UWAGI O WŁAŚCIWOŚCIACH LICZBY ZNIEWOLENIA DLA GRAFÓW
|
|
- Bronisława Karpińska
- 7 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 PRACE WYDZIAŁU NAWIGACYJNEGO nr 19 AKADEMII MORSKIEJ W GDYNI 2006 SAMBOR GUZE Akademia Morska w Gdyni Katedra Matematyki UWAGI O WŁAŚCIWOŚCIACH LICZBY ZNIEWOLENIA DLA GRAFÓW W pracy zdefiniowano liczbę zniewolenia dla grafów. Następnie omówiono podstawowe właściwości, a w szczególności dokładne wartości liczby zniewolenia dla grafów pełnych, ścieżek, cykli oraz drzew. Przedstawione zostały także oszacowania górne i dolne dla tej liczby. Na zakończenie podano przykłady wyznaczania liczby zniewolenia w dowolnych grafach. WPROWADZENIE Rozpatrujemy grafy G proste, nieskierowane ze zbiorem wierzchołków V (G) oraz zbiorem krawędzi E (G). Graf nazywamy prostym, gdy nie posiada on pętli i krawędzi wielokrotnych. Pętla to krawędź łącząca wierzchołek z nim samym. Uporządkowany ciąg wierzchołków u 1, u 2,..., u k, taki że każdy wierzchołek występuje w nim co najwyżej raz oraz dla każdego i zachodzi {u i, u i+1 } E (G), nazywamy drogą łączącą dwa wierzchołki u 1 i u k w grafie G. Graf jest nieskierowany, gdy droga potrzebna do pokonania krawędzi nie zależy od kierunku ruchu. Jeśli można dostać się z pierwszego wierzchołka do drugiego, to tą samą drogą można dotrzeć z powrotem. Moc zbioru V (G) nazywamy stopniem grafu. Dla wierzchołka u V (G) sąsiedztwem będzie zbiór N G (u) = N (u) wszystkich wierzchołków będących sąsiadami wierzchołka u. Ogólnie, dla zbioru U V sąsiedztwem będzie zbiór N( U ) = N( u) u U. Stopień wierzchołka u oznaczamy przez d (u) = N (u). Największy stopień wierzchołka w grafie G oznaczamy jako (G), a najmniejszy jako δ (G). Zbiór D V (G) nazywamy zbiorem dominującym grafu G, jeśli D N (D) = V (G). Liczba dominowania jest to natomiast moc najmniejszego zbioru dominującego. Oznaczamy ją γ (G). Grafem spójnym nazywamy graf, w którym każde dwa wierzchołki są połączone drogą. Najmniejsza liczba krawędzi, których usunięcie spowoduje, że graf spójny nie będzie spójny, nazywamy liczbą spójności krawędziowej. 51
2 Dla pary wierzchołków s i t w grafie jest to najmniejsza liczba krawędzi, których usunięcie separuje s i t. Liczbę tę oznacza się najczęściej przez λ. Długość najkrótszej drogi łączącej wierzchołki u i v w tym grafie jest odległością między wierzchołkami u i v w grafie spójnym G, oznaczaną przez d (u, v). Według Brighama, Chinna i Duttona [2] wierzchołek v jest krytyczny wtedy i tylko wtedy, gdy γ (G v) < γ (G). Autorzy ci zdefiniowali również wierzchołkowo krytycznie zdominowany graf G, który tak nazywamy wtedy i tylko wtedy, gdy każdy wierzchołek w G jest krytyczny. Graf jest regularny stopnia r lub inaczej r-regularny, gdy wszystkie wierzchołki mają stopień równy r. Cyklem Cn nazywamy n-wierzchołkowy graf spójny, 2-regularny. Ścieżka P n jest cyklem C n bez jednej krawędzi. Drzewem nazywamy graf spójny, który nie posiada cykli. Z każdego wierzchołka drzewa można dotrzeć do każdego innego wierzchołka i tylko jednym sposobem. Powyższe pojęcia służą do zdefiniowania i pokazania właściwości liczby zniewolenia. 1. PODSTAWOWE WŁAŚCIWOŚCI LICZBY ZNIEWOLENIA Fink, Jacobson, Kinch i Roberts wprowadzając liczbę zniewolenia grafu [4], podali jej następującą definicję: Definicja 1 Liczbą zniewolenia b(g) niepustego grafu G nazywamy najmniejszą moc zbioru krawędzi B E(G), dla których γ (G B) > γ (G). Liczba zniewolenia jest zatem najmniejszą liczbą krawędzi, których usunięcie powoduje wzrost liczby dominowania. Wymienieni już wcześniej autorzy podali też podstawowe właściwości tej liczby [4]. Rozpoczęli od grafów pełnych, czyli takiej rodziny grafów, w której każdy wierzchołek jest sąsiadem wszystkich pozostałych. Dla grafu pełnego stopnia n oznaczanego przez K n prawdziwy jest poniższy lemat [4]. Oznaczenie 1 Przez x oznaczamy najmniejszą część całkowitą liczby x nie mniejszą od x, tzn. x x. Lemat 1 n Liczba zniewolenia dla grafów pełnych K n (n 2) wynosi b( Kn) =. 2 Poniżej, opierając się na [4], pokazano wartości liczby zniewolenia dla cykli C n oraz ścieżek P n. Wcześniej jednak przytoczono lemat, który dotyczy 52
