STATYSTYKA wykłady L.Gruszczyński Elementy statystyki dla socjologów Dr. Pactwa pon. i wtorek 09:30 11:00 (pok. 17) I. (08.X) 1. Statystyka jest to nauka zajmująca się metodami ilościowymi badania prawidłowości zjawisk masowych. Badanie statystyczne ogół prac mających na celu poznanie struktury badanej zbiorowości statystyczne. 3. Zbiorowość statystyczna zbiór dowolnych elementów, osób, przedmiotów lub faktów, podobnych pod względem określonych cech, ale nie identycznych i poddanych badaniu statystycznemu a) zbiorowość generalna (populacja) wszystkie elementy, będące przedmiotem badania, co do których chcemy formułować wnioski b) zbiorowość próbna (próba) podzbiór populacji generalnej obejmujący część jej elementów wybranych w określony sposób. (wybór celowy i kwotowy lub losowo) 4. Rodzaje badania statystycznego: a) całkowite (wyczerpujące) gdy obserwacji poddane są wszystkie jednostki populacji generalnej (np. powszechny spis ludności) b) częściowe (próba) 5. Rodzaje cech statystycznych właściwości jednostek statystycznych: a) mierzalne (ilościowe, kwantyfikowalne) można je wyrazić przy pomocy odpowiednich jednostek fizycznych(cm, kg itp.) cechy quasi-ilościowe, wyrażające natężenie cechy b) niemierzalne (jakościowe) są zwykle określanie słownie(płeć, wykształcenie, wiek) c) skokowe (dyskretne) przyjmują skończony lub przeliczany zbiór wartości na danej skali liczbowej (ilość dzieci) d) ciągłe przyjmują każdą wartość z określonego przedziału liczbowego (waga) 6. Cele badania statystycznego poznanie rozkładu zbiorowości pod względem wybranych cech ustalenie jakiego rodzaju związki występują między cechami (współzależność cech) porównywanie i porządkowanie obiektów wielorodnych poznanie dynamiki zbiorowości 7. Etapy badania statystycznego: a) przygotowanie badań sformułowanie celu badawczego (postawienie pytań i hipotez)
określenie rzeczowego, przestrzennego i czasowego zasięgu badań rodzaje wykorzystywanego materiału badawczego i metod jego gromadzenia określenie sposobu opracowania i prezentacji zebranego materiału określenie metod analizy tego materiału określenie reguł wnioskowania b) gromadzenie materiału badawczego materiał pierwotny (pozyskany przez nas) lub wtórny (już istniejący) c) opracowanie i prezentacja zebranego materiału podział uporządkowanego materiału według kryteriów na podstawie interesujących nas cech zliczenie pogrupowanych danych interpretacja zebranego materiału i pogrupowanie wartości (tabele lub wykresy) d) opis statystyczny (analiza badanej zbiorowości) oblicznie miar czyli charakterystyk opisowych badanej zbiorowości (statystyka opisowa) e) wnioskowanie statystyczne zastosowanie testów na podstawie których dokonuje się uogólnień do całe zbiorowości II. 15.X 1. Grupowanie statystyczne: a) grupowanie typologiczne ma na celu wyróżnienie jednorodnych grup jakościowych b) grupowanie wariancyjne ma na celu uporządkowanie badanej zbiorowości i poznanie jej struktury. Polega na łączeniu w klasy jednostek statystycznych o odpowiednich wartościach cech statystycznych. Szeregi statystyczne występują przy użyciu grupowania wariancyjnego. Jest to ciąg wielkości statystycznych uporządkowanych według określonego kryterium. Rodzaje szeregów statystycznych: a) szereg szczegółowy uporządkowanych ciąg wartości badanej cechy statystycznej, w wypadku małej ilości danych. Można go uporządkować malejąco lub rosnąco. b) szereg rozdzielczy zbiorowość statystyczne podzielona na części (klasy) według określonej cechy mierzalnej jakościowej lub ilościowej, z podaniem liczebności dla każdej z wyodrębnionych klas (rozkład empiryczny) szereg rozdzielczy I typu każdy wariant cechy stanowi osobną klasę szereg rozdzielczy II typu występują przedziały od/do, które zawsze mają dolną granicę (x d ) i górną. Różnica między dolną a górną granicą to rozpiętość przedziału (l).
