MATEMATYKA DYSKRETNA

MATEMATYKA DYSKRETNA Wykład I Dr inż. Jolanta Błaszczuk Instytut Matematyki Politechnika Częstochowska

Kontakt Dr inż. Jolanta Błaszczuk Instytut Matematyki Częstochowa, ul. Dąbrowskiego 73, pok. 184 tel.: 34 3250 322 e-mail: jolanta.blaszczuk@im.pcz.pl konsultacje: 14 00-15 30 wtorek Opis przedmiotu Forma zajęć: 30 godzin wykładu i 30 godzin ćwiczeń [4 ECTS] Wykład wprowadza aparat matematyczny niezbędny do konstruowania i analizy algorytmów. Składa się z elementów kombinatoryki, teorii grafów i teorii liczb. Tematy 1. Indukcja matematyczna 2. Rekurencja 3. Zliczanie zbiorów i funkcji 4. Sumy skończone i rachunek różnicowy 5. Współczynniki dwumianowe 6. Permutacje i podziały 7. Funkcje tworzące 8. Funkcje tworzące w zliczaniu obiektów kombinatorycznych 9. Asymptotyka 10. Teoria liczb 1

11. Arytmetyka modularna 12. Grafy 13. Metody algebraiczne w teorii grafów Literatura 1. http://wazniak.mimuw.edu.pl 2. N.L.Biggs, Discrete mathematics, Oxford University Press 1989. 3. B.Bollobas, Modern graph theory, Springer 1998. 4. V.Bryant, Aspekty kombinatoryki, Wydawnictwa Naukowo- Techniczne 2007. 5. Th.H.Cormen, Ch.E.Leiserson, R.L.Rivest, C.Stein, Wprowadzenie do algorytmów, WNT, 2004. 6. R.Diestel, Graph theory, Springer 1997. 7. R.L.Graham, D.E.Knuth, O.Patashnik, Matematyka konkretna, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 2008. 8. J.Grygiel, Wprowadzenie do matematyki dyskretnej, Akademicka Oficyna Wydawnicza EXIT 2007. 9. M.Libura, J.Sikorski, Wykłady z matematyki dyskretnej Cz.I: Kombinatoryka, Wydawnictwo WIT, Warszawa 2005. 10. M.Libura, J.Sikorski, Wykłady z matematyki dyskretnej Cz.II: Teoria grafów, Wydawnictwo WIT, Warszawa 2005. 11. W.Lipski, Kombinatoryka dla programistów, Wydawnictwa Naukowo-Techniczne 2004. 12. W.Lipski, W.Marek, Analiza kombinatoryczna, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1986. 13. L.Lovász, K.Vesztergombi, Discrete mathematics, Lecture Notes, Yale University, 1999. 2

14. Z.Palka, A.Ruciński, Wykłady z kombinatoryki, Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, Warszawa 1998. 15. G.Polya, R.E.Tarjan, D.R.Woods, Notes on introductory combinatorics, Birkhauser 1983. 16. J.Riordan, An introduction to combinatorial analysis, Princeton University Press 1978. 17. K.A.Ross, Ch.R.B.Wright, Matematyka Dyskretna, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 2008. 18. K.A.Rybnikow (redaktor), pr. zb., Analiza kombinatoryczna w zadaniach, Państwowe Wydawnictwo Naukowe 1988. 19. A.Szepietowski, Matematyka dyskretna, Wydawnictwo Uniwersytetu Gdańskiego 2004. 20. R.J.Wilson, Wprowadzenie do teorii grafów, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1985. Czym zajmuje się matematyka dyskretna? Matematyka dyskretna - zbiorcza nazwa wszystkich działów matematyki, które zajmują się badaniem struktur nieciągłych, to znaczy zawierających zbiory skończone lub co najwyżej przeliczalne (czyli dyskretne). Matematyka dyskretna stała się popularna w ostatnich latach dzięki zastosowaniom w informatyce, która w sposób naturalny zajmuje się jedynie strukturami skończonymi. 3

Działy matematyki, które wchodzą w skład matematyki dyskretnej: algebra liniowa kombinatoryka kryptografia logika matematyczna programowanie liniowe teoria gier teoria relacji teoria grafów teoria informacji teoria liczb Zbiory Zbiór jest to pojęcie podstawowe, niedefiniowane. Zbiory oznaczamy wielkimi literami np.: A, X, S, T, natomiast ich elementy - małymi : a, x, s, t. Pewne szczególne, często występujące zbiory, mają swoje własne nazwy np.: N = {0,1,2,3, } - zbiór liczb naturalnych Z + = {1,2,3, } - zbiór liczb całkowitych dodatnich Z = {0, ±1, ±2, ±3, } - zbiór liczb całkowitych Q = {m/n: m,n Z n 0} - zbiór liczb wymiernych 4

