WYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ (II rok WNE)

Transkrypt

1 WYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ (II rok WNE) Agata Boratyńska Agata Boratyńska Statystyka matematyczna, wykład 1 1 / 33

2 Warunki zaliczenia 1 Ćwiczenia OBOWIĄZKOWE (max. 3 nieobecności) 2 Zaliczenie ćwiczeń: kolokwium I (30 pkt), kolokwium II (40 pkt), kartkówki i prace domowe (30 pkt) 3 Ocena z ćwiczeń OC: ocena pozytywna min 50 pkt 4 Do egzaminu dopuszczeni wszyscy, którzy chodzili na ćw. 5 Egzamin: (zakres materiału z wykładu + ćw.) 8 zadań, każde po 2 pkt. Ocena z egzaminu OE =liczba zdobytych punktów /3 6 Ocena końcowa OK = max{oe; 1/3OC + 2/3OE}, zaokrąglona. Osoba mająca 2 z ćwiczeń (dopuszczona do egz.) musi mieć 9 pkt z egz. Przy zaliczonych ćwiczeniach, gdy OK 2, 5 ocena końcowa pozytywna 7 Gdy w I terminie 7 pkt z egz., zaliczone ćwiczenia. Agata Boratyńska Statystyka matematyczna, wykład 1 2 / 33

3 Literatura 1 W. Niemiro Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna, SNS W. Niemiro Statystyka, wniem/statystyka/statystyka.pdf 3 A. Boratyńska Wykłady ze statystyki matematycznej, aborata/ekonomia/wykladsm.pdf 4 slajdy na str. aborata 5 A. Boratyńska Zadania ze statystyki matematycznej, aborata/ekonomia/zadsek2.pdf 6 J. Koronacki i J. Mielniczuk Statystyka WNT H. Kassyk-Rokicka, Statystyka, zbiór zadań, 2005 lub inne wyd. 8 R. Zieliński Siedem wykładów wprowadzających do statystyki matematycznej, PWN wojtek.zielinski.statystyka.info/moj ojciec/public html/7all.pdf 9 A. Jokiel-Rokita i R. Magiera, Modele i metody statystyki matematycznej w zadaniach, Oficyna Wyd. GiS, Wrocław inne: Jóźwiak i Podgórski, Silvey, Aczel, Rao Agata Boratyńska Statystyka matematyczna, wykład 1 3 / 33

4 Tematyka zajęć Statystyka opisowa Indeksy (tylko na ćwiczeniach) Model statystyczny, pojęcie statystyka Estymacja punktowa Estymacja przedziałowa Weryfikacja hipotez statystycznych Wstęp do statystyki bayesowskiej Agata Boratyńska Statystyka matematyczna, wykład 1 4 / 33

5 Wykład 1 - statystyka opisowa 1 Statystyka opisowa i statystyka matematyczna 2 Prezentacja danych: dane surowe tabela prezentacja graficzna 3 Miary położenia klasyczne pozycyjne Agata Boratyńska Statystyka matematyczna, wykład 1 5 / 33

6 Sławni o statystyce Statystyka jest bardziej sposobem myślenia lub wnioskowania niż pęczkiem recept na młócenie danych w celu odsłonięcia odpowiedzi C. R. Rao... statystyka jest nauką o tym, jak wykorzystywać informacje do analizy i wytyczania kierunków działania w warunkach niepewności. V. Barnett Comparative Statistical Inference Nauka...zajmuje się głównie budową modeli. Model rozumiany jest jako matematyczny twór, który, po dodaniu słownej interpretacji, opisuje badane zjawiska. Jedynym i właściwym uzasadnieniem takiego tworu... jest oczekiwanie, że sprawdzi się on w działaniu. John von Neumann Kłamstwo, wierutne kłamstwo, statystyka Liczby nie kłamią ale kłamcy liczą Ch. H. Grosvenor Prawa naukowe nie są formułowane na mocy autorytetów ani uzasadniane przez wiarę czy średniowieczną filozofię. Jedynym sądem odwoławczym dla nowej wiedzy jest statystyka P.C. Mahanalobis Agata Boratyńska Statystyka matematyczna, wykład 1 6 / 33

7 Statystyka a statystyka matematyczna STATYSTYKA - nauka poświęcona metodom badania i analizowania zjawisk masowych; polega na systematyzowaniu obserwowanych cech ilościowych i jakościowych oraz przedstawianiu wyników w postaci zestawień tabelarycznych, wykresów, diagramów itp. Zajmuje się zbieraniem, przetwarzanie, przedstawianiem danych oraz wniskowaniem na ich podstawie. STATYSTYKA MATEMATYCZNA - dział matematyki stosowanej oparty na rachunku prawdopodobieństwa, zajmuje się badaniem zbiorów i wnioskowaniem o pewnych charakterystykach cech (zmiennych losowych) na podstawie znajomości podzbiorów i obserwacji wartości zmiennej losowej w postaci próby losowej. Agata Boratyńska Statystyka matematyczna, wykład 1 7 / 33

