Ekonometria Wykład 7 Modele nieliniowe, funkcja produkcji Dr Michał Gradzewicz atedra Ekonomii I AE
Plan wykładu (Nie)liniowość modeli ekonomerycznych iniowość modeli ekonometrycznych Efekty krańcowe Elastyczności Przykłady modeli linearyzowanych i nieliniowych Nieliniowa MN Funkcja produkcji Definicja Własności Substytucyjność czynników Funkcja produkcji Cobba-Douglasa Inne funkcje produkcji
iniowość modeli ekonometrycznych Dla ekonometryka (ze względu na fakt, że estymowane są parametry, warunkowo względem danych) ważna jest liniowość względem parametrów, a nie względem zmiennych zapewnia ona możliwość estymacji zwykłą MN i uzyskania estymatora o pożądanych własnościach (tw. Gaussa-Markowa) Przykład modelu liniowego względem parametrów: y = β 0 + β 1 x 1 x 2 2 + β 2 ln x 3 + ϵ Przykład modelu liniowego względem zmiennych : 1 y = β 0 + x β 1 + β 1 + β 2 3 x 2 + ξ 2 Pierwszy model jest liniowy względem parametrów, drugi nieliniowy względem parametrów Model ściśle liniowy: y = β 0 + β 1 x 1 + β 2 x 2 + η Ogólna postać modelu liniowego względem parametrów (x wektor zmiennych): g y = β 1 f 1 x + β 2 f 2 x + + β k f k x + ϵ Jeśli g y = y, to model jest bezpośrednio liniowy, w przeciwnym przypadku jest to model linearyzowany (w modelu linearyzowanym musi istnieć g 1 (y), czyli g(y) musi być różnowartościowa Przykład modelu linearyzowanego: log y = log a + b + ε (ponieważ X g y = log y, β 1 = log a, β 2 = b, f 1 x = 1, f 2 x = 1 ) jest to zlogarytmizowana X wersja modelu wykładniczo-hiperbolicznego: y = ae b Xξ
Popularne formy nieliniowości, czyli transformacji danych Do często stosowanych transformacji danych należą: ogarytmy zmiennych zamieniają charakter zależności z multiplikatywnej na addytywną (log ab = log a + log b ) Zmniejszają zakres wartości zmiennej Mogą ograniczać wpływ heterogeniczności Redukują wpływ obserwacji nietypowych wadraty zmiennych, często używane, aby odzwierciedlić zmienne efekty krańcowe Iloczyny zmiennych, reprezentujące interakcje pomiędzy zmiennymi oraz zmienne efekty krańcowe Transformacje danych są często podyktowane przekonaniem badacza (np. mającym swoje źródło w odpowiedniej teorii) o specyficznej formie efektów krańcowych
W modelu liniowym: Efekty krańcowe β i = y Δy x i Δx parametr przy danej zmiennej mierzy efekt krańcowy, czyli informuje o skali przyrostu y w reakcji na jednostkowy przyrost x, ceteris paribus; efekt ten jest stały i niezależny od poziomu x i Zarówno w klasie modeli liniowych i nieliniowych względem parametrów efekt krańcowy y może być funkcją innych zmiennych x i Czasami wiemy jaka postacią powinny charakteryzować się efekty krańcowe, co implikuje wybór określonej postaci funkcyjnej badanej zależności, np. Jeśli y x i = β i x i, to odpowiedni fragment równania ma postać kwadratową: β i x i 2 Przykład: w = 20 + 0.9age 0.025age 2, wtedy w age = 0.9 0.05age Jeśli y x i = β i x j, to odpowiedni fragment równania ma postać kwadratową: β i x i x j, ale wtedy jednocześnie y x j = β i x i Przykład: c = 4.55 + 0.2y + 0.06edu + 0.01gender + 0.03edu gender
Elastyczności cząstkowe Elastyczność cząstkowa y względem x i to również miara wrażliwości y na zmiany x i, ale w ujęciu względnym (procentowym) informuje o ile zmieni się procentowo y jeśli x i wzrośnie o 1% El y x i = y y x i x i = y x i x i y Δy y Δx x = Δy x i Δx y x W modelu liniowym elastyczność El y x i = β i i, czyli jest funkcją poziomów y zmiennych i jest różna dla każdej obserwacji (często, aby otrzymać jedną wartość, x średnią w próbie, oblicza się β i i y Jaką interpretację ma β w modelu log y = β log x? β = log y log x = log y(x) x log x x = log y y x log x x x = 1 y y x = 1 x 1 y x x y = El(y x) Czyli jest to elastyczność y względem x, stała niezależna od punktu w danych, odpowiadająca modelowi potęgowemu: y = x β (ponieważ jest to tożsame z: ln y = β ln x)