IQ - zbiór liczb niewymiernych R = Q IQ - zbiór liczb rzeczywistych Przykład 1 Wypiszmy elementy zbioru { n 2 : n N }. {0,1,4,9,16,25,36, } oznacza nieskończony zbiór liczb naturalnych, które są kwadratami liczb naturalnych. Mówimy, że zbiór A jest podzbiorem zbioru B (A B) jeżeli każdy element zbioru A należy do zbioru B. Przykład 2 Z + N Z Q R Zbiór wszystkich podzbiorów zbioru A nazywamy zbiorem potęgowym zbioru A i oznaczamy symbolem: P(A). Wszystkich podzbiorów zbioru A jest 2 A, gdzie A oznacza moc zbioru A. Przykład 3 Wyznaczmy wszystkie podzbiory zbioru A={a, b, c, d}. 5

P(A)= { ø, {a}, {b}, {c}, {d}, {a,b}, {a,c}, {a,d}, {b,c}, {b,d}, {c,d}, {a,b,c}, {a,b,d}, {a,c,d}, {b,c,d}, {a,b,c,d}=a } Zbiór potęgowy ma 2 4 =16 elementów (podzbiorów). Szczególnym rodzajem zbioru jest alfabet. Alfabetem nazywamy skończony niepusty zbiór Σ. Jego elementami są symbole (litery alfabetu Σ). Słowem danego alfabetu nazywamy dowolny skończony ciąg liter zbioru Σ. Zbiór wszystkich słów zbudowanych z liter alfabetu Σ oznaczamy Σ*. Dowolny podzbiór zbioru Σ* nazywamy językiem nad alfabetem Σ*. Słowo puste to ciąg niezawierający liter i oznaczony przez λ. Przykład 4 a) Przyjmijmy alfabet Σ = { 0,1} Σ* jest zbiorem nieskończonym: Σ*={ λ, 0,1, 00, 01, 10, 11, 001, 010, 011, 100, 101, 110, } b) Przyjmijmy alfabet Σ = { } W tym przypadku Σ* również jest zbiorem nieskończonym: Σ*={ λ,,,,, } 6

Na zbiór Σ trzeba nałożyć pewne ograniczenia: należy zadbać aby zbiór Σ nie zawierał liter, które są ciągami liter rozpoczynającymi się od litery należącej do Σ. Przykład 5 Przyjmijmy alfabet Σ= {x, y, xy}. Jak odczytać słowo xxyy? Czy: (x) (x) (y) (y) a może (x) (xy) (y)? Bez powyższego ograniczenia nie można jednoznacznie zinterpretować tego ciągu liter. Teraz możemy już zdefiniować długość słowa w Σ* jako liczbę liter alfabetu Σ w słowie w zliczając każde jej wystąpienie. Przykład 6 Niech Σ= {0, 1}. Słowo w 1 =001 jest długości 3, tak jak słowa w 2 =010, w 3 =011, w 4 =100, w 5 =101 i w 6 =111. Działania na zbiorach Działania na zbiorach pozwalają na tworzenie nowych zbiorów ze starych. 7

suma zbiorów A B = { x: x A lub x B lub x należy do obu zbiorów }. iloczyn zbiorów (przecięcie zbiorów, część wspólna) A B = { x: x A i x B }. Zbiory A i B są rozłączne, jeśli nie mają wspólnych elementów, tzn. A B = ø. różnica zbiorów A \ B = { x: x A i x B } Różnicą zbiorów A i B jest zbiór powstały przez usunięcie ze zbioru A tych wszystkich elementów zbioru B, które należały też do zbioru A. różnica symetryczna zbiorów A B = { x: x A lub x B, ale x nie należy do obu zbiorów jednocześnie}. A B = ( A \ B ) ( B \ A ). dopełnienie zbioru A Dla zbioru A U różnicę zbiorów U \ A nazywamy dopełnieniem lub uzupełnieniem zbioru A i oznaczamy symbolem A C ( stosuje się też oznaczenie A ). U oznacza zbiór uniwersalny, uniwersum. Przykład 7 Dane są zbiory: A = { 1,2,3,4,5 } i B = { 1,2,6 }, U = { 1,2,3,4,5,6,7}. Wyznaczmy: A B = { 1,2,3,4,5,6 } A B = { 1,2 } A \ B = { 3,4,5} B \ A = { 6 } 8