3 liczby dominowania dla cykli i ścieżek długości n [4]. Lemat 2 Liczba dominowania dla cykli i ścieżek rzędu n wynosi odpowiednio: n γ ( ) = dla n 3, 3 C n n γ ( ) = dla n 1. 3 P n Na podstawie powyższego lematu otrzymuje się następujące twierdzenie [4]: Twierdzenie 1 Liczba zniewolenia dla cykli długości n wynosi: 3 dla n 1 (mod 3) b( Cn ) =. 2 w innym przypadku Z powyższego twierdzenia wynika wniosek [4]: Wniosek 1 Liczba zniewolenia dla ścieżki długości n wynosi: 2 n 1 (mod 3) b( P n ) =. 1 w innym przypadku Istotną rolę w teorii grafów odgrywają drzewa. Nadal posługując się wynikami z [4], podano liczbę zniewolenia dla tej rodziny. Twierdzenie 2 Gdy T jest drzewem, to liczba zniewolenia dana jest nierównością b(t ) 2. Z powyższego wysuwa się wniosek: Wniosek 2 Jeśli dowolny wierzchołek w drzewie T sąsiaduje z przynajmniej dwoma wierzchołkami końcowymi, to b(t ) = GÓRNE I DOLNE OGRANICZENIA Obok dokładnych wartości b(g ) uzyskanych w [4] otrzymano też kilka 53
4 górnych ograniczeń. Znajdują się one poniżej [1], [4]. Twierdzenie 3 Jeśli G jest niepustym grafem, to: b(g ) min {deg(u) + deg(v) 1 : u i v są wierzchołkami sąsiednimi}. Łatwo można podać inne oszacowanie. Z powyższego twierdzenia wynika: Wniosek 3 Jeśli (G) oraz δ (G) oznaczają odpowiednią największy i najmniejszy stopień wierzchołka w spójnym grafie G, to b(g) (G) + δ (G) 1. Jest także ograniczenie górne, które wskazuje na związek pomiędzy liczbą zniewolenia a liczbą dominowania [4]. Twierdzenie 4 Jeśli G jest niepustym grafem w liczbą dominowania γ (G) 2, to b(g) (γ (G) 1) (G) + 1. Wyniki twierdzenia można rozszerzyć do przypadku, w którym rozpatruje się dwa wierzchołki w grafie G oddalone od siebie o co najwyżej 2 [1], [5]. Lemat 3 Jeśli G jest nietrywialnym grafem, to b(g) d(u) + d(v) 1 dla każdej pary wierzchołków u i v, dla których zachodzi nierówność d(u, v) 2. Hartnell i Rall [6] oraz niezależnie Teschner [10] znaleźli uogólnienie twierdzenia 3. Lemat 4 Jeśli spójność krawędziowa λ w grafie G spełnia λ (G) 1, to b(g) (G) + λ (G) 1. Następny lemat pokazuje kolejne oszacowania dla pary wierzchołków sąsiadujących [6]. Lemat 5 Jeśli G jest grafem nietrywialnym, to dla każdej pary sąsiednich wierzchołków u i v prawdziwa jest nierówność b(g) d(u) + d(v) 1 N (u) N (v). Ta część artykułu kończy się twierdzeniem, które do tej pory pozostaje problemem otwartym [10]. 54
5 Hipoteza 1 3 Dla dowolnego grafu G b( G) ( G). 2 W kolejnym kroku pokazano znane dolne ograniczenia dla liczby zniewolenia [10]. Twierdzenie 5 Jeśli β (G) = γ (G), to 1) b(g) δ(g), 2) b(g) δ(g) + 1, gdy G jest grafem wierzchołkowo krytycznie zdominowanym. Następnie mamy poniższe ograniczenie [10]. Twierdzenie 6 n Niech G będzie grafem, gdzie 2 γ ( G), wówczas 2 n γ ( G) 1) b( G) min { δ ( G), m }, 2 n γ ( G) 2) b( G) min{ δ ( G) + 1, m }, gdy G jest grafem wierzchołkowo 2 krytycznie zdominowanym. Dla rodziny grafów wierzchołkowo krytycznie zdominowanych istnieje poniższa hipoteza [2]. Hipoteza 2 Gdy graf G jest wierzchołkowo krytycznie zdominowany, to prawdziwa jest nierówność b(g) δ (G) PRZYKŁADY W celu zrozumienia omawianego problemu podano kilka przykładów. Przykład 1 Na rysunku 1 dany mamy graf pełny K 4. Zgodnie z lematem 1 wiemy, że b(k 4 ) = 2, więc usuwamy dwie krawędzie. Wierzchołki należące do 55
6 najmniejszego zbioru dominującego są oznaczone kolorem czarnym. Jak widać w przypadku a) γ (K 4 ) = 1, po usunięciu γ ( K 4 ) = 2. Natomiast w przypadku b) rozpatrujemy graf K 5, dla którego γ (K 5 ) = 1. Zgodnie z lematem 1 znów otrzymujemy b(k 5 ) = 3, czyli usuwamy trzy krawędzie zaznaczone na rysunku linią przerywaną. a) b) K 4 K 4 K 5 K 5 Rys. 1. Liczba zniewolenia dla grafów pełnych K 4 i K 5 W kolejnym przykładzie pokazano zastosowanie lematu 2. Przykład 2 Dane mamy dwa cykle C 6 i C 5, gdzie γ (C 6 ) = 3 i γ (C 5 ) = 2; odpowiednie zbiory dominujące są zaznaczone kolorem czarnym. Zgodnie z lematem 2 otrzymujemy, że b(c 6 ) = 3 i b(c 5 ) = 2. Na rysunku 2 linią przerywaną zaznaczono krawędzie, które można usunąć w celu zwiększenia liczby dominowania. a) C 6 C 6 b) C 7 C 5 56
7 Rys. 2. Liczba zniewolenia dla cykli C 6 i C5 Następny przykład dotyczy drzew. Przykład 3 Na rysunku 3 kolor czarny ponownie oznacza najmniejszy zbiór dominujący wierzchołków. Drzewo T jest przykładem drzewa, dla którego b(t ) = 2. Natomiast dla drzewa W mamy b(w) = 1. Jest to zgodne z twierdzeniem 2. Linią przerywaną oznaczono krawędzie, których usunięcie powoduje wzrost liczby dominowania. a) T T b) W W Rys. 3. Liczba zniewolenia dla drzew Przykład 4 Mamy dany dowolny graf A i chcemy określić dla niego wielkość b(a). Liczba dominowania dla tego grafu wynosi 2. Najmniejszy zbiór dominujący jest zaznaczony czarnymi wierzchołkami (rys. 4). Żeby określić liczbę zniewolenia, usuwamy najpierw pojedyncze krawędzie, za każdym razem sprawdzamy, czy liczba dominowania wzrasta. Gdy tak nie jest, zaczynamy usuwać krawędzie parami. I znów sprawdzamy wzrost liczby dominowania. Kolejny krok to usuwanie trójek krawędzi. I tu widzimy, że dla grafu B właśnie b(a) = 3, bo wystarczy usunąć trójkę krawędzi zaznaczoną w grafie B. Widać, że w grafie B, gdy odrzucimy oznaczone linią przerywaną 3 krawędzie, liczba dominowania wyniesie 3. Odpowiedni zbiór dominujący jest oznaczony czarnymi wierzchołkami. 57