3. Przedstawienie graficzne wyników a) histogram (wykres słupkowy) zbiór prostokątów, których podstawy są wyznaczone na osi odciętych, stanowiąc rozpiętości poszczególnych przedziałów klasowych. atomiast wysokości są określone na osi rzędnych, przez liczebności odpowiadające poszczególnym przedziałom klasowym b) wielobok liczebności linia łamana powstała z połączenia punktów, których współrzędnymi są środki przedziałów klasowych (x i`), czyli średnia arytmetyczna (dolna granica +górna granica / ) c) szereg skumulowany szereg powstały z szeregu rozdzielczego przez kolejne dodawanie (kumulowanie) przedziałów klasowych oraz odpowiadających im wartości (n cum ) 4. Opis struktury badanej grupy opisujemy przy pomocy parametrów. Jednym z nich są miary tendencji centralnej: a) średnie klasyczne: średnia arytmetyczne xa xi ' średnia harmoniczna średnia geometryczna b) średnie pozycyjne (zajmują w szeregu szczególną pozycję) dominanta wartość tej zmiennej, która w szeregu statystycznym występuje najczęściej D n0 nn 1 xd + l ( n0 nn 1) + ( n0 nn + 1) x d dolna granica przedziału najliczniejszego l rozpiętość przedziału najliczniejszego n 0 liczebność najliczniejszego przedziału n n-1 liczebność przedziału poprzedzającego najliczniejszy n n+1 liczebność przedziału po najliczniejszym kwartyle Q 1 wartość szeregu dzieląca zbiorowość na dwie części tak, że 1 \ 4 Q 1 3 \ 4 Q 1 xd + l n 4 cum 1 Q1 Q 3 - wartość szeregu dzieląca zbiorowość na dwie części tak, że 3 \ 4 Q 1 1 \ 4
Q 3 3 n x 4 d + l cum 1 Q3 mediana wartość środkowa, która dzieli szereg na dwie równe liczebnie części część wartości równych i mniejszych niż mediana i część wartości równych i większych niż mediana M xd + l n cum 1 M x d dolna granica przedziału mediany n \ wyraz środkowy n cum-1 liczebność skumulowana w przedziale poprzedzającym przedział mediany n M liczebność zwykła przedziału mediany III..X 1. Miary rozproszenia (zróżnicowania): Pozwalają na uogólnienie różnic w wartościach cechy, zaobserwowanych u jednostek w badanej zbiorowości. Klasyczne (odchylenie klasyczne, wariancja, odchylenie standardowe, współczynnik zmienności) i pozycyjne (rozstęp, odchylenie ćwiartkowe, współczynnik zmienności dla miar pozycyjnych) a) klasyczne: odchylenie przeciętne (odchylenie średnie) średnia arytmetyczna bezwzględnych wartości odchyleń wartości cechy od średniej arytmetycznej szeregu. Kolejność postępowania: - wyliczamy średnią arytmetyczną szeregu - od poszczególnych wartości zmiennej odejmujemy obliczoną średnią - obliczone odchylenia sumujemy ignorując znaki - dzielimy przez liczebność szeregu ni xi d ( ' xa) wariancja średnia arytmetyczna kwadratów odchyleń poszczególnych wartości zmiennej od ich średniej arytmetycznej