A B = { 3,4,5,6 } A C = { 6,7 } B C = { 3,4,5,7 } Relacje Często chcemy porównywać lub przeciwstawiać sobie różne elementy zbioru, na przykład po to, by ustawić je w jakiejś kolejności lub zgrupować razem elementy o podobnych własnościach. Matematyczne podstawy opisywania takich struktur w zbiorach daje teoria relacji. W tej części wykładu wprowadzimy pojęcie relacji i omówimy ich związek z grafami skierowanymi i macierzami. Rozważmy dwa zbiory S i T. Dla każdego elementu s zbioru S i każdego elementu t zbioru T tworzymy parę uporządkowaną (s,t). Element s jest tu pierwszym elementem pary uporządkowanej (poprzednikiem), t jest drugim elementem (następnikiem) i kolejność tych elementów jest istotna. Zbiór wszystkich par uporządkowanych (s,t) nazywamy iloczynem kartezjańskim (produktem) zbiorów S i T i oznaczamy przez S T. S T = { (s,t): s S t T } Jeśli S=T, to czasami piszemy S 2 zamiast S S (relacja uniwersalna). Przykład 8 Niech S = { 1, 2, 3, 4 } i niech T = { a, b, c }. 9

a) Ile par uporządkowanych należy do zbioru S T, a ile do zbioru T S? Wypisz elementy tych zbiorów. b) Ile par uporządkowanych należy do zbioru S S? Wypisz elementy tego zbioru. a) Zbiór S x T składa się z dwunastu par uporządkowanych: S T = { (1,a), (1,b), (1,c), (2,a), (2,b), (2,c), (3,a), (3,b), (3,c), (4,a), (4,b), (4,c) }. Zbiór T S składa się również z dwunastu par uporządkowanych: T S = { (a,1), (a,2), (a,3), (a,4), (b,1), (b,2), (b,3), (b,4), (c,1), (c,2), (c,3), (c,4) }. Można zauważyć, że T S S T. b) Zbiór S S składa się z szesnastu par uporządkowanych: S x S = { (1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4) }. Pojęcie iloczynu kartezjańskiego odgrywa zasadniczą rolę w opisywaniu związków między elementami dwóch zbiorów. Dokonuje się tego poprzez podanie tak zwanej relacji binarnej w iloczynie kartezjańskim. Relacja dwuargumentowa (binarna) Dla danych zbiorów S i T relacją dwuargumentową na zbiorze S T jest dowolny podzbiór R zbioru S T. 10

Przykład 9 Rozważmy zbiór P programów, które mogą być wykonane na danym komputerze oraz katalog C gotowych programów, które mogą być wykorzystywane przez inne programy. Określamy relację na zbiorze C P, mówiąc, że gotowy program c jest w relacji z programem p œ P, jeśli program p wywołuje program c jako podprogram. Często używany program c jest w relacji z wieloma programami p, natomiast program c, który nigdy nie jest wywoływany, nie jest w relacji z żadnym programem p. Jeśli f:søt, to funkcję f utożsamia się ze zbiorem R f = { (x,y) œ S T: y = f(x) }, który jest relacją na zbiorze S T. Oczywiście nie wszystkie relacje są funkcjami. Jeśli traktujemy funkcje jako relacje, to funkcja ze zbioru S w zbiór T jest szczególnym rodzajem relacji R na zbiorze S T, mianowicie jest taką relacją, że dla każdego x œ S istnieje dokładnie jeden y œ T taki, że (x,y) œ R. Zatem funkcje są to relacje, dla których ma sens zapis funkcyjny: f(x) jest jedynym elementem zbioru T takim, że para (x,f(x)) należy do R f. W przypadku S=T mówimy, że podzbiór R zbioru S x S jest relacją w zbiorze S. Relację odwrotną R -1 do relacji R definiujemy następująco: R -1 ={ (y,x) œ T S: (x,y) œ R } Relacja R w zbiorze S jest: zwrotna jeśli (x,x) œ R dla wszystkich x œ S, 11

