Równowaga i stabilność gospodarki konkurencyjnej z zapasami

Uniwersytet Ekonomiczny w Poznaniu Wydział Informatyki i Gospodarki Elektronicznej Katedra Ekonomii Matematycznej Streszczenie rozprawy doktorskiej Równowaga i stabilność gospodarki konkurencyjnej z zapasami Monika Naskręcka Promotor: dr hab. Piotr Maćkowiak Poznań 2015

Teoria równowagi ogólnej od wielu lat pozostaje niezmiennie w centrum zainteresowania ekonomistów zajmujących się matematyczną teorią rynku. Za jej prekursora uznaje się powszechnie L. Walrasa. W swojej książce Éléments d économie politique pure z roku 1874 opracował on zręby teorii produkcji i wymiany w gospodarce konkurencyjnej oraz zaproponował matematyczny model takiej gospodarki. Zdefiniował pojęcie równowagi i postawił pytanie, czy stan równowagi w takiej gospodarce konkurencyjnej w ogóle istnieje. Odpowiedzi szukał budując proste modele wymiany pomiędzy dwoma i trzema konsumentami. Proces dostosowywania cen towarów do ich poziomu w równowadze Walras nazwał procesem tâtonnement. Walras prowadził również rozważania nad stabilnością stanu równowagi oraz sformułował paradygmat stanowiący, że łączna wartość popytu jest zawsze równa łącznej wartości podaży, nazywany dzisiaj prawem Walrasa. W tym samym czasie szereg elementów matematycznej teorii równowagi ogólnej zostało opracowanych niezależnie przez wielu wybitnych ekonomistów z tamtego okresu - F. Edgewortha, S. Jevonsa, V. Pareto, czy też A. Marshalla. 1 Znaczne zainteresowanie tematem wzrosło jednak dopiero w XX wieku. W 1941 roku P. Samuleson w swoim artykule 2 skrytykował dotychczasowe rozważania nad procesami dynamicznymi i stabilnością stanów równowagi w badanych modelach oraz przedstawił pierwsze własne matematyczne modele, w których do opisu dynamiki cen wykorzystał równania różniczkowe. Kluczowe pozostawało cały czas pytanie, czy w przedstawianych modelach gospodarek konkurencyjnych istnieje równowaga. W roku 1954 ukazały się jednocześnie dwie prace - K. Arrowa i G. Debreu 3 oraz L. McKenziego 4, których autorzy przedstawili (na gruncie modelowym) dowody istnienia cen równowagi w gospodarce konkurencyjnej. Późniejsze badania nad teorią równowagi ogólnej skupiały się przede wszystkim na stabilności stanu równowagi. Pierwsze próby zostały podjęte przez K. Arrowa 1 F. Y. Edgeworth. Mathematical Psychics. C. Kegan Paul and Co., 1988. A. Marshall. Principles of Economics. Macmillan and Co., London, 1920. 2 P. A. Samuelson. The stability of equilibrium: Comperative statics and dynamics. Econometrica, (9):97 120, 1941. 3 K.J. Arrow and G. Debreu. Existence of an equilibrium for a competitive economy. Econometrica, 22(3):265 290, 1954. 4 L. W. McKenzie. On equilibrium in Graham s model of world trade and other competitive systems. Econometrica, 22(2):147 161, 1954. 2

