnych zdań złożonych według schematu: - utworzyć schemat logiczny zdania - wyznaczyć wartości logiczne prostych zdań składowych (na podstawie posiadanej wiedzy przedmiotowej) - wyznaczyć wartość całego zdania korzystając z tablic prawdziwościowych sprawdzać, czy dana formuła (schemat zdaniowy) jest tautologią (kontrtautologią): a) wprost - poprzez utworzenie tablicy prawdziwościowej tej formuły (inaczej: metodą tablicową lub zero-jedynkową), b) nie wprost zakładając, że badana formuła nie jest tautologią i dochodząc do sprzeczności. 8