SPÓJNOŚĆ Graf jest spójny, gdy dla każdego podziału V na dwa rozłączne podzbiory A i B istnieje krawędź z A do B. Definicja równoważna: Graf jest spójny, gdy każde dwa wierzchołki są połączone ścieżką (będącą podgrafem danego grafu). (ćw) Ścieżka to graf postaci: V={v 1,...v k }, E={v 1 v 2,...,v k-1 v k }. Wierzchołki v 1 i v k to końce ścieżki.
Składowe spójności Relacja,,być połączonymi ścieżką (tzn. być końcami ścieżki) jest relacją równoważności (zwrotna, symetryczna, przechodnia). (ćw) Klasy abstrakcji tej relacji indukują składowe spójności grafu. Inaczej, składowe spójności to maksymalne podgrafy spójne.
Wierzchołki i krawędzie cięcia Wierzchołek v nazywamy wierzchołkiem cięcia grafu G, gdy podgraf G-v ma więcej składowych spójności niż G. Krawędź e nazywamy krawędzią cięcia grafu G, gdy podgraf G-e ma więcej składowych spójności niż G. Wniosek: Krawędź e jest krawędzią cięcia grafu G, wgdy nie leży na żadnym cyklu w G. (ćw)
Minimalne grafy spójne Ile najmniej krawędzi ma graf spójny? Jeśli G ma cykl, to można z niego usunąć dowolną krawędź bez rozspójniania G. Wiemy, że jeśli e(g)>n-1, to G zawiera cykl (ćw). Stąd, G ma co najwyżej n-1 krawędzi. Wiemy też, że istnieje ciąg v 1,...,v n taki, że dla każdego i istnieje j>i takie, że v I v j jest krawędzią (patrz: algorytm zachłanny). Zatem e(g)=n-1
Drzewa, lasy, liście Drzewo to graf spójny bez cykli (a więc, minimalny graf spójny). Las to graf acykliczny (a więc, rozłączna suma drzew) Liść to wierzchołek wiszący drzewa. Fakt: Każde drzewo ma co najmniej dwa liście. Dowód: Spójrz na końce najdłuższej ścieżki.
Własności drzew Tw. NWSR: (ii) T jest drzewem; (iii) T jest spójny i e(t)=n-1 (iv) każde 2 wierzchołki są połączone dokładnie 1 ścieżką; (v) T jest spójny i każda krawędź jest krawędzią cięcia; (vi) po dodaniu dowolnej krawędzi powstaje dokładnie 1 cykl.
Drzewa rozpięte Drzewo rozpięte w grafie G, to podgraf T taki, że V(T)=V(G) i T jest drzewem. Każdy graf spójny zawiera przynajmniej 1 rozpięte drzewo. Graf pełny K n ma ich n n-2 (Cayley, 1889)
Rozłączne rozpięte drzewa Lepszą miarą spójności grafu jest maksymalna liczba rozłącznych rozpiętych drzew (RRD). Jeśli G ma k RRD, to e( G) k( v( G) 1) Nie jest to jednak warunek dostateczny!
Ilustracja 1 v=5 e=8 k=2
Ilustracja 2 v=7 e=12 k=2? A A v=3 e=3 k=1
Odległości w grafie Odległość d G (u,v) między wierzchołkami u i v w spójnym grafie G to długość najkrótszej ścieżki łączącej u i v. Odległość wierzchołków jest metryką (ćw) Średnicą diam(g) grafu G nazywamy największą odległość w G. Np. diam(k n )=1, diam(c 2n )=n, diam(p n )=n Ale diam(k n -e)=diam(k 1,n )=2
Zbiory rozdzielające A,B dowolne podzbiory V(G) Ścieżkę P o końcach a i b nazywamy A-B ścieżką, gdy V ( P) A = { a}, V ( P) B = { b} Jeśli A={u}, B={v}, to piszemy u-v ścieżka. Mówimy, że zbiór wierzchołków (krawędzi) X rozdziela A i B, gdy każda A-B ścieżka zawiera element zbioru X.