i L. Hurwicza. W swoich pracach 5 przedstawili oni dowód stabilności trajektorii cen w kilku modelach gospodarki konkurencyjnej. Dowody zawierały jednak pewne błędy, które wytknął im H. Scarf 6. W odpowiedzi w pracy z 1962 roku 7 autorzy wskazali warunki, przy których ich dowody są prawdziwe. W dowodach wykorzystali teorię Lapunowa. Założenia przyjmowane przez K. Arrowa i L. Hurwicza w pracy zostały jednak skrytykowane przez wielu ekonomistów. Zarzucano, że proponowane przez nich modele nie są do końca poprawne, ponieważ dopuszczają wymianę dopiero przy cenach równowagi, a nie uwzględniają procesu dochodzenia gospodarki (rynku) do równowagi. Dało to impuls do powstania nowej klasy modeli równowagi ogólnej typu non-tâtonnement, opisujących wymianę pomiędzy konsumentami a producentami w czasie rzeczywistym, także gdy ceny są odległe lub dopiero zbliżają się do cen równowagi. Pierwszymi pracami na ten temat były publikacje T. Negishiego 8 z roku 1961 oraz 1962, F. Hahna i T. Negishiego 9 z roku 1962 oraz H. Uzawy 10 z roku 1962. Ich autorzy rozważali prosty model wymiany, w którym biorą udział tylko konsumenci przybywający na rynek po to, aby wymienić się towarami. Transakcje kupna-sprzedaży zachodzą w każdym momencie, bez względu na to, czy rynek jest w równowadze, czy nie. Autorzy zwrócili uwagę na to, że w ich modelach nie pojawiają się punkty niestabilne, które (bez silnych założeń) występowały we wcześniejszych pracach. Zaproponowali oni proste modele opisujące dynamikę cen oraz ilości towarów będących w posiadaniu konsumentów. Przeprowadzili też dowód stabilności cen 5 K.J. Arrow and L. Hurwicz. On the stability of the competitive equilibrium I. Econometrica, 26:522 552, 1958. K.J. Arrow, H.D. Block, L. Hurwicz. On the stability of the competitive equilibrium II. Econometrica, 27:82 109, 1959. 6 H. Scarf. Some examples of global instability of the competitive equilibrium. International Economic Review, 1(3):157 172, 1960. 7 K.J. Arrow and L. Hurwicz. Competitive stability under weak gross substitutability: Nonlinear price adjustment and adaptive expectations. International Economic Review, 3(2):233 255, 1962 8 T. Negishi. On the formation of prices. International Economic Review, 2(1):122 126, 1961. T. Negishi. The stability of a competitive economy. A survey article. Econometrica, 30(4):1635 669, 1962. 9 F. Hahn and T. Negishi. A theorem on non-tâtonnement stability. Econometrica, 30(3):463 469, 1980. 10 H. Uzawa. On the stability of Edgeworth s barter process. International Economic Review, 3(2):218 232, 1962. 3

równowagi wykorzystując metodę Lapunowa. W kolejnych latach teoria równowagi ogólnej rozwijała się jednak coraz wolniej. Wielu ekonomistów, m. in. H. Scarf, F. Ackerman, A. Kirman, zaznaczało w swoich pracach, że modele gospodarki konkurencyjnej badane w teorii równowagi ogólnej przedstawiają wymianę w sposób daleki od rzeczywistości oraz że przyjmuje się w nich zbyt silne założenia, bez których udowodnienie stabilności cen równowagi jest niemożliwe. Na przełomie XX i XXI wieku ponownie podjęto tę tematykę, widząc duże możliwości jej dalszego rozwoju właśnie w modelach typu non-tâtonnement. Prace, które zaczęły się ukazywać jednoznacznie zaprzeczyły głoszonemu wcześniej końcowi tej teorii. F. Fisher w swoich pracach 11 próbował stworzyć model wymiany pomiędzy konsumentami a producentami. Dokonał tego przy założeniu, że producenci podejmują produkcję dopiero, gdy na rynku ustalą się ceny równowagi. Dopiero wtedy konsumenci mogą też nabyć wyprodukowane towary. Fisher odszedł w swoich pracach od powszechnie przyjętej definicji stanu równowagi. Nie przedstawił niestety dowodu istnienia ani stabilności cen równowagi. Różne modele typu non-tâtonnement zostały przedstawione w pracach opublikowanych już w XXI wieku, zob. G. Giraud 12, D. Katzner 13, M. Kitti 14, Y. Balasko 15, czy też E. Panek 16. Żadna z tych prac, nie zawierała jednak kompletnego opisu wymiany pomiędzy konsumentami a producentami na rynku. Skupiały się one zazwyczaj na prostej wymianie pomiędzy konsumentami i nie zawierały dowodów istnienia cen równowagi ani ich stabilności. W niniejszej pracy przedstawiamy nowe podejście do opisu gospodarki konku- 11 F. M. Fisher. On price adjustment without an auctioneer. The Review of Economic Studies, 39(1):1 15, 1972. F. M. Fisher. The Hahn process with firms but no production. Econometrica, 42(3):471 486, 1974. F. M. Fisher. A non-tâtonnement model with production and consumption. Econometrica, 44(5):907 938, 1976. 12 G. Giraud. From non-tâtonnement to monetary dynamics within general equilibrium theory: the limit-price exchange process. CNRS, 2009. 13 D. W. Katzner. The current non-status of general equilibrium theory. Review of Economic Design, (14):203 219, 2010. 14 M. Kitti. Convergence of iterative tâtonnement without price normalization. Journal of Economic Dynamics and Control, 34:1077 1091, 2010. 15 Y. Balasko. Out of equilibrium price dynamics. Economic Theory, 33(3):413 435, 2007. 16 E. Panek. System Walrasa i zapasy. Przeglad statystyczny, (58):195 204, 2011. 4