8 A B Rys. 4. Liczba zniewolenia dla dowolnego grafu 6-wierzchołkowego 5. PODSUMOWANIE Teoria dominowania jest wykorzystywana najczęściej przy analizie sieci komunikacyjnych, takich jak na przykład sieć komputerowa. Sieć taka składa się z połączeń komunikacyjnych pomiędzy ustalonym zbiorem stron. Problemem jest wybór najmniejszego zbioru stron, na których można umiejscowić nadajniki, tak aby każda strona w sieci nieposiadająca nadajnika miała bezpośrednie połączenie ze stroną, na której ten nadajnik się znajduje. Problem ten sprowadza się do znalezienia najmniejszego zbioru dominującego w grafie, który odpowiada strukturze tej sieci. Wierzchołek odpowiada każdej stronie, a krawędź istnieje tylko wtedy, gdy odpowiednie strony mają bezpośrednie połączenie. Nasuwa się pytanie, co będzie, gdy połączenie zawiedzie. Jaka jest więc najmniejsza liczba połączeń, które należy rozłączyć, aby konieczne było dołożenie co najmniej jednego nadajnika dla zachowania komunikacji między wszystkimi stronami sieci? Innymi słowy teorię liczby zniewolenia możemy wykorzystać przy analizie wrażliwości danej sieci komputerowej na atak intruza, bądź awarię połączenia. I tu pojawia się kolejne pytanie: ilu połączeń taki intruz musi pozbawić daną sieć, żeby przestała być ona siecią wszystkich podpiętych komputerów? Można się też zastanawiać nad użytecznością tej liczby przy ustalaniu strategii bezpieczeństwa dla klastrów w ośrodkach obliczeniowych na wypadek awarii jednego z podzespołów. LITERATURA 1. Bauer D., Harary F., Nieminen J., SuJel C.L., Domination alteration sets in graphs, Discrete Math. 47, (1983). 2. Brigham R.C., Chinn P., Dutton R.D., Vertex domination-critical graphs, Networks 18, (1988). 3. Dunbar J.E., Haynes T.W., Teschner U., Volkmann L., Bondage, insensitivity, and reinforcement, [w:] T.W. Haynes, S.T. Hedetniemi, P.J. Slater (Eds.), Domination in Graphs: Advanced Topics, Marcel Dekker, New York, (1998). 58
9 4. Fink J.F., Jacobson M.S., Kinch L.F., Roberts J., The bondage number of graph, Discrete Math. 86, (1990). 5. Hartnell B.L., Rall D.F., A bound on the size of a graph with given order and bondage number, Discrete Math. 198, (1999). 6. Hartnell B.L., Rall, D.F. Bounds on the bondage number of a graph, Discrete Math. 128, (1994). 7. Kang L., Yuan J., Bondage number of planar graphs, Discrete Math. 222, (2000). 8. Teschner U., A counterexample to a conjecture on the bondage number of a graph, Discrete Math. 122, (1993). 9. Teschner U., A new upper bound for the bondage number of graphs with small domination number, Australas. J. Combin., 27 35, 12 (1995). 10. Teschner U., New results about the bondage number of a graph, Discrete Math. 171, (1997). REMARKS ON PROPERTIES OF GRAPH BONDAGE NUMBER (Summary) The definition of the bondage number for graphs was introduced. Further, its elementary properties in particular the exact values of the bondage number for complete graphs, paths, cycles and trees were presented. The upper and lower bounds for this number were given as well. Finally, examples of determinig the bondage numbers in optional graphs were presented. 59
Matematyka dyskretna
Matematyka dyskretna Wykład 13: Teoria Grafów Gniewomir Sarbicki Literatura R.J. Wilson Wprowadzenie do teorii grafów Definicja: Grafem (skończonym, nieskierowanym) G nazywamy parę zbiorów (V (G), E(G)),
Kolorowanie wierzchołków Kolorowanie krawędzi Kolorowanie regionów i map. Wykład 8. Kolorowanie
Wykład 8. Kolorowanie 1 / 62 Kolorowanie wierzchołków - definicja Zbiory niezależne Niech G będzie grafem bez pętli. Definicja Mówimy, że G jest grafem k kolorowalnym, jeśli każdemu wierzchołkowi możemy
Drzewa. Jeżeli graf G jest lasem, który ma n wierzchołków i k składowych, to G ma n k krawędzi. Własności drzew
Drzewa Las - graf, który nie zawiera cykli Drzewo - las spójny Jeżeli graf G jest lasem, który ma n wierzchołków i k składowych, to G ma n k krawędzi. Własności drzew Niech T graf o n wierzchołkach będący
SPÓJNOŚĆ. ,...v k. }, E={v 1. v k. i v k. ,...,v k-1. }. Wierzchołki v 1. v 2. to końce ścieżki.