Ilustracja A B X
Zbiory rozdzielające c.d. Mówimy, że X rozdziela G, gdy w G-X istnieją wierzchołki u i v takie, że X rozdziela {u} i {v}. Wtedy zbiór X nazywamy, odpowiednio, cięciem wierzchołkowym lub cięciem krawędziowym. Jeśli X={v} rozdziela dwa wierzchołki tej samej składowej grafu G, to v jest wierzchołkiem cięcia. Krawędź, która rozdziela swoje końce, to krawędź cięcia. Wierzchołek (krawędź) cięcia stanowi 1- elementowe cięcie wierzchołkowe (krawędziowe)
Bloki Maksymalny, spójny podgraf H grafu G, bez wierzchołków cięcia (w H) nazywamy blokiem Dwa bloki mają co najwyżej 1 wspólny wierzchołek, który jest wtedy wierzchołkiem cięcia grafu G; każda krawędź należy do innego bloku; G jest sumą swoich bloków. B 2 B 1 B 3 B 4 B 5
Graf bloków Graf bloków grafu G to dwudzielny graf o dwupodziale (A, B), gdzie A to zbiór wierzchołków cięcia, B zbiór bloków G, a krawędź łączy a A i B B gdy a V ( B) Fakt. Graf bloków jest lasem. (ćw.) 2 3 4 2 3 4 1 5 1 5
k-spójność Graf G jest k-spójny, gdy V(G) >k i nie ma cięcia wierzchołkowego mocy mniejszej niż k (inaczej: G-X jest spójny zawsze, gdy X jest zbiorem wierzchołków mocy X <k). Każdy graf jest 0-spójny. Każdy spójny graf oprócz K 1 jest 1-spójny. Blok jest maksymalnym 2-spójnym podgrafem, chyba, że jest mostem lub wierzchołkiem izolowanym.
Stopień spójności Stopień spójności κ(g) to największe k, dla którego G jest k-spójny. Np. κ(g)=0 gdy G jest niespójny; κ(k n )=n-1 Jeśli G nie jest grafem pełnym, to κ(g) jest mocą najmniejszego cięcia wierzchołkowego w G.
Grafy 2-spójne Tw. Graf G jest 2-spójny wgdy można go otrzymać z cyklu przez sukcesywne dodawanie ścieżek zaczepionych obydwoma końcami w dotychczasowym grafie, tzn. istnieje ciąg grafów H 1,...,H l, gdzie H 1 jest cyklem, H l =G i dla każdego i=2,...,l graf H i jest sumą H i-1 i ścieżki P i o końcach u i i v i takiej, że Dowód na ćw. V ( Pi ) V ( H i 1) = { ui, vi}
Ilustracja H i-1 P i
Krawędziowa k-spójność Graf G jest k-krawędziowo-spójny, gdy V(G) >1 i nie ma cięcia krawędziowego mocy mniejszej niż k (inaczej: G-X jest spójny zawsze, gdy X jest zbiorem krawędzi mocy X <k). Stopień spójności krawędziowej κ (G) to największe k, dla którego G jest k- krawędziowospójny. Równoważnie, κ (G) to moc najmniejszego cięcia krawędziowego w G.
Krawędziowa k-spójność a RRD Jeśli G ma k RRD, to G jest k- krawędziowo-spójny (oczywiste) Jeśli G jest 2k-krawędziowo-spójny, to G ma k RRD (dowód na ćwiczeniach)
κ(g), κ (G), δ(g) Twierdzenie (Whitney, 1930?) κ(g) κ' (G) δ ( G) Dowód: Prawa nierówność: Krawędzie incydentne z dowolnym wierzchołkiem stanowią cięcie krawędziowe. Lewa nierówność: Jeśli G=K n, to κ(g)=κ (G)=n-1.