S ni ( xi' xa) odchylenie standardowe pierwiastek kwadratowy wariancji, zmodyfikowany o poprawkę Sheparda, czyli o ile różnią się przeciętnie wartości cech od średniej arytmetycznej S S l 1 l rozpiętość przedziału klasowego współczynnik zmienności wyraża się go w %, im więcej procent tym większe jest zróżnicowanie V V d 100% xa S 100% xa b) pozycyjne: rozstęp: R x max x min odchylenie ćwiartkowe tu badamy tylko połowę ilości przypadków, ale dobre, gdy przedziały są niedomknięte Q Q3 Q1 współczynnik zmienności dla miar pozycyjnych czyli stosunkowe odchylenie ćwiartkowe V Q Q M M mediana Q odchylenie ćwiartkowe IV. 9.X
1. Miary asymetrii a) asymetria rozkładu- określana przez porównywanie x A, m i D: jeżeli x A MD szereg symetryczny. jeżeli x A >M>D rozkład o asymetrii prawostronnej jeżeli x A <M<D rozkład o asymetrii lewostronnej b) rozkłady symetryczne to takie, w których obserwacje rozłożone są równomiernie po obu stronach osi symetrii. c) rozkłady asymetryczne I większość obserwacji znajduje się w przedziałach położonych bliżej początku szeregu, większość cech ma wartości i niskich nominałach. II przedział klasowy zawierający największą liczbę obserwacji przesunięty jest w prawo w ostatnich przedziałach Rozkłady bimodalne dwa wyraźne punkty skupienia rozkłady siodłowe posiada dwa punkty skupienia obserwacji znajdujące się w krańcowych przedziałach (pierwszym i ostatnim) rozkład równomiarowy we wszystkich przedziałach występuje ta sama liczba obserwacji. asymetria dodatnia punkt skupienia znajduje się prze niskich wartościach cechy asymetria ujemna punkt skupienia znajduje się przy wyższych wartościach cechy. d) miernik skośności jest podstawowym miernikiem asymetrii rozkładu
Ms xa D M s 0 symetria M s >0 asymetria prawostronna M s <0 asymetria lewostronna e) współczynnik skośności siła i kierunek skośności xa D Ws S W s (-1, 1) S odchylenie standardowe W s 0 symetria f) pozycyjna miara asymetrii As ( Q3 M ) ( M Q1) ( Q3 M ) + ( M Q1) _ As (-1,1) As (-1,0> - asymetria lewostronna As <0,1) asymetria prawostronna g) moment centralny trzeci w jednostkach standardowych najdokładniejsza miara, bo uwzględnia wszystkie wartości α 3 µ 3 S 3 µ 3 ni ( x 3 ' xi A) α 3 (-,) im bliższy 0 tym asymetria jest słabsza. Miary koncentracji jak bardzo poszczególne obserwacje skupiają się wokół średniej arytmetycznej:
a) kurtoza µ 4 K 4 S µ 3 ni ( x 4 ' xi A) K (-3,3) jeżeli K 3 rozkład normalny V. 5.XI. 1. Rozkład normalny a) pole powierzchni pod krzywą wynosi 1, takie też jest prawdopodobieństwo, że zmienna znajdzie się w przedziale zawierającym się pod krzywą, czyli (-,+ ). Sigma (δ) to odchylenie standardowe w rozkładzie normalnym i od (-δ,+δ) znajduje się 68,6% przypadków (po 34,13% po każdej stronie osi symetrii) b) Oś symetrii rozkładu normalnego to średnia arytmetyczna ( mediana dominanta). Dany jest rozkład normalny X: (x A, δ) z X δ xa VI. 1.XI. 1. Estymacja parametrów rodzaj wnioskowania polegający na szacowaniu parametrów populacji generalnej na podstawie statystyk z próby. a) estymacja punktowa znalezienie konkretnej liczby dla każdego szacowanego parametru. Q t ± D(Tn) D(Tn) - błąd standardowy szacunku T konkretna wartość statystyki tego parametru w próbie b) estymacja przedziałowa wyznaczenie przedziału, w którym z pewnym prawdopodobieństwem znajduje się parametr estymowany. Występuje tu przedział ufności i współczynnik ufności, a długość przedziału ufności wynosi: P[ t zαd( Tn) < Q < t + zαd( Tn)] 1 α Q szacowany parametr