SPÓJNOŚĆ Graf jest spójny, gdy dla każdego podziału V na dwa rozłączne podzbiory A i B istnieje krawędź z A do B. Definicja równoważna: Graf jest spójny, gdy każde dwa wierzchołki są połączone ścieżką
Elementy teorii grafów Elementy teorii grafów
Spis tresci 1 Spis tresci 1 Często w zagadnieniach praktycznych rozważa się pewien zbiór obiektów wraz z zależnościami jakie łączą te obiekty. Dla przykładu można badać pewną grupę ludzi oraz strukturę
Matematyczne Podstawy Informatyki
Matematyczne Podstawy Informatyki dr inż. Andrzej Grosser Instytut Informatyki Teoretycznej i Stosowanej Politechnika Częstochowska Rok akademicki 2013/2014 Twierdzenie 2.1 Niech G będzie grafem prostym
Graf. Definicja marca / 1
Graf 25 marca 2018 Graf Definicja 1 Graf ogólny to para G = (V, E), gdzie V jest zbiorem wierzchołków (węzłów, punktów grafu), E jest rodziną krawędzi, które mogą być wielokrotne, dokładniej jednoelementowych
WYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA
DRZEWA i LASY Drzewem nazywamy graf spójny nie zawierający cykli elementarnych. Lasem nazywamy graf nie zawierający cykli elementarnych. Przykłady drzew i lasów takie krawędzie są wykluczone drzewo las
Suma dwóch grafów. Zespolenie dwóch grafów
Suma dwóch grafów G 1 = ((G 1 ), E(G 1 )) G 2 = ((G 2 ), E(G 2 )) (G 1 ) i (G 2 ) rozłączne Suma G 1 G 2 graf ze zbiorem wierzchołków (G 1 ) (G 2 ) i rodziną krawędzi E(G 1 ) E(G 2 ) G 1 G 2 G 1 G 2 Zespolenie
Podstawowe własności grafów. Wykład 3. Własności grafów
Wykład 3. Własności grafów 1 / 87 Suma grafów Niech będą dane grafy proste G 1 = (V 1, E 1) oraz G 2 = (V 2, E 2). 2 / 87 Suma grafów Niech będą dane grafy proste G 1 = (V 1, E 1) oraz G 2 = (V 2, E 2).
MATEMATYKA DYSKRETNA - MATERIAŁY DO WYKŁADU GRAFY
ERIAŁY DO WYKŁADU GRAFY Graf nieskierowany Grafem nieskierowanym nazywamy parę G = (V, E), gdzie V jest pewnym zbiorem skończonym (zwanym zbiorem wierzchołków grafu G), natomiast E jest zbiorem nieuporządkowanych
Kolorowanie wierzchołków
Kolorowanie wierzchołków Mając dany graf, pokolorować jego wierzchołki w taki sposób, aby każde dwa wierzchołki sąsiednie miały inny kolor. Każda krawędź łączy wierzchołki różnych kolorów. Takie pokolorowanie
Algorytmy grafowe. Wykład 1 Podstawy teorii grafów Reprezentacje grafów. Tomasz Tyksiński CDV
Algorytmy grafowe Wykład 1 Podstawy teorii grafów Reprezentacje grafów Tomasz Tyksiński CDV Rozkład materiału 1. Podstawowe pojęcia teorii grafów, reprezentacje komputerowe grafów 2. Przeszukiwanie grafów
Struktury danych i złożoność obliczeniowa Wykład 5. Prof. dr hab. inż. Jan Magott
Struktury danych i złożoność obliczeniowa Wykład. Prof. dr hab. inż. Jan Magott Algorytmy grafowe: podstawowe pojęcia, reprezentacja grafów, metody przeszukiwania, minimalne drzewa rozpinające, problemy
Opracowanie prof. J. Domsta 1
Opracowanie prof. J. Domsta 1 Algorytm FLEURY'ego: Twierdzenie 6.5 G-graf eulerowski. Wtedy cykl Eulera otrzymujemy nastepująco: a) Start w dowolnym wierzchołku b) Krawędzie w dowolnej kolejności po przebyciu
Drzewa spinające MST dla grafów ważonych Maksymalne drzewo spinające Drzewo Steinera. Wykład 6. Drzewa cz. II
Wykład 6. Drzewa cz. II 1 / 65 drzewa spinające Drzewa spinające Zliczanie drzew spinających Drzewo T nazywamy drzewem rozpinającym (spinającym) (lub dendrytem) spójnego grafu G, jeżeli jest podgrafem
Zad. 1 Zad. 2 Zad. 3 Zad. 4 Zad. 5 SUMA
Zad. 1 Zad. 2 Zad. 3 Zad. 4 Zad. 5 SUMA Zad. 1 (12p.)Niech n 3k > 0. Zbadać jaka jest najmniejsza możliwa liczba krawędzi w grafie, który ma dokładnie n wierzchołków oraz dokładnie k składowych, z których
Matematyczne Podstawy Informatyki
Matematyczne Podstawy Informatyki dr inż. Andrzej Grosser Instytut Informatyki Teoretycznej i Stosowanej Politechnika Częstochowska Rok akademicki 03/0 Przeszukiwanie w głąb i wszerz I Przeszukiwanie metodą
Algorytmiczna teoria grafów
Przedmiot fakultatywny 20h wykładu + 20h ćwiczeń 21 lutego 2014 Zasady zaliczenia 1 ćwiczenia (ocena): kolokwium, zadania programistyczne (implementacje algorytmów), praca na ćwiczeniach. 2 Wykład (egzamin)
Digraf. 13 maja 2017
Digraf 13 maja 2017 Graf skierowany, digraf, digraf prosty Definicja 1 Digraf prosty G to (V, E), gdzie V jest zbiorem wierzchołków, E jest rodziną zorientowanych krawędzi, między różnymi wierzchołkami,
Sortowanie topologiczne skierowanych grafów acyklicznych
Sortowanie topologiczne skierowanych grafów acyklicznych Metody boolowskie w informatyce Robert Sulkowski http://robert.brainusers.net 23 stycznia 2010 1 Definicja 1 (Cykl skierowany). Niech C = (V, A)
Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /14
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2016 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 13/14 Grafy podstawowe definicje Graf to para G=(V, E), gdzie V to niepusty i skończony zbiór, którego elementy nazywamy wierzchołkami
a) 7 b) 19 c) 21 d) 34
Zadanie 1. Pytania testowe dotyczące podstawowych własności grafów. Zadanie 2. Przy każdym z zadań może się pojawić polecenie krótkiej charakterystyki algorytmu. Zadanie 3. W zadanym grafie sprawdzenie
(4) x (y z) = (x y) (x z), x (y z) = (x y) (x z), (3) x (x y) = x, x (x y) = x, (2) x 0 = x, x 1 = x
2. Wykład 2: algebry Boole a, kraty i drzewa. 2.1. Algebra Boole a. 1 Ważnym dla nas przykładem algebr są algebry Boole a, czyli algebry B = (B,,,, 0, 1) typu (2, 2, 1, 0, 0) spełniające własności: (1)
KURS MATEMATYKA DYSKRETNA
KURS MATEMATYKA DYSKRETNA LEKCJA 28 Grafy hamiltonowskie ZADANIE DOMOWE www.akademia.etrapez.pl Strona 1 Część 1: TEST Zaznacz poprawną odpowiedź (tylko jedna jest prawdziwa). Pytanie 1 Drogę nazywamy
Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2013 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 14/15 Grafy podstawowe definicje Graf to para G=(V, E), gdzie V to niepusty i skończony zbiór, którego elementy nazywamy wierzchołkami
Kolorowanie wierzchołków grafu
Kolorowanie wierzchołków grafu Niech G będzie grafem prostym. Przez k-kolorowanie właściwe wierzchołków grafu G rozumiemy takie przyporządkowanie wierzchołkom grafu liczb naturalnych ze zbioru {1,...,
TEORETYCZNE PODSTAWY INFORMATYKI
1 TEORETYCZNE PODSTAWY INFORMATYKI WFAiS UJ, Informatyka Stosowana I rok studiów, I stopień Wykład 14c 2 Definicje indukcyjne Twierdzenia dowodzone przez indukcje Definicje indukcyjne Definicja drzewa
WYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA
DROGI i CYKLE w grafach Dla grafu (nieskierowanego) G = ( V, E ) drogą z wierzchołka v 0 V do v t V nazywamy ciąg (naprzemienny) wierzchołków i krawędzi grafu: ( v 0, e, v, e,..., v t, e t, v t ), spełniający
Przykłady grafów. Graf prosty, to graf bez pętli i bez krawędzi wielokrotnych.