rzywa Engla: Przykłady modeli z logarytmami y = α + β log x Wtedy β = y log x = y x log x x = y x 1 x x x = x y y x, zatem: El y x = = β x x y y Czyli elastyczność y względem x maleje wraz z poziomem y. Engel użył tych krzywych do badania elastyczności spożycia danej kategorii (y) dóbr względem dochodu (x) i zgodnie z tą specyfikacją elastyczność dochodowa spożycia jest dodatnia, ale maleje wraz ze wzrostem poziomu spożycia Stopy wzrostu Wykładniczy model trendu: y = αe βt+ε Można przedstawić jako: log y = log α + βt + ε Czyli wzrost t o jednostkę (upływ jednego okresu czasu) powoduje wzrost log y dokładnie o β A wzrost log y, czyli Δ log y to w przybliżeniu stopa wzrostu y (dla małych przyrostów) Czyli β y t y y 1 1. Dlaczego? β = Δ log y t = log y t log y t 1 = log( y t y t 1 ), zatem y t y t 1 = e β Z rozwinięcia Taylora e β 1 + β, zatem podsumowując β y t y t 1 1 Ogólnie: Δ log x Δx x
Przykłady modeli linearyzowanych i charakter składnika losowego Model potęgowy: y = αx 1 β x2 γ e ε po zlogarytmowaniu jest jednoznaczny z modelem: log y = log α + β log x 1 + γ log x 2 + ε Model wykładniczy (opisujący wykładniczy wzrost y względem x): Jest tożsamy z: y = e α+βx+ε log y = α + βx + ε Przy przekształceniach modelu należy pamiętać, ze podlega nim również składnik losowy i jego charakter (addytywny lub multiplikatywny) ma znacznie: Przykładowo model y = e βx + ε jest modelem ściśle nieliniowym Z kolei model y = e βx ε jest modelem linearyzowanym (log y = βx + log ε), ale jeśli log ε ma mieć rozkład normalny, to ε powinna mieć rozkład log-normalny Czasami, ze względu na wiedzę a priori odnośnie składnika losowego, model nie może zostać zlinearyzowany i powinien być estymowany metodami nieliniowymi
Przykład modelu ściśle nieliniowego funkcja logistyczna Funkcja logistyczna jest postaci: α y t = 1 + βe γt + ε t gdzie α > 0, β > 1, γ > 0 i ma bardzo ciekawe własności: lim t y t = α i jest to tzw. poziom nasycenia zmiennej y Dla t = 0, y 0 = α 1+β Jest ona rozwiązaniem równania różniczkowego: dy = γ y(α y), w którym na zmiany α y działają dwie siły: początkowo napędzająca y (wyższy y powoduje coraz wyższy wzrost y - dy zależy od y), ale wraz ze wzrostem y rośnie znaczeni siły hamującej α y Stosuje się ja w analizach rynkowych (cykl życia produktu), demograficznych W nieco innej formie: ea+bt y = 1 + e a+bt która ma zakres zmienności < 0; 1 > funkcja ta nazywa się logitem i jest ona podstawą modelu logitowego (o którym szerzej na kolejnych zajęciach) 1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0 2 4 6 8 10 12
Nieliniowa MN Czasami nie jest możliwe doprowadzenie modelu do postaci liniowej względem parametrów Model nieliniowy: y i = f x i, β + ε i Można go estymować np. nieliniową metodą najmniejszych kwadratów, w której wyznaczamy β minimalizując sumę kwadratów reszt: S β = y i f x i, β 2 i Czyli rozwiązując układ równań nieliniowych (o liczbie równań i niewiadomych równych liczbie estymowanych parametrów): S β β = 2 y i f x i, β i f x i, β β Postać ogólna rozwiązania nie jest znana (zależy od charakteru nieliniowości) i niemożliwa do przedstawienia w postaci analitycznej. Zazwyczaj rozwiązuje się tego typu układy równań metodami iteracyjnymi, np. metodą Newtona, Gaussa-Newtona Nie ma ogólnych twierdzeń o własnościach estymatora (typu Gaussa-Markowa w przypadku MN) dla estymatorów uzyskanych metodami nieliniowymi, dlatego ekonometrycy raczej starają się uprościć specyfikacje do postaci liniowej (względem parametrów) Modele nieliniowa można estymować również MNW (metoda największej wiarygodności) = 0
Funkcja produkcji Funkcja produkcji jest to relacja pomiędzy nakładami czynników produkcji a wielkością (strumieniem) wytworzonego produktu w danej jednostce czasu Stosuje się ten koncept zarówno w mikro- jak i makroekonomii Główne nakłady praca () i kapitał (), ale również ziemia, materiały czy kapitał ludzki Y = f(, ) Izokwanty produkcji - warstwice funkcji produkcji, czyli linie w przestrzeni (, ), którym odpowiada ta sama wartość produkcji: Y 0 = f(, ) Zakładamy, że f jest funkcją ciągłą i dwukrotnie różniczkowalną