8 Statystyka opisowa, dane populacja - zbiór obiektów z wyróżnioną cechą, zbiorowość poddawana badaniu. cecha - wielkość losowa charakteryzująca obiekty danej populacji lub interesująca badacza zmienna losowa: cecha ilościowa (mierzalna): skokowa np: ocena, liczba dzieci ciągła np: waga, zarobki jakościowa (niemierzalna) np: kolor oczu, płeć, wykształcenie jednostka badania - element populacji poddany badaniu próba - wybrana część populacji poddana badaniu, zbiór jednostek badania BADANIE badanie pełne - obejmuje całą populację (np. spis powszechny) badanie reprezentacyjne - obejmuje część populacji Wnioskowanie o całej populacji na podstawie próby losowej wymaga metod rachunku prawdopodobieństwa. Agata Boratyńska Statystyka matematyczna, wykład 1 8 / 33

9 PREZENTACJA DANYCH Cel: przejrzystość Sposób (zależy od danych): tabela wykres, prezentacja graficzna Dane surowe jednostka cecha X cecha Y cecha Z... 1 x 1 y 1 z x 2 y 2 z x 3 y 3 z Agata Boratyńska Statystyka matematyczna, wykład 1 9 / 33

10 Prezentacja - cecha skokowa Tabela - szereg rozdzielczy punktowy (tablica kontyngencji) wartości cechy liczności częstość częstość (liczba jednostek) skumulowana x 1 n 1 f 1 = n 1 n f 1 x 2 n 2 f 2 = n 2 n f 1 + f x k n k f k = n k n 1 Razem n 1 Wykres - wykres słupkowy liczności - wykres słupkowy częstości - dystrybuanta empiryczna (wykres słupkowy skumulowany) Agata Boratyńska Statystyka matematyczna, wykład 1 10 / 33

11 Cecha skokowa - przykład PRZYKŁAD 1. W grupie 20 studentów oceny z egzaminu ze statystyki były następujące: Dane w szeregu ocena liczba studentów częstość częstość skumulowana 2 2 0,10 0, ,30 0, ,25 0, ,20 0, ,05 0, ,10 1 Razem 20 1 Agata Boratyńska Statystyka matematyczna, wykład 1 11 / 33

12 liczba studentów częstość Przykład 1 cd, wykresy słupkowe Wykres słupkowy (diagram) liczności 7 ocena z egzaminu Wykres słupkowy (diagram) częstości 0,35 ocena z egzaminu 6 0,30 5 0,25 4 0, ,15 0,10 0,05 0 2,00 3,00 3,50 4,00 4,50 5,00 ocena 0,00 2,00 3,00 3,50 4,00 4,50 5,00 ocena Agata Boratyńska Statystyka matematyczna, wykład 1 12 / 33

13 częstość skumulowana Przykład 1 cd, dystrybuanta empiryczna 1,20 histogram częstości skumulowanych (dystrybuanta empiryczna) 1,00 0,80 0,60 0,40 0,20 0,00 0,00 1,00 2,00 3,00 4,00 5,00 6,00 ocena Agata Boratyńska Statystyka matematyczna, wykład 1 13 / 33

14 Prezentacja - cecha (zmienna) ciągła Tabela - szereg rozdzielczy przedziałowy Wykres: - histogram częstości - histogram liczności - dystrybuanta empiryczna - łamana częstości skumulowanych Agata Boratyńska Statystyka matematyczna, wykład 1 14 / 33

15 Szereg rozdzielczy przedziałowy przedział środek przedziału liczności częstości częstości skumulowane (c 0, c 1 ] c 1 n 1 f 1 = n 1 n f 1 (c 1, c 2 ] c 2 n 2 f 2 = n 2 n f 1 + f (c k 1, c k ] c k n k f k = n k ki=1 n f i = 1 Uwagi: c i = c i 1+c i 2 Najczęściej klasy o jednakowej długości lub o zbliżonej liczności Liczba klas k spełnia 3 4 n k n liczbę klas można też dobierać ustalając długość, jedna z reguł to b 2, 64 IQR n 1 3 gdzie IQR - rozstęp międzykwartylowy Klasy jednakowej długości, to b Xn:n X 1:n k X 1:n - najmniejsza obserwacja, X n:n - największa obserwacja Agata Boratyńska Statystyka matematyczna, wykład 1 15 / 33