przeciwzwrotna - (x,x) R dla wszystkich x œ S, symetryczna - (x,y) œ R implikuje (y,x) œ R dla wszystkich x,y œ S, antysymetryczna - (x,y) œ R i (y,x) œ R implikują x=y, przechodnia - (x,y) œ R i (y,z) œ R implikują (x,z) œ R. Jeśli zbiory S i T są zbiorami skończonymi, to dowolną relację R w iloczynie kartezjańskim S T można w wygodny sposób zilustrować albo w postaci tak zwanego rysunku grafu relacji albo w postaci tablicy relacji. Przykład 10 Weźmy relację R 1 na zbiorze {0,1,2,3} określoną przez. Zatem (m,n) œ R 1 wtedy i tylko wtedy, gdy m n. Rysunek grafu relacji R 1 jest diagramem zawierającym umowne symbole oraz łączące je strzałki. Zauważamy, że narysowaliśmy strzałki od m do n, jeśli tylko (m,n) œ R 1, 1 R 1 0 2 3 jednakże nie narysowaliśmy ich na pętlach 0Ø0, 1Ø1 itd. R 1 ={(0,0), (0,1), (0,2), (0,3), (1,1), (1,2), (1,3), (2,2), (2,3),(3,3)} Zbadajmy własności tej relacji. Relacja jest zwrotna. Wszystkie pary postaci (x,x) należą do relacji R 1 : {(0,0), (1,1), (2,2), (3,3)}. 12

Nie jest relacją symetryczną. Np. para (0,1) nie implikuje pary (1,0). Sprawdzimy teraz, czy relacja jest przechodnia. (0,0) i (0,1) implikują (0,1) (0,0) i (0,2) implikują (0,2) (0,0) i (0,3) implikują (0,3) (0,1) i (1,1) implikują (0,1) (0,1) i (1,2) implikują (0,2) (0,1) i (1,3) implikują (0,3) (0,2) i (2,2) implikują (0,2) (0,2) i (2,3) implikują (0,3) (0,2) i (2,3) implikują (0,3) (0,3) i (3,3) implikują (0,3) itd. Relacja jest przechodnia. Tablica relacji R S T zawiera S wierszy, odpowiadających poszczególnym elementom zbioru S, oraz T kolumn, które odpowiadają kolejnym elementom zbioru T. Pole tablicy, leżące na przecięciu wiersza przyporządkowanego elementowi s oraz kolumny przyporządkowanej elementowi t, zawiera symbol albo symbol 1 wtedy i tylko wtedy, gdy (s,t) R. Pozostałe pola tablicy albo są puste, albo są wypełnione zerami. W przypadku użycia symboli 1 oraz 0, tablica relacji odpowiada zero-jedynkowej macierzy, która również może być używana do zapisu relacji R. Przykład 11 Rozważmy dwa zbiory skończone: zbiór A={ 1,2,3,4 } i zbiór B={ {1,2}, {1,4} }. Elementami zbioru A są cztery liczby naturalne, natomiast elementami zbioru B są dwa 13

dwuelementowe podzbiory zbioru liczb naturalnych. Niech R A B będzie relacją przynależności do zbioru w iloczynie kartezjańskim zbiorów A i B. Zbiór R zawiera zatem następujące cztery pary uporządkowane: (1,{1,2}), (1,{1,4}), (2,{1,2}), (4,{1,4}). Tablica relacji {1,2} {1,4} 1 1 1 2 1 0 3 0 0 4 0 1 Literatura do wykładu I 1. K.A.Ross, Ch.R.B.Wright, Matematyka Dyskretna, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 2008. 2. M.Libura, J.Sikorski, Wykłady z matematyki dyskretnej Cz.I: Kombinatoryka, Wydawnictwo WIT, Warszawa 2005. 3. A.Szepietowski, Matematyka dyskretna, Wydawnictwo Uniwersytetu Gdańskiego 2004. 4. L.Lovász, K.Vesztergombi, Discrete mathematics, Lecture Notes, Yale University, 1999. 5. N.L.Biggs, Discrete mathematics, Oxford University Press 1989. 6. http://wazniak.mimuw.edu.pl 14