P 1-α - współczynnik ufności t +/-z α D(Tn) granice przedziału ufności z α - zmienna standaryzowana (wartość krytyczna) XA xa + D(Tn) D( Tn) δ n VII. Testy ℵ a) dla tabeli, dane ilościowe i jakościowe 1. ℵ ( n e nt) nt n. ℵ nt e n e liczebności empiryczne, rzeczywiście zaobserwowane w pomiarach n t liczebności teoretyczne, oczekiwane w poszczególnych komórkach k kolumny w wiersze ss ( k 1)( w 1) ℵ obl > ℵ α - nie ma przesłanek do przyjęcia H 0, przyjmujemy H 1 b) dla szeregu, dane ilościowe (rozkład normalny) (n i npi) ℵ npi ss k r 1; gdzie r to liczba parametrów, a k to liczba kolumn - Dla ostatniego wiersza nie obliczamy z; z xi xa δ - Dystrybuanta f(z i ) (z tablic) odejmowanie lub dodawania do z (w zależności od znaku) - P i w pierwszym wierszu D (dystrybuanta)
- kolejne wiersze D n D n-1 - ostatni wiersz 1- D poprzedniego - suma prawdopodobieństw musi być równa 0 VIII. Siła korelacji 1. Współczynnik korelacji c Pearsona. <-1;1>, siła związku: c ℵ ℵ +. Współczynnik korelacji r: r ℵ ( k 1) mniejsza z różnic (k 1) lub (w 1) 3. Współczynnik korelacji V V ℵ ( k 1) \ ( w 1) mniejsza z różnic (k 1) lub (w 1) 4. Związek między cechami ilościowymi współczynnik korelacji r Pearsona r [ nu i i ( i ( nu i i) niu vi niu ][ i)( i nv i i n vi) ( nv i i) r 0 nie ma związku r 1 związek całkowity dodatni (jak jeden w rośnie to drugi też) r -1 związek całkowity ujemny 0< r >1 korelacja dodatnia niedoskonała -1< r >0 korelacja ujemna niedoskonała 0< r >0, bardzo słaba 0,< r >0,3 słaba 0,3< r >0,5 średnia 0,5< r >0,7 silna
0,7< r >1 bardzo silna IX. LICZEIE ZADAIA Z DAYMI ILOŚCIOWYMI W TABLICY KORElACJI 1. Wyznaczamy środki przedziałów klasowych x i i y i.. Wyznaczamy punkty wyjściowe (arbitralne) x 0 i y 0, czyli środki przedziałów przedziału środkowego (w przypadku liczby parzystej np.4 wziąć drugi lub czwarty). 3. Obliczamy wartości odchyleń u i i v i, poszczególnych środków przedziałów klasowych od ich punktów arbitralnych wg: ui xi' x l o vi yi' y l o 4. Obliczamy iloczyny odchyleń i właściwych im liczebności w przedziałach (n i u i i n i v i ) 5. Obliczamy iloczyny kwadratów odchyleń i liczebności w przedziałach 6. Obliczamy iloczyny odchyleń cechy x i cechy y: u i v i (dla każdej komórki) a liczebności te zapisujemy w lewych górnych rogach komórki tablicy 7. Wpisany w lewym górnym roku iloczyn (u i v i ) mnożymy przez liczebność a wynik mnożenia wpisujemy w prawym dolnym rogu komórki 8. Wpisany w prawych dolnych rogach komórek iloczyny - n i u i v i sumujemy w poziomie i pionie a wyniki sumowań zapisujemy w ostatnim wierszu i ostatniej kolumnie i to też sumujemy 9. Sprawdzamy poprawność obliczeń poprzez porównanie sumy w ostatnim wierszu i ostatniej kolumnie. Powinny się równać.