16 Cecha ciągła - przykład PRZYKŁAD 2. Powierzchnię mieszkań w pewnym osiedlu podaje tabela 32,45 33,21 34,36 35,78 37,79 38,54 38,91 38,96 39,50 39,67 39,80 41,45 41,55 42,27 42,40 42,45 44,25 44,50 44,70 44,83 44,90 45,10 45,90 46,52 47,65 48,10 48,55 48,90 49,00 49,24 49,55 49,65 49,70 49,90 50,90 51,40 51,50 51,65 51,70 51,80 51,98 52,00 52,10 52,30 53,65 53,89 53,90 54,00 54,10 55,20 55,30 55,56 55,62 56,00 56,70 56,80 56,90 56,95 57,13 57,45 57,70 57,90 58,00 58,50 58,67 58,80 59,23 63,40 63,70 64,20 64,30 64,60 65,00 66,29 66,78 67,80 68,90 69,00 69,50 73,20 76,80 77,10 77,80 78,90 79,50 82,70 83,40 84,50 84,90 85,00 86,00 89,10 89,60 93,00 96,70 98,78 103,00 107,90 112,70 118,90 Agata Boratyńska Statystyka matematyczna, wykład 1 16 / 33

17 Przykład 2 cd przedział środek liczba mieszkań częstości razem Agata Boratyńska Statystyka matematyczna, wykład 1 17 / 33

18 Histogram i łamana skumulowana Histogram - wykres słupkowy, którego podstawę stanowią przedziały klasowe, a wysokości słupków są proporcjonalne do liczności n i poszczególnych klas. Jeżeli wysokości są równe licznościom klas to mamy histogram liczności, jeżeli częstościom to histogram częstości. Jeżeli klasy nie mają równej długości wysokość słupków określa się wg wzoru h i = f i b i gdzie f i - to częstość, a b i - długość klasy (porównaj histogramy - przykład 2, 3) Łamana skumulowana - łącząc punkty o współrzędnych (c i, cn i ) otrzymujemy łamaną liczności skumulowanych, a łącząc punkty o współrzędnych (c i, cf i ) otrzymujemy łamaną częstości skumulowanych. Agata Boratyńska Statystyka matematyczna, wykład 1 18 / 33

19 częstości częstość skumulowana Przykład 2 cd, wykresy 0,35 Histogram częstości Łamana częstości skumulowanych 0,30 0,25 1,20 1,00 0,20 0,80 0,15 0,60 0,10 0,40 0,05 0,20 0, powierzchnia mieszkania 0,00 0,00 20,00 40,00 60,00 80,00 100,00 120,00 powierzchnia mieszkania Agata Boratyńska Statystyka matematyczna, wykład 1 19 / 33

20 Przykład 3, dane asymetryczne Agata Boratyńska Statystyka matematyczna, wykład 1 20 / 33

21 Przykład 3 cd, wykresy Szereg rozdzielczy 0,0007 histogram c i 1 c i n i h i , , , , , , , , > , ,0006 0,0005 0,0004 histogram 0,0003 0,0002 0, Agata Boratyńska Statystyka matematyczna, wykład 1 21 / 33

22 CHARAKTERYSTYKI PRÓBKOWE miary położenia miary zróżnicowania, zmienności, rozproszenia miary asymetrii miary koncentracji MIARY POŁOŻENIA: klasyczne - średnia arytmetyczna pozycyjne: mediana, moda, kwantyle Agata Boratyńska Statystyka matematyczna, wykład 1 22 / 33

23 Średnia arytmetyczna X z próby losowej X 1, X 2,..., X n (dane surowe) X = X 1 + X X n n dane z szeregu rozdzielczego punktowego X = 1 k x i n i n i=1 dane z szeregu rozdzielczego przedziałowego X 1 k c i n i n i=1 Agata Boratyńska Statystyka matematyczna, wykład 1 23 / 33

24 Średnia - przykłady PRZYKŁAD 1 cd. X = PRZYKŁAD 2 cd. dla danych z szeregu rozdzielczego = 3.5 X = 1 ( ) = Uwaga: jeżeli dostępne są dane surowe zaleca się korzystanie ze wzoru pierwszego. Agata Boratyńska Statystyka matematyczna, wykład 1 24 / 33

25 MEDIANA (wartość środkowa) Mediana Med to liczba, taka że co najmniej 50% obserwacji przyjmuje wartość nie większą od niej i co najmniej 50% obserwacji wartość nie mniejszą od niej. dane surowe, szereg rodzielczy punktowy: ustawiamy rosnąco, i-tą obserwację w ciągu ustawionym rosnąco oznaczamy symbolem X i:n i nazywamy i-tą statystyką pozycyjną. W szczególności X 1:n = min{x 1, X 2,..., X n } X n:n = max{x 1, X 2,..., X n } { X n+1 Med = 2 :n gdyn nieparzyste 1 2 (X n 2 :n + X n+2 :n) gdyn parzyste PRZYKŁAD 1 cd. Med = X 10:20 + X 11: = 3, 5 + 3, 5 2 = 3, 5 Agata Boratyńska Statystyka matematyczna, wykład 1 25 / 33