Lewa nierówność c.d. Niech X będzie najmniejszym cięciem krawędziowym w G nie będącym grafem pełnym. Skoro G-X jest niespójny, to można traktować X jako dwudzielny podgraf G z 2-podziałem V 1, V 2 =V(G)-V 1 X V 1 V 2
Lewa nierówność dokończenie Jeśli V 1 ={v}, to istnieje u taki, że uv nie jest krawędzią w G. Wtedy sąsiedzi v tworzą cięcie wierzchołkowe (rozdziela u i v) mocy nie większej niż X. Jeśli V 1, V 2 >1, to istnieją v w V 1 i u w V 2 takie, że uv nie jest krawędzią w G. Biorąc po 1 końcu każdej krawędzi zbioru X, ale tak by ominąć v i u, otrzymujemy cięcie wierzchołkowe (rozdziela u i v) mocy nie większej niż X.
Ilustracja u d(v)=δ v X V 1 V 2
Tw. Mengera (1927) Jeśli istnieje k parami rozłącznych A-B ścieżek, to każdy zbiór wierzchołków rozdzielający A i B musi mieć moc co najmniej k. Tw 1. Niech A,B będą dowolnymi podzbiorami V (G). Wtedy najmniejsza moc zbioru wierzchołków rozdzielających A i B równa się największej mocy zbioru rozłącznych A-B ścieżek. Bez dowodu.
Ilustracja V 1 V 2
Tw. Königa raz jeszcze Wniosek 1 : Tw. Königa Dowód: Niech G będzie grafem 2-dzielnym o 2-podziale (A,B). Zbiór rozdzielający to pokrycie wierzchołkowe. Rozłączne A-B ścieżki to skojarzenie. A B
A i B -- jednoelementowe Dwie u-v ścieżki nazywamy niezależnymi, gdy ich jedynymi wspólnymi wierzchołkami są ich końce. Wn.2. Niech a i b będą wierzchołkami grafu G. (iii) Jeśli a i b nie są połączone krawędzią, to moc najmniejszego zbioru wierzchołków różnych od a i b, rozdzielającego a i b jest równa mocy największego zbioru niezależnych a-b ścieżek. (iv) Moc najmniejszego zbioru krawędzi rozdzielających a i b jest równa mocy największego zbioru krawędziowo rozłącznych a-b ścieżek.
Dowód Wniosku 2 (i) Zastosuj Tw. 1 do A=N(a) i B=N(b) (ii) Zastosuj Tw. 1 do grafu krawędziowego L(G), A=E(a), B=E(b) a A B b
Globalne Tw. Mengera Tw 2. (Menger, 1927) (i) Graf jest k-spójny wgdy zawiera co najmniej k parami niezależnych ścieżek pomiędzy każdą parą wierzchołków. (ii) Graf jest k-krawędziowo-spójny wgdy zawiera co najmniej k parami krawędziowo rozłącznych ścieżek pomiędzy każdą parą wierzchołków.
Dowód Tw. 2(i) Jeśli G ma k niezależnych ścieżek między każdą parą wierzchołków, to V(G) >k i G nie może mieć cięcia wierzchołkowego mocy mniejszej niż k. Zatem G jest k-spójny. Przypuśćmy, że k-spójny graf G zawiera wierzchołki a i b niepołączone k niezależnymi ścieżkami..
Dowód Tw. 2(i) c.d. Z Wniosku 2(i), ab jest krawędzią. Podgraf G :=G-ab ma co najwyżej k-2 niezależne a-b ścieżki. Ponownie z Wniosku 2(i), istnieje zbiór wierzchołków X mocy X <k-1 rozdzielający a i b w G. Ponieważ V(G) >k, to istnieje w G wierzchołek v taki, że v X { a, b}
Dowód Tw. 2(i) dokończenie X rozdziela w G wierzchołek v od a lub b (powiedzmy od a). Wtedy X powiększony o b rozdziela w G v i a, co przeczy k-spójności G. Dowód Tw. 2 (ii) -- ćwiczenia
Ilustracja a b v X