Grafy Graf Graf (ang. graph) to zbiór wierzchołków (ang. vertices), które mogą być połączone krawędziami (ang. edges) w taki sposób, że każda krawędź kończy się i zaczyna w którymś z wierzchołków. Graf
Teoria grafów dla małolatów. Andrzej Przemysław Urbański Instytut Informatyki Politechnika Poznańska
Teoria grafów dla małolatów Andrzej Przemysław Urbański Instytut Informatyki Politechnika Poznańska Wstęp Matematyka to wiele różnych dyscyplin Bowiem świat jest bardzo skomplikowany wymaga rozważenia
Grafem nazywamy strukturę G = (V, E): V zbiór węzłów lub wierzchołków, Grafy dzielimy na grafy skierowane i nieskierowane:
Wykład 4 grafy Grafem nazywamy strukturę G = (V, E): V zbiór węzłów lub wierzchołków, E zbiór krawędzi, Grafy dzielimy na grafy skierowane i nieskierowane: Formalnie, w grafach skierowanych E jest podzbiorem
Algorytmiczna teoria grafów
Podstawowe pojęcia i klasy grafów Wykład 1 Grafy nieskierowane Definicja Graf nieskierowany (graf) G = (V,E) jest to uporządkowana para składająca się z niepustego skończonego zbioru wierzchołków V oraz
Kody blokowe Wykład 5a;
Kody blokowe Wykład 5a; 31.03.2011 1 1 Kolorowanie hiperkostki Definicja. W teorii grafów symbol Q n oznacza kostkę n-wymiarową, czyli graf o zbiorze wierzchołków V (Q n ) = {0, 1} n i zbiorze krawędzi
Reprezentacje grafów nieskierowanych Reprezentacje grafów skierowanych. Wykład 2. Reprezentacja komputerowa grafów
Wykład 2. Reprezentacja komputerowa grafów 1 / 69 Macierz incydencji Niech graf G będzie grafem nieskierowanym bez pętli o n wierzchołkach (x 1, x 2,..., x n) i m krawędziach (e 1, e 2,..., e m). 2 / 69
Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /14
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2012 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 13/14 Grafy podstawowe definicje Graf to para G=(V, E), gdzie V to niepusty i skończony zbiór, którego elementy nazywamy wierzchołkami
Minimalne drzewa rozpinające
KNM UŚ 26-28 listopada 2010 Ostrzeżenie Wprowadzenie Motywacja Definicje Niektóre pojęcia pojawiające się podczas tego referatu są naszymi autorskimi tłumaczeniami z języka angielskiego. Nie udało nam
Zofia Kruczkiewicz, Algorytmu i struktury danych, Wykład 14, 1
Wykład Algorytmy grafowe metoda zachłanna. Właściwości algorytmu zachłannego:. W przeciwieństwie do metody programowania dynamicznego nie występuje etap dzielenia na mniejsze realizacje z wykorzystaniem
E: Rekonstrukcja ewolucji. Algorytmy filogenetyczne
E: Rekonstrukcja ewolucji. Algorytmy filogenetyczne Przypominajka: 152 drzewo filogenetyczne to drzewo, którego liśćmi są istniejące gatunki, a węzły wewnętrzne mają stopień większy niż jeden i reprezentują
SKOJARZENIA i ZBIORY WEWN. STABILNE WIERZCH. Skojarzeniem w grafie G nazywamy dowolny podzbiór krawędzi parami niezależnych.