26 Mediana - dane z szeregu rozdzielczego przedziałowego Med c L + b ( ) n M 1 n M 2 n i i=1 c L - dolna granica klasy mediany b - szerokość klasy mediany n M - liczność klasy mediany M - numer klasy PRZYKŁAD 2 cd. dla danych z szeregu rozdzielczego M = 3, n 3 = 33, c L = 50, b = 10 Med (50 34) = 54, Agata Boratyńska Statystyka matematyczna, wykład 1 26 / 33

27 Moda (dominanta) Moda (dominanta) Mo - wartość najczęściej powtarzająca się w próbie (często zakłada się, że nie może być to wartość największa ani najmniejsza) Przy danych z szeregu rozdzielczego Mo c L + n Mo n Mo 1 (n Mo n Mo 1 ) + (n Mo n Mo+1 ) b n Mo - liczność najliczniejszej klasy zwanej klasą mody, c L - lewy koniec klasy mody PRZYKŁAD 1 cd. Mo = 3 PRZYKŁAD 2 cd Mo = 53, PRZYKŁAD 3 cd. 0, , Mo = 354, , , , Agata Boratyńska Statystyka matematyczna, wykład 1 27 / 33

28 Porównanie średniej, mediany, mody PRZYKŁAD 4. Miesięczne zarobki zasadnicze pracowników z wyższym wykształceniem w pewnej firmie zarobki liczba osób Razem 31 X = 3506 Med = X 16:31 = 3100 Mo = 3000 Jeżeli z danych wyrzucimy największą obserwację to mediana i moda się nie zmienią a średnia będzie równa 3223 Agata Boratyńska Statystyka matematyczna, wykład 1 28 / 33

29 Średnia, moda, mediana - uwagi średnia jest nieodporna na obserwacje odstające, mediana jest najbardziej odporna na zaburzenia, niedokładności pomiaru, zmiany, wartości odstające moda - stosuje się do danych pogrupowanych Agata Boratyńska Statystyka matematyczna, wykład 1 29 / 33

30 Kwantyle Kwantyl próbkowy rzędu p ozn. Q p liczba taka, że odsetek wartości nie większych niż Q p wynosi co najmniej p, a wartości nie mniejszych co najmniej 1 p. Q p = { Xnp:n+X np+1:n 2 gdy np Z X [np]+1:n w pp lub Q p = X [np]+1:n Agata Boratyńska Statystyka matematyczna, wykład 1 30 / 33

31 Kwartyle Interpretacja Pierwszy kwartyl (dolny kwartyl) Q 1/4 - to taka wartość cechy, że co najmniej 25% obserwacji przyjmuje wartość nie większą od niej i co najmniej 75% obserwacji wartość nie mniejszą od niej. Drugi kwartyl = Mediana Trzeci kwartyl (kwartyl górny) Q 3/4 - to taka wartość cechy, że co najmniej 75% obserwacji przyjmuje wartość nie większą od niej i co najmniej 25% obserwacji wartość nie mniejszą od niej. Kwartyle dzielą próbę na cztery części (ze względu na liczność), w każdej jest w przybliżeniu 25% obserwacji. PRZYKŁAD 1 cd. Q 1/4 = X 5:20 + X 6:20 = 3 2 Q 3/4 = X 15:20 + X 16:20 2 = 4 Agata Boratyńska Statystyka matematyczna, wykład 1 31 / 33

32 Kwartyle, dane z szeregu rodzielczego Q 1/4 c L + gdzie c L - dolna granica klasy kwartyla b - szerokość klasy kwartyla n M1 - liczność klasy kwartyla M 1 - numer klasy Q 3/4 c L + gdzie c L - dolna granica klasy kwartyla b - szerokość klasy kwartyla - liczność klasy kwartyla n M3 M 3 - numer klasy b n M1 b n M3 n M i=1 3n M i=1 n i n i n Agata Boratyńska Statystyka matematyczna, wykład 1 32 / 33

33 Porównanie wskaźników dla danych surowych i szeregu rozdzielczego Przykład 2 cd. Przykład 3 cd. miara dane surowe szereg rozdzielczy średnia 59,58 58,70 mediana 55,25 54,85 Q 1/4 47,88 46,09 Q 3/4 67,29 66,67 miara dane surowe szereg rozdzielczy średnia 2992, ,29 mediana Q 1/4 417,5 450 Q 3/4 2824,5 2945,45 Agata Boratyńska Statystyka matematyczna, wykład 1 33 / 33