ZESTAW ZADAŃ DO WYKŁADU I Zadanie 1 Wypisz po pięć elementów każdego z następujących zbiorów: a) { n N: liczba n jest podzielna przez 5} b) {n N: liczba n+1 jest pierwsza} Ile elementów mają powyższe zbiory? Zadanie 2 Wypisz elementy następujących zbiorów: a) { 1/n: n=1,2,3,4} b) {n 2 -n: n=0,1,2,3,4} c) {1/n 2 : n Z +, liczba n jest parzysta i n<11} d) {2+(-1) n : n N} e) { n N: n 2 =2} f) { x R: x 2 =2} Ile elementów mają powyższe zbiory? Napisz, jeśli zbiór jest nieskończony. Zadanie 3 Niech U={1,2,3,4,5,,12}, A={1,3,5,7,11}, B={2,3,5,7,11}, C={2,3,6,12} i D={2,4,8}. Wyznacz zbiory: A B, A C, (A B) C C, A\B, C\D, A C, A B. Ile podzbiorów ma zbiór B\C? Zadanie 4 Rozważ zbiory: A = { n Z + : liczba n jest nieparzysta} B = { n Z + : liczba n jest pierwsza} C = { 4n+3: n Z + } D = { x R: x 2-8x+15=0} Które z tych zbiorów są podzbiorami innych z tych zbiorów? Rozpatrz wszystkie szesnaście możliwości. Zadanie 5 Wyznacz wszystkie podzbiory zbioru A={e,f,g,h,i}. Zadanie 6 Niech Σ={a,b}. Wypisz po pięć elementów każdego ze zbiorów: a) { w Σ* : długość(w) 2} b) { w Σ* : długość(w) = 4} Który z tych zbiorów zawiera słowo puste? Wypisz wszystkie podzbiory zbioru Σ. Zadanie 7 Rozważ następujące trzy alfabety: Σ 1 ={a,b,c}, Σ 2 ={a,b,ca}, Σ 3 ={a,b,ab}. 15

Do którego ze zbiorów Σ* 1, Σ* 2, Σ* 3 należy każde poniższe słowo i określ długość tego słowa jako elementu każdego zbioru do którego ono należy: aba, bab, cba, cab, caab, baab. Zadanie 8 Niech Σ={a,b}, A={ λ,a,aa,aaa }, B={ λ,b,bb,bbb } i C= { w Σ* : długość(w) 2} Wyznacz zbiory: A B, A B, A\B, B\A, A C, B\C, C\A, A\Σ. Zadanie 9 Niech S = { 0, 1, 2, 3, 4 } i niech T = { 0, 2, 4 }. a) Ile par uporządkowanych należy do zbioru S x T, a ile do zbioru T x S? b) Wypisz i wykonaj rysunek grafu zbioru {(m,n) œ S x T: m<n} c) Wypisz i wykonaj rysunek grafu zbioru {(m,n) œ T x S: m<n} d) Wypisz i wykonaj rysunek grafu zbioru {(m,n) œ S x T: m+n 3} e) Wypisz i wykonaj rysunek grafu zbioru {(m,n) œ S x S:m+n=10} Zadanie 10 Wypisz elementy tych spośród następujących zbiorów, które mają mniej niż siedem elementów. Dla większych zbiorów wypisz dokładnie siedem elementów danego zbioru. a) {(m,n) œ N 2 : m=n} b) {(m,n) œ N 2 : liczba m + n jest pierwsza} c) {(m,n) œ Z + 2 : m=6} d) {(m,n) œ Z + 2 : min(m,n)=3} e) {(m,n) œ N 2 : m 2 =n} Zadanie 11 Niech R 2 będzie relacją na zbiorze {1,2,3,4,5} określoną tak, że (m,n) œ R 2 wtedy i tylko wtedy, gdy m-n jest liczbą parzystą. Zapisz relację jako zbiór par uporządkowanych, wykonaj rysunek grafu zbioru, zbuduj tablicę relacji. Zadanie 12 Niech R 2 będzie relacją z zadania 11. Wypisz elementy relacji odwrotnej do R 2, wykonaj rysunek grafu zbioru, zbuduj tablicę relacji Zadanie 13 Dla następujących relacji w zbiorze S = {0,1,2,3} określ, które z własności: zwrotna, przeciwzwrotna, symetryczna, antysymetryczna, przechodnia spełniają te relacje. Narysuj wykres każdej z relacji. Nie rysuj strzałek, jeśli relacja jest symetryczna. a) (m,n) œ R 1, jeśli m+n=3, b) (m,n) œ R 2, jeśli m+n 4 c) (m,n) œ R 3, jesli max(m,n)=3. d) (m,n) œ R 4, jeśli mn=m, e) (m,n) œ R 5, jeśli m 2 +n 2 =2, 16