SKOJARZENIA i ZBIORY WEWN. STABILNE WIERZCH. Rozważamy graf G = (V, E) Dwie krawędzie e, e E nazywamy niezależnymi, jeśli nie są incydentne ze wspólnym wierzchołkiem. Skojarzeniem w grafie G nazywamy dowolny
Matematyczne Podstawy Informatyki
Matematyczne Podstawy Informatyki dr inż. Andrzej Grosser Instytut Informatyki Teoretycznej i Stosowanej Politechnika Częstochowska Rok akademicki 2013/2014 Informacje podstawowe 1. Konsultacje: pokój
Teoria grafów podstawy. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak
Teoria grafów podstawy Materiały pomocnicze do wykładu wykładowca: dr Magdalena Kacprzak Grafy zorientowane i niezorientowane Przykład 1 Dwa pociągi i jeden most problem wzajemnego wykluczania się Dwa
Algorytm Dijkstry znajdowania najkrótszej ścieżki w grafie
Algorytm Dijkstry znajdowania najkrótszej ścieżki w grafie Używane struktury danych: V - zbiór wierzchołków grafu, V = {1,2,3...,n} E - zbiór krawędzi grafu, E = {(i,j),...}, gdzie i, j Î V i istnieje
Lista 4. Kamil Matuszewski 22 marca 2016
Lista 4 Kamil Matuszewski 22 marca 2016 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Zadanie 2 Ułóż algorytm który dla danego n-wierzchołkowego drzewa i liczby k pokoloruje jak najwięcej wierzchołków tak, by na każdej ścieżce
Algebrą nazywamy strukturę A = (A, {F i : i I }), gdzie A jest zbiorem zwanym uniwersum algebry, zaś F i : A F i
Algebrą nazywamy strukturę A = (A, {F i : i I }), gdzie A jest zbiorem zwanym uniwersum algebry, zaś F i : A F i A (symbol F i oznacza ilość argumentów funkcji F i ). W rozważanych przez nas algebrach
Znajdowanie skojarzeń na maszynie równoległej
11 grudnia 2008 Spis treści 1 Skojarzenia w różnych klasach grafów Drzewa Grafy gęste Grafy regularne dwudzielne Claw-free graphs 2 Drzewa Skojarzenia w drzewach Fakt Wybierajac krawędź do skojarzenia
1 Automaty niedeterministyczne
Szymon Toruńczyk 1 Automaty niedeterministyczne Automat niedeterministyczny A jest wyznaczony przez następujące składniki: Alfabet skończony A Zbiór stanów Q Zbiór stanów początkowych Q I Zbiór stanów
Algorytmy i Struktury Danych.
Algorytmy i Struktury Danych. Grafy dr hab. Bożena Woźna-Szcześniak bwozna@gmail.com Jan Długosz University, Poland Wykład 9 Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 9 1 / 53
Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, B/14
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2019 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 1B/14 Drogi w grafach Marszruta (trasa) w grafie G z wierzchołka w do wierzchołka u to skończony ciąg krawędzi w postaci. W skrócie
Wprowadzenie Podstawy Fundamentalne twierdzenie Kolorowanie. Grafy planarne. Przemysław Gordinowicz. Instytut Matematyki, Politechnika Łódzka
Grafy planarne Przemysław Gordinowicz Instytut Matematyki, Politechnika Łódzka Grafy i ich zastosowania Wykład 12 Plan prezentacji 1 Wprowadzenie 2 Podstawy 3 Fundamentalne twierdzenie 4 Kolorowanie grafów
Struktury danych i złożoność obliczeniowa Wykład 7. Prof. dr hab. inż. Jan Magott
Struktury danych i złożoność obliczeniowa Wykład 7 Prof. dr hab. inż. Jan Magott Problemy NP-zupełne Transformacją wielomianową problemu π 2 do problemu π 1 (π 2 π 1 ) jest funkcja f: D π2 D π1 spełniająca
Luty 2001 Algorytmy (4) 2000/2001
Mając dany zbiór elementów, chcemy znaleźć w nim element największy (maksimum), bądź najmniejszy (minimum). We wszystkich naturalnych metodach znajdywania najmniejszego i największego elementu obecne jest
Wybrane podstawowe rodzaje algorytmów
Wybrane podstawowe rodzaje algorytmów Tomasz Głowacki tglowacki@cs.put.poznan.pl Zajęcia finansowane z projektu "Rozwój i doskonalenie kształcenia na Politechnice Poznańskiej w zakresie technologii informatycznych
Matematyka Dyskretna - zadania
zad. 1. Chcemy zdefiniować rekurencyjnie zbiór Z wszystkich trójkątów równoramiennych ABC, gdzie współrzędne wierzchołków będą liczbami całkowitymi, wierzchołek A zawsze będzie leżeć w początku układu
6. Wstępne pojęcia teorii grafów
6. Wstępne pojęcia teorii grafów Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie zima 2016/2017 rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 6. Wstępne pojęcia teorii grafów zima 2016/2017
Podstawowe pojęcia dotyczące drzew Podstawowe pojęcia dotyczące grafów Przykłady drzew i grafów
Podstawowe pojęcia dotyczące drzew Podstawowe pojęcia dotyczące grafów Przykłady drzew i grafów Drzewa: Drzewo (ang. tree) jest strukturą danych zbudowaną z elementów, które nazywamy węzłami (ang. node).
Porównanie algorytmów wyszukiwania najkrótszych ścieżek międz. grafu. Daniel Golubiewski. 22 listopada Instytut Informatyki
Porównanie algorytmów wyszukiwania najkrótszych ścieżek między wierzchołkami grafu. Instytut Informatyki 22 listopada 2015 Algorytm DFS w głąb Algorytm przejścia/przeszukiwania w głąb (ang. Depth First
Wykład 1. Na początku zajmować się będziemy zbiorem liczb całkowitych
Arytmetyka liczb całkowitych Wykład 1 Na początku zajmować się będziemy zbiorem liczb całkowitych Z = {0, ±1, ±2,...}. Zakładamy, że czytelnik zna relację
Wykład 8. Drzewo rozpinające (minimum spanning tree)
Wykład 8 Drzewo rozpinające (minimum spanning tree) 1 Minimalne drzewo rozpinające - przegląd Definicja problemu Własności minimalnych drzew rozpinających Algorytm Kruskala Algorytm Prima Literatura Cormen,
Algorytmy aproksymacyjne i parametryzowane
Algorytmy aproksymacyjne i parametryzowane Marek Cygan Uniwersytet Warszawski 18 października 2012 Marek Cygan Algorytmy aproksymacyjne i parametryzowane 1/22 Wstęp W algorytmice problemy dzielimy na obliczeniowo
Droga i cykl Eulera Przykłady zastosowania drogi i cyku Eulera Droga i cykl Hamiltona. Wykład 4. Droga i cykl Eulera i Hamiltona
Wykład 4. Droga i cykl Eulera i Hamiltona 1 / 92 Grafy Eulera Droga i cykl Eulera Niech G będzie grafem spójnym. Definicja Jeżeli w grafie G istnieje zamknięta droga prosta zawierająca wszystkie krawędzie
Badania operacyjne: Wykład Zastosowanie kolorowania grafów w planowaniu produkcji typu no-idle
Badania operacyjne: Wykład Zastosowanie kolorowania grafów w planowaniu produkcji typu no-idle Paweł Szołtysek 12 czerwca 2008 Streszczenie Planowanie produkcji jest jednym z problemów optymalizacji dyskretnej,
Grafy (3): drzewa. Wykłady z matematyki dyskretnej dla informatyków i teleinformatyków. UTP Bydgoszcz
Grafy (3): drzewa Wykłady z matematyki dyskretnej dla informatyków i teleinformatyków UTP Bydgoszcz 13 (Wykłady z matematyki dyskretnej) Grafy (3): drzewa 13 1 / 107 Drzewo Definicja. Drzewo to graf acykliczny
Algorytmy Równoległe i Rozproszone Część V - Model PRAM II
Algorytmy Równoległe i Rozproszone Część V - Model PRAM II Łukasz Kuszner pokój 209, WETI http://www.sphere.pl/ kuszner/ kuszner@sphere.pl Oficjalna strona wykładu http://www.sphere.pl/ kuszner/arir/ 2005/06
Wykłady z Matematyki Dyskretnej
Wykłady z Matematyki Dyskretnej dla kierunku Informatyka dr Instytut Informatyki Politechnika Krakowska Wykłady na bazie materiałów: dra hab. Andrzeja Karafiata dr hab. Joanny Kołodziej, prof. PK Kolorowanie
Zasada indukcji matematycznej
Zasada indukcji matematycznej Twierdzenie 1 (Zasada indukcji matematycznej). Niech ϕ(n) będzie formą zdaniową zmiennej n N 0. Załóżmy, że istnieje n 0 N 0 takie, że 1. ϕ(n 0 ) jest zdaniem prawdziwym,.