rencyjnej za pomocą modeli typu non-tâtonnement. Prezentujemy model wymiany, w którym producenci mogą gromadzić zapasy, jeżeli wyprodukowali więcej towarów, niż potrzebują ich konsumenci. Zgromadzone zapasy towarów mogą być następnie wykorzystane (dostarczone na rynek), gdy popyt konsumentów na nie przekroczy ich bieżącą produkcję. Głównym celem pracy jest przedstawienie nowego podejścia do opisu gospodarki konkurencyjnej za pomocą modeli typu non-tâtonnement. Istotne dla zrealizowania celu głównego są następujące cele pomocnicze pracy: (1) Budowa modeli gospodarki konkurencyjnej z zapasami celem tej części doktoratu jest zbudowanie matematycznych modeli, które opisywałyby dynamikę cen w gospodarce konkurencyjnej. W momencie, gdy na rynku pojawia się nadwyżka podaży nad popytem, przedsiębiorcom zostają zapasy, które w prostych modelach nie są uwzględniane. W zaproponowanych przeze nas modelach uwzględnione są zapasy pojawiające się na rynku, ich dynamika oraz ich wpływ na dynamikę cen. (2) Badanie równowagi i stabilności zaproponowane modele gospodarki konkurencyjnej przebadaliśmy pod kątem istnienia w niej cen równowagi oraz stabilności opisywanej gospodarki. Celem pracy jest udowodnienie możliwości opisu procesów zachodzących w gospodarce w momencie nierównowagi za pomocą układu dynamicznego oraz pokazanie, że nałożenie na modele dodatkowych warunków, które przybliżają model gospodarki konkurencyjnej do rzeczywistości, nie wpływa na stabilność takiego modelu. (3) Symulacje dla zaproponowanego modelu gospodarki konkurencyjnej dla zaproponowanego modelu bez kosztów przechowywania zapasów przeprowadzamy symulacje przebiegu trajektorii cen oraz trajektorii zapasów. Celem tej części projektu jest uzyskanie wizualizacji jak przy zadanych warunkach początkowych dla modeli przebiegać będą trajektorie cen oraz zapasów oraz jak różnić będą się oczekiwania konsumentów od ich faktycznej sytuacji na rynku. Przedstawiamy dwa modele, w których dokładnie opisujemy zachowanie konsumentów i producentów w gospodarce konkurencyjnej. W pierwszym z nich producenci nie ponoszą kosztów przechowywania zapasów. Dochody konsumentów pocho- 5