Własności funkcji produkcji: f = f, Własności funkcji produkcji > 0, f = f, > 0, czyli produkty krańcowe (produktywności) czynników produkcji są dodatnie (zwiększenie zasobu danego czynnika prowadzi do wzrostu produkcji) f = 2 F, 2 = f < 0, f = 2 F, 2 < 0, czyli krańcowa produkcyjność czynnika jest malejąca względem nakładów tego czynnika (produktywność czynnika rośnie coraz wolniej) f = f > 0, f = f wzrostem innego czynnika Funkcja f jest funkcją jednorodną (homogeniczną) > 0, czyli produktywność jednego czynnika rośnie wraz ze Ogólnie: funkcja jednorodna stopnia r spełnia warunek: f λ, λ = λ r f(, ) Czyli wzrost wszystkich nakładów o λ powoduje wzrost produkcji o λ r Dla r = 1 mówimy o stałych korzyściach skali (np. podwojenie wszystkich nakładów powoduje podwojenie produkcji) CRS (constant returns to scale), czyli jednorodność Dla r > 1 mówimy o rosnących korzyściach skali (IRS) Dla r < 1 mówimy o malejących korzyściach skali (DRS) Substytucyjność (zastępowalność czynników) na kolejnym slajdzie Elastyczność produkcji względem czynnika: El Y = Y Y = f Y oraz El Y = f Y
Substytucyjność czynników Jak zmieniają się nakłady czynników na izokwancie? dy = df(, ) = 0 = F F d + d = f d + f d Zatem: d d = f = SS dy=0 f SS krańcowa stopa substytucji (MRS Marginal Rate of Substitution) o ile powinien zmniejszyć się (wzrosnąć) nakład w reakcji na wzrost (spadek) nakładu, aby utrzymać ten sam poziom produkcji (Y = const) Relację nazywamy technicznym uzbrojeniem pracy Elastyczność substytucji mierzy wypukłość izokwanty w miarę wzrostu, dodatkowy przyrost o jednostkę zastępuje coraz mniejszą ilość a elastyczność substytucji mierzy ten efekt jest to względny przyrost wywołany przyrostem SS o 1% σ = ( ) SS SS Płaska izokwanta wysoka elastyczność substytucji (SS musi się silnie zmienić, aby zmieniło się ), przykładowo dla funkcji liniowej σ = +, z kolei dla funkcji typu wąskie gardło, czyli F, = min {, }, σ = 0
Funkcja produkcji Cobba-Douglasa (1) Ma ona postać funkcji potęgowej Y = α β Gdzie α, β (0; 1). Po zlogarytmowaniu: log Y = α log + β log Własności: f = Y = αα 1 β = α α β 1 = α Y > 0 f = β Y > 0 El Y = f = α Y Y Y = α (lub log Y log f = f = α α 1 α 2 β = α 1 α = α) oraz El Y = β Y 2 < 0 f = f = β β 1 α β 2 = β 1 β Y 2 < 0 f = f = αβ α 1 β 1 = αβ Y > 0 Jednorodność: f λ, λ = λ α λ β = λ α λ β α β = λ α+β F(, ) Dla α + β = 1 mamy stałe korzyści skali, wtedy Y = α 1 α Dla α + β > 1 mamy rosnące korzyści skali Dla α + β < 1 mamy malejące korzyści skali
Substytucja Funkcja produkcji Cobba-Douglasa (2) SS = f = β Y = β f α Y α σ = ( ) SS SS = SS Postęp technologiczny 1 SS = β α β α = 1 Są różne sposoby jego uwzględnienia, często stosowanym rodzajem jest TFP (Total Factor Productivity, czyli łączna produktywność czynników produkcji, czyli postęp, który nie jest związany bezpośrednio z żadnym z czynników produkcji) Jeśli założymy, że technologia rośnie w tempie wykładniczym (w stałym tempie z okresu na okres), to: Y t = e A+γt t α t β e ε t ub po zlogarytmowaniu: log Y t = A + γt + α log t + β log t + ε t Gdzie γ jest stałym tempem wzrostu TFP, α jest elastycznością produkcji względem nakładu kapitału, a β elastycznością produkcji względem nakładu pracy
Inne funkcje produkcji Funkcja CES (Constant elasticty of substitution) Y = γ δ ρ + 1 δ ρ θρ ε Gdzie δ < 0,1 > parametr podziału między czynniki produkcji, θ > 0 jest stopniem homogeniczności (parametr korzyści skali), ρ > 1 jest parametrem substytucji (elastyczność substytucji wynosi Funkcja translog, cechująca się zmiennymi elastycznościami produkcji oraz substytucji: log 2 log 2 log Y = α 1 + α 2 log + α 3 log + α 4 + α 2 5 + α 2 6 log log + ε Funkcja liniowa (ma nieskończoną elastyczność substytucji): Y = α + β Funkcja typu wąskie gardło (cechująca się zerową elastycznością substytucji): Y = min (α, β) Izokwanty funkcji liniowej 1 1+ρ ) Izokwanty funkcji typu min