Wstęp do programowania. Drzewa. Piotr Chrząstowski-Wachtel
Wstęp do programowania Drzewa Piotr Chrząstowski-Wachtel Drzewa Drzewa definiują matematycy, jako spójne nieskierowane grafy bez cykli. Równoważne określenia: Spójne grafy o n wierzchołkach i n-1 krawędziach
Wykład 4. Droga i cykl Eulera i Hamiltona
Wykład 4. i Hamiltona Wykład 4. i Hamiltona 1 / 35 Grafy Eulera Niech G będzie grafem spójnym. Definicja Jeżeli w grafie G istnieje zamknięta droga prosta zawierająca wszystkie krawędzie grafu, to taką
Dwa równania kwadratowe z częścią całkowitą
Dwa równania kwadratowe z częścią całkowitą Andrzej Nowicki Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet M. Kopernika w Toruniu anow @ mat.uni.torun.pl 4 sierpnia 00 Jeśli r jest liczbą rzeczywistą, to
G. Wybrane elementy teorii grafów
Dorota Miszczyńska, Marek Miszczyński KBO UŁ Wybrane elementy teorii grafów 1 G. Wybrane elementy teorii grafów Grafy są stosowane współcześnie w różnych działach nauki i techniki. Za pomocą grafów znakomicie
Indukcja. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak
Indukcja Materiały pomocnicze do wykładu wykładowca: dr Magdalena Kacprzak Charakteryzacja zbioru liczb naturalnych Arytmetyka liczb naturalnych Jedną z najważniejszych teorii matematycznych jest arytmetyka
Teoria grafów II. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak
Teoria grafów II Materiały pomocnicze do wykładu wykładowca: dr Magdalena Kacprzak Graf planarny Graf planarny Graf, który może być narysowany tak, by uniknąć przecinania się krawędzi, nazywamy grafem
Wojciech Guzicki. Gdynia, 23 września 2016 r.
1 O KRÓTKICH CYKLACH W GRAFACH Wojciech Guzicki W. Guzicki: O krótkich cyklach w grafach 2 5zadań Zadanie 1.(XXXVII OM, zawody III stopnia, zadanie 5) W turnieju szachowym uczestniczy 2n zawodników(zakładamy,
Działanie algorytmu oparte jest na minimalizacji funkcji celu jako suma funkcji kosztu ( ) oraz funkcji heurystycznej ( ).
Algorytm A* Opracowanie: Joanna Raczyńska 1.Wstęp Algorytm A* jest heurystycznym algorytmem służącym do znajdowania najkrótszej ścieżki w grafie. Jest to algorytm zupełny i optymalny, co oznacza, że zawsze
5c. Sieci i przepływy
5c. Sieci i przepływy Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie zima 2016/2017 rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5c. Sieci i przepływy zima 2016/2017 1 / 40 1 Definicje
Programowanie liniowe
Programowanie liniowe Maciej Drwal maciej.drwal@pwr.wroc.pl 1 Problem programowania liniowego min x c T x (1) Ax b, (2) x 0. (3) gdzie A R m n, c R n, b R m. Oznaczmy przez x rozwiązanie optymalne, tzn.
Ilustracja S1 S2. S3 ściana zewnętrzna
Grafy płaskie G=(V,E) nazywamy grafem płaskim, gdy V jest skończonym podzbiorem punktów płaszczyzny euklidesowej, a E to zbiór krzywych Jordana (łamanych) o końcach w V i takich, że: 1) rożne krzywe mają
Czy istnieje zamknięta droga spaceru przechodząca przez wszystkie mosty w Królewcu dokładnie jeden raz?
DROGI i CYKLE EULERA w grafach Czy istnieje zamknięta droga spaceru przechodząca przez wszystkie mosty w Królewcu dokładnie jeden raz? Czy można narysować podaną figurę nie odrywając ołówka od papieru
E ' E G nazywamy krawędziowym zbiorem
Niech G będzie grafem spójnym. Wierzchołek x nazywamy rozcinającym, jeśli G\{x} jest niespójny. Niech G będzie grafem spójnym. V ' V G nazywamy zbiorem rozcinającym jeśli G\V' jest niespójny Niech G będzie
Ogólne wiadomości o grafach
Ogólne wiadomości o grafach Algorytmy i struktury danych Wykład 5. Rok akademicki: / Pojęcie grafu Graf zbiór wierzchołków połączonych za pomocą krawędzi. Podstawowe rodzaje grafów: grafy nieskierowane,
Matematyka dyskretna dla informatyków
Matematyka dyskretna dla informatyków Część I: Elementy kombinatoryki Jerzy Jaworski Zbigniew Palka Jerzy Szymański Uniwersytet im. Adama Mickiewicza Poznań 2007 4 Zależności rekurencyjne Wiele zależności
Grafy dla każdego. dr Krzysztof Bryś. Wydział Matematyki i Nauk Informacyjnych Politechnika Warszawska.