dzą z ich udziałów w zyskach przedsiębiorstw ze sprzedaży towarów i zapasów oraz z pracy, którą oferują przedsiębiorstwom. Drugi model to model gospodarki konkurencyjnej z zapasami oraz kosztami ich przechowywania. Wprowadzenie do modelu kosztów wywołuje zmiany w zachowaniu producentów, którzy są bardziej skłonni do tego, aby w pierwszej kolejności sprzedawać zapasy, a dopiero później produkować towary. Wpływa to na zmianę postaci funkcji podaży, natomiast istota całego modelu dynamicznego nie zmienia się. Dla obu modeli prezentujemy dowody istnienia funkcji popytu oraz podaży, ich ciągłości oraz pewne dodatkowe własności. Dowodzimy istnienia cen równowagi ogólnej, wskazujemy warunki, przy których ceny te są wyznaczone jednoznacznie z dokładnością do struktury oraz ich własności, jak np. prawo Walrasa czy twierdzenia ekonomii dobrobytu. Prezentowane modele różnią się znacząco od modeli dotychczas przedstawianych w literaturze. Opisujemy w nich zarówno dynamikę cen, jak i dynamikę zapasów towarów w gospodarce. Dynamika cen jest podobna jak w klasycznych modelach. Natomiast dynamika zapasów opisana jest za pomocą nieciągłego układu równań różniczkowych: ṗ i (t) = σf i (p(t), φ(t)), φ i (t) = H i (p(t), φ(t)), gdzie i = 1, 2,..., n + 1 oraz t - czas (zmienia się on w sposób ciągły), t R + ; σ > 0 - współczynnik siły reakcji cen na zmianę popytu i podaży; p(t) = (p 1 (t),..., p n (t), p n+1 (t)) - wektor cen towarów (w tym pracy) w momencie t; φ(t) = (φ 1 (t), φ 2 (t),..., φ n (t), 0) - wektor zapasów towarów w gospodarce w momencie t; f (p(t), φ(t)) = (f 1 (p(t), φ(t)),..., f n (p(t), φ(t)), f n+1 (p(t), φ(t))) - wektor całkowitego popytu konsumentów na towary w gospodarce w momencie t; g(p(t)) = (g 1 (p(t)),..., g n (p(t)), g n+1 (p(t))) - wektor całkowitej podaży bieżącej towarów wytwarzanych w gospodarce w momencie t; 6

F i (p(t), φ(t)) = f i (p(t), φ(t)) g i (p(t)) φ i (t) - popyt nadwyżkowy na towar i-ty w gospodarce w momencie t, i = 1, 2,..., n, n + 1; oraz H i (p(t), φ(t)) = gdy φ i (t) (0, A i ) lub (φ i (t) = 0 i F i (p(t), φ(t)) + φ i (t) 0) F i (p(t), φ(t)) (1 + β)φ i (t), lub (φ i (t) = A i i F i (p(t), φ(t)) (1 + β)φ i (t)) 0 w pozostałych przypadkach, i = 1, 2,..., n, β (0, 1) jest stopą deprecjacji zapasów i H n+1 (p(t), φ(t)) = 0. W momencie początkowym t = 0 ceny towarów, a także wielkość ich zapasów, są ustalone p i (0) = p 0 i > 0, i = 1, 2,..., n + 1, φ i (0) = φ 0 i [0, A i ], i = 1, 2,..., n, φ n+1 (0) = 0, gdzie A i > 0 oznacza maksymalny dopuszczalny poziom zapasów towaru i w gospodarce. Na zmianę zapasów towarów ma wpływ różnica pomiędzy podażą towarów na rynku (pomniejszoną o deprecjację zapasów), a wielkością popytu na nie. Według naszej wiedzy proponowane modele są pierwszymi w literaturze, które opisują zmiany zapasów za pomocą konkretnej funkcji mającej przejrzystą interpretację ekonomiczną. Udowadniamy ciąg lematów i twierdzeń, które sa warunkami koniecznymi i wystarczającymi na globalną asymptotyczną stabilność gospodarki konkurencyjnej. Oba modele ilustrujemy na prostych przykładach rynku z trzema konsumentami oraz dwoma producentami oraz prezentujemy wyniki symulacji przeprowadzonych na podstawie modelu bez kosztów przechowywania zapasów. 7