Grafy dla każdego dr Krzysztof Bryś brys@mini.pw.edu.pl Wydział Matematyki i Nauk Informacyjnych Politechnika Warszawska www.mini.pw.edu.pl Warszawa, 28 marca 2015 Graf składa się z elementów pewnego zbioru
Problem straŝaka w drzewach. Agnieszka Skorupka Matematyka Stosowana FTiMS
Problem straŝaka w drzewach Agnieszka Skorupka Matematyka Stosowana FTiMS Problem StraŜaka: Co to jest? Problem StraŜaka: Co to jest? Problem StraŜaka: Co to jest? Problem StraŜaka: Co to jest? Problem
Algorytmy i str ruktury danych. Metody algorytmiczne. Bartman Jacek
Algorytmy i str ruktury danych Metody algorytmiczne Bartman Jacek jbartman@univ.rzeszow.pl Metody algorytmiczne - wprowadzenia Znamy strukturę algorytmów Trudność tkwi natomiast w podaniu metod służących
Matematyka dyskretna - 7.Drzewa
Matematyka dyskretna - 7.Drzewa W tym rozdziale zajmiemy się drzewami: specjalnym przypadkiem grafów. Są one szczególnie przydatne do przechowywania informacji, umożliwiającego szybki dostęp do nich. Definicja
Matematyka dyskretna
Matematyka dyskretna Wykład 4: Podzielność liczb całkowitych Gniewomir Sarbicki Dzielenie całkowitoliczbowe Twierdzenie: Dla każdej pary liczb całkowitych (a, b) istnieje dokładnie jedna para liczb całkowitych
6d. Grafy dwudzielne i kolorowania
6d. Grafy dwudzielne i kolorowania Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie zima 2016/2017 rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w6d. Krakowie) Grafy dwudzielne i kolorowania zima
Złożoność obliczeniowa klasycznych problemów grafowych
Złożoność obliczeniowa klasycznych problemów grafowych Oznaczenia: G graf, V liczba wierzchołków, E liczba krawędzi 1. Spójność grafu Graf jest spójny jeżeli istnieje ścieżka łącząca każdą parę jego wierzchołków.
Twierdzenie Grinberga i jego zastosowania
UNIWERSYTET IM. ADAMA MICKIEWICZA W POZNANIU WYDZIAŁ MATEMATYKI I INFORMATYKI Maria Gabriela Dokurno Kierunek: matematyka Numer albumu: 407539 Twierdzenie Grinberga i jego zastosowania Grinberg s theorem
5. Najkrótsze ścieżki
p. Definicja 5. Najkrótsze ścieżki 5.1 Odległości w grafach: definicje i własności (Długość ścieżki). Długościa ścieżki nazywamy liczbę krawędzi występujacych w tej ścieżce. Bardziej formalnie, jeżeli
POISSONOWSKA APROKSYMACJA W SYSTEMACH NIEZAWODNOŚCIOWYCH
POISSONOWSKA APROKSYMACJA W SYSTEMACH NIEZAWODNOŚCIOWYCH Barbara Popowska bpopowsk@math.put.poznan.pl Politechnika Poznańska http://www.put.poznan.pl/ PROGRAM REFERATU 1. WPROWADZENIE 2. GRAF JAKO MODEL
Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, A/14
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2019 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 1A/14 Literatura obowiązkowa [1] K.A.Ross, Ch.R.B.Wright: Matematyka Dyskretna. Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 1996 [2] R.L.Graham,
LI Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia trzeciego 3 kwietnia 2000 r. (pierwszy dzień zawodów)
LI Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia trzeciego 3 kwietnia 2000 r. (pierwszy dzień zawodów) Zadanie 1. Dana jest liczba całkowita n 2. Wyznaczyć liczbę rozwiązań (x 1,x
Egzamin, AISDI, I termin, 18 czerwca 2015 r.
Egzamin, AISDI, I termin, 18 czerwca 2015 r. 1 W czasie niezależnym do danych wejściowych działają algorytmy A. sortowanie bąbelkowego i Shella B. sortowanie szybkiego i przez prosty wybór C. przez podział
domykanie relacji, relacja równoważności, rozkłady zbiorów
1 of 8 2012-03-28 17:45 Logika i teoria mnogości/wykład 5: Para uporządkowana iloczyn kartezjański relacje domykanie relacji relacja równoważności rozkłady zbiorów From Studia Informatyczne < Logika i
Algorytmy wyznaczania centralności w sieci Szymon Szylko
Algorytmy wyznaczania centralności w sieci Szymon Szylko Zakład systemów Informacyjnych Wrocław 10.01.2008 Agenda prezentacji Cechy sieci Algorytmy grafowe Badanie centralności Algorytmy wyznaczania centralności
Algorytmy dynamiczne. Piotr Sankowski. - p. 1/14
Algorytmy dynamiczne Piotr Sankowski - p. 1/14 Dynamiczne: drzewa wyszukiwanie wzorca w tekście spójność grafu problemy algebraiczne (FFT i inne) domknięcie przechodnie oraz dynamiczne macierze najkrótsze
Algorytm wyznaczania najkrótszej ścieżki w grafie skierowanym w zbiorze liczb rozmytych
NEUMNN Tomasz 1 lgorytm wyznaczania najkrótszej ścieżki w grafie skierowanym w zbiorze liczb rozmytych WSTĘP W systemach zarządzania transportem jedną z najbardziej istotnych kwestii jest zapewnienie najkrótszej
Ścieżki w grafach. Grafy acykliczne i spójne
TEORIA GRAFÓW I SIECI - ROZDZIAL II Ścieżki w grafach. Grafy acykliczne i spójne Ścieżka lub droga w grafie [digrafie] G nazywamy dowolny ciag d = (a 0, k 1, a 1,..., k n, a n ), gdzie n N {0}, a i V G,